Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που ανήκει σε καποιον χώρο Hilbert. Τα ανύσµατα αυτού του χώρου ϑα τα συµβολίζουµε γενικά ως Φ και ϑα τα ονοµάζουµε ket. Επειδή η κατάσταση του ϕυσικού συστήµατος αλλάζει µε τον χρόνο γι αυτό και στο άνυσµα Ψ(t) εµφανίζεται εξάρτηση από τον χρόνο. Η χρονική µεταβολή του Ψ(t) δίνεται από την εξίσωση Schrödinger i Ψ(t) t = Ĥ Ψ(t) (1.1) όπου Ĥ είναι η Χαµιλτωνιανή του συστήµατος, η οποία όπως και όλοι οι τελεστές που αντιπροσωπεύουν ϕυσικά µεγέθη είναι αυτοσυζυγής τελεστής. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι σε αυτήν την διατύπωση οι καταστάσεις του συστήµατος δεν είναι κυµατικές συναρτήσεις. Οι κυµατικές συναρτήσεις που δίνουν το πλάτος πιθανότητας εύρεσης του συστήµατος σε καποια ϑέση είναι, όπως ϑα δούµε, η αναπαράσταση της ϕυσικής κατάστασης στον χώρο των ϑέσεων. Το εσωτερικό γινόµενο δύο ανυσµάτων Φ, Ψ του χώρου Hilbert ϑα το συµ- ϐολίζουµε µε Φ Ψ 1 και εποµένως ϑα ισχύει Φ Ψ = Ψ Φ. Με ϐάση αυτό ο συζυγής Â κάποιου τελεστή Â ορίζεται από την σχέση Φ Â Ψ = Ψ Â Φ. (1.2) 1 Η υιοθέτηση του συµβολισµού Φ Ψ για το εσωτερικό γινόµενο αντί του ( Φ, Ψ ) ϑα αποδειχθεί πολυ ϐολική όπως ϑα ϕανεί στην συνέχεια.
2 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Ολα τα ϕυσικά µεγέθη αντιπροσωπεύονται από αυτοσυζυγείς τελεστές, Â = Â, και εποµένως οι ιδιοτιµές τους είναι πραγµατικοί αριθµοί. Επί πλέον τα ιδιοανύσµατα αυτών που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα µεταξύ τους. Αν δηλαδή Â a i = λ i a i. (1.3) τότε a i a j = 0 για i j 2 Τα ιδιοανύσµατα οποιουδήποτε γραµµικού αυτοσυ- Ϲυγούς τελεστή µπορούν να κανονικοποιηθούν στην µονάδα, a i a i = 1 οπότε σε αυτήν την περίπτωση µιλάµε για ορθοκανονικά ιδιοανύσµατα a i a j = δ ij. (1.4) Η ιδιότητα (1.4) ονοµάζεται και σχέση Ορθοκανονικότητας. Σε έναν χώρο Hilbert τα ιδιοανύσµατα ενός αυτοσυζυγούς τελεστή αποτελούν ένα πλήρες σύστηµα. Αυτή η σηµαντική ιδιότητα της πληρότητας λέει ότι οποιοδήποτε άνυσµα του χώρου αυτού µπορεί να αναπτυχθεί στα ιδιοανύσµατα οποιυδήποτε αυτοσυζυγούς τελεστή. Εποµένως για οποιοδήποτε άνυσµα Ψ ϑα ισχύει Ψ = i c i a i. (1.5) Λόγω της (1.4) οι συντελεστές c i όπως και το εσωτερικό γινόµενο Ψ Ψ 3 δίνονται από τις σχέσεις c i = a i Ψ (1.6 ) Ψ Ψ = i c i 2. (1.6β ) Η (1.6β ) είναι γνωστή και ως σχέση του Parseval. Αν το άνυσµα Ψ αντιπροσωπεύει ϕυσική κατάσταση κάποιου συστήµατος ικανοποιέι την εξίσωση Schrödinger και εποµένως εξαρτάται από τον χρόνο. Η ανάπτυξη (1.5) ισχύει ασφαλώς και σε αυτήν την περίπτωση µε µόνη την διαφορά ότι οι συντελεστές c i εξαρτώνται από τον χρόνο, αρα c i c i (t). Η µέση τιµή ϕυσικού µεγέθους που περιγράφεται από αυτοσυζυγή τελεστή Â δίνεται από την σχέση Ψ Â Ψ A = (1.7) όταν η κατάσταση Ψ είναι κανονικοποιηµένη στην µονάδα, όταν δηλάδή ισχύει Ψ Ψ = 1. Αν η κατάσταση Ψ αναπτυχθεί στα ιδιοανύσµατα του τελεστή Â η 2 Ενδεχόµενα κάποιες από τις ιδιοτιµές του τελεστή να συµπίπτουν, η ισοδύναµα για κάποιες ιδιοτιµές να έχουµε περισσότερα του ενός γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοανύσµατα ( περίπτωση εκφυλισµού ). Σε αυτήν την περίπτωση τα γραµµικά ανεξάρτητα ιδιονύσµατα αυτών των ιδιοτιµών δεν είναι κάθετα εν γένει, µπορεί όµως κανείς µε την µέθοδο Gramm Schmidt να ορίσει νέα ιδιοανύσµατα που είναι κάθετα µεταξύ τους. 3 Το εσωτερικό γινόµενο είναι το τετράγωνο του µέτρου του ανύσµατος η της norm όπως καλείται στα µαθηµατικά και συνήθως συµβολίζεται ως Ψ. Αρα Ψ 2 = Ψ Ψ.
1.1 Συµβολισµός Dirac 3 σχέση (1.7) δίνει άµεσα ότι A = i λ i c i 2 (1.8) ενώ η κανονικοποίηση της Ψ σε συνδυασµό µε την σχέση Parseval δίνει ότι c i 2 = 1. (1.9) i Το ϕυσικό περιεχόµενο των συντελεστών c i είναι το ακόλουθο c i (t) 2 είναι η πιθανότητα εύρεσης τιµής λ i για το ϕυσικό µέγεθος A όταν το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση που περιγράφεται από το άνυσµα Ψ. Ισοδύναµα, οι συντελεστές c i είναι τα πλάτη πιθανότητας να ϐρεθεί τιµή λ i σε µιά µέτρηση του µεγέθους A. εν ϑα πρέπει να µας διαφεύγει ότι για την ερ- µηνεία αυτή η κατάσταση Ψ πρέπει να είναι κανονικοποιηµένη στην µονάδα. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι όλα τα ανωτέρω ισχύουν και στην περίπτωση που το ϕάσµα των ιδιοτιµών και ιδιοανυσµάτων καποιου τελεστή είναι συνεχές. Σε αυτήν την περίπτωση το άθροισµα του αναπτύγµατος (1.5) είναι ολοκλήρωση και στην σχέση ορθογωνιότητας (1.4) το σύµβολο δέλτα στο δεξί µέλος είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. Αν για παράδειγµα ο τελεστης ˆx αντιστοιχεί στο ϕυσικό µέγεθος ϑέση µπορεί να αποδειχθεί ( Ασκηση ) ότι το ϕάσµα των ιδιοτιµών και των αντίστοιχων ιδιοανυσµατων είναι συνεχές. Εχουµε δηλαδή ˆx x = x x όπου x είναι η ιδιοτιµή και x το αντίστοιχο ιδιοάνυσµα. Εφ όσον το ϕάσµα των ιδιοτιµών είναι συνεχές δεν υπάρχει κανείς περιορισµός και οι ιδιοτιµές x λαµβάνουν τιµές από έως +. Τα ιδιοανύσµατα x µπορούν να κανονικοποιηθούν στην µονάδα οπότε η σχέση ορθοκανονικότητας είναι x x = δ(x x ). (1.10) Το άνυσµα Ψ(t) που περιγράφει την ϕυσική κατάσταση του συστήµατος µπορεί εποµένως να αναπτυχθεί, σύµφωνα µε την (1.5), ως Ψ(t) = + c x (t) x dx (1.11) όπου c x (t) = x Ψ(t). (1.12) Ο συντελεστής c x (t) εξαρτάται και από τον χρόνο και από την ϑέση και σύµφωνα µε την ερµηνεία που δώσαµε πριν είναι το πλάτος πιθανότητας για το σύστηµα να ϐρεθεί στην ϑέση x την χρονική στιγµή t. Αρα δεν είναι τίποτα άλλο παρά η συνήθης κυµατική συνάρτηση Ψ(x, t). Εχουµε δηλαδή Ψ(x, t) = x Ψ(t).
4 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.2 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.2.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας µε την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger Η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger του µονοδιάστατου ταλαντωτή είναι 2 d 2 Ψ 2m dx 2 + mω2 2 x2 Ψ = E Ψ (1.13) Με αλλαγή της µεταβλητής x = λξ, όπου λ = ( /mω) 1/2 και ξ αδιάστατη, και συµβολίζοντας µε Φ(ξ) Ψ(λξ) αυτή γίνεται d2 Φ dξ 2 + ξ 2 Φ = ɛ Φ (1.14) όπου ɛ 2E/ ω. Για µεγάλα ξ η εξ. (1.14) έχει ως ασυµπτωτικές λύσεις Φ exp (±ξ 2 ). Οι λύσεις Ψ(x) οι οποίες αντιστοιχούν σε δέσµιες καταστάσεις µηδενίζονται για µεγάλα x, και εποµένως οι Φ(ξ) µηδενίζονται για µεγάλα ξ. Αρα η λύση µε την συµπεριφορά Φ exp ( ξ 2 ) είναι αυτή που αντιστοιχεί σε δέσµια κατάσταση. Με ϐάση αυτήν την παρατήρηση ορίζουµε την H(ξ) µέσω της σχέσης Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (1.14) έχουµε Φ(ξ) e ξ2 /2 H(ξ). (1.15) H + ( 2ξ)H + (ɛ 1)H = 0. (1.16) Το πλεονέκτηµα της (1.16) είναι ότι επιδέχεται λύσεις οι οποίες έχουν την µορφή αναπτύγµατος H(ξ) = ξ s (a 0 + a 1 ξ + a 2 ξ 2 + ) (1.17) Χρησιµοποιώντας την (1.17) στην εξίσωση (1.16) παίρνουµε s(s 1) = 0, a 1 s(s + 1) = 0 (1.18) 2(s + k) + 1 ɛ a k+2 = a k, k = 0, 1, 2,. (1.19) (s + k + 1)(s + k + 2) Από την (1.18) προκύπτει ότι s = 0 η s = 1. Με a 1 = 0 όλοι οι συντελεστές a 3,5,7, µε περιττό δείκτη µηδενίζονται, λόγω της (1.19), και εποµένως από τις δύο περιπτώσεις s = 0, 1 παίρνουµε δύο ανεξάρτητες λύσεις, µία άρτια και µία περιττή όταν ξ ξ. Οι λύσεις αυτές δίνονται από την
1.2 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 5 H(ξ) = ξ s (a 0 + a 2 ξ 2 + a 4 ξ 4 + ), s = 0, 1 (1.20) 2(s + 2n) + 1 ɛ a 2n+2 = a 2n, n = 0, 1, 2 (1.21) (s + 2n + 1)(s + 2n + 2) Για µεγάλες τιµές του ακεραιου n η σχέση ( 1.21) δίνει a 2n+2 a 2n /n ακριβώς όπως στους αντίστοιχους συντελεστές του αναπτύγµατος της εκθετικής συνάρτησης exp( ξ 2 ). Με ϐάση αυτό συµπεραίνει κανείς ότι για µεγάλα ξ η συνάρτηση H(ξ) συµπεριφέρεται ως H(ξ) exp( ξ 2 ) και αυτό είναι σε ασυνέπεια µε την απαίτηση Φ(ξ) ξ 0 όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση. Από το επιχείρηµα αυτό εξαιρούνται µόνον οι περιπτώσεις που η παράµετρος ɛ παίρνει τιµές ɛ = 2(s + 2n 0 ) + 1, (1.22) όπου n 0 είναι ϑετικός ακέραιος 0, 1, 2,. Σε αυτήν την περίπτωση η συνάρτηση H(ξ) είναι πολυώνυµο ϐαθµού 2n 0 + s, δεν αυξάνει εκθετικά όταν το ξ γίνεται µεγάλο και εποµένως Φ(ξ) ξ 0 όπως απαιτείται. Αρα µόνον για αυτές της τιµές του ɛ έχουµε αποδεκτές λύσεις στο ϕυσικό µας πρόβληµα. Για κάθε n 0 = 0, 1, 2, οι ϕυσικά αποδεκτές λυσεις, για τις δύο περιπτώσεις s = 0, 1, δίνονται παρακάτω. Στους πίνακες αυτούς εµφανίζεται η τιµή των s, n 0, η αντίστοιχη τιµή της παραµέτρου ɛ καθώς και η τιµή της ενέργειας E = ωɛ/2 όπως επίσης και η συνάρτηση H(ξ) η οποία προσδιορίζεται πλήρως µέσω της αναδροµικής σχέσης (1.19) εκτός µιάς πολλαπλασιαστικής σταθεράς c η οποία ϑα προσδιορισθεί από την κανονοκοποίηση της κυµατικής συνάρτησης. Οι τιµές της ενέργειας όπως ϕαίνεται από τους ακόλουθους πίνακες είναι E = ω(n + 1 2 ), όπου n = 0, 1, 2,. s = 0 n 0 ɛ ( Ε ) H(ξ) 0 1 ( ω/2 ) c 1 5 ( 5 ω/2 ) c (1 2ξ 2 ) 2 9 ( 9 ω/2 ) c (1 4ξ 2 + 4 3 ξ4 ) s = 1 n 0 ɛ ( Ε ) H(ξ) 0 3 ( 3 ω/2 ) c ξ 1 7 ( 7 ω/2 ) c (ξ 2 3 ξ3 ) 2 11 ( 11 ω/2 ) c (ξ 4 3 ξ3 + 4 15 ξ5 ) Στην µαθηµατική ϐιβλιογραφία οι συναρτήσεις H(ξ), µε κατάλληλη επιλογή µιας πολλαπλασιαστικής σταθεράς, είναι γνωστές και ως πολυώνυµα του Hermite.
6 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.3 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.3.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική δίνεται από τον τελεστή ˆL = ˆr ˆp Οι ˆr και ˆp ειναι οι τελεστές της ϑέσης και της ορµής αντίστοιχα ( το παχύ σύµβολο υποδηλώνει ότι είναι ανύσµατα). Είναι σύνηθες να χρησιµοποιείται ο συµβολισµός 1, 2, 3 αντί των x, y, z για τις συνιστώσες. Σε αυτον τον συµβολισµό ˆr = (ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 ), ˆp = (ˆp 1, ˆp 2, ˆp 3 ) Εποµένως οι συνιστώσες της τροχιακής στροφορµής οπως αυτή ορίσθηκε πιο πάνω είναι ˆL = (ˆL 1, ˆL2, ˆL3 ) µε τις ˆL 1, ˆL 2, ˆL 3 να δίνονται απο τις σχέσεις ˆL 1 = ˆx 2 ˆp 3 ˆx 3 ˆp 2, ˆL2 = ˆx 3 ˆp 1 ˆx 1 ˆp 3, ˆL3 = ˆx 1 ˆp 2 ˆx 2 ˆp 1. Ο τελεστής που δίνει το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής είναι L 2 = ˆL 2 1 + ˆL 2 2 + ˆL 2 3 Χρησιµοποιώντας τις γνωστές σχέσεις µετάθεσης για τους τελεστές ϑέσης και ορµής [ˆx i, ˆp j ] = i δ ij,, i, j = 1, 2, 3 µπορεί εύκολα να δείξει κανείς τις σχέσεις µετάθεσης και εξ αυτών ότι [ˆL 1, ˆL2 ] = i ˆL 3, [ˆL 2, ˆL3 ] = i ˆL 1, [ˆL 3, ˆL1 ] = i ˆL 2. [L 2, ˆL k ] = 0, k = 1, 2, 3 Αυτές οι σχεσεις µετάθεσης µεταξύ των συνιστωσών της στροφορµής ονοµάζεται Αλγεβρα της Στροφορµής.
1.3 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 7 Πρόταση: Αν τρείς αυτοσυζυγείς τελεστές Ĵ1, Ĵ 2, Ĵ 3 ικανοποιούν την Αλγεβρα της Στροφορµής [Ĵ1, Ĵ 2 ] = i Ĵ3, [Ĵ2, Ĵ 3 ] = i Ĵ1, [Ĵ3, Ĵ 1 ] = i Ĵ2 [J 2, Ĵ k ] = 0, k = 1, 2, 3 τότε αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα ακόλουθα : Οι ιδιοτιµές του τελεστή J 2 είναι 2 j (j + 1) 1 όπου ο j παίρνει ακέραιες η ηµιακέραιες τιµές j = 0, 2, 1, 3 2, 2,... εδοµένου του j οι ιδιοτιµές οποιασδήποτε συνιστώσας Ĵ1, Ĵ 2, Ĵ 3, είναι m όπου ο κβαντικός αριθµός m παίρνει τις 2 j + 1 τιµές m = j, j + 1, j + 2,...j 1, j Ο τελεστής J 2 µετατίθεται µε όλες τις συνιστώσες Ĵk αλλά οι συνιστώσες δεν µετατίθενται µεταξύ τους. Εποµένως µπορούµε να ϑεωρήσουµε τα κοινά ιδιοανύσµατα αυτού και µόνον µιάς εκ των συνιστωσών, που συνήθως επιλέγουµε να είναι η Ĵ3.Τα ιδιοανύσµατα αυτά χαρακτηρίζονται από του κβαντικούς αριθµούς j, m, µέσω των οποίων εκφράζονται οι αντίστοιχες ιδιοτιµές των όπως αυτές εδόθησαν παραπάνω, και συνήθως συµβολίζονται µε j, m >. Ως ιδιοανύσµατα των J 2 Ĵ 3 ικανοποιούν τις σχέσεις J 2 j, m > = 2 j(j + 1) j, m >, Ĵ 3 j, m > = m j, m > Τα ιδιοανύσµατα που ορίσθηκαν προηγουµένως µπορούµε, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας,να ϑεωρήσουµε ότι είναι κανονικοποιηµένα στην µονάδα. Αντί των τελεστών Ĵ1, Ĵ 2, Ĵ 3 µπορούµε να ϑεωρήσουµε τους Ĵ+, Ĵ, Ĵ 3 όπου οι Ĵ± είναι οι ακόλουθοι γραµµικοί συνδυασµοί των Ĵ1, Ĵ 2 Ĵ + = Ĵ1 + i Ĵ2, Ĵ = Ĵ1 i Ĵ2 Συναρτήσει αυτών των τελεστών η Αλγεβρα της Στροφορµής δίνεται από τις σχέσεις µετάθεσης [Ĵ+, Ĵ ] = 2 Ĵ3, [Ĵ+, Ĵ 3 ] = Ĵ+, [Ĵ, Ĵ 3 ] = + Ĵ
8 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Από αυτές µπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι ο τελεστής J 2 Ĵ2 1 + Ĵ2 2 + Ĵ2 3 εκφράζεται συναρτήσει των Ĵ±, Ĵ 3 ως ακολούθως J 2 = Ĵ+ Ĵ + Ĵ2 3 Ĵ3 η ισοδύναµα J 2 = Ĵ Ĵ+ + Ĵ2 3 + Ĵ3 Οι τελεστές Ĵ± ενεργώντας στα ιδιοανύσµατα j, m > δίνουν ιδιοανύσµατα του ίδιου j αλλά διαφορετικού m. Αποδεικνύεται ότι Ĵ ± j, m > = C ± j, m ± 1 > όπου οι σταθερές C ± για τις δύο περιπτώσεις ( +, η -) δίνονται από 4 C ± = [j (j + 1 ) m (m ± 1 )] 1/2 1.3.2 Τροχιακή Στροφορµή στην αναπαράσταση ϑέσης Τα γενικά συµπεράσµατα που εξετέθηκαν πιο πάνω για τους τελεστές Ĵ1,2,3 µπορουν να εφαρµοσθούν και για την περίπτωση της τροχιακής στροφορµής που τις συντεταγµένες της συνήθως συµβολίζουµε µε ˆL 1,2,3, αντί Ĵ 1,2,3, και τον κβαντικό αριθµό που δίνει την ολική στροφορµή µε l αντί για j. Θα πρέπει να σηµειωθεί όµως ότι στην περίπτωση της τροχιακής στροφορµής µόνον ακέραιες τιµές έιναι επιτρεπτές για τον κβαντικό αριθµό l όπως ϑα δούµε πιο κάτω. Στην αναπαράσταση ϑέσης οι συνιστώσες της τροχιακής στροφορµής σε σφαι- ϱικές συντεταγµένες δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις ˆL ± = e ±iφ ( ± θ + i cotθ φ ) ˆL 3 = i φ όπου κατ αντιστοιχία µε τους τελεστές Ĵ± ˆL ± ˆL 1 ± i ˆL 2. Ο τελεστής που δίνει το µέτρο της τροχιακής στροφορµής σε σφαιρικές συντεταγ- µένες εκφράζεται ως ακολούθως L 2 = 2 1 sin 2 θ [ sin θ θ ( sin θ θ ) + 2 φ 2 ] 4 Για την ακρίβεια µόνο το µέτρο των σταθερών προσδιορίζεται αλλά όχι η ϕάση. Η ϕάση αυτή, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, επιλέγουµε να είναι ίση µε την µοναδα. Αυτή η σύµβαση της επιλογής της ϕάσης ϕέρει το όνοµα των Condon Shortley", και υιοθετείται συνήθως στην διεθνή ϐιβλιογραφία.
1.3 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 9 Οι κοινές ιδιοσυναρτήσεις των L 2, ˆL3 που συµβολίζονται µε Y lm (θ, φ) και ικανοποιούν τις σχέσεις ιδιοσυναρτήσεων, ιδιοτιµών L 2 Y lm (θ, φ) = 2 l ( l + 1 ) Y lm (θ, φ) ˆL 3 Y lm (θ, φ) = m Y lm (θ, φ) Ο κβαντικός αριθµός l λαµβάνει µόνο ακέραιες τιµές 0, 1, 2,... εδοµένου του l ο κβαντικός αριθµός m παίρνει τις 2l + 1 τιµές l, l + 1, l + 2,...l 1, l οι οποίες είναι επίσης ακέραιες εφ όσον ο κβαντικός αριθµός l είναι ακέραιος. Οι συναρτήσεις Y lm (θ, φ) είναι γνωστές στην ϐιβλιογραφία µε το όνοµα Σφαι- ϱικές Αρµονικές. Η µαθηµατική τους µορφή δίνεται από τις εκφράσεις Y lm (θ, φ) = N lm P m l ( cosθ ) e i m φ, όπου οι συναρτήσεις P m l ( cos θ ) είναι γνωστές ως συσχετισµένα πολυώνυµα Legendre. Η αναλυτικές εκφράσεις αυτών και οι ιδιότητες τους µπορούν να ϐρε- ϑούν στην ϐιβλιογραφία και δεν ϑα µας απασχολήσουν περαιτέρω. Το µέτρο του παράγοντα N lm στον ορισµό των σφαιρικών αρµονικών προσδιορίζεται από την συνθήκη κανονικοποίησης Y lm (θ, φ)y l m (θ, φ) dω = δ ll δ mm. Στην ανωτέρω έκφραση dω = sin θ dθ dφ είναι στοιχείο της στερεάς γωνίας και η ολοκλήρωση εννοείται από 0, 2π για την γωνία φ και από 0, π για την θ. Η συνθήκη κανονικοποίησης οδηγεί 5 στην N lm = ( 1) m [ 2l + 1 4π Οι Y lm (θ, φ) ϑα πρέπει να έχουν την ιδιότητα 1/2 (l m)! (l + m)! ]. Y lm (θ, φ) = Y lm (θ, φ + 2 π) διότι τα σηµεία φ και φ + 2 π αναφέρονται στο ίδιο σηµείο του χώρου. Από αυτήν την απαίτηση, λόγω του εκθετικού παράγοντα e i m φ, ο κβαντικός αριθµός m περιορίζεται να λαµβάνει µόνον ακέραιες τιµές. Επόµένως και ο κβαντικός αριθµός l παίρνει επίσης ακέραιες τιµές λόγω ότι οι δυο αριθµοί συνδέονται µε την σχέση m = l, l + 1, l + 2,...l 1, l. Οι Σφαιρικές Αρµονικές γιά l = 0, 1 δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις Y 00 (θ, φ) = 1 4 π 3 Y 11 (θ, φ) = 8 π ei φ sinθ, Y 10 (θ, φ) = 3 3 4 π cosθ, Y 1 1 (θ, φ) = + 8 π e i φ sin θ 5 µε κατάλληλη επιλογή της ϕάσης η οποία δεν προσδιορίζεται και συνήθως επιλέγεται ίση µε ( 1) m.
10 1.4 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.4.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται σε δυναµικό V (r) είναι H = p2 2m + V (r). (1.23) όπου r, p τα ανύσµατα της ϑέσης και της ορµής του σωµατιδίου αντίστοιχα. Αν το δυναµικό είναι κεντρικό τότε εξαρτάται µόνο από το µέτρο r του ανύσµατος r και διευκολύνει την ανάλυση του προβλήµατος να γράψουµε την Χαµιλτωνιανή στην µορφή H = 1 2m ( p2 r + L2 ) + V (r). (1.24) r2 Στην (1.24) p r είναι η προβολή της ορµής στο άνυσµα ϑέσης p r p r r και L 2 είναι το τετράγωνο του µέτρου της τροχιακής στροφορµής. Ως αποτέλεσµα της σφαιρικής συµµετρίας του προβλήµατος, της κίνησης δηλαδή σε σφαιρικά συµµετρικό δυναµικό, οι αγκύλες Poisson κάθε συνιστώσας της τροχιακής στρο- ϕορµής και εποµένως και η αγκύλη Poisson του τετραγώνου του µέτρου αυτής µε την Χαµιλτωνιανή H µηδενίζονται, {L i, H} = 0, i = x, y, z {L 2, H} = 0. (1.25) Εποµένως για κίνηση σε δυναµικά µε σφαιρική συµµετρία η τροχιακή στροφορµή διατηρείται και η κλασική κίνηση πραγµατοποιείται σε επίπεδο κάθετο στο στα- ϑερό άνυσµα της τροχιακής στροφορµής. Για την περιγραφή της ϑέσης του κλασικού σωµατιδίου στο επίπεδο αυτό χρειάζονται η απόσταση r από το ελκτικό κέντρο και η αζιµουθιακή γωνία φ. Οι κανονικές ορµές που αντιστοιχούν σε αυτές τις µεταβλητές είναι p r, p φ. Η p φ είναι η προβολή της τροχιακής στροφορµής στον άξονα z, δηλαδή p φ = L z η οποία στην γεωµετρία του προβλήµατος είναι και η µοναδική συνιστώσα άρα L z = L. 1.4.2 Κβαντική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή του κβαντικού συστήµατος η αντίστοιχη της ( 1.23) είναι Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆr). (1.26) Στην αναπαράσταση ϑέσης ˆp = i, ˆr = r και ˆp 2 = 2 2. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ˆp 2 = ˆp 2 r + ˆL 2 r 2 (1.27)
1.4 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 11 οπότε η Χαµιλτωνιανή (1.26) για κίνηση σε σφαιρικά συµµετρικό δυναµικό γρά- ϕεται και ώς Ĥ = 1 2m ( ˆp2 r + ˆL 2 ) + V (r). (1.28) r2 Ο τελεστής ˆp r στις σχέσεις (1.27) και ( 1.28) ορίζεται ως ˆp r 1 2 ( ˆp ˆr r + ˆr ˆp ), (1.29) r είναι αυτοσυζυγής όπως προκύπτει από τον ορισµό του και είναι το αντίστοιχο του κλασικού µεγέθους p r p r r. Η Χαµιλτωνιανή (1.28) έχει εποµένως τεθεί σε µορφή που ϑυµίζει την αντίστοιχη κλασική έκφραση (1.24). Από τον ορισµό του ο τελεστής ˆp r όταν εφαρµοσθεί σε µιά κυµατική συνάρτηση Ψ δίνει ως αποτέλεσµα ˆp r Ψ = 1 2 ( ˆp (ˆr r Ψ) + ˆr (ˆpΨ) ). (1.30) r Στην αναπαράσταση ϑέσης και σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι εύκολο να δειχθεί ότι το δεξιό µέλος αυτής δίνει i ( Ψ r + 1 r Ψ). Εποµένως ο τελεστής ˆp r στην αναπαράσταση ϑέσης είναι ˆp r = i ( r + 1 r ). (1.31) Από αυτήν εύκολα προκύπτει ότι το τετράγωνο αυτού είναι 2 ( 2 οπότε η (1.28) γίνεται Ĥ = 1 ( 2 ( 2 2m r 2 + 2 r r ) + ˆL 2 r 2 ) r 2 + 2 r r ) + V (r). (1.32) Οι τελεστές ˆLi, i = x, y, z των συνιστωσών της τροχιακής στροφορµής, όπως ασφαλώς και ο ˆL 2, δεν εξαρτώνται από την µεταβλητή r ούτε και περιέχουν πα- ϱαγωγίσεις ως προς αυτήν, εποµένως οι µεταθέτες των τελεστών ˆL i, ˆL 2 µε την Χαµιλτωνιανή είναι µηδέν, [Ĥ, ˆLi ] = [Ĥ, ˆL 2 ] = 0. (1.33) Οι σχέσεις (1.33) εκφράζουν ότι η στροφορµή ως κβαντικό µέγεθος διατηρείται όταν το σύστηµα έχει πλήρη συµµετρία περιστροφής. Σε οποιαδήποτε ϕυσική κατάσταση οι µέσες τιµές της κάθε συνιστώσας όπως και του τετραγώνου του µέτρου της τροχιακής στροφορµής είναι χρονικά σταθερές.
12 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.4.3 Επίλυση της Εξίσωσης Schrödinger για κεντρικό δυνα- µικό Η Χαµιλτωνιανή (1.32), ο τελεστής ˆL 2 και οποιαδήποτε προβολή της τροχιακής στροφορµής, έστω η ˆL z, µετατίθενται µεταξύ τους. Εποµένως µπορούν να αναζητηθούν ιδιοκαταστάσεις των τριών αυτών τελεστών. Η χρονικά ανεξάρτητη κυµατική συνάρτηση Ψ Elm (r, θ, φ), που είναι ιδιοκατάσταση των τριών αυτών µεγεθών, ικανοποιεί την εξίσωση Ĥ Ψ Elm = E Ψ Elm, (1.34) εφ όσον είναι ιδιοσυνάρτηση της ενέργειας, ενώ συγχρόνως ως ιδιοσυνάρτηση των ˆL z, ˆL 2 ικανοποιεί τις εξισώσεις ˆL 2 Ψ Elm = 2 l(l + 1) Ψ Elm, ˆLz Ψ Elm = m Ψ Elm. (1.35) Από τις (1.35) προκύπτει άµεσα ότι η κυµατική συνάρτηση Ψ Elm (r, θ, φ) έχει την µορφή Ψ Elm (r, θ, φ) = R(r) Y lm (θ, φ), (1.36) όπου R(r) εξαρτάται µόνο από την µεταβλητή r. Από την (1.34), χρησιµοποιώντας την (1.36) και την µορφή της Χαµιλτωνιανής (1.32), προκύπτει η ακόλουθει εξίσωση για το ακτινικό µέρος R(r) της κυµατικής συνάρτησης, 2 2m ( R El + 2 r R El ) + ( 2 l(l + 1) 2mr 2 ) + V (r) R El = E R El. (1.37) Στην εξίσωση αυτή χρησιµοποιούµε τους δείκτες E, l για να υποδηλώσουµε το γεγονός ότι η µορφή του ακτινικού µέρους εξαρτάται από την ιδιοτιµή της ενέργειας E και από την τιµή του κβαντικού αριθµού l όπως ϕαίνεται από την εξίσωση (1.37). Το ενεργειακό ϕάσµα για κίνηση σε κεντρικά δυναµικά παρουσιάζει εκ- ϕυλισµό. Για κάθε τιµή της ενέργειας E και του κβαντικού αριθµού l υπάρχουν 2l + 1 ανεξάρτητες ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας που αντιστοιχούν στους κβαντικούς αριθµούς m = l, l + 1,..., l 1, l. Η συνάρτηση χ El, που ορίζεται µέσω της σχέσης R El χ El /r, ικανοποιεί την εξίσωση 2 2m χ El + U(r) χ El = E χ El, (1.38) στην οποία U(r) V (r) + 2 l(l+1) 2mr. Η συνάρτηση αυτή καλείται ενεργό 2 δυναµικό και είναι άθροισµα του πραγµατικού δυναµικού V (r) µέσα στο οποίο κινείται το σωµατίδιο και του όρου 2 l(l + 1)/2mr 2 που προέκυψε από την τροχιακή στροφορµή και ο οποίος καλείται ϕυγοκεντρικό δυναµικό. Να σηµειωθεί ότι η εξίσωση (1.38) µοιάζει µε ένα µονοδιάστατο πρόβληµα επίλυσης της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger όπου στην ϑέση της κυµατικής συνάρτησης
1.4 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 13 έχουµε την χ El και στην ϑέση του δυναµικού το ενεργό δυναµικό U(r). Το ϕυγοκεντρικό δυναµικό είναι πάντα ϑετικό, µηδενίζεται µόνο στην περίπτωση που l = 0, και εποµένως έχει την τάση να απωθεί το σωµατίδιο εµποδίζοντας το να πλησιάσει την αρχή του ελκτικού κέντρου r = 0. Η συνθήκη κανονικοποίησης της κυµατικής συνάρτησης Ψ Elm (r, θ, φ) είναι Ψ Elm (r, θ, φ) 2 r 2 drdω = 1, (1.39) όπου dω είναι το στοιχείο της στερεάς γωνίας sin θ dθ dφ. Η ολοκλήρωση στην (1.39) εκτείνεται από r = 0 έως r = και σε όλη την στερεά γωνία. Εποµένως οι µεταβλητές θ, φ διατρέχουν τα διαστήµατα θ = 0, π και φ = 0, 2π. Από την µορφή της κυµατικής συνάρτησης και από την κανονικοποίηση των σφαιρικών αρµονικών προκύπτει άµεσα ότι 0 R El (r) 2 r 2 dr = 1. (1.40) Το γινόµενο R El (r) 2 r 2 dr που ισούται µε χ El (r) 2 dr είναι η πιθανότητα να ϐρεθεί το σωµατίδιο µέσα σε ένα σφαιρικό ϕλοιό µε ακτίνες r και r + dr. Αυτή είναι και η ϕυσική σηµασία της συνάρτησης χ El (r). Αντιπροσωπεύει το πλάτος πιθανότητας να ϐρεθεί το σωµατίδιο µέσα σε σφαιρικό ϕλοιό µε ακτίνες r και r + dr. Η συνάρτηση χ El (r) ϐρίσκεται από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (1.38). Αν αναζητούµε δέσµιες καταστάσεις η κανονικοποίηση (1.40) επιβάλλει η συνάρτηση χ El (r) να τείνει στο µηδέν όταν r +, χ El ( ) = 0. (1.41) Είναι εύκολο επίσης να διαπιστώσει κανείς, από το γεγονός ότι ο τελεστής ˆp r είναι αυτοσυζυγής, ότι η συνάρτηση χ El (r) µηδενίζεται για r = 0, χ El (0) = 0. (1.42) Αυτές οι συνοριακές συνθήκες συνοδεύουν το πρόβληµα εύρεσης κανονικοποιήσιµων κυµατικών καταστάσεων που είναι λύσεις καθορισµένης ενέργειας και καθορισµένης τροχιακής στροφορµής. Να σηµειωθεί ότι λόγω του εκφυλισµού οι καταστάσεις συγκεκριµµένης ενέργειας είναι εν γένει γραµµικοί συνδυασµοί των Ψ Elm Ψ E = l m= l c m Ψ Elm, (1.43) άρα δεν χαρακτηρίζονται εν γένει από συγκεκριµµένη τιµή του κβαντικού αριθµού m.
14 1.5 Ατοµο του Υδρογόνου Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.5.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z και µάζας M N, και ηλεκτρόνιο το οποίον κινείται υπό την επίδραση του δυναµικού Coulomb του πυρήνα. Επειδή το δυναµικό είναι συνάρτηση της σχετικής ϑέσης των δύο σωµάτων, η κίνηση του συστήµατος ανάγεται στην ελεύθερη κίνηση της ολικής µάζας του συστήµατος, που ϑεωρείται ότι είναι τοποθετηµένη στο κέντρο µάζας, και της κίνησης της ανηγµένης µάζας του συστήµατος µ, που ορίζεται ως µ 1 = M 1 N +m 1 e, η οποία επιδέχεται την επίδραση του δυναµικού. Ως εκ τούτου η ιδιοσυνάρτηση της ενέργειας του συστήµατος γράφεται ως γινόµενο της κυµατικής συνάρτησης Φ( R) η οποία περιγράφει την ελέυθερη κίνηση της ολικής µάζας και η οποία είναι συνάρτηση του κέντρου µάζας R, και της κυµατικής συνάρτησης ψ( r) που περιγράφει την κίνηση της ανηγµένης µάζας η οποία είναι συνάρτηση της σχετικής ϑέσης r ( ανυσµα µε κατέυθυνση από το κέντρο του πυρήνα στο ηλεκτρόνιο ). Η ψ( r) ικανοποιεί την εξίσωση Schrödinger 2 2µ 2 ψ( r) Ze2 ψ( r) = E ψ( r). (1.44) r Στην εξίσωση αυτή E είναι η ενέργεια που οφείλεται στην αλληλεπίδραση πυρήνα ηλεκτρονίου. Στην περίπτωση που το ηλεκτρόνιο δεσµεύεται από τον πυρήνα, και εποµένως σχηµατίζεται ένα Υδρογονοειδές άτοµο, η κυµατική συνάρτηση ψ( r) µηδενίζεται όταν το µέτρο του r τείνει στο άπειρο, r +. Το ακτινικό µέρος αυτής ικανοποιεί την εξίσωση 2 2µ ( R El + 2 r R El ) + Το ενεργό δυναµικό του προβλήµατος είναι Αυτό µηδενίζεται για ( 2 ) l(l + 1) 2 µ r 2 Ze2 R El = E R El. (1.45) r U(r) = 2 l(l + 1) 2 µ r 2 Ze2 r. (1.46) r 0 = 2 l(l + 1) µ e 2 2 Z. (1.47) Για r < r 0 υπερισχύει ο ϕυγοκεντρικός όρος και το δυναµικό είναι απωστικό, εµποδίζοντας το ηλεκτρόνιο να προσεγγίσει τον πυρήνα, ενώ για r > r 0 κυριαρχεί ο όρος Coulomb και εποµένως το δυναµικό είναι ελκτικό. Επειδή η ανηγµένη µάζα είναι περίπου ίση µε την µάζα του ηλεκτρονίου ο παράγοντας 2 µ e που 2 εµφανίζεται στην εξίσωση (1.47 ) έχει τιµή πολύ κοντά στην ποσότητα a B = 2 m e e 2 η οποία ονοµάζεται ακτίνα του Bohr. Η ακτίνα του Bohr προσδιορίζει την κλίµακα
1.5 Ατοµο του Υδρογόνου 15 µεγέθους των ατοµικών συστηµάτων και η τιµή της είναι περίπου 0.53 10 8 cm. Η συνάρτηση χ El, που ορίζεται µέσω της σχέσης R El χ El /r, ικανοποιεί την εξίσωση 2 2µ χ El + U(r) χ El = E χ El. (1.48) Για την εύρεση των δέσµιων ενεργειών του προβλήµατος παρατηρούµε ότι το ενεργό δυναµικό έχει αρνητικό ελάχιστο ενώ µηδενίζεται όταν r +. Εποµένως οι δέσµιες ενέργειες ϑα είναι αρνητικές, E < 0. Οι εξισώσεις (1.45, 1.48) λαµβάνουν µια σχετικά απλούστερη µορφή αν ορίσουµε την αδιάστατη µεταβλητή ρ = k r. (1.49) όπου η σταθερά k, που έχει µονάδες αντιστρόφου µήκους, ορίζεται ως k = ( ) 1/2 8 µ E. (1.50) 2 Συγκεκριµµένα αυτές γίνονται R + 2 ( l(l + 1) ρ R + ρ 2 + λ ρ 1 ) R = 0 (1.51) 4 ( χ l(l + 1) + ρ 2 + λ ρ 1 ) χ = 0. (1.52) 4 Στις ανωτέρω εκφράσεις οι συναρτήσεις R, χ είναι οι R El και χ El αντίστοιχα όπου η µεταβλητή r έχει τεθεί ίση µε την ρ/k. Είναι δηλαδή R(ρ) R El (ρ/k), ενω το ίδιο ισχύει και για την χ. Οι τόνοι υποδηλώνουν παραγωγίσεις ως προς την µεταβλητή ρ, ενώ η σταθερά λ ορίζεται ως ( ) µ c 2 1/2 λ Z α. (1.53) 2 E Η σταθερά α στην (1.53) είναι η λεγόµενη σταθερά της λεπτής υφής, α e 2 /(hc), της οποίας η τιµή είναι πολύ κοντά στον λόγο 1/137, 059. Από την (1.53) µπορούµε να έχουµε την ενέργεια ως συνάρτηση της παραµέτρου λ E = Z2 α 2 µ c 2 λ 2 2 = 13, 6 Z2 λ 2 ev. (1.54) Η επίλυση της (1.51) προσδιορίζει τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες έχου- µε δέσµιες ενέργειες και εποµένως µέσω της (1.54) και τις αντίστοιχες τιµές της ενέργειας. Θα δειχθεί ότι οι επιτρεπτές τιµές της παραµέτρου λ είναι ϑετικοί ακέραιοι αριθµοί.
16 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.5.2 Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger Για την επίλυση της (1.51), η ισοδύναµα της (1.52), ϑα αναζητήσουµε πρώτα την συµπεριφορά του ακτινικού µέρους για µικρές και για µεγάλες τιµές της ρ. Για µικρές τιµές της ρ ο ϕυγοκεντρικός όρος l(l + 1)/ρ 2 κυριαρχεί έναντι των λ/ρ, 1/4 στην εξίσωση (1.52) οι οποίοι µπορούν να παραλειφθούν. Οι ανεξάρτητες λύσεις της (1.52) στην περιοχή των µικρών ρ είναι χ(ρ) = ρ l+1, ρ l. Εξ αυτών µόνον η πρώτη είναι συµβατή µε την απαίτηση του µηδενισµού της χ(r) για r = 0 οπως πρέπει να ισχύει σε προβλήµατα κίνησης σε κεντρικά δυναµικά. Στην περίπτωση που ϐρισκόµαστε στην περιοχή όπου οι τιµές του ρ είναι µεγάλες ο όρος 1/4 κυριαρχεί έναντι των άλλων δύο στην εξίσωση (1.52) οι οποίοι µπορούν να παραλειφθούν. Οι λύσεις σε αυτήν την περιοχή είναι χ(ρ) = exp (±ρ/2) εκ των οποίων µόνον αυτή µε τον αρνητικό εκθέτη µηδενίζεται για r + όπως απαιτείται για δέσµια κατάσταση. Συνοψίζοντας χ(ρ) ρ l+1, ρ << 1 χ(ρ) exp ( ρ/2), ρ >> 1. Αυτή η συµπεριφορά υποδεικνύει να γράψουµε την χ ως χ = ρ l+1 exp ( ρ/2) H(ρ) η ισοδύναµα την R ως R = ρ l exp ( ρ/2) H(ρ). Η συνάρτηση H(ρ) ϑα πρέπει να τείνει σε µία µη µηδενική σταθερά όταν ρ = 0, έτσι ώστε η χ να συµπεριφέρεται ως ρ l+1 για µικρές τιµές του ρ, ενώ για µεγάλες τιµές του ρ ϑα πρέπει να συµπεριφέρεται µε τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλίζεται ο µηδενισµός της χ για ρ +. Θέτωντας στην (1.51) αυτήν την µορφή για την R προκύπτει η ακόλουθος διαφορική εξίσωση για την συνάρτηση H H + ( 2 (l + 1) ρ ) 1 H + λ l 1 ρ η οποία επιλύεται εύκολα αν η H αναπτυχθεί σε δυναµοσειρά H = 0, (1.55) H(ρ) = k=0 α k ρ k. (1.56) Ο συντελεστής α 0 ϑα πρέπει να είναι µη µηδενικός σύµφωνα µε τα όσα εξετέθησαν παραπάνω για την συµπεριφορά της H για ρ = 0. Από την (1.55) προσδιορίζεται η ακόλουθη σχέση µεταξύ των συντελεστών α k+1 = α k k + 1 + l λ (k + 1) (k + 2 + 2 l). (1.57) Για µεγάλους ακεραίους k η αναδροµική αυτή σχέση γίνεται α k+1 = α k 1 k, (1.58)
1.5 Ατοµο του Υδρογόνου 17 όπως ακριβώς συµβαίνει στους αντίστοιχους συντελεστές του εκθετικού αναπτύγ- µατος e ρ. Απο αυτό συµπεραίνεται ότι η συνάρτηση H συµπεριφέρεται ως H e ρ για µεγάλα ρ. Αυτή η συµπεριφορά δεν είναι αποδεκτή για την πε- ϱίπτωση των δεσµίων καταστάσεων για τις οποίες ϑα πρέπει να εξασφαλίζεται ότι χ( ) = 0. Πράγµατι από την σχέση χ = ρ l+1 e ρ/2 H(ρ) προκύπτει ότι η συνάρτηση χ απειρίζεται για ρ = + διότι για µεγάλα ρ συµπεριφέρεται ως χ = ρ l+1 e ρ/2. Αν αυτό συνέβαινε για οποιαδήποτε τιµή της παραµέτρου λ τότε ϑα οδηγούµεθα στο περίεργο συµπέρασµα ότι δεν υπάρχουν δέσµιες καταστάσεις για Υδρογονοειδή άτοµα! Παρατηρούµε όµως ότι το επιχείρηµα το οποίο αναπτύχθηκε ϐάσει του οποίου η συνάρτηση H έχει την εκθετική συµπεριφορά H e ρ παύει να ισχύει στην περίπτωση όπου η παράµετρος λ είναι ακέραιος ϑετικός λ = n. Σε αυτήν την περίπτωση ο αριθµητής στην αναδροµική σχέση (1.57) µηδενίζεται όταν k = n r όπου n r n l 1 και εποµένως και όλοι οι συντελεστές α k µε k n r + 1. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση H είναι ένα πολυώνυµο ϐαθµού n r και εποµένως ο µηδενισµός της συνάρτησης χ για ρ = + εξασφαλίζεται. Εποµένως συµπεραίνουµε ότι µόνο για λ = n, µε n = 1, 2, 3,..., έχουµε δέσµιες καταστάσεις οι οποίες, λόγω της (1.54), χαρακτηρίζονται από ενέργεια E n = Z2 α 2 µ c 2 n 2 2, n = 1, 2, 3,... (1.59) Ο κβαντικός αριθµός n που χαρακτηρίζει το ενεργειακό ϕάσµα (1.59) ονοµάζεται κύριος κβαντικός αριθµός, ενώ ο ακέραιος n = n r + l + 1 που χαρακτηρίζει τον ϐαθµό του πολυωνύµου H ονοµάζεται ακτινικός κβαντικός αριθµός. Να παρατηρηθεί ότι για δεδοµένη ενέργεια E n ο κβαντικός αριθµός της τροχιακής στροφορµής l µπορεί να λάβει τιµές l = 0, 1, 2,...n 1 ενώ συγχρόνως ο ακτινικός κβαντικός αριθµός παίρνει τιµές n r = n 1, n 2,...0. Αρα σε κάθε ενέργεια E n, εκτός της ϑεµελιώδους, έχουµε κατάστασεις διαφορετικής ολικής τροχιακής στροφορµής. Επειδή σε κάθε τιµή του l αντιστοιχουν 2 l + 1 τιµές του µαγνητικού κβαντικού αριθµού που χαρακτηριζει την τρίτη συνιστώσα της τροχιακής στροφορµής, m = l, l 1,...l 1, l, οι διαφορετικές καταστάσεις ίδιας ενέργειας είναι συνολικά n 2 τον αριθµό. Αρα ο ϐαθµός του εκφυλισµού που απαντάται σε κάθε ενεργειακή στάθµη που χαρακτηρίζεται από κύριο κβαντικό αριθµό n των ατόµων των Υδρογονοειδών είναι n 2 6. Για παράδειγµα για την ϐασική ενεργειακή στάθµη που χαρακτηρίζεται από n = 1 εχουµε, λόγω της 6 Παρατηρούµε ότι για τα δυναµικά τύπου Coulomb εµφανίζεται ένας αυξηµένος ϐαθµός εκφυλισµού που δεν συναντάται σε άλλα δυναµικά µε σφαιρική συµµετρία. Το ότι σε δεδοµένη ενεργειακή στάθµη υπάρχουν καταστάσεις µε διαφορετική τιµή της ολικής τροχιακής στροφορµής l είναι χα- ϱακτηριστικό των δυναµικών Coulomb και εκφράζει το γεγονός ότι τα δυναµικά Coulomb έχουν έναν µεγαλύτερο ϐαθµό συµµετρίας από άλλα κεντρικά δυναµικά τα οποία έχουν µόνον την σφαιρική συµµετρία. Αυτό µπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό από την Κλασσική Μηχανική όπου για ένα σφαι- ϱικά συµµετρικό δυναµικό που δεν είναι του τύπου Coulomb έχουµε λόγω της σφαιρικής συµµετρίας διατήρηση του ανύσµατος της ολικής τροχιακής στροφορµής L ενώ για δυναµικό Coulomb, π.χ. στο πρόβληµα του Kepler, έχουµε επί πλέον την διατήρηση σε διεύθυνση και σε µέτρο του µεγάλου ηµιάξονα της κλασσικής έλλειπτικής τροχιάς. Αρα εκτός της τροχιακής στροφορµής υπάρχει και άλλο
18 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ σχέσης n = n r +l+1, (l, n r ) = (0, 0) και δεν υπάρχει εκφυλισµός. Για n = 2 όµως έχουµε (l, n r ) = (0, 1) και (l, n r ) = (1, 0). Για l = 0 εχουµε µία κατάσταση µε m = 0 ενώ για l = 1 έχουµε τρείς καταστάσεις m = 1, 0, +1. Εποµένως υπάρχουν τέσσερεις συνολικά καταστάσεις για την πρώτη διεγερµένη ενεργειακή στάθµη που αντιστοιχεί σε τιµή του κύριου κβαντικού αριθµού n = 2. 1.5.3 Οι Κυµατικές Συναρτήσεις των Υδρογονοειδών Ο αναλυτικός τρόπος εύρεσης του ακτινικού µέρους της κυµατικής συνάρτησης των Υδρογονοειδών ατόµων αναπτύχθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Αν πολλαπλασιασθεί το ακτινικό µέρος µε την κατάλληλη σφαιρική αρµονική ϑα έχουµε την πλήρη έκφραση της κυµατικής συνάρτησης καθορισµένης ενέργειας και τροχιακής στροφορµής. Οι κανονικοποιηµένες στην µονάδα κυµατικές συναρτήσεις, όπως συνήθως δίνονται στην ϐιβλιογραφία, έχουν τις ακόλουθες εκφράσεις, ψ nlm (r, θ, φ) = N lm ( Z a 0 ) 3/2 [ ρ l e ρ 2 L 2l+1 n l 1 (ρ) ] Y lm(θ, φ) ρ = 2 Z a o r n N lm = 2 n 2 [ (n l 1)! ((n + l)!) 3, ( a 0 2 µ e 2 ) ] 1/2 Η συνάρτηση L 2l+1 n l 1 δεν είναι άλλη από το πολυώνυµο H, µε κατάλληλη επιλογή του απροσδιόριστου συντελεστή α 0, που συζητήσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο και το οποίο ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση (1.55) για λ = n. Τα πολυώνυµα αυτά είναι γνωστά στην ϐιβλιογραφία, όπου µπορούν να αναζητηθούν οι µαθηµατικές τους εκφράσεις και οι ιδιότητες των, ως πολυώνυµα Laguerre. Αυτά χαρακτηρίζονται από δύο δείκτες L p k, µε τον κάτω δείκτη να υποδηλώνει τον ϐαθµό του πολυωνύµου αυτού, και ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση ( ) L p p + 1 k + 1 L p k + k ρ ρ Lp k = 0 ανυσµατικό µέγεθος που διατηρείται και αυτή η διατήρηση εκφράζει έναν µεγαλύτερο ϐαθµό συµ- µετρίας. Το διατηρήσιµο αυτό µέγεθος είναι το λεγόµενο άνυσµα Runge Lenz το οποίο για ένα δυναµικό V (r) = g/r δίνεται από την έκφραση M = v L + g r r
1.5 Ατοµο του Υδρογόνου 19 Ο κβαντικός αριθµός της τροχιακής στροφορµής συνήθως αναγράφεται µε τον λεγόµενο ϕασµατοσκοπικό συµβολισµό l = s, p, d, f... αντί του l = 0, 1, 2, 3,... Ετσι η κατάσταση µε n = 1, l = 0 αναφέρεται ως 1s οι n = 2, l = 1 και n = 2, l = 0 καταστάσεις ως 2p και 2s αντίστοιχα κ.ο.κ. Για το άτοµο του Υδρογόνου ( Z = 1 ) για παράδειγµα η ϑεµελιώδης κατάσταση 1s δίνεται από την ακόλουθη έκφραση, ψ 100 = (π a o 3 ) 1/2 e r/ao Στην πρώτη διεγερµένη στάθµη έχουµε τις καταστάσεις 2s, 2p. Για την 2s, έχουµε µόνο µία κατάσταση µε τιµή του µαγνητικού κβαντικού αριθµού m = 0 ψ 200 = (32 π a o 3 ) 1/2 (2 r a o ) e r/2ao. Για την 2p υπάρχουν τρείς καταστάσεις µε m = 0 ± 1 που δίνονται από τις ακόλουθες εκφράσεις, ψ 210 = (32 π a o 3 ) 1/2 ( r a o ) e r/2ao cosθ ψ 21,±1 = (64 π a o 3 ) 1/2 ( r a o ) e r/2ao sin θ e ±i φ. Για τις s, καταστάσεις, δηλαδή αυτές µε l = 0, δεν υπάρχει γωνιακή εξάρτηση. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου σε κάποια απόσταση από το κέντρο έλξης να είναι ανεξάρτητη της κατεύθυνσης. Για µη µηδενικές τιµές του l υπάρχει γωνιακή εξάρτηση όπως για παράδειγµα ϕαίνεται στίς κυµατικές συναρτήσεις 2p.
20 1.6 Στοιχεία Θεωρίας ιαταραχών Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.6.1 Κατάστρωση του προβλήµατος ίνεται η Χαµιλτωνιανή Ĥ0 της οποίας οι ιδιοτιµές E n (0) ψ n (0) ϑεωρούνται γνωστά και τα ιδιοανύσµατα Ĥ 0 ψ (0) n = E (0) n ψ (0) n. (1.60) Ποιό είναι το ϕάσµα ιδιοτιµών και ιδιοανυσµάτων της ενέργειας για την Χαµιλτωνιανή Ĥ = Ĥ0 + g ˆV αν η αδιάστατη παράµετρος g είναι αρκετά µικρή ἐτσι ώστε η g ˆV να ϑεωρηθεί µικρή διαταραχή του αρχικού συστήµατος ; Για το υπόλοιπο της συζήτησης ϑεωρούµε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ένέργειας ψ n (0) είναι κανονικοποιηµένες στην µονάδα. Αυτό δεν ϐλάπτει την γενικότητα και διευκολύνει την ανάλυση. Για την Χαµιλτωνιανή Ĥ το πρόβληµα ιδιοτιµών δίνεται από την εξίσωση Σε πρώτη τάξη στην σταθερά g γράφουµε Ĥ ψ n = E n ψ n (1.61) E n = E n (0) + g ɛ n ψ n = ψ n (0) + g φ n Από την (2) αγνοώντας τους όρους δεύτερης τάξης στην σταθερά g και χρησιµοποιώντας την σχέση (1) παίρνουµε ˆV ψ (0) n + Ĥ0 φ n = ɛ n ψ (0) n + E (0) n φ n (1.62) Παίρνοντας το εσωτερικό γινόµενο µε την κατάσταση ψ (0) n λαµβανουµε Αρα η πρώτης τάξης προσέγγιση στην ενέργεια είναι ɛ n = ψ (0) n ˆV ψ (0) n (1.63) E n = E (0) n + g ψ (0) n ˆV ψ (0) n Ανώτερης τάξης διορθώσεις λαµβάνονται αν η ενέργεια και η κατάσταση αναπτυχ- ϑούν σε σειρά ως προς την σταθερά g που περιέχει δυνάµεις ανώτερες της πρώτης. Για να προσδιορίσουµε σε πρώτη τάξη την διόρθωση φ n στις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις αναπτύσουµε το φ n ως προς τα ιδιοανύσµατα ψ n (0) τα οποία αποτελούν µία πλήρη ϐάση, φ n = n c nm ψ (0) m.
1.6 Στοιχεία Θεωρίας ιαταραχών 21 Αντικαθιστώντας στην (1.62) και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι οι ψ (0) n είναι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτωνιανής Ĥ0 παίρνει κανείς ˆV ψ (0) n + m c nm E m (0) ψ(0) m = ɛ n ψ n (0) + E(0) n m c nm ψ (0) m. (1.64) Παίρνοντας το εσωτερικό γινόµενο και των δύο µελών αυτής µε οιοδήποτε άνυσµα ψ (0) k έχουµε για κάθε k τις ακόλουθες σχέσεις ψ (0) k ˆV ψ (0) n + c nk E (0) k = δ nk ɛ n + c nk E (0) n. (1.65) Για k = n η σχέση αυτή, λόγω της (1.63), ικανοποιείται αυτοµάτως και δεν δίνει καµµία πληροφορία για την σταθερά c nn. Οι υπόλοιποι όµως συντελεστές προσδιορίζονται όταν k n. Για την ακρίβεια σε αυτήν την περίπτωση η εξ. (1.65) δίνει όπως εύκολα διαπιστώνει κανείς 7 c nk = ψ(0) k ˆV ψ n (0) E n (0) E (0) k, k n. (1.66) Το γεγονος ότι δεν προσδιορίσθηκε ο συντελεστής c nn δεν είναι πρόβληµα. Για την ακρίβεια σε πρώτη τάξη στην σταθερά Ϲεύξης g η κατάσταση ψ n γράφεται ως ψ n = N ( ψ n (0) + g c nm ψ m (0) ), m n όπου ο απροσδιόριστος συντελεστής c nn έχει ενσωµατωθεί σε µία σταθερά κανονικοποίησης N = 1 + g c nn. Με άλλα λόγια προσδιορίσαµε πλήρως και την ιδιοκατάσταση της ενέργειας σε πρώτη τάξη εκτός από µια σταθερά κανονικοποίησης που προσδιορίζεται κατά µέτρο από την συνθήκη κανονικοποίησης ψ n ψ n = 1. 7 Υποθέτουµε ότι δεν υπάρχει εκφυλισµός στο ενεργειακό ϕάσµα του συστήµατος. Σε περίπτωση εκφυλισµού κάποιων ενεργειακών επιπέδων ϑα πρέπει να χρησιµοποιήσει κανείς κατάλληλη ϐάση ανυσµάτων για τις ενέργειες αυτές έτσι ώστε η σχέση (1.65) να ικανοποιείται και να µην οδηγεί σε ασυνέπεια. Για το ϑέµα αυτό παραπέµπουµε στην σχετική ϐιβλιογραφία. Ενα πραγµατικό υπόδειγµα οπου απαντάται η περίπτωση αυτή είναι εφαρµογή εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου σε άτοµο Υδρογονοειδούς γνωστό και ώς ϕαινόµενο Stark.