Φροντιστήριο Διακριτών Μαθηματικών Γεώργιος Τζούμας 8 Ιουνίου 007 Εβδομάδα (7-/5 [Το ξενοδοχείο του Hilbert] Εστω ένα ξενοδοχείο με απείρως αριθμήσιμο πλήθος δωματίων που είναι όλα κατειλημμένα Σε κάθε δωμάτιο μένει μόνο ένα άτομο Επιτρέπονται οι μετακινήσεις (α Ερχεται ένας νέος πελάτης να μείνει Χωράει; (β Τι γίνεται στην περίπτωση που έρθουν απείρως αριθμήσιμοι νέοι πελάτες; (γ Αν έρθουν απείρως αριθμήσιμα γκρουπ από απείρως αριθμήσιμους πελάτες; (α Ναι, μετατοπίζονται όλοι κατά ένα δωμάτιο(β Ελευθερώνω τα περιττά δωμάτια μετακινώντας κάθε πελάτη απ τους ήδη υπάρχοντες από το δωμάτιο k στο δωμάτιο k Κατόπιν βάζω τους νέους πελάτες στα περιττά δωμάτια k + (γ Ελευθερώνω τα περιττά δωμάτια όπως προηγουμένως Στη συνέχεια για το j-οστό γκρουπ επιλέγω τον j-οστό πρώτο αριθμό (3,5,7,,3,7, καιτοποθετώτον i-οστόπελάτητουγκρουπστην i-οστήδύναμη αυτούτουαριθμού,πχ 3 = 3, 3 = 9, 3 3 = 7,, 5 = 5, 5 = 5, 5 3 = 5, [Liu,άσκ6,σελ46] (α ΝΔΟτοσύνολοτωνθετικώνρητών Q + είναιαριθμήσιμο q = x y, Q+ = {(x,y : x,y N, x 0, y 0} f(x,y : Q + N s = x + y (x,y f(x,y (, 0 3 (, 3 (, 4 (, 3 3 4 (, 4 4 (3, 5 5 (, 4 6 5 (, 3 7 5 (3, 8 5 (4, 9 Αναπαριστώ τα ζεύγη (x, y με σημεία στο πρώτο τεταρτημόριο Απαριθμώ τα σημεία κινούμενος πάνω στις διαγωνίους παράλληλες με την ευθεία y = x Παίρνω τα σημεία μείδιοάθροισμασυντεταγμένων s = x+y y = x+sπρόκειταιγιατηνεξίσωση της διαγωνίου πάνω στην οποία βρίσκονται τα σημεία με ίδιο άθροισμα συντεταγμένων Μπορώτώραναβρωτησυνάρτηση fχρησιμοποιώνταςτοντύπογιατοάθροισμαόρων αριθμητικής προόδου(υπάρχουν (s σημεία με άθροισμα συντεταγμένων s f(x,y = s(s y
Απόδ ότιείναι- Γιαίδιο s,διαφοροποιείταιλόγωτου y Γιαδιαφορετικό s,το s(s /επηρρεάζειπιοπολύ,μιαςκαι y s (β Η ένωση αριθμήσιμου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμη S = s i i= Εστω x ij s i έναστοιχείοτηςένωσηςπουαντιπροσωπεύειτο j-οστόστοιχείοτου συνόλου s i Τότευπάρχει-αντιστοιχίαμετο Q + ως j/i 3 Το δυναμοσύνολο του N δεν είναι αριθμήσιμο Διαγωνοποίηση Εστω ότι είναι αριθμήσιμο, οπότε απαριθμώ τα στοιχεία του υποσύνολο του N στοιχεία δυαδική ακολουθία s 0 {,3} 0 0 0 s {0,,} 0 s i {} 0 0 0 s j {0,} 0 0 0 Τοψηφίοστηθέση i(ξεκινώνταςαπότο0τηςδυαδικήςακολουθίαςείναιανκαιμόνο αν το i ανήκει στο υποσύνολο Παίρνω το αντίστροφο bit από κάθε στοιχείο της διαγωνίου, δηλ θεωρώτουποσύνολο s N μεστοιχεία i s i / s i i N Τότετο s(στο παράδειγμα s = {0,,i,j,}είναιέναυποσύνολοτου Nπουδενανήκειστηνπαραπάνω λίστα, αφού διαφέρει με κάθε στοιχείο Εβδομάδα (4-9/5 [Liu,άσκ3]Οποιεσδήποτεδύομπάλεςτουμπιλιάρδουέχουντοίδιοχρώμα Λανθασμένη επαγωγική υπόθεση: Ο συλογισμός δεν ισχύει για ν= [Liu, παράδ 7] 3[ΧΚοναξής]Δείξτεότιοαριθμόςτωνδιαγωνίωνσεένακυρτόπολύγωνομε nκορυφέςείναι n(n 3, (n 4 ΒάσηΓια n = 4,έχουμετετράπλευροπουέχειδύοδιαγωνίους Βήμαεπαγωγής Εστωότιπολύγωναμε kκορυφέςέχουν k(k 3διαγωνίουςΠροσθέτουμεμίακορυφη P k+ στο k-γωνοκαιθέλουμεναδείξουμεότιτοπλήθοςτωνδιαγωνίωνειναι (k + (k ΕχουμετιςπαλιέςδιαγωνίουςκαιόσεςνέεςμπορούμεναφέρουμεΆρατο πλήθοςτωνδιαγωνίωνείναι k(k 3καιόσεςμπορούμεναφέρουμεαπότηνκορυφή P k+ στιςκορυφές P,P 3,,P k,δηλαδή k Ηπλευρά P P k τουπαλιούπολυγώνουέγινε διαγώνιοςστονεοεχουμε: k(k 3+(k + = [k(k 3+k ] = (k k = (k + (k 4[ΧΚοναξής]Οn οστόςπεριττόςαριθμόςείναιοn Δείξτεότιτοάθροισματων n πρώτωνπεριττώναριθμώνείναι + 3 + 5 + + (n = n ΒάσηΓια n =,ισχύει Βήματηςεπαγωγής Εστω +3+5++(n = n Θαδείξουμεότι +3+5++ ((n+ = (n+ Πράγματι +3+5++(n +(n+ (EY = n +(n+ = n + n + = (n +
5[Χ Κοναξής][Liu, άσκ 56] (αζητάμετονπληθικόαριθμότουσυνόλου Ω \ {K G P } K G P = K + G + P K G K P G P + K G P = 595 + 595 + 550 395 350 400 + 50 = 845 (β K K P K G + K G P = 595 350 395 + 50 = 00 Κάνουμε διαγράμματα Venn Εβδομάδα 3(-5/5 (p q ( p qπαραδείγματαγια F Tκλπ Κυκλικές μεταθέσεις n αντικειμένων 3[Liu,άσκ3] x y 7 (α93 mn = n! m = (n! (β Αναπαριστούμε τα ζεύγη με σημεία στο επίπεδο Μετράμε τα σημεία στο φράσσονται απότην y = x 7Αποτέλεσμα57 4[Liu, άσκ 73] Παρατηρώότι A(q p q Άρα A(p q p (p q q Ανκαιμόνοανλες αλήθεια, το αριστερό παρακλάδι οδηγεί στην πόλη; Εβδομάδα 4(8/5-/6 [Liu, άσκ 33] Καρκινικές λέξεις με 7 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου [Liu, άσκ 35] Σχήμα«σταυρός» (α 9 = 5 (β Βρίσκωπόσαείναισυμμετρικά: 7 = 8 Άρα5-8=384 3[Liu, άσκ 37] Σειρά 0 θέσεων, 3 ομάδες 5 συνεχόμενων θέσεων 4 4 Α τρόπος Απαριθμώ: (,6,, (,6,,, (,7,, (,7,3,, (,7,,, (6,,6Συνολικάέχω (6+5+4+3+++(5+4+3++++(++ = 56 τρόπουςάρατελικάέχω 56 3! = 336 Β Τρόπος Εχω8αντικείμενα:(5θ(5θ(5θ(θ(θ(θ(θ(θ Άρατελικά 8!/5! = 336 4ΚινούμαισεέναπλέγμαακεραίωνΜεπόσουςτρόπουςμπορώναφτάσωαπότο (0,0στο (n, m κινούμενος είτε ένα βήμα δεξιά είτε ένα πάνω; (m + n! m! n! 3
Εβδομάδα 5(4-8/6 [Liu,άσκ35] A + B = C, A + B + C = 5 ( 5 5 ( 5 5 0,αν 0βιβλία ( 0, αν βιβλία Εστω Aκαι BπεπερασμένασύνολαΠόσεςείναιοισυναρτήσεις f : A B;Πόσεςείναι-; (α Εστω a = A και b = B Τοπλήθοςτωνσυναρτήσεωνείναι b a (β ( b a! = P(b,a, εφόσον b a a 3[Liu, άσκ 334] Διαιρώ n άτομα σε n ζευγάρια ( n n Εβδομάδα 6(-5/6 Λύσεις προβλημάτων 3 και 5 του homework Εβδομάδα 7(8-/6 Λύση προβλήματος 6 του homework ( m m n k=0 ( n k ( m = m+i ( m+ m ( m+ m+i = n = n n max k=0 n! = (!(! (! }{{} n ( n n! n n (m + (m + (m + i (m i + (m i + (m m > (m + (m + i = (m i + (m i + 3 m > ( = max n n k=0 k ( n + > n = n k ( n = n ( n n n ( n n n n [Spiegel 4]Τοκουτί I περιέχει3κόκκινεςκαιμπλεσφαίρες Τοκουτί II περιέχει κόκκινεςκαι8μπλεσφαίρεςρίχνουμενόμισμακαιανφέρεικορώναβγάζουμεσφαίρααπό τοκουτί I,αλλιώςαπότο IIΠοιάηπιθναβγάλουμεκόκκινησφαίρα P(κ; P(κ = P(κ IP(I + P(κ IIP(II = 3 3 + + + 8 = 5 4
Αν δεν ξέρουμε τι ήρθε(κορώνα/γράμματα, αλλά γνωρίζουμε ότι βγήκε κόκκινη σφαίρα, ποια ηπιθανότηταναφέραμεκορώνα P(I; 3 Monty Hall Problem [cf Wikipedia] P(I κ = P(κ IP(I P(κ = 3 4 Suppose you re on a game show, and you re given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats You pick a door, say No, and the host, who knows what s behind the doors, opens another door, say No 3, which has a goat He then says to you, Do you want to pick door No? Is it to your advantage to switch your choice? We consider the decision tree So, if you switch, you get the car with probability /3 Εβδομάδα 8(5-9/6 [Liu 365] Υπάρχουν 0 ζευγάρια παπούτσια μέσα σε ντουλάπα Αν επιλέξω τυχαία 8 παπούτσια,ποιαηπιθναεπιλέξω0ζευγάρια;ζευγάρι; Bonus: kζευγάρια; ( 0 ( k 0 k 8 k 0 8 6 8 6 P(0 = 0 9 8 3 9% ( P( = (0 6 0 8 + (0 8 6 8 + = 0 9 8 3 (8 0 0( + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = ( 43% 0 9 3 P(k = kζευγάρια υπόλοιπα μη-ζευγάρια 8 k ( αριστερόήδεξί 0 8 όλα τα ενδεχόμενα P(0 + P( + P( + P(3 + P(4 = ( 0 ( 0 k k 8 k ( 0 8 8 k [Προσαρμογή CLRS3-3,σελ58]Δείξτεότια n /lgn = O(,β n 3 = O(n! α n /lgn = Επιλέγω c = 5
β Άρα n 3 = O(n! lim n n 3 lim n n! = lim n 3 n n(n (n (n 3! = n 3 (n 3 3n + n(n 3! = lim n (n 3! = 0 Μετονορισμόθαπρέπεινακάνωλίγεςπράξειςκαιναδείξωπχότι n (n (n 6