Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι οι σταθερές των ελατηρίων ε 1 και ε αντιστοίχως να βρείτε την θέση ισορροπίας του σώµατος, ii) Να βρείτε την εξίσωση της κίνησής του σώµατος. όταν αφεθεί ελεύ θερο να ταλαντωθεί, λαµβάνοντας ως θετική φορά την φορά της απο µάκρυνσής του την στιγµή t= που αφήνεται ελεύθερο. iii) Eάν κάποια στιγµή που το σώµα διέρχεται από την θέση ισορρο πίας του σφήνώνεται κατακόρυφα σ αυτό βλήµα µάζας Μ µε ταχύ τητα µέτρου v, να βρεθεί η απώλεια κινητικής ενέργειας λόγω της πλαστικής κρούσεως. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι στην θέση ισορροπίας Ο του σώµατος τα ελα τήρια ε 1, ε είναι αντίστοιχα τεντωµένα κατά x 1 και x από την φυσική τους κατάσταση (σχ. 1) Στην θεση αυτή το βάρος m g του σώµατος εξουδε τερώνεται από την αντίδραση N του λείου οριζόντιου εδάφους οι δε δυνά µεις F 1,, F, που δέχεται το σώµα από τα τεντωµένα ελατήρια είναι αντί θετες, δηλαδή ισχύει η σχέση: F 1, = F, kx 1 = kx x 1 = x (1) Σχήµα 1 Eάν L 1, L είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:
AB = L 1 + L + x 1 + x " AB = L 1 + L + + $ x 1 + x = () Aπό τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι: x = / 3 < και x 1 = 4 / 3 > που σηµαίνει ότι η αρχική θέση στην οποία συγκρατείται το σώµα βρίσκε ται αριστερά της θέσεως ισορροπίας του Ο σε απόσταση X για την οποία ισχύει: X = x 1 - = 4 / 3 - = / 3 (3) ii) Eξετάζουµε το σώµα κατά µια τυχαία στιγµή t που η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του είναι x (σχ. ) δεχόµενοι, χωρίς αυτό να βλάπτει την γενικότητα, ότι τα δύο ελατήρια εξακολουθούν να είναι τεντωµένα. Παρατηρούµε ότι την στιγµή αυτή οι δυνάµεις F 1, F επί του Σχήµα σώµατος από τα ελατήρια ε 1, ε αντίστοιχα έχουν συνισταµένη, της οποί ας η αλγεβρική τιµή ικανοποιεί την σχέση: F(x) = F 1 - F = F 1, - kx - (F, + kx) F(x) = F 1, - F, - 3kx = -3kx (4) H (4) εγγυάται ότι το σώµα εκτελεί α.α.τ. µε κέντρο ταλάντωσης την θέ ση ισορροπίας του Ο και µε σταθερά ταλάντωσης 3k. Επειδή την χρονική στιγµή t= η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης του σώµατος είναι Χ και η ταχύτητά του µηδενική, η εξίσωση κίνησής του έχει την µορφή: x = X µ $ 3k m t + " & (3) ( ' x = 3 "$ 3k ' & m t ( * (5) ) iii) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί η πλαστική κρού ση του βλήµατος µε το σώµα, το σύστηµα κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι µηχανικά µονωµένο (δέχεται µηδενική συνισταµένη δύναµη κατά
την διεύθυνση αυτή) που σηµαίνει ότι η ορµή του κατά τον χρόνο Δt και κατά την οριζόντια διεύθυνση δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv max + = (m + M)v' max v' max = mv max /m + M (6) όπου v max η ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν την κρούση και v ' max η τα χύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Eάν ΔΚ είναι η µείωση της κινητικής ενέργειας του σύστήµατος σώµα-βλήµα κατά τον χρόνο Δt, θα ισχύει: K = mv max + Mv - (M + m)v' max (6) K = mv max + Mv - (M + m)m v max (M + m) K = mv max + Mv - m v max (M + m) K = (m + Mm)v max (M + m) + Mv - m v max (M + m) K = Mmv max (M + m) + Mv Όµως για το µέτρο της v max ισχύει: (7) v max = X 3k m = 3 3k m οπότε η (7) γράφεται: K = Mm (M + m) $ " 3 & 3k ( ' m + Mv K = Mk" 6(M + m) + Mv = M k" 3(M + m) + v & ( $ ' Παρατήρηση: Tο συσσωµάτωµα εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά ταλάντωσης 3k, µε κέντρο τα λάντωσης το Ο και πλάτος µικρότερο από α /3. P.M. fysikos
Tα σώµατα του σχήµατος (3) έχουν την ίδια µάζα m και ισορροπούν πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ, συγκρατούµενα απο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, του οποίου ο άξονας είναι παράλ ληλος προς το κεκλιµένο επίπεδο. Eκτρέπουµε τα δύο σώµατα από την θέση ισορροπίας τους προς τα κάτω, ώστε το ελατήριο να συµπι εσθεί ακόµη κατά το διπλάσιο της στατικής συµπίεσης που υφίστα ται από τα δύο σώµατα και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. i) Nα βρείτε την θέση στην οποία αποχωρίζονται τα δύο σώµατα και την αντίστοιχη ταχύτητά τους. ii) Nα βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος που παραµένει συν δεδεµένο µε το ελατήριο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εάν Ο είναι η θέση ισορροπίας του συστήµατος των δύο σωµά των, τότε στην θέση αυτή η παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνι στώσα w x του βάρους w του συστήµατος, εξουδετερώνει την δύναµη F " που δέχεται το σύστηµα από το συµπιεσµένο ελατήριο, δηλαδή ισχύει: w x = F " mgµ" = kx x = mg"µ / k (1) όπου x σ η στατική συσπείρωση του ελατηρίου από την φυσική του κατά σταση. Εξάλλου αν Α είναι η θέση όπου τα δύο σώµατα χάνουν την επα φή τους, τότε στην θέση αυτή το πάνω σώµα επιταχύνεται µόνο από την Σχήµα 3 παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα του βάρους του w /, δηλαδή στην θέση Α τα δύο σώµατα έχουν την ίδια επιτάχυνση µε µέτρο gηµφ. Όµως µέχρι την στιγµή του αποχωρισµού τους τα δύο σώµατα εκτελούν α.α.τ. µε σταθερά ταλάντωσης k και πλάτος x σ, οπότε µπορού µε να γράψουµε την σχέση:
gµ" = x * gµ" = (k/m)x * (1) x * = mgµ" / k x * = x () όπου ω η γωνιακή συχνότητα της α.α.τ. και x * η αποµάκρυνση των δύο σωµάτων από την θέση ισορροπίας τους Ο την στιγµή που χάνουν την επαφή τους. Εάν v * είναι η κοινή ταχύτητα των δύο σωµάτων στην θέση Α θα ισχύει η σχέση: v * = (x " ) - x * () (1) v * = (x " ) - x " = x " 3 v * = k mgµ" m k 3 = gµ" 6m k (3) ii) Μετά τον αποχωρισµό των δύο σωµάτων το κάτω σώµα που είναι συνδεδεµένο µε το ελατήριο συνεχίζει να εκτελεί α.α.τ. µε σταθερά ταλάν τωσης k και κέντρο ταλάντωσης Ο που βρίσκεται υψηλότερα του Ο κατά mgηµφ/k. Όµως από την σχέση () προκύπτει ότι στην θέση Α το ελατή ριο έχει το φυσικό του µήκος, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη αποµάκρυν ση x ' * του κάτω σώµατος από την νέα θέση ισορροπίας του Ο έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: x' * = mgµ" / k - mgµ" / k = mgµ" / k (4) Όµως για το µέτρο της ταχύτητας v * ισχύει και η σχέση: v * = ' x' - x' * (3),(4) gµ" 6m k = k m x' - mgµ" & ( $ k ' g µ " 6m $ k & ( = k ) ' m x' - mgµ" & + ( $ k ' * +,. -. 6m g µ " = x' k - mgµ" & ( $ k ' x' = 7m g µ " x' k = mgµ" k 7 (5) όπου x το ζητούµενο πλάτος ταλάντωσης του σώµατος που παραµένει συνδεδεµένο µε το ελατήριο και ω η γωνιακή του συχνότητα. P.M. fysikos
Mια ξύλινη ράβδος, µάζας m και µήκους L, µπο ρεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί σταθερό οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το ένα άκρο της O. Βλήµα µάζας m/, προσπίπτει κάθετα στην ράβδο µε ταχύτητα v σε απόσταση x από το άκρο της Ο, κινούµενο στο κατακόρυφο επίπεδο περιστροφής και σφηνώνεται στην ράβδο. i) Για ποια τιµή της απόστασης x η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου κατά την έναρξη της περιστροφικής της κίνησης παίρνει την µεγαλύ τερη τιµή της και ποια είναι η τιµή αυτή; ii) Ποια είναι η συνθήκη που εξασφαλίζει ανακύκλωση της ράβδου για την τιµή της απόστασης x που βρεθηκε προηγούµενα; Δίνεται η ροπή αδράνειας I=ML /3 της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt που διαρκεί η πλαστική κρούση του βλήµατος µε την ράβδο, η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-βλή µα περί τον άξονα περιστροφής της ράβδου δεν µεταβάλλεται, διότι το σύστηµα δεν δέχεται συνολική ροπή περί τον άξονα αυτόν (οι αντίστοιχες ροπές του βάρους της ράβδου, του βάρους του βλήµατος και της αντίδρασης του άξονα περιστροφής είναι µηδενικές), δηλαδή θα ισχύει η σχέση: (m/)vx + = (mx / + I) mvx/ = (mx / + ml /3) 3vx = (3x + L ) = 3vx 3x + L = 3v 3x + L / x (1) Σχήµα 4 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου, αµέσως µετά την κρού ση, δηλαδή κατά την έναρξη της περιστροφικής της κίνησης. Aπό την (1) προκύπτει ότι το µέτρο της γίνεται µέγιστο όταν η ποσότητα 3x+L /x λάβει την ελάχιστη τιµή της. Όµως παρατηρούµε ότι το γινόµενο (3x)(L /x) είναι σταθερό και ίσο µε 6L /3, όποτε το άθροισµα 3x+L /x γίνεται ελάχιστο όταν:
3x = L / x 3x = L x = L /3 () Έτσι η µέγιστη τιµή του µέτρου της θα είναι: max = 3v 6L /3 = v L 3 (3) ii) Aς δεχθούµε ότι το συσσωµάτωµα ράβδος-βλήµα έχοντας αρχική γωνιακή ταχύτητα max εκτελεί ανακύκλωση. Αυτό σηµαίνει ότι η κινητική ενέργεια Κ αν του συστήµατος, όταν η ράβδος φθάνει στην ανώτατη κατακόρυφη θέση της, είναι µεγαλύτερη ή ίση µε µηδέν, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: Κ αν (4) Σχήµα 5 Eφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του συστήµατος ράβδος-βλήµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας από την κατώτατη στην ανώτα τη θέση του, παίρνουµε την σχέση K " + U " = K "$ + U "$ m x + ml $ " 3 & m x + ml $ " 3 & ' max - mg L - m gx = K + mg L () + m gx (),(3) ' max = K () + mgl + mgx " m L 3 + ml 3 $ & 4v 3 L = K '( + mgl + mgl 3 ml 3 3v L = K " + mgl + mgl 3
(4) mv = K " + mgl( 1 + /3) K " = mv - mgl( 1 + /3) mv - mgl 1 + /3 ( ) v gl " $ 1 + 3 ' (5) & Η σχέση (5) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. P.M. fysikos Στο ελεύθερο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει τον κυλινδρικό κορµό της κουβαρίστρας του σχήµατος (6) εφαρµόζεται δύναµη F που κατευθύνεται προς τα πάνω και σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύ θυνση γωνία φ. Ο φορέας της δύναµης F ανήκει στο κατακόρυφο επί πεδο που διέρχεται από το κέντρο µάζας της κουβαρίστρας και είναι κάθετο στον γεωµετρικό της άξονα, ενώ µεταξύ της κουβαρίστρας και του οριζόντιου εδάφους υπάρχει τριβή, µε συντελεστή τριβής ολίσ θησης n. i) Nα βρείτε για ποια τιµή της γωνίας φ η κουβαρίστρα εκτελεί γνή σια περιστροφή εφαπτόµενη του οριζόντιου επιπέδου, στην περίπτω ση που η δύναµη F παρουσιάζει το µικρότερο δυνατό µέτρο. ii) Πόση θα είναι τότε η γωνιακή επιτάχυνση της κουβαρίστρας και ποια η δέσµευση για τον συντελεστή n; Δίνεται η µάζα m της κουβαρίστρας, η ροπή αδράνειας Ι αυτής ως προς τον γεωµετρικό της άξονα, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι, η ακτίνα του κυλινδρικού κορµού της κουβαρίστρας είναι ίση µε το µισό της ακτίνας R των κυκλικών της βάσεων. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι η κουβαρίστρα εκτελεί γνήσια περιστροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό της άξονα, όταν ο φορέας της δύναµης F που εφαρµόζεται στο άκρο Α του νήµατος ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο µάζας C της κουβαρίστρας και είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής της. Η κουβαρίστρα εκτός από την δύναµη F δέχεται ακόµη το βάρος της m g και τις δύο δυνάµεις επαφής από το έδα φος που αναλύονται στην συνολική τριβή T που είναι τριβή ολίσθησης και στην συνολική κάθετη αντίδραση N. Επειδή το κέντρο µάζας της κου βαρίστρας είναι ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, ίσχύουν οι σχέσεις:
= T " F y + N = mg F x F"$ = T & ' Fµ$ + N = mg ( T = F"$ & ' N = mg - Fµ$ ( (1) Σχήµα 6 Όµως ισχύει και η σχέση Τ=nN, η οποία λόγω των (1) παίρνει την µορφή: F"$ = n(mg - Fµ$) F("$ + nµ$) = nmg () Θέτουµε n=εφθ, οπότε η () γράφεται: F("$ + &' (µ$) = nmg F("$ + µ& µ$ /"&) = nmg F("$" + &µ &µ$) = nmg" F"($ - ) = nmg" F = nmg"$ "( - $) (3) Από την σχέση (4), στην οποία η γωνία φ αποτελεί µεταβλητή ποσότητα, προκύπτει ότι το µέτρο της F αποκτά την µικρότερη τιµή του όταν συν(φ-θ)=1, δηλαδή όταν φ-θ= ή φ=θ, που σηµαίνει ότι η ζητούµενη τιµή της γωνίας φ προκύπτει από την σχέση: = "$ &(n) (4) Tότε η (3) δίνει: F min = nmg"$ = nmg 1 + & $ F min = nmg 1 + n (5) ii) Εφαµόζοντας για την κουβαρίστρα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: (1) F min r - TR= I' F min r - F min R"$ = I'
R F min - R $ (5) & = I'' " 1 + n nmgr 1 1 + n - 1 $ & = I'' " 1 + n '= nmgr " 1 I 1 + n - 1 $ ' 1 + n & '= nmgr ( 1 + n - ) (6) I(1 + n ) όπου ' η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση της κουβαρίστρας. Η (6) έχει νόηµα εφ όσον ισχύει: 1 + n - > 1 + n > 4 n > 3 P.M. fysikos Ένα λείο δοκάρι µάζας M, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο όπως φαίνεται στο σχήµα (7). Éνα ξύλινο σώµα µάζας m, βρίσκεται πάνω στο δοκάρι και είναι δεµένο στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου ο άξονας είναι οριζόντιος, ενώ το άλλο άκρο στερεώνεται στο δοκάρι. Ένα βλήµα µάζας m, σφηνώνεται µε οριζόν τια ταχύτητα v στο ξύλινο σώµα και το σύστηµα µπαίνει σε κίνηση. i) Nα βρείτε τη συσπείρωση του ελατηρίου την στιγµή που το συσσω µάτωµα σώµα-βλήµα ακινητεί ως προς το δοκάρι. ii) Nα βρείτε την επιτάχυνση του δοκαριού την στιγµή αυτή; ΛYΣH: i) Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα που διαρκεί η πλαστική κρού ση του βλήµατος µε το ξύλινο σώµα, το σύστηµα βλήµα-σώµα είναι µηχανικά µονωµένο και εποµένως ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής για το σύστηµα αυτό, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv + = (m + m)v V = v/ (1) Σχήµα 7 όπου V η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση Tο συσ σωµάτωµα προκαλεί συσπείρωση του ελατηρίου, µε αποτέλεσµα το ελατήριο να εξασκεί στο δοκάρι δύναµη F ' ", αντίθετη της δύναµης F " που εξασκεί στο
συσσωµάτωµα. H δύναµη F ' " είναι εκείνη που θέτει σε κίνηση το δοκάρι πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Όταν το συσσωµάτωµα ακινητεί ως προς το δοκάρι, τότε η ταχύτητα του θα είναι ίση µε την ταχύτητα V του δοκαριού, την οποία µπορούµε να υπολογίσουµε µε εφαρµογή της αρχής διατήρησης της ορµής για το µηχανικά µονωµένο σύστηµα βλήµα-σώµα-δοκάρι, οπότε θα έχουµε την σχέση: mv + + = (M + m)v V = mv/(m + m) () Eφαρµόζοντας για το σύστηµα συσσωµάτωµα-δοκάρι το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, για το χρονικό διάστηµα που διαρκεί η συσπείρωση του ελατηρίου, παίρνουµε: mv ( = M + m )V + kx (1),(3) m v $ & " ( = M + m )m v M + m ( ) + kx mv - m v M + m = Kx x = mv k " 1 - m M + m $ & x = mv k M $ & " M + m x = v mm k(m + m) (3) όπου x η ζητούµενη συσπείρωση του ελατηρίου ii) Tην στιγµή που το ελατήριο είναι συµπιεσµένο κατά x εξασκεί στο δοκάρι δύναµη F ' ", η οποία του προσδίνει επιτάχυνση a και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα θα ισχύει: F ελ =Ma kx=ma a = kx M (3) a = kv M mm K(M + m) = v M kmm (M + m) P.M. fysikos Ένα ηµισφαιρικό στερεό σώµα µάζας M, ισορροπεί πάνω σε λείο ορι ζόντιο επίπεδο στρέφοντας προς τα πάνω την κυρτή του επιφάνεια. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει κάθετα στο ηµισφαιρικό σώµα µε ταχύτητα της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την κατακόρυ φη διεύθυνση γωνία φ<π/, το δε µέτρο της είναι v. Eάν η κρούση είναι ελαστική, να βρεθεί η ταχύτητα ανάκλασης του σφαιριδίου.
ΛYΣH: Επειδή το σφαιρίδιο προσπίπτει κάθετα στην κυρτή επιφάνεια του ηµισφαιρικού σώµατος η κρουστική δύναµη που δέχεται έχει ακτινική διεύθυν ση και µάλιστα είναι αντίρροπη της ταχύτητας πρόσπτωσής του v. Θεωρών τας την κρουστική αυτή δύναµη πολύ µεγαλύτερη από το βάρος του του σφαι ριδίου µπορούµε να ισχυριστούµε ότι αν αυτό ανακλασθεί, τότε η ταχύτητα ανάκλασής του v θα έχει ακτινική διεύθυνση, δηλαδή θα είναι αντίρροπη της v. Εξάλλου το σύστηµα του σφαιρίδιου και του ηµισφαιρικού σώµατος δεν δέ χεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις και εποµένως η ορµή του συστήµατος κατά τον οριζόντιο άξονα x λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση είναι η ίδια, δηλαδή ισχύει: m v x + " = M V + m v x mv x = MV - mv x (1) όπου V η ταχύτητα του ηµισφαιρικού σώµατος µετά την κρούση, v x η οριζόν τια συνιστώσα της ταχύτητας ανάκλασης v του σφαιριδίου και v x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας πρόσπτωσής του v. Όµως ισχύουν οι σχέσεις: v σx = v ηµφ και v x = vηµφ οπότε η (1) γράφεται: mv ηµφ = MV - mvηµφ MV = mv ηµφ + mvηµφ () Eπειδή η κρούση του σφαιρίδιου µε το σώµα είναι ελαστική η κινητική ενέρ Σχήµα 8 γεια του συστήµατος λίγο πριν από την κρούση είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή ισχύει η σχέση: () mv / + = MV / + mv / mv = M[mv µ" + mvµ")/ M] + mv mmv = m v ηµ φ + m v ηµ φ + m v vηµ φ + Mmv mv ηµ φ + Mv + mv vηµ φ + mv ηµ φ - Mv =
(mµ " + M)v + (mv µ ")v + v (mµ " - M) = (3) H εξίσωση (3) είναι δευτέρου βαθµού ως προς v, µε διακρίνουσα Δ = 4m v ηµ 4 φ - 4(mηµ φ + M)v (mηµ φ - M) Δ = 4m v ηµ 4 φ - 4m v ηµ 4 φ + 4v M = 4v M > Δηλαδή οι ρίζες της (3) είναι πραγµατικές. Όµως το άθροισµα των ριζών της (3) είναι: A = - mv µ " mµ " + M < το δε γινόµενό τους είναι: = v (m"µ - M) m"µ + M Eάν Γ<, δηλαδή εάν ισχύει M>mηµ φ, τότε η (3) έχει ρίζες ετερόσηµες, από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα. Aν όµως M<mηµ φ, τότε η (3) έχει δύο αρνη τικές ρίζες και το πρόβληµα δεν έχει λύση, που σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή το σφαιρίδιο δεν ανακλάται. P.M. fysikos