Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Φυσικού Τμήματος «Υπολογιστική Φυσική» Θέμα εργασίας στο A Μέρος του μαθήματος «Προσομοίωση Χαοτικών Συστημάτων» Οδηγίες: Σχετικά με την παράδοση της εργασίας θα πρέπει: Το κείμενο της αναφοράς της ανάλυσης που ζητείται να είναι ευανάγνωστο και κατά προτίμηση να είναι γραμμένο σε κάποιο πρόγραμμα επεξεργασίας κειμένου (Word, LaTeX). Η συνάρτηση (ή συναρτήσεις) καθώς και οι εντολές atlab που χρησιμοποιήθηκαν, τα γραφήματα (από το atlab) και οι πίνακες να παρουσιάζονται στο σημείο του κειμένου που αναφέρονται. Η εργασία να είναι εκτυπωμένη σε χαρτί και να την έχει μαζί του ο φοιτητής κατά την εξέταση. Επίσης να έχει σε ηλεκτρονική μορφή τα προγράμματα atlab που χρησιμοποίησε στην εργασία. Δεδομένα: Όλοι οι φοιτητές θα χρησιμοποιήσουν τις δύο χρονοσειρές που δίνονται στη διεύθυνση http://users.auth.gr/dkugiu/teach/chaossiulation/ (στην παράγραφο για το θέμα της εργασίας) ως x.dat και y.dat. Οι απαντήσεις που ζητούνται στην εργασία θα δοθούν και για τις δύο χρονοσειρές. Σημείωση: Για τη μεταφορά σχήματος από το atlab στο πρόγραμμα επεξεργασίας κειμένου θα πρέπει να αποθηκεύσετε το σχήμα σε αρχείο χρησιμοποιώντας είτε το παράθυρο εντολών (δες εντολή print του atlab) ή το μενού στο παράθυρο του σχήματος (File -> Export). Για μεταφορά στο Word υπάρχουν διάφορες κατάλληλες μορφές αρχείου εικόνας, η πιο απλή είναι Enhanced Metafile (*.ef). Για μεταφορά στο LaTeX η πιο κατάλληλη μορφή είναι Encapsulated Postscript (*.eps). Εργασίες: Ο κάθε φοιτητής θα κάνει μια από τις παρακάτω εργασίες. Η επιλογή θα γίνει με κλήρο. Για όλες τις εργασίες θα χρησιμοποιηθούν οι δύο χρονοσειρές. Εργασία. Τοπικό μέγιστο σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων είναι ένα σημείο x t όταν αυτό είναι μέγιστο σε ένα παράθυρο παρατηρήσεων μήκους 2k+ με κέντρο το σημείο αυτό (μεγαλύτερο από τις k προηγούμενες και k επόμενες παρατηρήσεις). Σε κάθε ταλάντωση αντιστοιχεί ένα τοπικό μέγιστο (κορυφή της ταλάντωσης). Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε από μια χρονοσειρά ταλαντώσεων να ορίσουμε μια νέα χρονοσειρά τοπικών μέγιστων. Φτιάξε μια συνάρτηση, που όταν δίνεται μια χρονοσειρά ταλαντώσεων και ένα παράθυρο k θα δημιουργεί μια νέα χρονοσειρά που θα αποτελείται από τα τοπικά μέγιστα (στη χρονική σειρά που Χρησιμοποίησε τη νέα χρονοσειρά και σύγκρινε τις προβλέψεις με ένα γραμμικό και ένα τοπικό (γραμμικό ή μέσων όρων) μοντέλο. Γι αυτό υπολόγισε το σφάλμα πρόβλεψης για ένα χρονικό βήμα μπροστά με τα δύο μοντέλα και για τάξεις (ή αντίστοιχα διαστάσεις εμβύθισης) =,,5. Εργασία 2. Ως μέσος χρόνος ταλάντωσης ορίζεται το αντίστροφο της συχνότητας που αντιστοιχεί στη μέγιστη τιμή του φάσματος ισχύος. Γι την εκτίμηση του φάσματος ισχύος μπορείς να χρησιμοποιήσεις κάποιον εξομαλυμένο εκτιμητή του φάσματος ισχύος, όπως τον εκτιμητή του Welch που δίνεται με τη συνάρτηση pwelch του atlab.
Φτιάξε μια συνάρτηση που να υπολογίζει το μέσο χρόνο ταλάντωσης σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων. Χρησιμοποίησε την εκτίμηση του μέσου χρόνου ταλάντωσης για να εκτιμήσεις την παράμετρο υστέρησης τ ως το ένα τέταρτο αυτού του χρόνου. Σύγκρινε αυτήν την εκτίμηση με την εκτίμηση του τ από το πρώτο ελάχιστο της αμοιβαίας πληροφορίας. Χρησιμοποιώντας τις δύο εκτιμήσεις του τ (ή τη μια αν τυχαίνει να συμπέσουν), εκτίμησε τη διάσταση συσχέτισης για κατάλληλο εύρος διαστάσεων εμβύθισης. Μπορεί να βρεθεί αξιόπιστη εκτίμηση της διάστασης συσχέτισης για τις επιλεγμένες υστερήσεις? Εργασία 3. Ως υστέρηση μηδενικής συσχέτισης ορίζεται η υστέρηση για την οποία η αμοιβαία πληροφορία φτάνει στο όριο της μηδενικής συσχέτισης. Γι αυτό μπορείς να θεωρήσεις ένα παράθυρο μεγάλων υστερήσεων και από αυτό να εκτιμήσεις την περιοχή της μηδενικής συσχέτισης (π.χ. η περιοχή που ορίζεται από το μέσο όρο ± τυπική απόκλιση των τιμών της αμοιβαίας πληροφορίας στις υστερήσεις 50 ως 60). Φτιάξε μια συνάρτηση που να υπολογίζει την υστέρηση μηδενικής συσχέτισης σε μια χρονοσειρά. Χρησιμοποίησε την εκτίμηση της υστέρησης μηδενικής συσχέτισης για να ορίσεις το παράθυρο τ w ανακατασκευής του χώρου καταστάσεων, για το οποίο ισχύει τ w = (-)τ. Υπολόγισε τη διάσταση συσχέτισης για διαφορετικούς συνδυασμούς της υστέρησης τ και της διάστασης εμβύθισης που δίνουν (προσεγγιστικά) το εκτιμώμενο τ w. Σύγκρινε αυτές τις εκτιμήσεις της διάστασης συσχέτισης με τις εκτιμήσεις για σταθερή υστέρηση τ (εκτιμώμενη από το κριτήριο της αμοιβαίας πληροφορίας) και αυξανόμενα. Αξιολόγησε τα αποτελέσματα από τις εκτιμήσεις αυτές και σχολίασε αν η εκτίμηση του τ w από την υστέρηση μηδενικής συσχέτισης μπορεί να είναι χρήσιμη. Εργασία 4. Ως τοπικό μέγιστο σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων ορίζεται ένα σημείο x t όταν είναι μεγαλύτερο από τα x t- και x t+. Για να αποφύγεις την ύπαρξη ψευδών μεγίστων (λόγω θορύβου) εξομάλυνε πρώτα τη χρονοσειρά εφαρμόζοντας ένα φίλτρο. Αν p είναι η τάξη του φίλτρου και x το διάνυσμα της χρονοσειράς μπορείς να χρησιμοποιήσεις στο atlab: >b = ones(,p)/p; >y = filtfilt(b,,x); Από τις χρονικές στιγμές των τοπικών μεγίστων, μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο μεταξύ δύο παρακείμενων τοπικών μεγίστων (που αντιστοιχεί στο χρόνο ταλάντωσης). Φτιάξε μια συνάρτηση, που όταν δίνεται μια χρονοσειρά ταλαντώσεων και μια τάξη φίλτρου p δημιουργεί μια νέα χρονοσειρά που αποτελείται από τους χρόνους μεταξύ συνεχόμενων τοπικών μεγίστων (στη χρονική σειρά που Χρησιμοποίησε τη νέα χρονοσειρά και υπολόγισε τη διάσταση συσχέτισης για υστέρηση εκτιμώμενη με το κριτήριο της αμοιβαίας πληροφορίας και κατάλληλο εύρος διαστάσεων εμβύθισης. Κάνε το ίδιο για την αρχική χρονοσειρά των ταλαντώσεων. Σύγκρινε τα αποτελέσματα από τις εκτιμήσεις της διάστασης συσχέτισης στις δύο χρονοσειρές. Εργασία 5. Ως τοπικό ελάχιστο σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων ορίζεται ένα σημείο x t όταν αυτό είναι ελάχιστο σε ένα παράθυρο μήκους 2k+ με κέντρο το σημείο αυτό. Φτιάξε μια συνάρτηση, που όταν δίνεται μια χρονοσειρά ταλαντώσεων και ένα παράθυρο k δημιουργεί μια νέα χρονοσειρά που αποτελείται από τα τοπικά ελάχιστα (στη χρονική σειρά που Χρησιμοποίησε τη νέα χρονοσειρά και σύγκρινε τις προβλέψεις με ένα γραμμικό και ένα τοπικό (γραμμικό ή μέσων όρων) μοντέλο. Γι αυτό υπολόγισε το σφάλμα πρόβλεψης για ένα χρονικό βήμα μπροστά με τα δύο μοντέλα και για τάξεις (ή αντίστοιχα διαστάσεις εμβύθισης) =,,5. Εργασία 6. 2
Ο μέσος χρόνος ταλάντωσης ορίζεται με τους παρακάτω δύο τρόπους: () Ο χρόνος υστέρησης που αντιστοιχεί στο δεύτερο τοπικό μέγιστο της συνάρτησης αμοιβαίας πληροφορίας ως προς την υστέρηση. (2) Ο χρόνος υστέρησης που αντιστοιχεί στο πρώτο τοπικό μέγιστο της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ως προς την υστέρηση. Φτιάξε μια συνάρτηση που να υπολογίζει το μέσο χρόνο ταλάντωσης σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων με τους δύο τρόπους. Χρησιμοποίησε τον εκτιμώμενο χρόνο ταλάντωσης με το κάθε ένα από τους δύο τρόπους για να εκτιμήσεις το παράθυρο εμβύθισης της ανακατασκευής του χώρου καταστάσεων, δηλαδή το τ w =(-)τ, όπου είναι η διάσταση εμβύθισης και τ η υστέρηση. Υπάρχουν διαφορετικοί συνδυασμοί των και τ που προσεγγιστικά δίνουν το ίδιο (περίπου) παράθυρο εμβύθισης. Εκτίμησε τη διάσταση συσχέτισης για όλους τους συνδυασμούς των και τ που δίνουν προσεγγιστικά τις δύο εκτιμήσεις (() και (2)) του παράθυρου εμβύθισης τ w (ή τη μια αν τυχαίνει να συμπέσουν). Σύγκρινε τα αποτελέσματα σου. Εργασία 7. Ως χρόνος αρνητικού περάσματος του μηδενός (zero crossing) t j σε μια χρονοσειρά ταλαντώσεων ορίζεται η χρονική στιγμή που η χρονοσειρά τέμνει τη μέση τιμή της μ (ή το μηδέν αν έχουμε πρώτα αφαιρέσει από τις παρατηρήσεις τη μέση τιμή) από μεγαλύτερες προς μικρότερες τιμές. Σαρώνοντας τη χρονοσειρά μπορούμε να βρούμε μια σειρά από τέτοιους χρόνους, έστω t j για j=,,n z +, όπου n z + είναι το πλήθος των χρόνων αρνητικού περάσματος του μηδενός. Για να αντιμετωπίσεις το θόρυβο στα δεδομένα και να εντοπίσεις σωστά τα αρνητικά περάσματα του μηδενός, εξομάλυνε πρώτα τη χρονοσειρά εφαρμόζοντας ένα φίλτρο. Αν p είναι η τάξη του φίλτρου και x το διάνυσμα της χρονοσειράς μπορείς να χρησιμοποιήσεις στο atlab: >b = ones(,p)/p; >y = filtfilt(b,,x); Για την εξομαλυμένη χρονοσειρά οι χρόνοι αρνητικού περάσματος από το μηδέν t j για j=,,n z +, ορίζονται ως y(t j ) μ και y(t j +) < μ. ως έξοδο τη χρονοσειρά των χρονικών διαστημάτων μεταξύ συνεχόμενων αρνητικών περασμάτων του μηδενός, που ορίζεται ως z j = t j+ - t j, j=,,n z. Κάλεσε τη συνάρτηση αυτή για να δημιουργήσεις από μια χρονοσειρά ταλαντώσεων x τη χρονοσειρά z των χρονικών διαστημάτων μεταξύ συνεχόμενων αρνητικών περασμάτων του μηδενός. Στη συνέχεια δημιούργησε Μ=40 χρονοσειρές, όπου η κάθε μια σχηματίζεται με τυχαία αντιμετάθεση των παρατηρήσεων z j, j=,,,n z. Για αυτό μπορείς να καλέσεις την συνάρτηση randper του atlab. Σύγκρινε την προσαρμογή με γραμμικό μοντέλο στη χρονοσειρά z και τις Μ τυχαιοποιημένες χρονοσειρές. Γι αυτό υπολόγισε το σφάλμα προσαρμογής (NRMSE) για ένα χρονικό βήμα μπροστά και για τάξεις μοντέλου από ως 5. Κάνε ένα σχήμα με τα γραφήματα NRMSE προς για τη χρονοσειρά z και τις Μ τυχαιοποιημένες χρονοσειρές. Φαίνεται να δίνουν το ίδιο σφάλμα προσαρμογής οι τυχαιοποιημένες χρονοσειρές με την αρχική χρονοσειρά? Εργασία 8. Μια χρονοσειρά x αριθμητικών παρατηρήσεων μπορεί να μετατραπεί σε χρονοσειρά διακεκριμένων τιμών (ή συμβόλων) ως εξής. Χωρίζουμε το πεδίο τιμών της x σε p διαστήματα ίδιου μήκους (ισομήκη διαμέριση) και τα διατάσσουμε με τον αντίστοιχο αύξοντα αριθμό από ως p. Κάθε παρατήρηση στη χρονοσειρά αντικαθίσταται από τον αύξοντα αριθμό του διαστήματος που ανήκει. ως έξοδο τη χρονοσειρά των διακεκριμένων τιμών από την ισομήκη διαμέριση. Για μια αρχική χρονοσειρά x, κάλεσε τη συνάρτηση τρεις φορές, τη μια για p=4, την άλλη για p=6 και την τρίτη φορά για p=64 και έστω y, z και w οι τρεις παραγόμενες χρονοσειρές. 3
Χρησιμοποίησε την αρχική χρονοσειρά x και τις τρεις χρονοσειρές y, z και w και υπολόγισε τη διάσταση συσχέτισης για υστέρηση εκτιμώμενη με το κριτήριο της αμοιβαίας πληροφορίας στη x και κατάλληλο εύρος διαστάσεων εμβύθισης. Σύγκρινε τα αποτελέσματα από τις εκτιμήσεις της διάστασης συσχέτισης στις τέσσερεις χρονοσειρές. Εργασία 9. Μια χρονοσειρά x αριθμητικών παρατηρήσεων μπορεί να μετατραπεί σε χρονοσειρά διακεκριμένων τιμών (ή συμβόλων) ως εξής. Χωρίζουμε το πεδίο τιμών της x σε p διαστήματα τα οποία επιλέγονται έτσι ώστε να περιέχουν το ίδιο πλήθος παρατηρήσεων (ισοπίθανη διαμέριση). Διατάσσουμε τα διαστήματα με τον αντίστοιχο αύξοντα αριθμό από ως p. Κάθε παρατήρηση στη χρονοσειρά αντικαθίσταται από τον αύξοντα αριθμό του διαστήματος που ανήκει. ως έξοδο τη χρονοσειρά των διακεκριμένων τιμών από την ισοπίθανη διαμέριση. Για μια αρχική χρονοσειρά x, κάλεσε τη συνάρτηση τρεις φορές, τη μια για p=4, την άλλη για p=6 και την τρίτη φορά για p=64 και έστω y, z και w οι τρεις παραγόμενες χρονοσειρές. Χρησιμοποίησε την αρχική χρονοσειρά x και τις τρεις χρονοσειρές y, z και w και υπολόγισε τη διάσταση συσχέτισης για υστέρηση εκτιμώμενη με το κριτήριο της μηδενικής αυτοσυσχέτισης στη x και κατάλληλο εύρος διαστάσεων εμβύθισης. Σύγκρινε τα αποτελέσματα από τις εκτιμήσεις της διάστασης συσχέτισης στις τέσσερεις χρονοσειρές. Εργασία 0. Θεωρείστε την αποκοπή (δεκαδικών) ψηφίων ώστε η παράσταση των τιμών της χρονοσειράς να δίνεται σε τρία σημαντικά ψηφία, π.χ. η τιμή.239 για μια χρονοσειρά x γίνεται.2 και η τιμή 287 για μια χρονοσειρά y γίνεται 28. Φτιάξε μια συνάρτηση που να παίρνει ως είσοδο μια χρονοσειρά και την παράμετρο p που ορίζει τα σημαντικά ψηφία και να δίνει ως έξοδο τη χρονοσειρά των τιμών στην ακρίβεια των p σημαντικών ψηφίων. Για μια αρχική χρονοσειρά x, κάλεσε τη συνάρτηση 2 φορές, τη μια για p=2 και την άλλη για p=3 και έστω y, z οι δύο παραγόμενες χρονοσειρές. Χρησιμοποίησε την αρχική χρονοσειρά x και τις δύο χρονοσειρές y και z και υπολόγισε την προσαρμογή με τοπικά μοντέλα μέσου όρου. Γι αυτό εκτίμησε πρώτα την υστέρηση τ με το κριτήριο της αμοιβαίας πληροφορίας στη x. Στη συνέχεια υπολόγισε για κάθε μια από τις χρονοσειρές x, y και z το σφάλμα προσαρμογής (NRMSE) για χρονικά βήματα μπροστά T=,,5, για την εκτιμώμενη υστέρηση τ, για διάσταση εμβύθισης του μοντέλου μέσου όρου =,,0 και για πλήθος γειτόνων K=0. Κάνε ένα σχήμα για κάθε βήμα πρόβλεψης Τ με τα γραφήματα NRMSE προς για τις χρονοσειρές x, y και z. Φαίνεται να δίνουν το ίδιο σφάλμα προσαρμογής οι τρεις χρονοσειρές? Εργασία. Η μέθοδος των κοντινότερων ψευδών γειτόνων (false nearest neighbors, FNN) χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της διάστασης εμβύθισης. Οι ψευδείς γείτονες εντοπίζονται ως εξής. Έστω η ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων με τη μέθοδο των υστερήσεων για κάποια διάσταση και υστέρηση τ, δηλαδή τα ανακατασκευασμένα σημεία είναι x i = [ xi, xi+ τ,, xi+ ( ) τ]'. Έστω ότι για κάποιο σημείο x i ο κοντινότερος γείτονας είναι το x j. Αυξάνουμε τη διάσταση εμβύθισης σε + και + + ελέγχουμε αν η απόσταση των δύο σημείων xi και x j στο χώρο επαυξημένης διάστασης ξεπερνάει ένα κατώφλι R (π.χ. R=0), οπότε και χαρακτηρίζονται ψευδή γειτονικά σημεία. Σύμφωνα με τον κανόνα ανακατασκευής τα σημεία στο χώρο διάστασης + σχηματίζονται ως + x = [ x, x,, x, x ]'. i i i+ τ i+ ( ) τ i+ τ Μια παραλλαγή της μεθόδου FNN είναι να θεωρήσουμε τις υστερήσεις στην αντίθετη χρονική κατεύθυνση (αρνητικές υστερήσεις), δηλαδή τα ανακατασκευασμένα σημεία να σχηματίζονται ως 4
x = [ x, x,, x ]' για διάσταση εμβύθισης και i i i τ i ( ) τ x = [ x, x,, x, x ]' για + i i i τ i ( ) τ i τ διάσταση εμβύθισης +. Εφάρμοσε τη μέθοδο FNN με αυτήν την παραλλαγή (κάνε τις απαραίτητες αλλαγές στο πρόγραμμα falsenearest στο atlab). Χρησιμοποίησε τους δύο αλγόριθμους FNN για την εκτίμηση της κατάλληλης διάστασης εμβύθισης. Για μια χρονοσειρά x, εκτίμησε πρώτα την υστέρηση τ με τη μέθοδο του πρώτου ελαχίστου της αμοιβαίας πληροφορίας. Στη συνέχεια υπολόγισε το ποσοστό ψευδών γειτόνων (%FNN) για ένα εύρος τιμών της διάστασης εμβύθισης και με τους δύο αλγόριθμους. Κάνε ένα σχήμα με το γράφημα του %FNN προς για τον κάθε ένα από τους δύο τρόπους. Σύγκρινε και σχολίασε τα αποτελέσματα. Εργασία 2. Ως παράμετρο υστέρησης για την ανακατασκευή του χώρου καταστάσεων από χρονοσειρά x με τη μέθοδο των υστερήσεων προτείνεται η υστέρηση τ που καθιστά τα x i και x i-τ λιγότερο συσχετισμένα. Σε ένα διάγραμμα διασποράς των x i και x i-τ, το κατάλληλο τ σύμφωνα με αυτό το κριτήριο θα πρέπει να κάνει τα σημεία [x i, x i-τ ] περισσότερο σκορπισμένα. Ένας τρόπος να μετρήσουμε το σκόρπισμα των σημείων είναι από τις ιδιάζουσες τιμές (singular values) του πίνακα τροχιάς, δηλαδή του πίνακα μεγέθους (n-τ) x 2 με γραμμές [x i, x i-τ ] για i=τ+,,n, όπου n το μήκος της χρονοσειράς. Οι ιδιάζουσες τιμές προκύπτουν από την ανάλυση των ιδιάζουσων τιμών (Singular Value Decoposition, SVD), που συνιστά την περιστροφή των αρχικών (φυσικών) αξόνων (x i και x i-τ στην περίπτωση μας), έτσι ώστε ο πρώτος κύριος άξονας (first principal axis) να είναι στη διεύθυνση με τη μεγαλύτερη διασπορά των σημείων, ο δεύτερος κύριος άξονας να είναι στη διεύθυνση με την αμέσως μικρότερη διασπορά των σημείων κτλ. (στην περίπτωση μας έχουμε δύο άξονες). Η ιδιάζουσα τιμή μετρά ακριβώς τη διασπορά των σημείων στον αντίστοιχο άξονα. Αν οι δύο ιδιάζουσες τιμές διαφέρουν πολύ, δηλαδή σ >>σ 2 τότε τα σημεία απλώνονται κυρίως κατά μήκος του πρώτου κύριου άξονα. Όσο ο λόγος σ /σ 2 πλησιάζει τη μονάδα τόσο τα σημεία σκορπίζουν και στους δύο κύριους άξονες. Όταν σ /σ 2 <2 ουσιαστικά τα σημεία απλώνονται και στις δύο κατευθύνσεις και άρα είναι σκορπισμένα στο καρτεσιανό επίπεδο και είναι ασυσχέτιστα. Ψάχνουμε λοιπόν να βρούμε το μικρότερο τ για το οποίο ο λόγος σ /σ 2 είτε είναι μικρότερος του 2 ή είναι τοπικό ελάχιστο, δηλαδή για μεγαλύτερα τ αυξάνει (όπως και για μικρότερα). Περιμένουμε να υπάρχει τέτοιο τοπικό ελάχιστο γιατί καθώς η υστέρηση αυξάνει το «άπλωμα» του ελκυστή (stretching) γίνεται «δίπλωμα» (folding). Ας ονομάσουμε αυτήν την εκτίμηση της κατάλληλης υστέρησης τ * ως εκτίμηση των ιδιάζουσων τιμών. Φτιάξε μια συνάρτηση που να υπολογίζει το τ * σε μια χρονοσειρά. Χρησιμοποίησε την εκτίμηση της παραμέτρου υστέρησης από την παραπάνω συνάρτηση (υστέρηση ιδιάζουσων τιμών) και από το πρώτο ελάχιστο της αμοιβαίας πληροφορίας. Για υστέρηση εκτιμώμενη με τα δύο παραπάνω κριτήρια και κατάλληλο εύρος διαστάσεων εμβύθισης υπολόγισε (α) τη διάσταση συσχέτισης και (β) το σφάλμα προσαρμογής (NRMSE) με τοπικό μοντέλο για χρονικά βήματα μπροστά T=,,5 και για πλήθος γειτόνων K=0. Κάνε τα κατάλληλα σχήματα και σύγκρινε τα αποτελέσματα από τις εκτιμήσεις της διάστασης συσχέτισης και τα σφάλματα προσαρμογής για τις δύο επιλογές του τ. 5