Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Σχετικά έγγραφα
Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική Ενότητα 4:

Θερμοδυναμική Ενότητα 4:

Θερμοδυναμική. Ενότητα 5: 2 ος Νόμος Θερμοδυναμικής. Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Οικονομικά Μαθηματικά

Θερμοδυναμική. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες Ασκήσεις Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Θερμοδυναμική. Ενότητα 6: Εντροπία. Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Θερμοδυναμική Ενότητα 7:

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Χημεία. Ενότητα 13 η : Χημική Κινητική Αναπλ. Καθηγητής: Γεώργιος Μαρνέλλος Διδάσκοντες: Ε. Τόλης. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 9: Ανέλιξη Γέννησης - Θανάτου. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Ηλεκτρικές Μηχανές ΙI. Ενότητα 6: Εισαγωγή στους ασύγχρονους κινητήρες Τσιαμήτρος Δημήτριος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑ: Περιβαλλοντική Γεωχημεία

Υπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7:

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μαθηματικά. Ενότητα 13: Κυρτότητα Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών

Θερμοδυναμική. Ενότητα 3: Ασκήσεις στη Θερμοδυναμική. Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Μικροοικονομική. Ενότητα 6: Παραγωγή. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 1 η : Εισαγωγή

Περιβαλλοντική Χημεία

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Λογισμός ΙΙ. Χρήστος Θ. Αναστασίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Ηλεκτρικές Μηχανές Ι. Ενότητα 4: Εύρεση Παραμέτρων. Τσιαμήτρος Δημήτριος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Οικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Μέθοδοι εκτίμησης. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 6: Ηλεκτροστατικά Φίλτρα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 3: Κυκλώνες Διαχωρισμού

ΜΑΘΗΜΑ: Ηλεκτρονικά Ισχύος

Μικροοικονομική. Ενότητα 4: Προσφορά. Σόρμας Αστέριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Ηλεκτρικές Μηχανές Ι. Ενότητα 2: Τριφασικοί Μετασχηματιστές. Τσιαμήτρος Δημήτριος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Θερμοδυναμική

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Transcript:

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 1: Αριθμητικές μέθοδοι στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις αριθμητικές μεθόδους στα φαινόμενα μεταφοράς και στη θερμοδυναμική. 4

Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Εισαγωγή σε έννοιες επιστημονικών υπολογισμών με υπολογιστή. Μαθηματικά προβλήματα. Η διεργασία λύσης προβλήματος. 2 ος νόμος του Νεύτωνα. 5

Περιεχόμενα ενότητας Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα. Ισοζύγια μάζας. Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler). 6

Εισαγωγή σε έννοιες επιστημονικών υπολογισμών με υπολογιστή Τι είναι Αριθμητικές Μέθοδοι; Τεχνικές λύσης μαθηματικών προβλημάτων με αριθμητικές πράξεις: Πολλές αριθμητικές πράξεις. Μόνο με υπολογιστές. Τι γινόταν σε παλιότερες (χωρίς υπολογιστές) εποχές; Αναλυτικές (ακριβείς) λύσεις χρήσιμες-όμορφες αλλά μόνο για ορισμένα γραμμικά προβλήματα. Γραφικές λύσεις διαγράμματα. Όχι πολύ ακριβείς-δύσκολες να εφαρμοσθούν χωρίς υπολογιστή. Αριθμομηχανές Κουραστικές για πολύπλοκα προβλήματα αλλά και με πολλά λάθη. 7

Προβλήματα μηχανικών (1) Α) Χωρίς υπολογιστή: Σχήμα 1. Προβλήματα Μηχανικών (χωρίς υπολογιστή). 8

Προβλήματα μηχανικών (2) Β) Με υπολογιστή: Σχήμα 2. Προβλήματα Μηχανικών (με υπολογιστή). 9

Γιατί αριθμητικές μέθοδοι; Πολύ δυνατές (μη γραμμικά και πολύπλοκα προβλήματα). Έτοιμα λογισμικά και προγράμματα (για παράδειγμα EXCEL, MatLab, MathCad). Σύνταξη δικών μας προγραμμάτων. Σωστή χρήση των υπολογιστών. Καλύτερη κατανόηση των μαθηματικών. 10

Μαθηματικά προβλήματα (1) Σχήμα 3. Μαθηματικά προβλήματα (1), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 11

Μαθηματικά προβλήματα (2) Σχήμα 4. Μαθηματικά προβλήματα (2), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 12

Μαθηματικά μοντέλα και προβλήματα μηχανικών Εξίσωση που περιγράφει τα βασικά χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος ή διεργασίας. Απαιτείται η κατανόηση του φυσικού συστήματος. Είτε με παρατήρηση και πείραμα. Θεωρητική ανάλυση και γενίκευση. Οι υπολογιστές είναι σημαντικά εργαλεία αλλά χωρίς την βασική κατανόηση του συστήματος είναι ΑΧΡΗΣΤΑ. 13

Μαθηματικά μοντέλα και προβλήματα μηχανικών Εξίσωση που περιγράφει τα βασικά χαρακτηριστικά ενός φυσικού συστήματος ή διεργασίας. Απαιτείται η κατανόηση του φυσικού συστήματος. Είτε με παρατήρηση και πείραμα. Θεωρητική ανάλυση και γενίκευση. Οι υπολογιστές είναι σημαντικά εργαλεία αλλά χωρίς την βασική κατανόηση του συστήματος είναι ΑΧΡΗΣΤΑ. 14

Η διεργασία λύσης προβλήματος Σχήμα 5. Η διεργασία της λύσης προβλήματος. 15

Μαθηματικό μοντέλο Εξαρτημένη μεταβλητή: Συνήθως εκφράζει την κατάσταση του συστήματος ή διεργασίας. Ανεξάρτητες μεταβλητές: Οι διαστάσεις του συστήματος ή ο χρόνος ως προς τις οποίες μελετούμε το σύστημα. Παράμετροι: ιδιότητες ή σύσταση του συστήματος. Συναρτήσεις: εξωτερικές επιδράσεις που επηρεάζουν το σύστημα. 16

2 ος νόμος του Νεύτωνα (1) «Η δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής ενός σώματος». Εξίσωση: F = m x a F=συνισταμένη δύναμη (N). m=μάζα του σώματος (kg). a=επιτάχυνση(m/s 2 ). 17

2 ος νόμος του Νεύτωνα (2) Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα είναι ένα μαθηματικό μοντέλο του φυσικού κόσμου: Περιγράφει ένα σύστημα ή μια διεργασία με μαθηματικό τρόπο. Αποτελεί μια εξιδανίκευση ή απλοποίηση της πραγματικότητας. Επειδή μας δίνει επαναλήψιμα αποτελέσματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε την συμπεριφορά ενός συστήματος. 18

Γενικότερα: Μερικά μαθηματικά μοντέλα μπορεί να είναι πιο πολύπλοκα. Πολύπλοκα μοντέλα μπορεί να μην λύνονται ακριβώς ή να απαιτούν πιο εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές. Π.χ. ο αλεξιπτωτιστής: 19

Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή (1) Σχήμα 6. Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 20

Παράδειγμα αλεξιπτωτιστή (2) Γραμμική διαφορική εξίσωση 1 ης τάξης. Αρχικές συνθήκες (υ=0 σε t=0), ακριβής λύση. 21

Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα (1) Βασικά σε χημικούς μηχανικούς και μηχανικούς περιβάλλοντος. Συσσώρευση = ρυθμός αύξησης ρυθμός ελάττωσης. Σε σταθερή κατάσταση (steady-state). ρυθμός αύξησης = ρυθμός ελάττωσης. 22

Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα (2) Σχήμα 7. Εξισώσεις ισοζυγίων σε συστήματα, πηγή: Chapra & Canale, 2010. Σε σταθερή κατάσταση (steady-state) ρυθμός αύξησης = ρυθμός ελάττωσης 100 + 80 = 120 + Flow 4 Flow 4 = 60 23

Ισοζύγια μάζας Σχήμα 8. Ισοζύγια μάζας, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 24

Εξοικείωση με το Excel m=68,1 kg. c=12,5 kg/s (συντελεστής τριβής). Να υπολογισθεί η ταχύτητα πριν την διάνοιξη του Αλεξίπτωτου. Αναλυτική λύση. Σχήμα 9. Εξοικείωση με το Excel, πηγή: Chapra & Canale, 2010. 25

Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler) Νέα τιμή= παλιά τιμή +κλίση βήμα Σχήμα 10. Προσεγγιστική λύση (Μέθοδος Euler), πηγή: Chapra & Canale, 2010. 26

Βιβλιογραφία Chapra, S. C. & Canale, R. P. (2010). Numerical methods for engineers - 6 th Edition. McGraw-Hill. 27

Τέλος Ενότητας