ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ R = {< m 1 ; : : : ; m n > N n N = ö(m 1 ; : : : ; m n )}. Äåßîôå üôé êüèå áíáäñïìéêþ ó Ýóç åßíáé áñéèìçôéêþ. Ëýóç. óôù R N n ìéá áíáäñïìéêþ ó Ýóç. Áðü ôçí Ðñüôáóç 4.3.6, ç R åßíáé åêöñüóéìç óôï P, äçëáäþ õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã èá 1 ôýôïéïò ðïõ 1. áí < m 1 ; : : : ; m n > R, ôüôå P ö(m 1 ; : : : ; m n ), 2. áí < m 1 ; : : : ; m n > R, ôüôå P ö(m 1 ; : : : ; m n ). Óýìöùíá ìå ôçí ðáñáôþñçóç ìåôü ôïí ïñéóìü 4.3.1, áöïý ç R åßíáé åêöñüóéìç óôï Ñ êáé N = P, ç R åßíáé ïñßóéìç óôç N áðü ôïí ö. ÄçëáäÞ éó ýåé åðïìýíùò ç R åßíáé áñéèìçôéêþ. < m 1 ; : : : ; m n > R N = ö(m 1 ; : : : ; m n ), óêçóç 2. Äåßîôå üôé P 1 P 6 + ÁÐÅ P 7, üðïõ P 1 P 7 åßíáé ôá áîéþìáôá Peano êáé ÁÐÅ ôï áîéùìáôéêü ó Þìá "ðëþñïõò åðáãùãþò". Ëýóç. Ãéá åõêïëßá èåùñïýìå ôçí ìïñöþ ôçò ÁÐÅ ùñßò ðáñáìýôñïõò, äçëáäþ ôçí x( y(y < x ö(y)) ö(x)) xö(x) êáé èá äåßîïõìå üôé éó ýåé ôï Ñ7 ðüëé ùñßò ðáñáìýôñïõò, äçëáäþ ö(0) x(ö(x) ö(x )) xö(x). óôù ö(x) ôõ áßïò ôýðïò ôçò Ã1 èá êáé A äïìþ ôýôïéá ðïõ éó ýïõí ôá ðáñáêüôù: A = P 1 P 6 + ÁÐÅ, A = ö(0) êáé A = x(ö(x) ö(x )) (1). Èá äåßîïõìå üôé éó ýåé 1

A = x( y(y < x ö(y)) ö(x)), äçëáäþ üôé éó ýåé äçëáäþ ãéá êüèå á A: A = y(y < á ö(y)) ö(á), ãéá êüèå á A: áí A = y(y < á ö(y)), ôüôå A = ö(á). óôù ôõ áßï á A êáé éó ýåé A = y(y < á ö(y)) (2). ÈÝëïõìå íá äåßîïõìå üôé éó ýåé A = ö(á). ÅîåôÜæïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò Á. á = 0. Ôüôå ëüãù ôçò õðüèåóçò (1), éó ýåé üôé A = ö(0), åðïìýíùò éó ýåé êáé ç óõíåðáãùãþ áí A = y(y < 0 ö(y)), ôüôå A = ö(0). Â. á 0. Ôüôå õðüñ åé b A ôýôïéï ðïõ A = b < á á = b. Áðü ôçí õðüèåóç (2) éó ýåé üôé A = b < á ö(b), åðïìýíùò áöïý A = b < á, èá éó ýåé üôé A = ö(b). Áðü ôçí õðüèåóç (1) ðáßñíïõìå üôé A = ö(b) ö(b ). Áðü ôéò äõï ôåëåõôáßåò ó Ýóåéò Ýðåôáé üôé éó ýåé A = ö(b ) êáé áöïý A = á = b, Ý ïõìå üôé A = ö(á), äçëáäþ ôï æçôïýìåíï. ôóé Ý ïõìå äåßîåé üôé éó ýåé A = x( y(y < x ö(y)) ö(x)) êáé ñçóéìïðïéþíôáò ôçí õðüèåóç üôé A = ÁÐ Å, ðáßñíïõìå ôï æçôïýìåíï A = xö(x). ÔåëéêÜ äåßîáìå üôé áí A = P 1 P 6+ÁÐÅ êáé A = ö(0) x(ö(x) ö(x )), ôüôå A = xö(x) äçëáäþ üôé áí A = P 1 P 6 + ÁÐÅ, ôüôå A = ö(0) x(ö(x) ö(x )) xö(x), äçëáäþ üôé P 1 P 6 + ÁÐÅ P 7. 2

óêçóç 3. Äåßîôå áíáëõôéêü (äçëáäþ âñßóêïíôáò êáôüëëçëç áêïëïõèßá óõíáñôþóåùí) üôé ç óõíüñôçóç åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. [ n ] = ôï áêýñáéï ìýñïò ôïõ áñéèìïý n Ëýóç. Ç óõíüñôçóç [ n ] = ïñßæåôáé áíáäñïìéêü ùò åîþò: [ 0 ] = 0 [ { [ n ] + 1; áí ([ n ] + 1) 2 = n + 1; n + 1 ] = [, n ]; áëëéùò: äçëáäþ [ 0 ] = 0 [ n + 1 ] = h(n; [ n], üðïõ h(x; y) = S(P 2 2 (x; y)) C =( S(P 2 2 (x; y)) S(P 2 2 (x; y)); S(P 2 1 (x; y))) + P 2 2 (x; y) [1 C = ( S(P 2 2 (x; y)) S(P 2 2 (x; y)); S(P 2 1 (x; y))) ] Ïé óõíáñôþóåéò P 2 1 ; P 2 2 ; C =; S; +; ; åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò, åðïìýíùò ç h åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé áðü ôéò óõíáñôþóåéò áõôýò ìå áíôéêáôüóôáóç. ÔÝëïò ç [ n] åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé ìå áíáäñïìþ áðü ôéò Æ; h. óêçóç 4. óôù Q ôï óýíïëï áîéùìüôùí ôïõ R. Robinson, äçëáäþ ôï óýíïëï P 1 P 6 + R, üðïõ R åßíáé ôï áîßùìá x 1 [x 1 0 x 2 (x 2 x 1)]. ÄéêáéïëïãÞóôå áíáëõôéêü ãéáôß êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. Ëýóç. Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá áðïäåßîïõìå üôé êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q ðñýðåé íá éó ýïõí ôá ðáñáêüôù: 1. Ïé âáóéêýò óõíáñôþóåéò Æ; S; P n i íá åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò óôï Q, 2. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìå áíáäñïìþ áðü áíáðáñáóôüóéìåò óõíáñôþóåéò óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q, 3. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìýóù ôïõ ì ôåëåóôþ áðü áíáðáñáóôüóéìç óõíüñôçóç óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. 4. ÊÜèå óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé ìå áíôéêáôüóôáóç áðü áíáðáñáóôüóéìåò óõíáñôþóåéò óôï Q, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q. 3

Áíáëõôéêüôåñá: Ãéá ôï (1), Ý ïõìå äåßîåé üôé ïé óõíáñôþóåéò Æ; S; P n i åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 3 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óå êüèå óýíïëï ðñïôüóåùí Ô, åðïìýíùò êáé óôï Q, áðü ôïõò ôýðïõò x 1 x 1 x 2 0, x 2 x 1 êáé x 1 x 1 x n x n x n+1 x i áíôßóôïé á. Ãéá ôï (4) åðßóçò Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f(x 1 ; : : : ; x n ) = g(h 1 (x 1 ; : : : ; x n ); : : : ; h k (x 1 ; : : : ; x n )), üðïõ ïé g; h i åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò óôï ôõ áßï Ô, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 3 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óôï Ô. Ãéá ôï (3) Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f(x 1 ; : : : ; x n ) = ìy ( g(x 1 ; : : : ; x n ; y) = 0 ), üðïõ ç g åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ñ, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ñþóç ôïõ ïñéóìïý 2 ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò) óôï Ñ. Óôçí óõãêåêñéìýíç áðüäåéîç ñçóéìïðïéþèçêáí ç ðñüôáóç 4.2.4(â) êáé ç ðñüôáóç 4.2.3(6) üðïõ y = k, k N. Ãéá ôï (2) Ý ïõìå äåßîåé üôé êüèå óõíüñôçóç f ðïõ ïñßæåôáé ùò: f(x 1 ; : : : ; x n ; 0) = g(x 1 ; : : : ; x n ) f(x 1 ; : : : ; x n ; y + 1) = h(x 1 ; : : : ; x n ; y; f(x 1 ; : : : ; x n ; y)), üðïõ ïé g; h åßíáé áíáðáñáóôüóéìåò (ìå ôçí Ýííïéá 2) óôï P, åßíáé áíáðáñáóôüóéìç (ìå ôçí Ýííïéá 2) óôï P. Óôçí áðüäåéîç áõôþ ñçóéìïðïéþèçêáí ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá óôï Ñ ôçò óõíüñôçóçò â êáé ç ðñüôáóç 4.2.4(â). Ðñïöáíþò óôï Q ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ôá øçößá áëëü êáé ôï óýìâïëï <. Áðü ôá ðáñáðüíù ðñïêýðôåé üôé ãéá íá éó ýåé ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôùí áíáäñïìéêþí óõíáñôþóåùí óôï Q ðñýðåé íá áðïäåéêíýïíôáé áðü áõôü ç éóïäõíáìßá ôùí ïñéóìþí áíáðáñáóôáóéìüôçôáò (1),(2) êáé (3), ç ðñüôáóç 4.2.4, ç ðñüôáóç 4.2.3(6) êáé ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôçò óõíüñôçóçò â. Ç éóïäõíáìßá ôùí ïñéóìþí (2),(3) ôçò áíáðáñáóôáóéìüôçôáò éó ýåé (ëüãù ôçò ðáñáôþñçóçò ìåôü ôçí ðñüôáóç 4.3.1) ãéá êüèå óýíïëï ðñïôüóåùí Ô, åðïìýíùò êáé ãéá ôï Q. Ãéá ôéò õðüëïéðåò éóïäõíáìßåò ñçóéìïðïéþèçêáí ç ðñüôáóç 4.2.4 êáé ç ðñüôáóç 4.2.2(á). Ç ðñüôáóç 4.2.2(á) üìùò éó ýåé êáé óôï Q áöïý óôçí áðüäåéîç ôçò äåí ñçóéìïðïéþèçêå ôï Ñ7. Ç áðüäåéîç ôçò ðñüôáóçò 4.2.4 áðü ôï Ñ ãßíåôáé ìå åðáãùãþ óôçí ìåôáãëþóóá êáé ñþóç ôùí ðñïôüóåùí x (x < 0) êáé x y(x < y x y). ôóé ãéá íá áðïäåéêíýåôáé ç ðñüôáóç áõôþ óôï Q áñêåß íá áðïäåéêíýïíôáé áðü áõôü ïé ðáñáðüíù ðñïôüóåéò. ÔåëéêÜ ãéá íá åßíáé êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç áíáðáñáóôüóéìç óôï Q ðñýðåé íá éó ýïõí ôá åîþò: (i) ç áíáðáñáóôáóéìüôçôá ôçò óõíüñôçóçò â, (ii) Q x (x < 0), 4

(iii) Q x y(x < y x y) êáé (iv) ãéá êüèå k N éó ýåé: Q x(x < k x k k < x). Ôï (i) éó ýåé ãéáôß ç óõíüñôçóç â åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Q áðü ôïí ßäéï ôýðï ðïõ ôçí áíáðáñéóôü óôï P. Ãéá ôï (ii) èá äåßîïõìå üôé Q x (x < 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z (z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(z 0 x z 0), éóïäýíáìá üôé Q x z(x z 0 z 0). Áðü ôï èåþñçìá Ãåíßêåõóçò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q (x z 0 z 0), áðü ôï èåþñçìá áðáãùãþò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q {x z 0} z 0 êáé áðü ôï èåþñçìá óå Üôïðï áðáãùãþò, áñêåß íá äåßîïõìå üôé ôï óýíïëï Q {x z 0; z 0} åßíáé áíôéöáôéêü. Áõôü ðñïêýðôåé åýêïëá áöïý áðü ôçí õðüèåóç üôé z 0 êáé ôï áîßùìá R, ðáßñíïõìå üôé õðüñ åé k ôýôïéï ðïõ k z, åðïìýíùò áðü ôçí õðüèåóç x z 0 Ý ïõìå üôé éó ýåé x k 0, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) éó ýåé (x k) 0, ôï ïðïßï åßíáé Üôïðï ãéáôß áðü ôï P 1 (êáé ôï ÁÓ2) éó ýåé üôé (x k) 0. Ãéá ôï (iii) áðü ôá èåùñþìáôá Ãåíßêåõóçò êáé ÁðáãùãÞò áñêåß íá äåßîïõìå üôé Q {x < y } x y êáé Q {x y} x < y Þ éóïäýíáìá üôé (áöïý x y z(x z y)) Q { z(z 0 x z y )} z(x z y) (A) êáé Q {x < y x y)} z(z 0 x z y ) (B). Èá äþóïõìå ìéá ðåñéãñáöþ ôçò áðüäåéîçò ùñßò üëåò ôéò ëåðôïìýñåéåò. Ãéá ôï (Á), áðü ôçí õðüèåóç êáé ôï R Ýðåôáé üôé õðüñ åé k ôýôïéï ðïõ k z. Ôüôå áðü ôçí x z y Ý ïõìå üôé x k y êáé áðü ôï Ñ4 ðáßñíïõìå üôé (x k) y. Áðü ôï Ñ2 ôüôå Ýðåôáé üôé x k y, äçëáäþ éó ýåé üôé x y. Ãéá ôï (Â), Ýóôù üôé éó ýåé x < y. Ôüôå õðüñ åé z 0 ôýôïéï ðïõ x z y, åðïìýíùò èá éó ýåé (x z) y, Üñá ëüãù ôïõ Ñ4 êáé ôçò áíôéìåôáèåôéêüôçôáò ôçò ) éó ýåé üôé x z y êáé áöïý ëüãù ôïõ Ñ1 z 0, Ý ïõìå üôé x < y. óôù üôé éó ýåé x y. Ôüôå ëüãù ôïõ Ñ3 éó ýåé x 0 y Üñá (x 0) y, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) x 0 y, äçëáäþ (áöïý 0 0) x < y. Ãéá ôï (iv) Ýóôù A = Q êáé á A. Èá äåßîïõìå ìå åðáãùãþ óôç ìåôáãëþóóá üôé ãéá êüèå k N éó ýåé: A = (á < k á k k < á). Ãéá k = 0 Ý ïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: 5

á = 0 A, ôüôå ðñïöáíþò éó ýåé ôï æçôïýìåíï. á 0 A, ôüôå áðü ôçí Q x(0 x x) ðáßñíïõìå ôçí A = x(0 x x), åðïìýíùò A = 0 á á, äçëáäþ éó ýåé A = 0 < á. óôù üôé éó ýåé ôï æçôïýìåíï ãéá k, äçëáäþ A = (á < k á k k < á). Èá äåßîïõìå üôé éó ýåé ãéá k + 1. ïõìå ôéò ðåñéðôþóåéò: (1) A = á < k, ôüôå õðüñ åé b A ; b 0 A, ôýôïéï ðïõ A = á b k, åðïìýíùò éó ýåé A = (á b) k, äçëáäþ (ëüãù ôïõ Ñ4) A = á b k, äçëáäþ A = á b k + 1, äçëáäþ A = á < k + 1. (2) A = á k, ôüôå A = á k, äçëáäþ A = á k + 1. (3) A = k < á, ôüôå õðüñ åé b A ; b 0 A ôýôïéï ðïõ A = k b á. Áðü ôï áîßùìá R, áöïý b 0 A, Ýðåôáé üôé õðüñ åé c A ôýôïéï ðïõ c b. ôóé Ý ïõìå üôé A = k c á, åðïìýíùò A = (k c) á, åðïìýíùò A = k c á äçëáäþ A = k + 1 < á Þ A = k + 1 á áíüëïãá ìå ôï áí c = 0 A Þ c 0 A. 6

óêçóç 5. Äåßîôå üôé ãéá êüèå áíïéêôþ ðñüôáóç (äçëáäþ ðñüôáóç ùñßò ðïóïäåßêôåò) è ôçò Ã1 èá éó ýåé: P è Þ P è. Ëýóç. Èá ñçóéìïðïéþóïõìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôçò áíïéêôþò ðñüôáóçò è. Ðáñáôçñïýìå üôé Ýíáò ôýðïò åßíáé ðñüôáóç áí äåí Ý åé êáèüëïõ ìåôáâëçôýò Þ áí üëåò ïé ìåôáâëçôýò ðïõ åìöáíßæïíôáé óå áõôüí, äåóìåýïíôáé áðü êüðïéïí ðïóïäåßêôç. ÅðïìÝíùò, áöïý ìéá áíïéêôþ ðñüôáóç ôçò Ã1 èá äåí ìðïñåß íá ðåñéý åé ðïóïäåßêôåò, äåí ìðïñåß íá ðåñéý åé êáé ìåôáâëçôýò. ÄçëáäÞ êüèå áíïéêôþ ðñüôáóç 'êáôáóêåõüæåôáé' áðü êëåéóôïýò üñïõò ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò óõíäýóìïõò ;. Ïé êëåéóôïß üñïé ôçò Ã1 èá åßíáé áêñéâþò ôá øçößá êáé ïé üñïé ðïõ 'êáôáóêåõüæïíôáé' áðü áõôü. Èá äåßîïõìå üôé ôåëéêü êüèå êëåéóôüò üñïò ôçò Ã1 èá åßíáé ßóïò ìå Ýíá øçößï áöïý ìðïñïýìå íá ôïí èåùñþóïõìå ùò Ýíá 'ðïëõþíõìï' óôï ïðïßï üëåò ïé ìåôáâëçôýò Ý ïõí áíôéêáôáóôáèåß ìå óõãêåêñéìýíåò ôéìýò (øçößá). ÄçëáäÞ èá äåßîïõìå ìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôïõ t, üôé ãéá êüèå êëåéóôü üñï t, õðüñ åé öõóéêüò m N ôýôïéïò ðïõ P t m. óôù t = 0. Ôüôå P 0 0, ëüãù ôùí éäéïôþôùí ôùí øçößùí. óôù t = s 1 s 2, üðïõ ãéá ôïõò s 1 ; s 2 éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ ïõí m 1 ; m 2 N ôýôïéá ðïõ: P s 1 m 1 êáé P s 2 m 2 (ÅÕ). ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ (óôçí ïðïßá ðáñáëåßðïõìå êüðïéá ðñïöáíþ âþìáôá): 1. y 1 y 2 z 1 z 2 (y 1 z 1 ( y 2 z 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ) ) ôõðéêü èåþñçìá 2. y 1 y 2 z 1 z 2 (y 1 z 1 ( ) ) y 2 z 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ( s 1 m 1 ( ) ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 ÁÓ2 3. s 1 m 1 ( ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 1,2,ÌÑ 4. s 1 m 1 EY 5. s 2 m 2 EY 6. s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 3,4,ÌÑ 7. s 1 s 2 m 1 m 2 5,6,ÌÑ 8. m 1 m 2 m 1 + m 2 ôõðéêü èåþñçìá 9. s 1 s 2 m 1 + m 2 7,8,ìåôáâáôéêüôçôá ôçò óôù t = s 1 s 2, üðïõ ãéá ôïõò s 1 ; s 2 éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ ïõí m 1 ; m 2 N ôýôïéá ðïõ: P s 1 m 1 êáé P s 2 m 2 (ÅÕ). 7

Ïìïßùò ìå ðñéí, ñçóéìïðïéþíôáò ôçí ÅÕ êáé ôá ôõðéêü èùñþìáôá s 1 m 1 ( ) s 2 m 2 s 1 s 2 m 1 m 2 êáé m 1 m 2 m 1 m 2, äåß íïõìå üôé t = m 1 m 2. óôù t = s, üðïõ ãéá ôïí s éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç: õðüñ åé n N ôýôïéï ðïõ: P s n (ÅÕ). ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ (óôçí ïðïßá ðáñáëåßðïõìå êüðïéá ðñïöáíþ âþìáôá): 1. s n (EY) 2. x y ( x y x y ) ôõðéêü èåþñçìá 3. x y ( x y x y ) ( s n s n ) ÁÓ2 4. s n s n 2,3,MP 5. s n 1,4,MP 6. x ( x x 1 ) ôõðéêü èåþñçìá 7. x ( x x 1 ) ( n n 1 ) ÁÓ2 8. n n 1 6,7,ÌÑ 9. s n 1 5,8, ìåôáâáôéêüôçôá ôçò 10. n 1 n + 1 ôõðéêü èåþñçìá 11. s n + 1 9,10,ìåôáâáôéêüôçôá ôçò Èá äåßîïõìå ôþñá ìå åðáãùãþ óôçí ðïëõðëïêüôçôá ôçò áíïéêôþò ðñüôáóçò è ôçò à èá 1 üôé éó ýåé: P è Þ P è. óôù è ôçò ìïñöþò t s, üðïõ s; t êëåéóôïß üñïé. ¼ðùò äåßîáìå ðñéí, ãéá ôïõò üñïõò áõôïýò õðüñ ïõí m; n öõóéêoß ôýôïéïé ðïõ P t m êáé P s n. (*) Ãéá ôïõò öõóéêïýò m; n éó ýåé m = n Þ m n. Áí m = n, ôüôå áðü ôïí ïñéóìü ôùí øçößùí éó ýåé P m n. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç áðü ôï Ñ ðïõ äåß íåé üôé P t s. 1. m n õðüèåóç 2. t m ëüãù ôùí (*) 3. s n ëüãù ôùí (*) 4. x y z(x y (y z x z)) ôõðéêü èåþñçìá 5. x y z(x y (y z x z)) (t m (m n t n)) ÁÓ2 6. t n 4,5,2,1,ÌÑ 7. n s 3, áíôéìåôáèåôéêüôçôá ôïõ 8. x y z(x y (y z x z)) (t n (n s t s)) ÁÓ2 9. t s 8,4,6,7,MP 8

Áí m n, ôüôå áðü ôçí ðñüôáóç 4.2.2 éó ýåé P m n. ÅðïìÝíùò èá éó ýåé êáé üôé P {t s} m n. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç ðïõ äåß íåé üôé P {t s} m n. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï P {t s} åßíáé áíôéöáôéêü, åðïìýíùò áðü ôï èåþñçìá óå Üôïðï áðáãùãþò, Ýðåôáé üôé P t s. 1. t s õðüèåóç 2. t m ëüãù ôùí (*) 3. m t 2,áíôéìåôáèåôéêüôçôá ôïõ 4. s n ëüãù ôùí (*) 5. x y z(x y (y z x z)) ôõðéêü èåþñçìá 6. x y z(x y (y z x z)) (m t (t s m s)) ÁÓ2 7. m s 6,5,3,1,ÌÑ 8. x y z(x y (y z x z)) (m s (s n m n)) ÁÓ2 9. m n 8,5,7,4,MP óôù è ôçò ìïñöþò ö, üðïõ ãéá ôïí ö éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç Ñ ö Þ Ñ ö (ÅÕ). óôù üôé Ñ ö. Ôüôå èá äåßîïõìå üôé Ñ è, äçëáäþ üôé Ñ ö. ïõìå ôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç ðïõ äåß íåé ôï æçôïýìåíï: 1. ö õðüèåóç (áöïý Ñ ö) 2. ö ö ôõðéêü èåþñçìá 3. ö 1,2,ÌÑ. óôù üôé Ñ ö, ôüôå ðñïöáíþò ëüãù ôïõ ïñéóìïý ôïõ è, éó ýåé Ñ è. óôù è ôçò ìïñöþò ö ø, üðïõ ãéá ôïõò ö; ø éó ýåé ç åðáãùãéêþ õðüèåóç Ñ ö Þ Ñ ö êáé Ñ ø Þ Ñ ø (EY) ïõìå ôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò, óå êüèå ìéá áðü ôéò ïðïßåò äåß íïõìå ôï æçôïýìåíï: 1. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ø (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. 2. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö ( ø (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ (ö ø). 3. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ö ø)), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. 4. óôù Ñ ö êáé Ñ ø. Ôüôå áöïý éó ýåé Ñ ö (ö ø), Ýðåôáé üôé Ñ ö ø. ÅðïìÝíùò óå êüèå ðåñßðôùóç éó ýåé Ñ è Þ Ñ è. 9

óêçóç 6. Èåùñïýìå ôç ó Ýóç LNP = { n N n åßíáé ï áñéèìüò Goedel ðñüôáóçò ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôçí "áñ Þ åëá ßóôïõ áñéèìïý" ( ùñßò ðáñáìýôñïõò)}. Äåßîôå üôé ó Ýóç LNP åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. Ëýóç. Ç áñ Þ ôïõ åëü éóôïõ áñéèìïý ùñßò ðáñáìýôñïõò åßíáé xö(x) x ( ö(x) y(y < x ö(y)) ). Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá êùäéêïðïéþóïõìå ôïí ôýðï áõôü ðñýðåé íá ôïí ãñüøïõìå ùò åîþò: ( x ö(x) x ö(x) y ( z (z 0 y z = x) ö(y) )), Þ éóïäýíáìá x ö(x) x (ö(x) y ( z ( (z = 0) ( y z = x) ) ö(y) )) Ôþñá Ý ïõìå: LNP (n) [ u < n k < n m < n z < n F M(u) V B(k) V B(m) V B(z) F REE(u; k) n = 2 5 _ 2 11 _ k _ 2 5 _ u _ 2 7 _ 2 5 _ 2 11 _ k _ 2 13 _ u _ 2 7 _ 2 5 _ 2 11 _ m _ 2 13 _ 2 5 _ 2 11 _ z _ 2 13 _ 2 5 _ 2 13 _ z _ 2 17 _ 2 25 _ 2 15 _ 2 7 _ 2 5 _ 2 13 _ 2 21 _ m _ z _ 2 17 _ k _ 2 15 _ 2 15 _ 2 7 _ 2 5 _ SU(u; k; m) _ 2 15 _ 2 15 ]. Ïé ó Ýóåéò V B(x); F M(x) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò, ïé óõíáñôþóåéò SU(x; y; z); _ åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò êáé ç ó Ýóç F REE(x; y) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ üðùò äåß íïõìå óôçí åðüìåíç Üóêçóç. ôóé ç ó Ýóç LN P åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. óêçóç 7. Èåùñïýìå ôç ó Ýóç S = {< m; n; k > N 3 : ï m åßíáé áñéèìüò Goedel ìåôáâëçôþò, ï n åßíáé áñéèìüò Goedel ôýðïõ, ï k åßíáé áñéèìüò Goedel üñïõ êáé ç ìåôáâëçôþ m åßíáé áíôéêáôáóôüóéìç áðü ôïí üñï k óôïí ôýðï n }. Äåßîôå üôé ó Ýóç S åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ. Ëýóç. Éó ýåé üôé S(m; n; k) V B(m) T E(k) F M(n) ANT (m; k; n). 10

Ïé ó Ýóåéò V B(m); T E(k); F M(n) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò. Ç ó Ýóç ÁÍ Ô(m; k; n) åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ANT (m; k; n) ÁF (n) u < n v < n [ n = 2 13 _ u _ 2 7 _ v _ 2 15 F M(u) F M(v) ANT (m; k; u) ANT (m; k; v) ] u < n [ F M(u) n = 2 5 _ u ANT (m; k; u) ] [ u < n v < n V B(u) F M(v) n = 2 11 _ u _ v [ ( )] ] F REE(n; m) NOC(u; k) ANT (m; k; v), üðïõ ç ó Ýóç F REE(x; y) :"ç ìåôáâëçôþ ìå áñéèìü Goedel y, åìöáíßæåôáé åëåýèåñç óôïí ôýðï ìå áñéèìü Goedel x", åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß F REE(x; y) F M(x) V B(y) { [AF (x) u < x v < x ( EX(u) EX(v) x = u _ y _ v ) ] [ u < qx(f M(u) ( x = 2 5 _ u F REE(u; y))] [ u < x v < x F M(u) F M(v) x = u _ 2 7 _ v ( F REE(u; y) F REE(v; y) )) ] [ u < x z < x ( F M(u) V B(z) y z x = 2 11 _ z _ u F REE(u; z) ) ] êáé ç ó Ýóç NOC(x; y):"ç ìåôáâëçôþ ìå áñéèìü Goedel x äåí åìöáíßæåôáé óôïí üñï ìå áñéèìü Goedel y", åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß NOC(x; y) V B(x) T E(y) z lh(y)[(y) z (x) 0 ]. ôóé ç ó Ýóç S åßíáé ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêþ ãéáôß ïñßæåôáé áðü ðñùôïãåíþò áíáäñïìéêýò ó Ýóåéò ìýóù ôïõ óõíäýóìïõ. }, óêçóç 8. óôù üôé ôï P åßíáé óõíåðýò êáé Ýóôù ô GR ç áíáðïêñßóéìç ðñüôáóç ôïõ èåùñþìáôïò Goedel - Rosser. Äåßîôå üôé õðüñ åé ðñüôáóç ó ôçò Ã1 èá ôýôïéá ðïõ P + ô GR ó êáé P + ô GR ó. Ëýóç. Áðü ôï èåþñçìá 4.5.3 (Rosser), Ýðåôáé üôé ôï P + ô GR åßíáé óõíåðýò. ÐñÜãìáôé, áöïý õðïèýóáìå üôé ôï Ñ åßíáé óõíåðýò, áí ôï P + ô GR Þôáí áíôéöáôéêü, ôüôå áðü ôï èåþñçìá åéò Üôïðï áðáãùãþò èá Ýðñåðå P ô GR, ôï ïðïßï üìùò åßíáé Üôïðï áöïý áðü ôï èåþñçìá Rosser éó ýåé P ô GR. óôù T = P + ô GR. Åöüóïí Ñ T, Ýðåôáé üôé áí êüôé áðïäåéêíýåôáé áðü 11

ôï Ñ, áðïäåéêíýåôáé êáé áðü ôï Ô. Åðßóçò ðáñáôçñïýìå üôé ôï óýíïëï ðñïôüóåùí Ô éêáíïðïéåß ôéò ðñïõðïèýóåéò ôïõ èåùñþìáôïò 4.5.4: 1. ôï óýíïëï R T = {n N n T } åßíáé áíáäñïìéêü áöïý åßíáé ðåðåñáóìýíï (Þ áëëéþò áöïý ôï R Ñ = {n N n Ñ} åßíáé áíáäñïìéêü êáé ç ó Ýóç T GR = {n N n = ô GR } åßíáé áíáäñïìéêþ êáé R T = R Ñ T GR ). 2. Ô 0 1, ãéáôß áðü ôï Ñ1 ðñïêýðôåé üôé 0 0 êáé áöïý 0 = 1, Ý ïõìå ôï æçôïýìåíï. 3. êüèå áíáäñïìéêþ óõíüñôçóç åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ô áöïý åßíáé áíáðáñáóôüóéìç óôï Ñ. 4. ãéá êüèå öõóéêü áñéèìü k: T x(x k x 0 : : : x k), áöïý ëüãù ôçò ðñüôáóçò 4.2.4 êáé ôï èåþñçìá ãåíßêåõóçò, ç ðáñáðüíù ðñüôáóç áðïäåéêíýåôáé áðü ôï Ñ. 5. ãéá êüèå öõóéêü áñéèìü k: T x(x k k x), áöïý ç ðáñáðüíù ðñüôáóç áðïäåéêíýåôáé áðü ôï Ñ üðùò öáßíåôáé óôçí ðáñáêüôù ôõðéêþ áðüäåéîç: 1. x y(x < y x y y < x) ðñüôáóç 4.2.3(6) 2. x y(x < y x y y < x) (x < k x k k < x) AÓ2 3. x < k x k k < x 1,2,ÌÑ 4. (x < k x k k < x) (x < k x k k < x) (k x) ôõðéêü èåþñçìá 5. (x < k x k k < x) (k x) 3,4,MP ÅðïìÝíùò õðüñ åé ðñüôáóç ó ôçò à èá 1 ôýôïéá ðïõ Ô ó êáé Ô ó. 12