ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ιπλωµατική Εγασία : ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΩ ΙΚΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΕ ΙΩΝ ΡΟΗΣ ΓΙΑ ΟΜΗΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΗ- ΟΜΗΜΕΝΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ του : Επιβλέπων καθηγητής : Ζεβογιάννη Θωµά Κ.Χ. Γιαννάκογλου Αντικείµενο της εγασίας Ιούλιος 004 Η παούσα διπλωµατική εγασία έχει ως στόχο τη µαθηµατική διατύπωση και τον πογαµµατισµό µιας µεθόδου επίλυσης µη-συνεκτικών αξονοσυµµετικών πεδίων οής, µε ή χωίς πειφεειακή συνιστώσα ταχύτητας σε δοµηµένα και µηδοµηµένα πλέγµατα µέσω πεπεασµένων όγκων και ανάντι σχηµάτων διακιτοποίησης ης τάξης, σε ενιαία µοφή. Η µέθοδος που αναπτύχθηκε χειίζεται µε διαφοετικό λογισµικό τα δοµηµένα και τα µη-δοµηµένα πλέγµατα στο µεσηµβινό επίπεδο ακολουθώντας τη γενική δοµή του αξιόπιστου λογισµικού PUMA (Paallel Unstuctued Multigid Adapted-Gid) του Εγαστηίου Θεµικών Στοβιλοµηχανών του Ε.Μ.Π. Η εευνητική οµάδα του εγαστηίου έχει ήδη αναπτύξει έναν κώδικα επίλυσης αξονοσυµµετικών οών, ο οποίος όµως χησιµοποιεί σχήµα κεντικών διαφοών και ως εκ τούτου χησιµοποιεί δοµηµένα πλέγµατα, οπότε ποέκυπτε άµεσα η ανάγκη να πογαµµατιστούν και κώδικες οι οποίοι να εκµεταλλεύονται την ευελιξία των µη-δοµηµένων πλεγµάτων. Οι νέοι επιλύτες που πογαµµατίστηκαν διατηούν τα χαακτηιστικά των διδιάστατων επιλυτών του εγαστηίου που χησιµοποιούν ανάντι σχήµατα, όπως η χήση του ποσεγγιστικού επιλύτη του Roe, η παεµβολή µε ανάπτυγµα Taylo των µεταβλητών στα όια των κυψελών για αύξηση της ακίβειας, η εξασφάλιση της µονοτονίας της λύσης µε χήση συνατήσεων πειοισµού (limites), η επιβολή τοπικού χονικού βήµατος για επιτάχυνση της σύγκλισης και τελικώς η επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων χονικά µε σηµειακά πεπλεγµένο σχήµα (Jacobi). Επιπλέον, όπου εξυπηετούσε, χησιµοποιήθηκε και ποσαµογή πλέγµατος στην υπό διαµόφωση λύση (δυνατότητα που ποσφέεται από το λογισµικό PUMA).
κυψέλη δοµηµένου πλέγµατος κυψέλη µη-δοµηµένου πλέγµατος Στόχος της εγασίας Στόχος της εγασίας, πέα από το ποφανές κέδος της απόκτησης ενός επιλύτη ο οποίος γενικότεα µποεί να επιλύει αξονοσυµµετικά πεδία οής, ήταν και η επαλήθευση των αποτελεσµάτων που δίνουν οι επιλύτες τιδιάστατων οών του Εγαστηίου Θεµικών Στοβιλοµηχανών (ΕΘΣ), αλλά και η εφαµογή (του κώδικα, συγκεκιµένα, που χειίζεται µη-δοµηµένα πλέγµατα) στη βελτιστοποίηση της γεωµετίας ενός υπεηχητικού αεαγωγού εισόδου, µε χήση εξελικτικών αλγοίθµων. Συνοπτική πειγαφή και στοιχεία εµβάθυνσης Ποκειµένου να διατηηθεί η βασική δοµή του λογισµικού του ΕΘΣ, χειάστηκε να γίνουν επεµβάσεις στο λογισµικό PUMA ώστε να λύνει αξονοσυµµετικά πεδία οής, αλλά και να ξεπεαστούν κάποια εµπόδια που ποέκυψαν κατά την υλοποίηση τους. Πωτίστως κίθηκε σκόπιµο να γαφούν οι εξισώσεις της οής (εξισώσεις Eule στο κυλινδικό σύστηµα συντεταγµένων µε ( ) µηδενικές πααγώγους κατά την πειφεειακή κατεύθυνση) κατά τέτοιο τόπο θ ώστε οι όοι των χωικών και χονικών πααγώγων να διατηούν τη συντηητική γαφή τους. Αυτό επιτυγχάνεται µε αντικατάσταση των µεταβλητών και p µε τις αντίστοιχες τιµές πολλαπλασιασµένες µε την ακτίνα σε κάθε θέση, έστω = και p = p. Η τελική µοφή των διαφοικών εξισώσεων που επιλύθηκαν στις κυψέλες ελέγχου ήταν η παακάτω (σε διανυσµατική γαφή): w F G + + = K t z ( ) T z θ w = u u u E
F u u + p = uu z, G uu θ u ( E+ p ) u uu z = uz + p, K uu z θ uz ( E+ p ) 0 uθ + p = 0 uu θ 0 Στις πααπάνω εξισώσεις πειέχεται και η εξίσωση διατήησης της οµής κατά την πειφεειακή συνιστώσα, και η οποία έπεπε να ποστεθεί. Κατά συνέπεια τα µητώα διαγωνοποίησης των ιακωβιανών οιζουσών των εξισώσεων, που πέπει να βεθούν ποκειµένου να επιλυθούν οι εξισώσεις µε ανάντι σχήµατα διακιτοποίησης, είναι πλέον 5 5 και πέπει να υπολογιστούν (οι υπολογισµοί έγιναν στο χατί και επαληθεύτηκαν µε χήση του πακέτου µαθηµατικών Mathematica). Κατά τον υπολογισµό των ιδιοδιανυσµάτων απαιτείται η επιλογή κάποιων αυθαίετων σταθεών, ώστε τα µητώα να πάουν την τελική τους µοφή. οκιµάστηκαν δύο σύνολα σταθεών που διατηούν τη γαµµική ανεξατησία των ιδιοδιανυσµάτων, από τα οποία το ένα αποίφθηκε ως ακατάλληλο, αφού πειείχε γεωµετικά στοιχεία του πλέγµατος στον παονοµαστή κάποιων όων του, µε αποτέλεσµα να καθιστά αδύνατη την αιθµητική λύση µέσω κώδικα. Το δεύτεο σύνολο σταθεών που επελέγη και πογαµµατίστηκε είχε άιστη απόδοση και είναι το: ( 1) µ 1 = nˆ ( ) µ 1 = nˆ z ( 3) µ 1 = nˆ θ = 0 () 1 ( ) () 3 1 µ = µ = µ = n ( 4) ( 5) µ = µ = 1 µε χήση των οποίων ποκύπτουν τα παακάτω µητώα διαγωνοποίησης: F 1 A= = PΛP w nˆ ˆ nz 0 unˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ un z nz u + cn u cn) P = unˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ( ˆ z un z z un z θ n uz + cnz uz cnz) unˆ ˆ ˆ ˆ θ nz un θ z + n 0 uθ uθ bl ( ˆ) ( ˆ blz blθ H+ cυn H cυn )
Ο ποσεγγιστικός επιλύτης του Roe εκφάστηκε µε τόπο όµοιο όπως και στην πείπτωση των εξισώσεων Eule κατεσιανού συστήµατος συντεταγµένων, µε αντικατάσταση της πυκνότητας µε την αντίστοιχη µεταβλητή του αξονοσυµµετικού ποβλήµατος. Τέλος ποστέθηκαν και οι όοι πηγής στο αιστεό και δεξί µέλος των εξισώσεων (γαµµένοι µε Newton γαµµικοποίηση σε πεπλεγµένη µοφή), ώστε να ποκύψει η τελική µοφή του συστήµατος των εξισώσεων, το οποίο επιλύεται χονικά µε τη σηµειακά πεπλεγµένη µέθοδο Jacobi. n+ 1 n K K = K + w w δ Ιδιαίτεη ποσοχή έπεπε να δοθεί και κατά την επιβολή των οιακών συνθηκών εισόδου και εξόδου, αφού αυτές πέπει να ικανοποιούν την εξίσωση p uθ ακτινικής ισοοπίας, =, όπως αυτή γάφεται για είσοδο του εγαζόµενου R R µέσου χωίς ακτινική συνιστώσα της ταχύτητας. Συγκεκιµένα, όσον αφοά την στατική πίεση (εξόδου αν η οή είναι υποηχητική και εισόδου αν η οή είναι υπεηχητική), αυτή ολοκληώνεται αιθµητικά (θεωώντας ότι δίνεται η τιµή της στο πόδι της εν λόγω διατοµής). Για την ακτινική γωνία εισόδου θεωείται ότι θ = 0. Για να βεθεί η πειφεειακή γωνία εισόδου θ u πέπει να δοθεί κάποια απαίτηση σχετικά µε την πειφεειακή συνιστώσα της ταχύτητας στην είσοδο. Εδώ µελετήθηκαν και υπολογίστηκαν δύο σενάια επιβολής οιακών συνθηκών, για τα οποία βέθηκαν αναλυτικές σχέσεις για την ακτινική κατανοµή των µεταβλητών σε κάθε διατοµή: θ u = ct Σε αυτή την πείπτωση δεν χειάζονται πεαιτέω υπολογισµοί για την ακτινική κατανοµή της γωνίας οι υπολογισµοί πα όλ αυτά γίνονται για τις άλλες µεταβλητές ώστε να επιτευχθεί µια καλή αχικοποίηση του πεδίου και η οποία αποδεικνύεται ιδιαίτεα χήσιµη στην πείπτωση των µη-δοµηµένων πλεγµάτων, όπου η αιθµητική ολοκλήωση της εξίσωσης ακτινικής ισοοπίας πάνω στις πλεγµατικές γαµµές δεν είναι δυνατή. Με χήση θεµοδυναµικών σχέσεων και της εξίσωσης ακτινικής ισοοπίας καταλήγουµε σε αναλυτικές εκφάσεις της µοφής: z ( ) sin θu ln R+ κ κ sin θu u R = e = e R κ = + ln uz sin θ ln 0 u Ruθ = ct (οή ελεύθεης στοβιλότητας) Με πάξεις ποκύπτει όµοια µε την ποηγούµενη πείπτωση η αναλυτική σχέση για την ακτινική κατανοµή της πειφεειακής γωνίας: R 0 1 sin θ u = cr + 1, c 1 1 sin θ u = R0 και αντίστοιχες σχέσεις εκφάζονται και για τις λοιπές µεταβλητές.
Μεγάλη ποσοχή δόθηκε στον τόπο έκφασης και διακιτοποίησης των όων που πειείχαν την ακτίνα, δεδοµένου ότι αυτοί µποούν να δηµιουγήσουν σφάλµατα διακιτοποίησης, ιδιαίτεα στα όια του υπολογιστικού χωίου. Μάλιστα, διαπιστώθηκε ότι στα µη-δοµηµένα πλέγµατα, στα οποία εµφανίζονται υπολογιστικές κυψέλες µε πιο πολύπλοκο σχήµα από τις κυψέλες των δοµηµένων πλεγµάτων, τα σφάλµατα που εµφανίζονται λόγω του τόπου διακιτοποίησης είναι αισθητά µεγαλύτεα. Ποτάθηκαν δύο διοθώσεις στο αχικό σχήµα. Η πώτη σχετίζεται µε το σηµείο στο οποίο πέπει να οίζεται η ακτίνα που εµπειέχουν οι µεταβλητές, και το οποίο πέπει σε κάθε πείπτωση να είναι το µέσο του τµήµατος του οίου, για το οποίο υπολογίζεται το διάνυσµα οής. Αµέσως µε την επιβολή της διόθωσης αυτής εµφανίζεται ένα δεύτεο σφάλµα στις εξισώσεις οι οποίες πειέχουν όους πηγής, και το οποίο επίσης σχετίζεται µε τη διακιτοποίηση των οίων της υπολογιστικής κυψέλης. Συγκεκιµένα, κατά την ολοκλήωση των διανυσµάτων οής και λόγω του τόπου µε τον οποίο το όιο διαιείται σε διακιτά τµήµα, στο υπόλοιπο των εξισώσεων ποστίθεται µία επιπλέον ποσότητα δεδοµένου ότι οι εξισώσεις δεν ολοκληώνονται στο εµβαδόν A της υπολογιστικής A cell da κυψέλης αλλά σε ένα εµβαδόν A + δ A, και το οποίο πέπει να ληφθεί υπόψη κατά την έκφαση των όων πηγής ώστε η ποσθήκη αυτή να αντισταθµιστεί και το υπόλοιπο να εκφάζεται σωστά. Τελικώς, µε την ολοκλήωση του πογαµµατισµού των επιλυτών, έγιναν δοκιµές µε σκοπό την πιστοποίησή τους και κατόπιν εφαµογή στο πολύ ενδιαφέον τεχνολογικό θέµα της βελτιστοποίησης υπεηχητικού αεαγωγού εισόδου, που βίσκει εφαµογή σε σώµατα µεγάλων ταχυτήτων πτήσης. Στην πείπτωση αυτή µάλιστα χησιµοποιήθηκε και ποσαµογή του πλέγµατος στην υπό επίλυση οή ώστε τα αποτελέσµατα να είναι ποιοτικά καλύτεα στις πειοχές ασυνεχειών. Ενδεικτικά παουσιάζονται στις επόµενες σελίδες µεικά από τα αποτελέσµατα των δοκιµών.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 0.44 'cental diffeences' 'upwind,with coection' 5.5 gbut 0.4 'upwind,no coection' 5 0.4 4.5 4 Mach 0.38 3.5 0.36 3.5 - -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5.5 3 0.34 0.3 ΑΓΩΓΟΣ ΜΕ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΤΟ ΚΑΤΩ ΤΟΙΧΩΜΑ - -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5.5 3 z ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ MACH ΣΤΟ ΚΑΤΩ ΤΟΙΧΩΜΑ ΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΠΟΥ ΙΝΕΙ ΚΩ ΙΚΑΣ ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΡΟΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΝΤΡΙΚΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΗ- ΟΜΗΜΕΝΟ ΠΛΕΓΜΑ ΧΩΡΙΣ ΤΙΣ ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΗ- ΟΜΗΜΕΝΟ ΠΛΕΓΜΑ ΜΕ ΤΙΣ ΙΟΡΘΩΣΕΙΣ Οι πώτες εφαµογές έγιναν σε απλές γεωµετίες ποκειµένου να ανιχνευθούν και να αντιµετωπιστούν αποτελεσµατικά τα ποβλήµατα ως πος τη διακιτοποίηση που δηµιουγεί η ακτίνα που εµπειέχουν οι µεταβλητές των εξισώσεων. Αχικά, αντιµετωπίστηκε η πείπτωση οής µέσα σε αξονοσυµµετικό αγωγό χωίς διαµόφωση (οή µέσα από δυο οµοαξονικούς σωλήνες) ώστε να ποταθούν οι κατάλληλες διοθώσεις (οι οποίες ποαναφέθηκαν, σχετικά µε την τοποθέτηση της ακτίνας και τη διόθωση του εµβαδού της κυψέλης). Κατόπιν έγιναν δοκιµές στην πείπτωση αγωγού µε ελαφιά διαµόφωση τόξου στο κάτω τοίχωµα (πάνω αιστεά). Έγινε µια πώτη σύγκιση των αποτελεσµάτων µε τα αποτελέσµατα που έδωσε κώδικας επίλυσης αξονοσυµµετικών οών του ΕΘΣ, ο οποίος έκανε χήση κεντικών σχηµάτων διαφοών σε δοµηµένα πλέγµατα (πάνω δεξιά). Επιπλέον φαίνεται η βελτίωση µε την επιβολή των διοθώσεων που ποτάθηκαν (κάτω δεξιά) σε σχέση µε τη λάθος εικόνα που δίνεται για το πεδίο λόγω των σφαλµάτων διακιτοποίησης (κάτω αιστεά). Οι βελτιώσεις αυτές είναι πολύ ωφέλιµες ιδιαίτεα στην πείπτωση των µη-δοµηµένων πλεγµάτων, όπως φαίνεται και από τα πααπάνω σχήµατα.
ΛΥΣΗ ΠΕ ΙΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΣΤΕΝΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΑΞΟΝΟΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΣ ΕΠΙΛΥΤΗΣ ΣΕ ΟΜΗΜΕΝΟ ΠΛΕΓΜΑ θ θ, εισ u, εισ p out = 0 o = 0 = ct = 0.95 ΛΥΣΗ ΠΕ ΙΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΣΤΕΝΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΤΡΙ ΙΑΣΤΑΤΟΣ ΕΠΙΛΥΤΗΣ ΣΕ ΟΜΗΜΕΝΟ ΠΛΕΓΜΑ ΛΥΣΗ ΠΕ ΙΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΣΤΕΝΩΣΗ ΙΑΤΟΜΗΣ - ΤΡΙ ΙΑΣΤΑΤΟΣ ΕΠΙΛΥΤΗΣ ΣΕ ΜΗ- ΟΜΗΜΕΝΟ ΠΛΕΓΜΑ Η επόµενη γεωµετία που δοκιµάστηκε ήταν η γεωµετία αξονοσυµµετικού αγωγού µε στένωση διατοµής. Έγιναν δοκιµές σε διάφοες συνθήκες εισόδου (εδώ δοκιµάστηκαν και τα δύο σενάια οιακών συνθηκών που αναφέθηκαν) και τα αποτελέσµατα συγκίθηκαν µε αυτά των τιδιάστατων επιλυτών του εγαστηίου (σε δοµηµένα και µη-δοµηµένα πλέγµατα). ίνονται ενδεικτικά και κάποια από τα αιθµητικά αποτελέσµατα των δοκιµών για την πείπτωση σταθεής πειφεειακής γωνίας εισόδου:
Η τελευταία (και πιο ενδιαφέουσα από τεχνολογικής άποψης) εφαµογή ήταν η επίλυση οής γύω και µέσα από έναν υπεηχητικό αεαγωγό εισόδου που συναντάται σε σώµατα υψηλών ταχυτήτων πτήσης. Σκοπός είναι να χησιµοποιηθεί ο επιλύτης για τη βελτιστοποίηση τέτοιων γεωµετιών µε χήση γενετικών αλγοίθµων. Πόκειται για µια πείπτωση συνδυασµού εσωτεικής και εξωτεικής αεοδυναµικής, και ως εκ τούτου πέπει να τεθούν οιακές συνθήκες αδιατάακτης οής µακιά από τον αγωγό, αλλά και να δοθεί η πίεση στην έξοδό του, δεδοµένου ότι απαιτούνται υποηχητικές συνθήκες στη διατοµή εξόδου (µεσαίο σχήµα). Ποσοχή σε αυτή την πείπτωση πέπει να δοθεί και κατά την αχικοποίηση του πεδίου, αφού στα σηµεία εσωτεικά του αγωγού (γκι πειοχή του σχήµατος) πέπει να δοθούν τιµές που αντιστοιχούν σε υποηχητικές συνθήκες, ώστε να υπάχει µηχανισµός που θα διατηήσει την πίεση που δόθηκε ως οιακή συνθήκη εξόδου. Η γεωµετία αυτή είναι µια καλή πείπτωση που αναδεικνύει την χησιµότητα των µη-δοµηµένων πλεγµάτων, τα οποία είναι πιο ευέλικτα από τα δοµηµένα πλέγµατα και εφαµόζονται εδώ χωίς δυσκολία. συνθήκες αδιατάακτης οής συνθήκες αδιατάακτης οής συνθήκες αδιατάακτης οής
M M min max = 6,6878 10 =,880774 3 Μ εισ =.0 Μ is,εξ =0.9 Πααπάνω φαίνεται το πεδίο του αιθµού Mach που δόθηκε από τον επιλύτη για την πειοχή κοντά στη διατοµή εισόδου του αεαγωγού. Επιπλέον φαίνεται και η ποσαµογή του πλέγµατος που χησιµοποιήθηκε στην πείπτωση αυτή ποκειµένου να υπολογιστεί µε ακίβεια το πεδίο κοντά στις πειοχές των ασυνεχειών (κουστικών κυµάτων) καθώς και η πειοχή υποηχητικής οής (µπλε πειοχή) στο εσωτεικό του αγωγού.
Σύνοψη-Τελικές Παατηήσεις Σε αυτή τη διπλωµατική εγασία πογαµµατίστηκαν κώδικες επίλυσης αξονοσυµµετικών ατιβών πεδίων οής µε και χωίς πειφεειακή συνιστώσα της ταχύτητας και µε χήση δοµηµένων και µη-δοµηµένων πλεγµάτων. Αφετηία αποτέλεσαν κώδικες επίλυσης διδιάστατων πεδίων οής της σειάς PUMA του ΕΘΣ, στους οποίους έγιναν οι απααίτητες µετατοπές. Ως αποτέλεσµα αυτού, πώτα αντιµετωπίστηκε η πείπτωση επίλυσης πεδίων οής χωίς πειφεειακή ταχύτητα, τα οποία εκφάζονται µε συστήµατα τεσσάων εξισώσεων (όπως και τα διδιάστατα πεδία οής) και κατόπιν ποστέθηκε η εξίσωση διατήησης της οµής κατά την πειφεειακή συνιστώσα, ενώ διατηήθηκαν και οι αχικοί επιλύτες, αφού είναι ταχύτεοι στην πείπτωση που όντως δεν υπάχει πειφεειακή συνιστώσα στο πεδίο οής. Κατά τον πογαµµατισµό διαπιστώθηκαν ποβλήµατα ως πος τη διακιτοποίηση των όων που πειέχουν την ακτίνα και ως πος την επιλογή των µητώων διαγονοποίησης, τα οποία ξεπεάστηκαν. Οι επιλύτες δοκιµάστηκαν σε ένα σύνολο γεωµετιών δίνοντας ίδια αποτελέσµατα µε αυτά που δίνουν οι δοκιµασµένοι τιδιάστατοι κώδικες του ΕΘΣ. Τελικώς έγινε εφαµογή στη επίλυση οής γύω και µέσα από έναν αξονοσυµµετικό υπεηχητικό αεαγωγό εισόδου, εφαµογή στην οποία έγινε εµφανής η χησιµότητα του επιλύτη αξονοσυµµετικών οών για µη-δοµηµένα πλέγµατα, επιλύτη που µέχι τώα δεν διέθετε το ΕΘΣ. Ήδη έχουν ξεκινήσει στο ΕΘΣ δοκιµές για βελτιστοποίηση αυτής της γεωµετίας. Βιβλιογαφικές αναφοές 1 C. Hisch Numeical Computation of Intenal and Extenal Flows Vol.: Computational Methods fo Inviscid and Viscous Flows John Wiley & Sons Publication, 1990. Κουµπογιάννης Αιθµητική Επίλυση των Εξισώσεων Navie Stokes µε Χήση Μη οµηµένων Πλεγµάτων σε Πειβάλλον Παάλληλης Επεξεγασίας ιδακτοική ιατιβή, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π., Τοµέας Ρευστών, Εγαστήιο Θεµικών Στοβιλοµηχανών, 1998 3 D. Knight Genetic Algoithms fo Optimization in Aeonautics and Tubomachiney Application of Genetic Algoithms to High Speed Ai Intake Von Kaman Institute fo Fluid Dynamics, Lectue Seies 000-7, May 000