ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει β. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα για κάθετη πλευρά και τις δύο σχέσεις που το εκφράζου. γ. ράψετε το ατίστροφο για το πυθαγόρειο θεώρημα Να υπολογιστεί η τιμή της αριθμητικής παράστασης: Α = ( 2) 4 3 3 2 + ( 5) 3 : 25 + [3 ( 3) 2 2] Να λυθεί η εξίσωση : 5x 16 6 x + 1 3 = x + 8 12 Από μια ορθογώια λαμαρία με πλευρές α = 10cm και β = 30cm κόβουμε έα κυκλικό δίσκο διαμέτρου 20mm. Να βρεθού: α. Οι περίμετροι του ορθογωίου και του κυκλικού δίσκου. β. Το εμβαδό της λαμαρίας που απομέει.

165 2 a. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: α =..., β α κ =..., α κ α α =..., α =..., αβ =... b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω ισότητες: ( 1) 2004 =..., 1 =..., 1 α =... 2005 ( 1) =..., 0 α =... a. Πότε µία γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο. b. Πότε µία γωία λέγεται επίκετρη σε κύκλο. c. Ποια η σχέση μεταξύ εγγεγραμμέης γωίας και της ατίστοιχης επίκετρης γωίας a. Να λυθεί η αίσωση: 2x 1 x < 2 3 b. Να λυθεί η αίσωση: 2(x 2) 3(2x 5) < 3 c. Να βρεθού οι κοιές λύσεις τω παραπάω αισώσεω. Δίεται τρίγωο ΑΒ με Α = 12 και = 30 Α όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα.. a. Να βρείτε το ύψος ΑΔ. b. Α είαι ΒΑΔ = 37, α βρείτε το τμήμα ΑΒ. Β Δ c. Να βρείτε τα ημβ, συβ και εφβ. Δίεται: συ37 = 0,8. Δίεται κύκλος (Ο, ρ).φέρουμε τη διάμετρο ΑΒ, θεωρούμε σημείο πάω στο κύκλο ώστε Α = 6 και Β = 8, όπως φαίεται στο διπλαό σχήμα. a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο και α βρείτε τη ακτία του κύκλου Α Ο Β b. Να βρείτε το μήκος και το εμβαδό του κύκλου. c. Να βρείτε το εμβαδό του γραμμοσκιασμέου τμήματος.

166 3 a. Σε ποιο τρίγωο εφαρμόζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα; b. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. ( σχήμα, σχέσεις ) c. Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο παρακάτω τρίγωο Κ Λ a. Πως ορίζεται η δύαμη με εκθέτη ακέραιο αριθμό ; b. Ποιες είαι οι ιδιότητες τω δυάμεω με εκθέτη ακέραιο αριθμό; c. Να χαρακτηρίσετε ως ΣΩΣΤΕΣ ( Σ ) ή ΛΑΘΟΣ ( Λ ) τις παρακάτω σχέσεις: 2 3 < 0 ( 1 ) 4 <0 ( 2 ) 5 >0 ( 3 ) 2 >0 Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ Σ - Λ 2χ 1 3(χ +1) Να λυθεί η εξίσωση και α γίει επαλήθευση χ = 3 4 Α ( ) 2 5 A=( 2) + 1 ( ) ( ) 2 0 B= 1 45 ( ) ( ) 0 153 = 3 1 Μ Να υπολογιστεί η παράσταση Κ=2Α Β + 5 10 Να υπολογιστού οι άγωστες γωίες χ, ω, ψ του σχήματος Α 60 χ Ο ω ψ Β

167 4 Δίεται τρίγωο ΚΛΜ με τη γωία Κ ορθή. Να γίει κατάλληλο σχήμα. Α. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο θεώρημα και α γραφεί η ισότητα που συδέει τις πλευρές του τριγώου ΚΛΜ. Β. Να δοθεί ο ορισμός του συημίτοου οξείας γωίας σε ορθογώιο τρίγωο και α γραφού το συμ και το συλ.. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις δε μπορεί α ισχύου; ημμ = 2 3, συμ = 4, συλ = 1 2, ημλ= 3. Δικαιολογήστε τη απάτηση σας Α. Αφού σχεδιάσετε κατάλληλο σχήμα α δοθεί ο ορισμός της εγγεγραμμέης και της επίκετρης γωίας. Ποια σχέση τις συδέει ότα βαίου στο ίδιο τόξο; Β. Τι οομάζουμε καοικό πολύγωο; Ποιο τρίγωο και ποιο τετράπλευρο είαι καοικά; ( 6 + 4 Α Α = )3 2 2 +1 (3 4) + [6 +(5 9) 2 ] Β = 7 2 3 + 4 3 1 5 24 +19170 Α. Nα αποδείξετε ότι Α = 22 και Β = 3 Β. Να λυθεί η εξίσωση 3χ +Α 2Β = 4χ + 5 Δίεται κύκλος ακτίας ρ = 5. Α. Να βρεθεί το εμβαδό και η περίμετρος του κύκλου. Καοικό οκτάγωο είαι εγγεγραμμέο στο κύκλο αυτό. Β. Να γίει κατάλληλο σχήμα, α αποδείξετε ότι η κετρική γωία του είαι 45 και α βρείτε πόσες μοίρες είαι η κάθε γωία του οκταγώου.. Να βρεθεί η πλευρά λ του οκταγώου Στο ορθογώιο τρίγωο ΒΔ( B = 90 ) του διπλαού Δ σχήματος είαι = 35 και ΔΒ = 10cm. Να βρεθού 10cm οι υπόλοιπες πλευρές και γωίες του τριγώου. Β 35

168 5 a. Ποιες είαι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού τω ρητώ αριθμώ; b. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; c. Το μηδέ έχει ατίστροφο; (Αιτιολόγηση) a. Τι οομάζεται επίκετρη γωία; b. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία; c. Ποια είαι η σχέση μεταξύ επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; Να λύσετε τη εξίσωση: x + 2 3x + 1 = x 3 3 4 4 Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A =90 ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Δίεται κύκλος με περίμετρο 25,12cm. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δίσκου.

169 6 a. Πως απαλείφουμε παρεθέσεις ; b. Πως πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πως ετερόσημους ρητούς αριθμούς; c. Α α, β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και, μ ακέραιοι με τα, μ >1 α συμπληρώσετε τις ισότητες: μ α α =..., μ α :α... =, α β =..., α =... β, ( α ) μ =... a. Ποια σχέση συδέει τη εγγεγραμμέη με τη επίκετρη γωία που ατιστοιχού στο ίδιο τόξο; b. Τι οομάζουμε κετρική γωία εός καοικού πολυγώου και με τι ισούται c. ράψτε τους τύπους που δίου: i. το μήκος του κύκλου με ακτία ρ, ii. το εμβαδό του κυκλικού δίσκου με ακτία ρ. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 1 2 3 1 0 A= 5 26 3 ( 2) + 6 2005 3 Να λυθεί η εξίσωση: x + 2 x x + 8 =2x 3 2 6 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με ( Α = 90 ) και πλευρές Α = 6cm και Β = 10 cm α βρείτε: a. τη πλευρά ΑΒ b. τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β Α 6cm 10cm Β

170 7 Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α = 90. a. Να δώσετε τους ορισμούς τω ημβ, συβ και εφβ. b. Α Β = 60, ποιες είαι οι τιμές τω τριγωομετρικώ αριθμώ της γωίας Β; c. Είαι δυατό α είαι ημβ = 2; Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας. a. Τι οομάζουμε δύαμη α με βάση το ρητό α και εκθέτη φυσικό >1; b. Πότε μια τέτοια δύαμη του α) ερωτήματος, με βάση αρητικό αριθμό είαι θετικός και πότε αρητικός αριθμός; Να δώσετε από έα παράδειγμα. c. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες (για τις τιμές τω γραμμάτω που έχου όημα): α =, β μ α :α =, 0 α =, α β =. Έας κύκλος έχει μήκος 62,8cm. a. Υπολογίστε τη διάμετρό του. b. Πόσο είαι το εμβαδό του ατίστοιχου κυκλικού δίσκου; c. Βρείτε το μήκος εός τόξου 18 0 του ίδιου κύκλου. a. Να λύσετε τη εξίσωση: είαι ο αριθμός 2. 2x + 1 x 1 3 x + = και α δικαιολογήσετε ότι η λύση της 3 2 2 b. Να βρείτε τη τιμή της παράστασης: α α 2 Α = (2α 4) 2 3 3 (α+7) α α, όπου α είαι η λύση της παραπάω εξίσωσης. Σε τρίγωο ΚΛΜ τα μήκη τω πλευρώ του είαι: ΚΜ = 64 + 2 36, ΛΜ = 24, ΚΛ= 2006 16 + 2 25 + 49 ( 1). a. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο είαι ισοσκελές με βάση τη ΛΜ. b. Υπολογίστε το ύψος ΚΡ. c. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώου ΚΛΜ και α προσδιορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Μ.

171 8 a. Να γράψετε το ορισμό της δύαμης α με βάση ρητό α και εκθέτη φυσικό >1 b. Να μεταφέρετε στη κόλλα σας και α συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω : μ ( α ) μ =.., α α =.., 0 α =.., μ α : α =, ( ) α όπου α 0 και β 0. α β =.., α β =, Σε κύκλο με κέτρο Ο και ακτία ρ a. Τι οομάζουμε επίκετρη γωία b. Τι οομάζουμε εγγεγραμμέη γωία c. Ποια είαι η σχέση της επίκετρης και της εγγεγραμμέης που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο. Α είαι Α = ( 3) 2 5 ( 2) + 2005 0 και Β = 6 ( 2) + ( 2) 3 ( 3) (+8) a. α υπολογίσετε τη τιμή της κάθε παράστασης b. α δείξετε ότι Α + Β = 24 Να λυθεί η εξίσωση 3x 1 x + 2 x 4 = 2 3 6 Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ (Α=90 ο ) είαι Β = 15cm και Α = 9cm. Με κέτρο το μέσο Κ της ΑΒ γράφουμε ημικύκλιο. a. Να δείξετε ότι η ΑΒ =12 cm b. Να υπολογίσετε το εμβαδό του γραμ- Α Κ Β μοσκιασμέου ημικυκλικού τμήματος.

172 9 Να ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας ω ω A B a. Πότε μια γωία λέγεται εγγεγραμμέη σε κύκλο; b. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη; c. Ποια η σχέση επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 2 3 + ( 1) 2 ( 100) 0 ( 3) 2 5 2 Να λυθεί η εξίσωση, 2χ 3 7χ 3 3χ 5 = 6 2 3 Α Στο διπλαό σχήμα, α υπολογίσετε σε μοίρες το τόξο Β καθώς 130 Ο 144 και τις γωίες του τριγώου ΑΒ Β

173 10 a. Να συμπληρώσετε τα επόμεα: α. μ δ. α α =... ε. α μ μ : α =... ζ. ( ) 0 α =... β. α =... η. 1 α =... γ. α β =... α =... θ. α : β =... b. Έστω α έας αρητικός αριθμός και έας μη μηδεικός ακέραιος. Πότε το α είαι θετικό και πότε αρητικό; Α. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα και πότε ατιστρόφως αάλογα; Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω: a. Η γραφική παράσταση της συάρτησης y = αx, με x πραγματικό αριθμό, είαι α b. Η γραφική παράσταση της συάρτησης y =, με x πραγματικό αριθμό, είαι x Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ( A = 90 ο ), είαι ΑΒ =3cm και Α = 4cm, nα υπολογίσετε: a. το μήκος της Β. 4cm b. το ημβ, το συβ και τη εφβ. A 3cm B a. Να λύσετε τη αίσωση 3x +15 < 8x + 20. 3x 1 x 2 3x 2 b. Να λύσετε τη αίσωση 3. 5 2 2 c. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω δύο παραπάω αισώσεω. Στο διπλαό κύκλο είαι: o AB = x + 50, 2( x 25 ) Δ = 170 ο Β =, x και ο ΑΔ = x 20. Να υπολογίσετε: a. πόσες μοίρες είαι τα παραπάω τόξα b. πόσες μοίρες είαι οι γωίες Α, Β, και Δ. Α Δ Ο Β

174 11 Α. Α α και β είαι ρητοί αριθμοί και μ, είαι φυσικοί αριθμοί με μ > 1 και > 1, α συμπληρώσετε τις ισότητες: i. α =... ii) α 0 =... iii) α α μ =... iv) ( α ) μ =... Β. Να συμπληρώσετε με τις λέξεις «θετικός» ή «αρητικός» τις προτάσεις: i. Δύαμη με βάση θετικό αριθμό είαι....... αριθμός. ii. Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είαι....... αριθμός. iii. Δύαμη με βάση αρητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είαι....... αριθμός. i. Τι οομάζεται επίκετρη γωία και τι ατίστοιχο τόξο της; Να κάετε το σχήμα. ii. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία και τι ατίστοιχο τόξο της; Να κάετε το σχήμα iii. Ποια η σχέση μεταξύ μιας επίκετρης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της ; Στο διπλαό σχήμα, το τρίγωο ΑΒ είαι ορθογώιο( Â = 90º ). Α είαι Α = 6cm και Β = 10cm,α υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω γωιώ Β και. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ 2 χ 3 = 2 6 4 3 Α το μήκος εός κύκλου είαι 62,8cm α υπολογίσετε το εμβαδό του. Β 10cm A 6cm

175 12 a. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο θεώρημα b. Στο διπλαό σχήμα ποια από τις παρακάτω ισότητες δε ισχύει α εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα : Α. Β 2 = ΑΒ 2 + Α 2 Β. Α 2 = Β 2 ΑΒ 2. ΑΒ 2 = Β 2 Α 2 Δ. ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 Β Α a. Τι λέγεται εγγεγραμμέη γωία και τι επίκετρη b. Α μια εγγεγραμμέη γωία είαι 30 το ατίστοιχο τόξο της είαι: Α. 30 Β. 45. 60 Δ. 15 a. Α μια επίκετρη γωία είαι 30 0 το ατίστοιχο τόξο της είαι: Α. 30 Β. 45. 60 Δ. Να συγκρίετε τις τιμές τω παραστάσεω : Α = ( 4 2 : 2 3 20 : 5) 3 ( 2 3 2 2 ) + 3 2 και Β = (215 ) (215 ) 2 3 3 4 (215 ) (215 ) 3 3 2 4 Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90 ) με υποτείουσα Β = 20cm και κάθετη πλευρά τη ΑΒ = 16cm α συγκρίετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημ, συ, εφ, συβ Έα τόξο κύκλου έχει μήκος 12,56cm και η επίκετρη γωία του είαι 120. Να βρεθεί το μήκος του κύκλου και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου.

176 13 a. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α= ˆ 90 ο και α γράψετε τη σχέση που συδέει τις πλευρές του, σύμφωα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. a. Τι οομάζουμε ημίτοο, συημίτοο και εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου ; b. Πως μεταβάλλοται οι τριγωομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου ότα η γωία αυξάεται ; Να λυθεί η εξίσωση : Να βρεθού τα: 2x 1 5x + 2 2 x = +1 3 12 4 3 Α = 2, 3 3 Β= 3 5 2 6, 15 16 1 1 = 2 2 και στη συέχεια α υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 3( 2Β Α) 4. Α 100 Στο διπλαό κύκλο με κέτρο Ο είαι Α= ˆ 30 ο και ΑΒ = 100 ο, α υπολογίσετε τις γωίες φ, ω 30 κ ω Ο φ Β αιτιολογώτας τη απάτησή σας.

177 14 a. Πως προσθέτουμε δύο ετερόσημους αριθμούς; b. Πως πολλαπλασιάζουμε πολλούς μη μηδεικούς αριθμούς; c. Πότε δύο αριθμοί είαι ατίστροφοι; a. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη και μια επίκετρη γωία στο ίδιο κύκλο, που έχου το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Τι σχέση έχει μια εγγεγραμμέη γωία με το ατίστοιχο τόξο της; c. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό; Να λυθεί η εξίσωση: 3 5χ χ 1 13χ = 3 2 6 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: χ + 1 2 χ + 2 32 2χ + 6 χ, ότα χ = 2. Στο διπλαό σχήμα α αποδείξετε ότι το τόξο A B έχει μέτρο 180. Δίεται: ΑΒ = 6cm, Α = 8cm, Β = 10cm B

178 15 A. Σε έα γιόμεο πολλώ παραγότω, ότα το πλήθος τω αρητικώ παραγότω είαι: a. άρτιος αριθμός, τότε το γιόμεό τους είαι. αριθμός. b. περιττός αριθμός, τότε το γιόμεό τους είαι. αριθμός. c. οποιοσδήποτε φυσικός, εώ υπάρχει στο γιόμεο έστω και έας παράγοτας μηδέ τότε το γιόμεο είαι B. Να συμπληρωθού οι ισότητες :, ( α ) μ α β = =, α =, α β =. Να δικαιολογήσετε γιατί το μηδέ δε έχει ατίστροφο. a. Τι οομάζεται ορθοκαοικό σύστημα αξόω (Σύστημα ορθογωίω αξόω) και τι συτεταγμέες (τετμημέη, τεταγμέη) σημείου; b. Τι γωρίζετε για τις συτεταγμέες τω σημείω τω αξόω χ χ και ψ ψ σ έα ορθοκαοικό σύστημα; c. Τι οομάζουμε τεταρτημόρια; Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 5 ( 7+ 2) 2 + 3 ( 9+ 4) 3 2 ( 8 2 + 6 3 ) Να λυθεί η εξίσωση: x 1 2x+ 1 x+ 3 = 4 2 3 6 Σε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με Α = 90, ισχύει ημβ = 0,6 και Α = 9cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΒ και Β.

179 16 a. Πως ορίζεται η διαφορά του ρητού αριθμού β από το ρητό α; b. Πως απαλείφουμε παρεθέσεις; c. Πως ορίζεται η διαίρεση του ρητού αριθμού α με το ρητό β; a. Τι οομάζεται καοικό πολύγωο; b. Να γράψετε το τύπο της κετρικής γωίας εός καοικού πολυγώου (ω) και τη σχέση της με τη γωία (φ) του καοικού πολυγώου. c. Ποια σχέση συδέει το μέτρο εός τόξου σε μοίρες (μ ο ) και το μέτρο του ίδιου τόξου σε ακτίια (a r ). Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 3)+11 ( 2) ) 18 ] 3 ( 3) 8 [ 5 2 9 Α= Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω: 4χ 2>3χ 5 και x 2 x 3 <1 Η διάμετρος του τροχού εός αυτοκιήτου είαι 80cm. Να υπολογίσετε τη περίμετρο του τροχού και πόσες στροφές θα κάει ο τροχός για α διαύσει απόσταση 25Km.

180 17 a. Σε κύκλο (Ο, ρ), ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Σε κύκλο (Ο, ρ) α γράψετε τους τύπους που μας δίου: Το μήκος κύκλου Το εμβαδό κύκλου Το μήκος τόξου μ Το εμβαδό κυκλικού τομέα μ a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) α διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα και α γράψετε τη ατίστοιχη σχέση. b. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 6 + 5 2 + ( 3) 2 2 2 4 + ( 4) 3 :8 + [ 1 ( 1) 3 ] 2 + 4 2 2 7 0 Να λύσετε τη εξίσωση: χ 3(χ + 1) 4 = 2χ 1 3 Σε κύκλο διαμέτρου Β του σχήματος ΑΒ = 6cm, Α = 8cm. Να υπολογίσετε: a. Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ b. Το μήκος του κύκλου c. Το εμβαδό του κύκλου A 8cm 6cm B O

181 18 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα b. Να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα για το διπλαό ορθογώιο τρίγωο a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; α β A γ B b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη και το τόξο στο οποίο βαίει; c. Πόσω μοιρώ είαι η κετρική γωία εός καοικού δεκαπεταγώου; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 1 Α = 4 2 + ( 3). ( +2). ( 1) ( 8) : (+2) 8. + 2 27. 3 2 Να λύσετε τη εξίσωση : 2x 1 + 3x = 2 x 2 6 Δίεται το ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με Β = 6cm και Α = 10cm. Δ Να υπολογίσετε : 10cm 6cm a. το μήκος της πλευράς ΑΒ. b. το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΔ A Β

182 19 b. Συμπληρώστε τη πρόταση. a. Σε κάθε έοια της πρώτης στήλης α ατιστοιχίσετε το σωστό μαθηματικό Συμβολισμό της δεύτερης στήλης (το x είαι ρητός με x 0 και το θετικός ακέραιος. Τετραγωική ρίζα εός. αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός που ότα υψωθεί δίει το αριθμό α. c. Συμπληρώστε τις σχέσεις ( ) 2 α =... 0 =... ΣΤΗΛΗ Α 1. Απόλυτη τιμή 2. Ατίθετος του χ 3. Ατίστροφος του χ 4. Νιοστή δύαμη του χ 5. τετραγωική ρίζα του χ ΣΤΗΛΗ Β a. x b. x c. x x >0 d. 1 x x 0 e. x a. Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( A = 90 ) α συμπληρώσετε τις ισότητες. συβ =., ημβ =., εφβ =. (Να σχεδιάσετε το τρίγωο) b. Να συμπληρώσετε τις προτάσεις. Σε ορθογώιο τρίγωο ότα αυξάεται μια οξεία γωία το ημίτοό της. Σε ορθογώιο τρίγωο ότα αυξάεται μια οξεία γωία..το συημίτοό της. c. ιατί το 0 < ημω < 1 και το 0 < συω <1 Να λύσετε τη εξίσωση. 2x + 1 x 3 x + 3 = 2 3 6 Α Α = ( 2) 4 ( 7) ( 2), Β = (2 4 2 3 ):2 8 Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές Τω Α και Β και α εξετάσετε α οι αριθμοί που προκύπτου είαι ατίστροφοί. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε BA = 90, ΒΔ = 90, Δ 30 ΒΔ = 30 και Α = 3 ΑΒ = 4. Δίεται συ30 = 0,87. Να υπολογίσετε τη πλευρά Β και τις Δ και ΒΔ. A B

183 20 Α. Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα για το τρίγωο του διπλαού σχήματος β α Β. Με βάση το διπλαό σχήμα α συμπληρώσετε τα κεά παρακάτω: Α γ Β i. γ 2 =.. ii. Β 2 =.+. iii..= α 2 ΑΒ 2 iv..= Β 2 β 2 Α. Να δοθού οι παρακάτω ορισμοί: i. Ημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου ii. Συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου iii. Εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου Β. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος α χαρακτηρίσετε τις ισότητες ως Σωστό ή Λάθος i. ημ = β α ii. συ = Α Β iii. εφ = γ Α β Α γ α Β Να λυθεί η εξίσωση: 5(x 2) 2(3 x) = 3x 4 Δ 6 Στο διπλαό σχήμα το ΑΔΒ είαι ορθογώιο. Α Α = 10, Δ = 6,ΑΕ = 21 α υπολογίσετε: 10 i. το μήκος της πλευράς ΑΔ. ii. τη εφαπτομέη της γωίας του τριγώου ΒΕ. Α Β 21 Ε iii. τη πλευρά Ε. Στο διπλαό σχήμα η ακτία του κύκλου είαι: R= 6cm και Β = 30 ο. Να υπολογίσετε: i) τη γωία Α του τριγώου ΑΒ ii) τη γωία και το τόξο ΑΒ Β 30 Α iii) α είαι γωστό ότι ημ30º = 1 2 α υπολογίσετε το μήκος της χορδής Α iv) το μήκος S του κύκλου v) το μήκος της πλευράς ΑΒ iv) το γραμμοσκιασμέο εμβαδό Δίεται ότι 135 =11,6

184 21 a. Να γραφεί το πυθαγόρειο θεώρημα και στη συέχεια α εφαρμοστεί στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) A B b. Στο ίδιο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) ααφέροται οι σχέσεις: I. ΑΒ 2 = Β 2 +Α 2 II. ΑΒ 2 = Α 2 Β 2 III. Α 2 = Β 2 ΑΒ 2 IV. Β 2 = ΑΒ 2 Α 2 V. ΑΒ 2 = Α 2 + Β 2 VI. ΑΒ 2 + Α 2 = Β 2 Να τις χαρακτηρίσετε ως Σωστές ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) a. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ). Α η ω είαι μια οξεία γωία του τριγώου Να γράψετε τους τύπους του ημω, συω, εφω. A ω B b. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του ερωτήματος ( a ) ααφέροται οι σχέσεις: I. ημβ = Α Β IV. συβ = ΑΒ Β II. συ = ΑΒ Β Β V. ημ = ΑΒ III. εφβ = Α Β VI. εφ = ΑΒ Α Α χ = 2 α υπολογιστού οι τιμές τω παραστάσεω: Α = 3χ 40:χ + ( 7 + χ) ( 3) + χ Β = ( χ) 3 + ( χ + 4) 2 χ 2 + 3 χ+1 χ + 3 5χ 1 χ 3χ 4 Να λυθεί ή εξίσωση: + 2 = 5 2 2 4 Δίεται ο κύκλος (Κ, 10cm) και η διάμετρος του Β. Α το Α είαι σημείο του κύκλου τέτοιο ώστε ΑΒ = 1 Α, α υπολογίσετε: 8 a. Τη γωία ΚΑΒ b. Το εμβαδό του κυκλικού τομέα (Κ. Α )

185 22 a. Τι οομάζουμε δύαμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό >1 ; b. Να ατιγράψετε στο τετράδιό σας και α συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες : 1. 2. 3. α =... 4. ο α =... 5. 1 α =... 6. μ α α =... 7. μ α :α =... 8. μ (α ) =... (α β) =... α =... β a. Να γράψετε τους ορισμούς τω τριγωομετρικώ αριθμώ οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Πως μεταβάλλεται το ημίτοο, το συημίτοο και η εφαπτομέη μιας οξείας γωίας ότα αυτή αυξάεται ; c. Αάμεσα σε ποιους αριθμούς βρίσκεται το ημίτοο και το συημίτοο μιας γωίας ; Να υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της παράστασης : 4 5 0 Α = ( 3) [( 2) :16 + ( 1) ( 5)] [ 3 + ( 3) ]:2 a. Να λυθεί η εξίσωση : 3(2 x) 2(1 x) =1 4 3 b. ια τη τιμή του x που βρήκατε (x = 2) α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης : Α = x + 2 x + 3 x (2005) +(2005) 4 2 Δίεται τρίγωο ΑΒ και το ύψος του ΑΔ. Α είαι Α = 8cm, ΒΔ = 3cm και η γωία Α = 30 α βρείτε : 8cm a. Το ύψος ΑΔ και τη πλευρά Δ. b. Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ. c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. Β 3cm Δ (Δίοται : ημ30 = 0,5, συ30 0,87, εφ30 0,58, 48 7 30

186 23 a. Α ω μια οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α γράψετε το τύπο που μας δίει τo συημίτοο της γωίας ω b. Στο διπλαό ορθογώιο τρίγωο ΑΒ, α βρείτε με τι ισούται η εφαπτομέη της γωίας Β. A c. Είαι δυατό, α ω οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, το ημω = 11 (Δικαιολογήστε τη απάτηση σας) 10. B Δίεται κύκλος κέτρου Ο, ακτίας ρ και μια επίκετρη γωία με μέτρο μ. a. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του μήκους του κύκλου. b. Να γράψετε έα τύπο για τη εύρεση του εμβαδού του κυκλικού τομέα. c. Α στο παραπάω κύκλο Ο, η ακτία ρ = 6cm και η επίκετρη γωία είαι 10 πόσο είαι το εμβαδό του κυκλικού τομέα; Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= ( 2) 3 ( 8)+ 4 3 ( 3)2 ( 7) ( 11), Β = 6 [7 2 (6 8)] και α βάλετε αάμεσα στις παραστάσεις Α, Β το κατάλληλο σύμβολο (<,>,=) 4χ 1 χ 3χ 2 Να λυθεί η εξίσωση: = 2 + 6 2 4 Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( ˆΑ = 90 ο ) με ΑΒ = 12cm και Β = 13cm. Με διάμετρο τη ΑΒ σχεδιάζουμε ημικύκλιο εξωτερικά του τριγώου. Να βρεθού : a. Η πλευρά Α και το εμβαδό του τριγώου ΑΒ. b. Το εμβαδό του ημικυκλίου ή το εμβαδό του τριγώου είαι μεγαλύτερο και κατά πόσο;

187 24 Να γράψετε τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού τω ρητώ αριθμώ και α ααφέρετε από έα παράδειγμα για κάθε μια από αυτές. Να γράψετε τις ιδιότητες τω δυάμεω και α ααφέρετε από έα παράδειγμα για κάθε μια από αυτές. ια χ = 3, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = (2χ + 3) (χ + 2) (χ +10) (2χ + 5) Να λυθεί και α επαληθευτεί η εξίσωση: Να βρεθεί το εμβαδό ισοσκελούς τριγώου ΑΒ(ΑΒ =Α) ότα είαι ΑΒ = Α = 1,7dm και Β = 30cm 4χ 3 3χ + 1 χ 1 = 5 4 10 A 1,7dm B Δ 30cm

188 25 a. Πως διαιρούμε δυο ακεραίους αριθμούς : i. Α είαι ομόσημοι ii. Α είαι ετερόσημοι iii. Να γίει η διαίρεση ( 14) : ( 7) =... iv. Να γίει η διαίρεση ( 9) : ( + 3) =... b. Πως απαλείφουμε μια παρέθεση ότα μπροστά της είαι το (μείο); Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 3 + 7 5 + 12 4 + 2) =... c. Πως πολλαπλασιάζουμε δυο αρητικούς ακεραίους αριθμούς; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) ( 3) =... d. Πότε έα γιόμεο πολλώ παραγότω διαφορετικώ του μηδεός είαι αρητικό, και πότε θετικό; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα : i. ( 2) ( 3) (+ 4) ( 5) (+ 6) ( 7) =... ii. ( 1) ( 2) ( 4) ( 6) (+ 5) ( 3) =... a. Πως πολλαπλασιάζουμε δυάμεις με τη ίδια βάση; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) 3 ( 2) 4 ( 2) 5 =... b. Πως διαιρούμε δυάμεις με τη ίδια βάση; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: c. Πως υψώουμε έα γιόμεο σε έα εκθέτη; 5 3 2 2 : 3 3 =.. Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: ( 2) ( 3) ( 5) d. Πως υψώουμε μια δύαμη σε έα εκθέτη; Με χρήση του καόα βρείτε το αποτέλεσμα: =... 3 3 5 2 =... 3 Δίοται οι αλγεβρικές παραστάσεις 3 3 Α = ( 5) 2 ( 2) 3 1 : 2 + ( 1) 1000 2 3 1 35, Β = ( 5) ( 2) 1 : + 2 24 Α 25Β Να βρείτε τους αριθμούς Α, Β και α συγκρίετε τους αριθμούς, Β 23Α Να λυθού οι εξισώσεις αισώσεις: Α) 4 (χ + 1) =2χ 1 (χ + 3) Β) 3 χ 1 = χ + 4 ) 2χ 1+ χ χ 2 4 2 3 3 6 2 Α σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ ( Â = 90º) είαι ημ = 4 5 και ΑΒ = 20, α βρεθού: a. Οι άλλες δύο πλευρές του b. Το ημβ, το συβ και η εφβ

189 26 Θέμα 1 Να συμπληρωθού οι ισότητες που ααφέροται: a. στους ορισμούς τω δυάμεω, α =..., α 1 =..., α 0 =..., α =... b. στις ιδιότητες τω δυάμεω, α κ α λ =..., α κ λ α =..., (α β)κ =..., c. στις ιδιότητες τω τετραγωικώ ριζώ α β κ κ =..., ( α ) λ =..., α β -κ =... αβ =..., α β =..., 2 α =..., ( ) 2 α =... a. Να δώσετε τους ορισμούς τω τριγωομετρικώ αριθμώ(ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη) μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου b. Να συμπληρώστε τις επόμεες ισότητες με τις πλευρές του ορθογωίου τριγώου ΚΔΕ( Κ= 90 ): ημδ =..., συδ =..., εφδ =... c. Το ημίτοο της γωίας Δ είαι μικρότερο η μεγαλύτερο από τη μοάδα; ( Αιτιολογήστε τη απάτηση σας) Να λυθεί η εξίσωση: 3χ + 11 2χ 13 = 13-6χ + χ 2 3 4 A Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος το μήκος της πλευράς ΑΒ α είαι 13cm Β= 90, = 90, Β = 3cm, Δ = 4cm και ΑΔ = 13cm. Β 3cm 4cm Δ Να συμπληρώσετε τις ισότητες κάοτας όλες τις δυατές πράξεις: 3 2 =..., (1 3) ( 2 1) 2 =..., 4 2 3 =..., 7 4 7 =..., 1 2 + 2 3... 2 2 319 324 =...,

190 27 Θέμα 1 A. Πως ορίζεται το ημίτοο και πως το συημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου B. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο και το συημίτοο είαι αριθμοί μικρότεροι της μοάδας. A. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη και πότε εγγεγραμμέη; B. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; C. Με τη ισούται η κετρική γωία καοικού - γώου; Να υπολογίσετε τα εξαγόμεα: Α = 3 ( 8 + 3) 4 2 [3 (4 2) 2 ] Β = ( 7 +5) 3 [ (6 2) 2 +3 3 ] Να λυθεί η εξίσωση: χ 6 4 = χ +1 + 1 2 3 9 Να βρείτε τα μήκη τω ημικυκλίω του σχήματος α είαι: ΑΒ = 6cm και ΑΒ = Δ = ΔΒ. Να συγκρίετε το μήκος του μεγάλου ημικυκλίου με το άθροισμα Α Δ Β τω μηκώ τω τριώ μικρώ.

191 28 Θέμα 1 a. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ακέραιους αριθμούς διάφορους του μηδεός b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α κ α λ =..., α β =..., α α 0 α =..., (α κ ) λ =. c. Πότε η δύαμη εός ρητού αριθμού α 0 ισούται με έα; a. Ποια γωία οομάζεται εγγεγραμμέη και ποια η σχέση της με το τόξο στο οποίο βαίει; b. Ποιο πολύγωο λέγεται καοικό; c. Να δώσετε τους τύπους του: μήκους κύκλου, μήκους τόξου, εμβαδού κυκλικού δίσκου, εμβαδού κυκλικού τομέα. Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω: i. 7χ 2 (χ + 5) +1 8χ +2 (χ 2) ii. 2χ +1 χ 2 > χ + 2 1 3 2 2 Να γίου οι πράξεις: 3 0 1 3 5 3 1 + 2 5 3 4 2 3 [ ] 2 5 (9 2) :( 2) + ( 5 ) :( 5) Το τρίγωο ΑΒ του διπλαού σχήματος είαι ισοσκελές με ΑΒ = Α = 10cm και ημβ = 0,8. Α Να υπολογίσετε: a. το ύψος του ΑΔ, 10cm 10cm b. τη περίμετρο του, c. το εμβαδό του Β Δ

192 29 Θέμα 1 a. Πότε δύο αριθμοί λέγοται ατίθετοι και πότε ατίστροφοι; (Να γράψετε έα παράδειγμα σε κάθε περίπτωση) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: b. α μ :α μ =..., ( ) α =..., α 0 =..., α β =... c. Τρεις ρητοί αριθμοί έχου γιόμεο αρητικό. Τι συμπεραίετε για τα πρόσημα τους; a. Πότε μια γωία λέγεται επίκετρη και πότε εγγεγραμμέη; b. Ποια σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη; c. Δύο τόξα μ είαι πάτοτε ίσα; 1 4 Α Α = ( 2) 3 5 2 + [(3 2 4): 5 11] και Β = ( 5 8) ( 3) a. Να υπολογίσετε τις τιμές τω παραστάσεω Α και Β b. Να βρείτε τη διαφορά Α Β. 2 0 3 : a. Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) χ + 3 2 χ + 1 = χ 5 2 3 b. Να λύσετε τη αίσωση: (3χ 1) (3 2χ) 7χ + ( χ+ 8) c. Να εξετάσετε α η λύση της εξίσωσης είαι και λύση της αίσωσης. Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ), με ΑΒ = 8cm και Β = 10cm. a. Να βρείτε το μήκος της πλευράς Α b. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς της γωίας Β. Α 10cm 8cm Β

193 30 Θέμα 1 a. Τι οομάζεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη μιας οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου; Πως μεταβάλλοται και ποια είαι τα όρια μεταβολής ημίτοου και συημίτοου; b. Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τω 45 0 σ έα ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο με ΑΒ = Α = 1cm. a. Πότε έα πολύγωο λέγεται καοικό με τι ισούται η κετρική του γωία ω και τη σχέση έχει η γωία του φ με τη κετρική γωία ω; b. Να γράψετε τους τύπους που δίου το εμβαδό εός κύκλου και το μήκος τόξου. c. Να δώσετε το ορισμό του ακτιίου(1 rad) και α συμπληρώσετε τις ισότητες: π rad =, rad π 2 =, 30 = rad, 45 0 = rad. Α Α = ( 3) 2 2 2 4 + ( 4) 3 :8 + [ 4 0 ( )5 2 ] και Β = 2 χ+1 ( 2) χ 1 + χ χ+1 χ χ 1 όπου χ = 2, α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Να λύσετε και α επαληθεύσετε τη εξίσωση: 5χ 1 2χ + 1 3χ +1 + 4 3 4 = χ + 5 2 6 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ),είαι ΑΒ = 1cm, Β = 2cm, = 30. Να υπολογίσετε i. Τη πλευρά Α και τη γωία Β ii. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ iii. Το εμβαδό του κυκλικού τομέα Β. ΑΔ iv. Το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας.

Θέμα 1 194 31 Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ): a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, του συημιτόου και της εφαπτομέης της οξείας γωίας Β. b. Ποιες τιμές μπορού α πάρου το ημίτοο και το συημίτοο της γωίας ; c. Πώς μεταβάλλεται το ημίτοο και πώς το συημίτοο της γωίας ότα αυτή αυξάεται; a. Πώς υπολογίζουμε το γιόμεο πολλώ ρητώ παραγότω; b. Α α και β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και μ, ακέραιοι, α συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω: α μ :α =..., α.μ. β μ =..., α =..., α 0 =... 5 2 2 5 Α Α = + + [ 9 ( 7 3) ] και Β = 0 2 2 1 2 1 + + + + 3 3 3 3 2 2 2 α δείξετε ότι Α = Β. Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς που επαληθεύου τη αίσωση: χ 2 χ 1 3 6 ( ) 3 χ 1 2 5 Σε ορθογώιο και ισοσκελές τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ), είαι ΑΒ = Α = 8cm Με διάμετρο τη υποτείουσα Β του τριγώου γράφουμε εξωτερικά του τριγώου 8 M ημικύκλιο. Να υπολογίσετε το εμβαδό ολόκληρου του σχήματος, Α 8 Β

195 32 Θέμα 1 Α α και β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του μηδεός και μ, φυσικοί με μ >1 και >1 α συμπληρώσετε τις ισότητες: α =... α =..., α 0 =... α 1 =... α μ α =..., α.μ. :β μ =..., ( ) μ α =... a. Τι οομάζεται επίκετρη γωία, και τι ατίστοιχο τόξο της b. Τι οομάζεται εγγεγραμμέη γωία, και τι ατίστοιχο τόξο της; c. Ποια η σχέση μεταξύ: μιας επίκετρης και μιας εγγεγραμμέης γωίας που βαίου στο ίδιο τόξο, μιας εγγεγραμμέης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της, μιας επίκετρης γωίας και του ατίστοιχου τόξου της; Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) του σχήματος είαι Α = 6cm, και Β = 10cm Να υπολογίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμού της γωίας Β. 6cm Α 10cm Β Να λυθεί η εξίσωση: χ 3 χ 4 χ +8 = 2 5 3 2 Α το μήκος εός κύκλου είαι 62,8, α υπολογίσετε το εμβαδό του.

196 33 Θέμα 1 a. Τι παριστάει η δύαμη α, φυσικός μεγαλύτερος του 1; b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α 0 =... α =..., α 1 =... ( ) μ α =... α β =..., α.μ. α =..., α μ : α =..., α β =... c. Οι αριθμοί 3 9 και 9 3 είαι ατίστροφοι; Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας a. Τι οομάζεται, εφαπτομέη, τι ημίτοο, και τι συημίτοο οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. ιατί για κάθε οξεία γωία ω ορθογωίου τριγώου ισχύει η σχέση 0 ημω 1. c. ιατί είαι συ60 συ50 Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 4 3χ χ 5 = 1 3 2 Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) είαι ΑΒ = 16cm, και Β = 20cm. Να υπολογίσετε: a. το ημίτοο, το συημίτοο και τη εφαπτομέη, της οξείας γωίας Β. b. Το μήκος του ύψους ΑΚ που φέρουμε από τη κορυφή Α προς τη πλευρά Β. Το τετράγωο ΑΒΔ του σχήματος έχει πλευρά 6cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος του κύκλου. b. το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας.

197 34 Θέμα 1 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να κατασκευάσετε έα ορθογώιο τρίγωο και α γράψετε τη σχέση που παράγεται από τη εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στο τρίγωο αυτό. a. Πότε δύο ποσά οομάζοται αάλογα; b. Πότε δύο ποσά οομάζοται ατιστρόφως αάλογα; Να βρείτε που συαληθεύου οι αισώσεις: 2χ χ 3 19 και 2χ 3 (χ 2) 8 4 2 Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 2 2 + 5 ( 3 + 2 2 ) + [( 7) 0 + 7 3]:2 + 2 2 Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 2χ 1 2χ = 1 4 3 2

Θέμα 1 198 35 a. Να γράψετε τις ιδιότητες δυάμεω ρητώ με εκθέτη ακέραιο. b. Πότε η δύαμη α με εκθέτη φυσικό αριθμό, είαι θετικός αριθμός και πότε αρητικός; a. Να δώσετε τους ορισμούς του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) α βρείτε τα ημβ, συβ εφβ. b. Α η ω είαι οξεία γωία ορθογωίου τριγώου α συμπληρώσετε τις αισότητες:...< ημω <... και...< συω <... Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είαι σωστές; ημω = 0,04 συω = 5 συω = 0,3 ημω = 3 Να δικαιολογήσετε τις απατήσεις σας Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: Α = 4 2 1 +( 3) (+2) ( Ι)-( 8):(+2) 8 + 27 3 2 2 Στο διπλαό σχήμα δίοται ΑΒ = 12 cm, ΕΔ = 5cm, ΒΔ = 8cm και Δ = 6cm. Να υπολογίσετε τα τμήματα Β και ΑΕ. Ε Α 5cm 6cm Δ 8cm 12cm Β Να υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του διπλαού γραμμοσκιασμέου σχήματος

199 36 Θέμα 1 a. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο ετερόσημους ακέραιους; b. Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο αρητικούς ακέραιους; c. Τι πρόσημο έχει το γιόμεο δύο ατίθετω μη μηδεικώ αριθμώ; Να δικαιολογήσετε τη απάτησή σας. a. Πως ορίζεται η εφαπτομέη, το ημίτοο και το συημίτοο μιας οξείας γωίας ω ορθογώιου τριγώου b. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτοο μιας οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου είαι αριθμός μικρότερος της μοάδας. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης αφού πρώτα απαλείψετε τις παρεθέσεις και τις αγκύλες. Π= (α + β) [3+(β α)] (10 α β) Δίοται : α = 3 2, β= 1 Να βρείτε τις κοιές λύσεις τω αισώσεω 4χ +7 > 6χ 2 και χ + 5 χ 1 + 3 2 > χ 4 Έα ισοσκελές τρίγωο ΑΒ (ΑΒ = Α) έχει βάση Β=24 cm και ύψος ΑΔ=16cm. Να υπολογίσετε τη πλευρά ΑΒ και τη περίμετρο του τριγώου.

200 37 Θέμα 1 a. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυάμεις που έχου τη ίδια βάση. Παράδειγμα b. Πώς πολλαπλασιάζουμε δυάμεις που έχου τη ίδια βάση. Παράδειγμα c. Πώς υψώουμε δύαμη σε εκθέτη. Παράδειγμα Στο διπλαό σχήμα: a. Πως λέγοται οι γωίες, ΑΟΒ και ΑΚΒ b. Να γράψετε το ορισμό που περιγράφει τη σχέση τω δύο αυτώ γωιώ. O K c. Να γράψετε το ορισμό που περιγράφει τη σχέση της ΑΚΒ με το ατίστοιχο τόξο της. A B Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 5 [3 ( 2) ( 4)] + ( 2 + 8):( 7 10) [8 ( 2 ) 10] Να λυθεί η εξίσωση: 2χ 1 χ = 3 3(χ + 1) 4 Ε Στο διπλαό σχήμα είαι Δ = Κ = 90 και ΕΔ = 8cm, Δ = ΕΚ =6cm, ΑΚ = 3cm. Να υπολογίσετε το μήκος : 8cm 6cm K 3cm Α a. της Κ b. της Α Δ

201 38 Θέμα 1 a. Σχεδιάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ με γωία A = 90 και α εκφράσετε με τη βοήθεια τω πλευρώ του τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημίτοο, συημίτοο και εφαπτομέη της γωίας Β. b. Να υπολογίσετε το ημίτοο τω 45 Να γράψετε τη σχέση που συδέει τη επίκετρη και τη εγγεγραμμέη γωία που βαίου στο ίδιο τόξο και στη συέχεια α τη αποδείξετε. Σε τρίγωο ΑΒ είαι η γωία του B = 30, η πλευρά του B = 10cm και το ύψος του ΑΔ= 4cm. Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώου ΑΒ και Α. Δίοται: ημ30 = 0,5, συ30 = 0,87 και εφ30 = 0,58 Να υπολογίσετε τη αριθμητική παράσταση Α = ( 2) 3 1 3 + 2 4 ( 1)2 + 3 4 :( 3) 3 +(+16) 2 4 Να λυθεί η εξίσωση: χ +1 χ 2 = χ + 1 2 6 3

202 39 Θέμα 1 a. Σε κάθε έκφραση της στήλης Α α ατιστοιχίσετε έα σύμβολό της στήλης Β, έτσι ώστε α περιγράφου τη ίδια έοια. Στήλη Α Φυσική γλώσσα a. ατίθετος του χ b. ατίστροφος του χ c. τετράγωο του χ d. τετραγωική ρίζα του χ e. διπλάσιο του χ δίεται χ > 0 Στήλη Β Μαθηματική γλώσσα 1. 2χ 2. χ 3. χ 4. χ 2 5. χ + 2 1 6. χ b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες τω δυάμεω: α 0 =... α =..., ( ) μ α =..., α +μ =..., Δίεται ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ): a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και α γράψετε τη ατίστοιχη μαθηματική σχέση. α μ : α =... b. ια τη οξεία γωία ω του τριγώου α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς τα ημω, συω, και εφω a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης a b c d e Α = 3 (4 6) 2 + 7 5 2 b. Να λύσετε τη εξίσωση 13 χ = 7 χ Σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) είαι ΑΒ = 1cm και Β = 2cm. a. Να αποδείξετε ότι Α = 3cm. b. Να βρείτε τα ημ, συ, εφ. c. Να βρείτε τη τιμή της Α = 4(συ) 2 3 3εφ +6ημ Δίεται κύκλος κέτρου Ο, διαμέτρου δ = 20cm και η χορδή του ΑΒ =10cm. a. Να δείξετε ότι η ακτία ρ = 10cm και η επίκετρη γωία ΑΟΒ = 60. b. Να υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του κύκλου. c. Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού τομέα Ο. ΑΒ ( π = 3,14)

203 40 Θέμα 1 a. Α οι α, β είαι ρητοί αριθμοί διάφοροι του 0 και οι μ, ακέραιοι α συμπληρώσετε τις ισότητες: ( ) μ α =..., α 0 =... α =..., α α μ =..., ( α β) =... α β =... a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη; b. Ποία σχέση συδέει μια εγγεγραμμέη γωία με τη ατίστοιχη επίκετρη και το τόξο στο οποίο βαίει; c. Πόσω μοιρώ είαι γ κετρική γωία εός καοικού δεκαπεταγώου; Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 3 2 5 0 1 2 3 1 3 4 19 :5+ 5 4 3 15 +( 27) 2 :( 3) 6 [( 4) 2 :( 2) ( 2) 5 :4] Να λύσετε τις αισώσεις και παραστήσετε τις κοιές τους λύσεις στο άξοα τω πραγματικώ αριθμώ: a. 2(2χ 1) 2χ 5 5(χ +3) 3 2 6 b. 2χ 5 4χ 3 3 5 Β Α είαι ΑΔΒ = 30 και ΔΒ = 60 α αποδείξετε ότι, ΑΒ + Δ = Β + ΑΔ Α 60 K 30 Δ

204 41 Θέμα 1 a. Πότε δύο πραγματικοί αριθμοί λέγοται ομόσημοι; b. Πότε δύο πραγματικοί αριθμοί λέγοται ετερόσημοι; c. Ποιο είαι το πρόσημο του γιομέου, i) δύο ομοσήμω ii) δυο ετεροσήμω αριθμώ a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα b. Να γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα για το διπλαό ορθογώιο τρίγωο Έχου κοιή λύση οι εξισώσεις; 3χ + 2 = 9 + χ ( 1 ) και χ 1 χ + 1 2χ 4 + 2 = + ( 2 ) 3 2 3 Δίεται το ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ με Β = 6cm και Α = 10cm. Να υπολογίσετε a. το μήκος της πλευράς ΑΒ. b. Το εμβαδό του ορθογωίου ΑΒΔ a. Τι ποσά είαι το βάρος τω κερασιώ και η αξία τους και γιατί; b. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα τιμώ: Πίακας τιμώ χ: Βάρος Κερασιώ σε Kg 1 2 ψ: Αξία Κερασιώ σε Ευρώ. 4 6 c. Ποια είαι η συάρτηση τω μεταβλητώ χ, ψ.

205 42 Θέμα 1 Πως ορίζεται η δύαμη α, φυσικός μεγαλύτερος του 1; Να συμπληρώσετε τις ιδιότητες: α.μ. α =..., α μ : α =..., α β μ =..., ( ) Να σχεδιάσετε έα ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 )και στη συέχεια α διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και α γράψετε τη σχέση που το εκφράζει στο τρίγωο αυτό. α =... Να βρείτε, α υπάρχου τις κοιές λύσεις τω εξισώσεω. και 5(2χ +3) 12 = 5 2(10 3χ) ( 1 ) 2χ 3 3(3χ 5) 4χ 3 + = ( 2 ) 3 4 6 Στο τρίγωο ΑΒ είαι: ΑΒ = 60m, Β = 100m και Α= 60. Α το ΒΔ είαι ύψος του τριγώου α υπολογίσετε τα μήκη τω τμημάτω ΒΔ, ΔΑ, Δ και τη γωία. Στο ορθογώιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔ είαι ΑΒ = 5m και ΑΔ =2m. Α ο κύκλος που γράφουμε με κέτρο το σημείο Δ και ακτία ΑΔ τέμει τη Δ στο σημείο Ε, α υπολογίσετε τη περίμετρο και το εμβαδό του μικτόγραμμου τετραπλεύρου ΑΒΕ.

206 43 Θέμα 1 Πως ορίζεται η δύαμη με βάση το ρητό αριθμό α και εκθέτη το φυσικός αριθμό > 1; Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α =..., α μ : α =..., α β μ =..., ( ) a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. α =... Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 = 2 (3 3χ) 3 (1 χ) Να βρείτε, τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. 2 > 4 χ ( 1 ) και 4χ 1 > 2χ + 1 ( 2 ) Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, ω του σχήματος. Δίοται: ΑΒ = 100 και Α = 120. 120 Α ψ O χ ω B 100

Θέμα 1 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 207 44 a. α.μ. α =..., α β =..., μ ( ) α =..., α =..., α 0 =... b. Σε ποιες περιπτώσεις μια δύαμη α είαι θετικός αριθμός; c. Σε ποιες περιπτώσεις μια δύαμη α είαι αρητικός αριθμός; a. Στο ορθογώιο τρίγωο ΕΗΖ( E = 90 ) α ορίσετε τους τριγωομετρικούς αριθμούς ημζ, συζ, εφζ. b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες ημ30 =..., ημ60 =..., εφ45 =... c. Α η ω είαι οξεία γωία ορθογωίου τριγώου, α συμπληρώσετε τη σχέση,...< ημω <... Να αιτιολογήσετε τη απάτηση σας. Σ έα ορθοκαοικό σύστημα αξόω με αρχή το σημείο Ο(0, 0): a. α τοποθετήσετε τα σημεία, Α(1, 2), Β(3, 2) και (4, 0) b. Να υπολογίσετε το εμβαδό του τετραπλεύρου ΟΑΒ c. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς του Β. Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε: a. Τη περίμετρο της σκιασμέης επιφάειας; b. Το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας; Δίοται: ΑΒ = Δ = 2cm, Β = ΑΔ = 4cm, το σημείο Ο κέτρο του ημικυκλίου με διάμετρο τη ΑΔ και του κύκλου με διάμετρο EZ = 2cm. Να λύσετε τη αίσωση, 2χ 1 13χ + 7 χ 1 2 + 2 10 5 και α παραστήσετε γραφικά τη λύση της.

208 45 Θέμα 1 a. Τι λέγεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; b. Πως μεταβάλλοται το ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ότα αυτή αυξάεται; c. Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος η ισότητα ημβ = συ είαι σωστή ή λάθος; Να δικαιολογήσετε τη απάτηση σας. a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. b. Να κατασκευάσετε κατάλληλο σχήμα και γράψετε τη σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο θεώρημα. c. Τι λέγεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: Α = 15 2 ( 3) 3 :3 [ 6 2 ( 25:5)] ( 44)( 2) 5 0 a. Να λύσετε τη εξίσωση: 2(χ 1) 3(χ 2) 4 χ χ 4 = 1+ 3 4 6 6 b. Τη λύση της εξίσωσης α θέσετε στη θέση του χ στη παράσταση Α = ( 1) χ+2003 +( 1) χ+2004 +( 1) χ+2005 και α υπολογίσετε τη αριθμητική τιμή της. Δίεται τετράγωο ΑΒΔ και τα Κ, Λ, Μ, Ν μέσα τω πλευρώ του ΑΒ, Β, Δ, ΑΔ, ατίστοιχα. Α η περίμετρος του τετραγώου είαι 80m α βρείτε το εμβαδό της σκιασμέης επιφάειας (καμπυλόγραμμο τετράπλευρο ΚΛΜΝ).

Θέμα 1 Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 209 46 α.μ. α =..., α β =..., ( α β) =..., ( ) μ α =..., α μ α =..., α0 =... α =...,. a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; Ποια σχέση συδέει μια επίκετρη με τη ατίστοιχη της εγγεγραμμέη γωία; b. Σε κύκλο (Ο, ρ), α γράψετε τους τύπους που μας δίου: το μήκος του κύκλου το εμβαδό του κυκλικού δίσκου. το μήκος τόξου μ το εμβαδό κυκλικού τομέα μ Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ+1 χ 1 χ + = 2 3 2 6 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος είαι Β = 5 και ΑΒ = 4. Να υπολογίσετε: a. Το μήκος της πλευράς Α. b. Τους τριγωομετρικούς αριθμούς, ημβ, ημ, συβ, εφ Να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδό του κυκλικού δίσκου, του κύκλου του σχήματος, α είαι ΑΒ = 6cm, και Α = 8cm.

Θέμα 1 a. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 210 47 α.μ. α =..., α μ α =..., μ ( ) α =..., ( α β) =..., α β =..., b. Τι είαι εξίσωση; c. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. d. Να δώσετε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας εός θετικού αριθμού α a. Ποια γωία οομάζεται επίκετρη και ποια εγγεγραμμέη; Ποια σχέση συδέει τη επίκετρη με τη εγγεγραμμέη που έχει το ίδιο ατίστοιχο τόξο; b. Ποιο πολύγωο λέγεται καοικό c. Να γράψετε τους τύπους που δίου: i. Το μήκος κύκλου ακτίας ρ ii. Το εμβαδό κυκλικού δίσκου ακτίας ρ Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 8 + 7χ = 2 (5 + 3χ) ii) 5 χ = 9 3χ iii) χ χ = 3 5 2 Στα παρακάτω ορθογώια τρίγωα α υπολογίσετε τη πλευρά χ. 3 4 χ Να υπολογίσετε τις γωίες χ, ψ, ω στο διπλαό σχήμα:

211 48 Θέμα 1 a. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος. Να κατασκευάσετε κατάλληλο σχήμα και γράψετε τη σχέση που εκφράζει το θεώρημα. αυτό. b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:: 1. Ατιμεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης... =... 2. Προσεταιριστική ιδιότητα του πολ/σμού ως προς τη πρόσθεση... =... 0 2 3. 3 =..., 2 8 5 3 =..., 2 : 2 =... a. Στο διπλαό σχήμα, α Ο είαι το κέτρο του κύκλου, τότε: i. χ =., ii. ψ =., iii. το τρίγωο ΑΒ είαι... χ A B 60 a. Να διατυπώστε το ορισμό της εφαπτομέης οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου. b. Η γραφική παράσταση της ψ = αχ είαι... γραμμή που διέρχεται από τη... c. Να χαρακτηρίσετε ως σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις επόμεες προτάσεις i. Η γωία που έχει τη κορυφή της στο κέτρο του κύκλου λέγεται εγγεγραμμέη ii. Το συημίτοο μιας οξείας γωίας αυξάεται όσο αυξάεται η γωία. iii. 25=5 d. Να ατιστοιχίσετε τα στοιχεία της πρώτης στήλης με τις σχέσεις της δεύτερης: Στήλη Α 1. μήκος κύκλου 2. μήκος τόξου 3. εμβαδό κύκλου 4. εμβαδό κυκλικού τομέα Να υπολογίσετε τη τιμή τω παραστάσεω: Στήλη Β a. Ε = πρ 2 b. l = πρμ 180 c. =2πρ d. ε = Α = (2 2 +3 2):(2 2 +5:5) (2 3 4) 2 +(2 5) 2 και Β = a. Να λυθεί η εξίσωση: χ 1 χ + 1 2 χ = 1 3 4 2 2 πρ μ 360 1 2 3 4 O ψ 2 4 ( 2004 ) ( 2004 ) 3 2 4 1 ( ) ( ) 2 2 2004 2004 2004 b. Να βρείτε τη μικρότερη ακέραια λύση της αίσωσης: χ 2 + 2 χ 3 Α στο κύκλο διαμέτρου Β του σχήματος είαι ΑΒ = 6cm και Α = 8cm α βρείτε: Α) Τη περίμετρο του τριγώου ΑΒ, B A 6cm O 8cm Β) το ημίτοο της γωίας και ) το μήκος του κύκλου.

Θέμα 1 212 49 a. Να διατυπωθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Να γίει σχήμα και α εφαρμοσθεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα. σ' αυτό. Να γραφεί ο τύπος του Πυθαγορείου Θεωρήματος για το σχήμα αυτό. b. Τι οομάζουμε τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; a. Τι οομάζουμε εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; ( Να δοθεί ορισμός και α γίει σχήμα). b. Ποια είαι η μεταβολή του ημιτόου και του συημιτόου μιας οξείας γωίας, ότα αυτή μεταβάλλεται; ( π.χ. ότα η γωία αυξάει). Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: Α = 5 [ 3 7 ( 2 ) 3 ] + [7 ( 3 ) + 6 : ( 3 ) 2 3 ] Να λυθεί η εξίσωση: 5 χ +1 χ = 4 4 8 2 Να υπολογίσετε το εμβαδό του κυκλικού δακτυλίου που φαίεται στο σχήμα: Η ακτία του εξωτερικού κύκλου είαι R = 6,2cm και του εσωτερικού κύκλου ρ = 3,4cm. Οι κύκλοι είαι ομόκετροι.

Θέμα 1 213 50 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α= 90 ) b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες τω δυάμεω: α.μ. α =..., α β =..., α =..., a. Ποια γωία λέγεται εγγεγραμμέη και ποια επίκετρη; Να τις σχεδιάσετε και α τις οομάσετε σε έα τυχαίο κύκλο. Ποια είαι η σχέση μιας εγγεγραμμέης γωίας με τη ατίστοιχη της επίκετρη; b. Να δοθού οι ορισμοί του ημιτόου, συημιτόου και εφαπτομέης οξείας γωίας εός ορθογωίου τριγώου. Να λυθεί η αίσωση: χ 1 1 5 3χ + 1 4 3 3 6 a. Δίεται τόξο 30 εός κύκλου με ακτία ρ =1m. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου καθώς και το εμβαδό του ατίστοιχου κυκλικού τομέα. b. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης: 2 18 0 3 Α= ( 5) + 5 4+ 9 ( 2) 1 2 Στο ορθογώιο τρίγωο ΑΒ( Α = 90 ) του σχήμάτος είαι ΑΒ = 5 και Α = 4. B a. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς Β. b. Να υπολογιστού οι γωίες Β και, 3 A 4 χ ότα δίεται ότι ημ53 = 0,8.

Θέμα 1 214 51 a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα, δίοτας και έα παράδειγμα. b. Τι λέγεται ημίτοο, συημίτοο, εφαπτομέη οξείας γωίας ορθογωίου τριγώου; Να δώσετε παράδειγμα. a. Πότε δύο ποσά λέγοται αάλογα; b. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α 0 =..., α μ α =..., 1 α =.., α =..., α.μ. α =..., α β =..., α β =..., ( ) μ α =... Στο διπλαό σχήμα, είαι, ΑΒ = 74, Β = 80, Δ = 100 και ΑΒ = 6cm και ΑΔ =8cm. 74 B 80 a. Να υπολογίσετε τις γωίες του τετραπλεύρου ΑΒΔ b. Να αποδείξετε ότι το τρίγωο ΑΒΔ είαι ορθογώιο A O 100 c. Να βρείτε τη ακτία και το εμβαδό του κύκλου. Δ a. Να λύσετε τη εξίσωση: 3χ + 4 1 χ χ 4 = χ 2 3 6 b. Να βρείτε, τις κοιές λύσεις τω αισώσεω. 3χ 5 > χ 7 και 2χ + 1 5χ 14 Στο τρίγωο του διπλαού σχήματος είαι: Β = 45, = 30 και ΒΔ = 4m. Να υπολογίσετε A a. Το μήκος του ύψους ΑΔ b. Τα μήκη τω Α και Δ c. Το εμβαδό του τριγώου ΑΒ B 45 30 4m Δ

215 52 Θέμα 1 a. Πως βγάζουμε μια παρέθεση;( απαλοιφή) b. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; a. Πυθαγόρειο θεώρημα b. Προτεραιότητα τω πράξεω Να υπολογίσετε τη τιμή τω παραστάσεω. Α = (α γ) ( β γ) (α β) B = 5 (1 α) + ( β γ) ( α + β γ) Να λύσετε τη εξίσωση: 1 χ + 2 = 4 χ 4 10 3 5 15 Να υπολογίσετε τα ημίτοα και συημίτοα τω οξειώ γωιώ στα ορθο- 6cm 13cm γώια τρίγωα που δίοται στα σχήματα. Α 8cm Β Α 12cm Β

216 53 Να συμπληρώσετε τα κεά: α 0 =... α =... α μ α λ =... α κ : α λ =... λ α λ =... α μ β μ =... (α κ ) λ =... β a. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. b. Να διατυπώσετε το ατίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Να λύσετε τη εξίσωση: ( ) 4 5χ 3 χ 1 2χ + 6 = 12 2 Η περίμετρος εός ισοσκελούς τριγώου είαι 50 m και η μία από τις ίσες πλευρές του είαι 17 m. Να υπολογίσετε τη βάση του, το ύψος που ατιστοιχεί στη βάση και το εμβαδό του τριγώου. (σχήμα) Στο διπλαό σχήμα α υπολογίσετε: 10 cm a. Τη περίμετρό του. 7 cm b. Το εμβαδό του.

217 54 a. Πότε δυο αριθμοί λέγοται ατίστροφοι; b. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: 0 α =..., 1 α =..., α (β + γ) =..., α β α γ =... a. Τι οομάζεται τετραγωική ρίζα εός θετικού αριθμού α; b. Διατυπώστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ + 3 χ 5 3 = 1 a. Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης Α = 4 (3 3 19) 8 (9 5) b. Να βρείτε το γιόμεο 3 3 5 4 2 5 Η διάμετρος εός κύκλου είαι 10 cm. Να βρείτε τη περίμετρο και το εμβαδό του κύκλου και του κυκλικού δίσκου.

218 55 a. Σε έα κύκλο ποια η σχέση επίκετρης και εγγεγραμμέης γωίας που έχου το ίδιο τόξο; b. Α α, β ρητοί και, μ φυσικοί αριθμοί, ατιστοιχίστε σωστά τα παρακάτω: α μ α (α β) α μ : α α μ + α β α μ (α μ ) α μ c. Συμπληρώστε τις προτάσεις: Α και τα δύο μέλη μιας αισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε με το ίδιο θετικό αριθμό, βρίσκουμε αισότητα με........ φορά. Α και τα δύο μέλη μιας αισότητας τα πολλαπλασιάσουμε ή τα διαιρέσουμε με το ίδιο αρητικό αριθμό, βρίσκουμε αισότητα με........ φορά a. ράψτε το ορισμό της τετραγωικής ρίζας θετικού αριθμού α. b. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είαι σωστές και ποιες είαι λάθος; προσκείμεη κάθετη i. συω = υποτείουσα υποτείουσα ii. ημω = απέατι κάθετη iii. απέατι κάθετη εφω = προσκείμεη κάθετη c. Να γράψετε με πόσο ισούται το μήκος κύκλου ακτίας ρ, το μήκος τόξου μ κύκλου ακτίας ρ, το εμβαδό κυκλικού δίσκου ακτίας ρ, το εμβαδό κυκλικού τομέα γωίας μ κύκλου ακτίας ρ. Να λύσετε τη εξίσωση: 2χ 1 3χ 3 χ 2 + = 3 4 2 Α Α = ( 3) + ( 2) 3, Β = ( 3) 2 2 3 και = 3 (5 7), α υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 2 ΑΒ + Στο διπλαό σχήμα έχουμε ΒÂ = 90º, ΒΔ = 90º, ΒΔ = 30º, Α = 3, AB = 4 και δίεται ότι συ30 = 0,86. Να υπολογίσετε τη πλευρά Β και τις ΒΔ, Δ.. 30 ο Δ 3 A 4 B

219 56 a. Να συμπληρωθού τα κεά: α 0 =... α 1 =... α =... (α β) =... (α μ ) =... α μ : α =... b. Πότε δυο αριθμοί είαι ατίστροφοι; c. Να βρεθού οι ατίστροφοι τω παρακάτω αριθμώ: 1 1, 2, 2 3, 3 1 4 a. Τι είαι εγγεγραμμέη και τι επίκετρη γωία σε κύκλο (Ο, ρ). Με τι ισούται το μέτρο της κάθε μιας σε σχέση με το μέτρο του ατίστοιχου τόξου; b. Να χαρακτηριστού οι γωίες ΑÔΒ και ΑΒ του διπλαού σχήματος και α βρεθεί το μέτρο τους O A 60 B Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = ( 3) [( 2) 5 : 16 + ( 1) 5 ( 5)] [ 2 + ( 3) 2 ] : ( 7) Να λυθεί η εξίσωση: 3 (2 + χ) χ +1 2 = 3χ 2 + 3 2χ 4 c. Να υπολογιστεί η πλευρά ΑΒ. d. Να βρεθού τα ημ, συ, εφ.

220 57 ΑΡΡΧΙΙΜΗΔΗΣ Ο Αρχιμήδης, ο μεγαλύτερος ίσως μαθηματικός όλω τω εποχώ, γεήθηκε το 287 π.χ. στις Συρακούσες της Σικελίας και σπούδασε στη Αλεξάδρεια με τους διαδόχους του Ευκλείδη. A και έγιε γωστός για τις μηχαικές του κατασκευές παρά για τα μαθηματικά του επιτεύγματα δε προσέδιδε σ αυτές καμία ιδιαίτερη σημασία. Σύμφωα με το Πλούταρχο, «παρ ότι οι μηχαικές επιοήσεις του προσέδωσα στο Αρχιμήδη όομα και φήμη ατάξια όχι αθρώπιης αλλά θείας οημοσύης, αυτός δε θέλησε α αφήσει κάποιο γραπτό έργο σχετικό με τα θέματα αυτά, επειδή θεωρούσε ότι ήτα απλώς γεωμετρικά παιχίδια» Η άποψη του Αρχιμήδη ως προς τη σχετική σπουδαιότητα τω πολλώ αακαλύψεω του φαίεται καθαρά από τη απαίτηση του α τοποθετήσου πάω στο τάφο του μια ααπαράσταση εός κυλίδρου περιγεγραμμέου σε μια σφαίρα, με μια επιγραφή που έδιδε το λόγο τω όγκω του κυλίδρου προς τη σφαίρα. Από το γεγοός αυτό μπορούμε α συάγουμε ότι θεωρούσε ως το μεγαλύτερο επίτευγμα του τη αακάλυψη του λόγου αυτού. Η αγάπη του Αρχιμήδη για τη εωμετρία παρουσιάζεται στο σύολο της μέσα από έα πλήθος ιστοριώ. ωρίζουμε ότι ξεχούσε τα πάτα σχετικά με το φαγητό του και με άλλες τέτοιες καθημεριές αάγκες της ζωής και ότι σχεδίαζε γεωμετρικά σχήματα στις στάχτες ή, ότα αλειφότα με λάδι, πάω στο σώμα του. Είαι σχεδό βέβαιο ότι και αυτός ακόμη ο θάατος του οφείλεται στη αγάπη που είχε στη εωμετρία. Ο Αρχιμήδης σκοτώθηκε κατά τη διάρκεια της λεηλασίας τω Συρακουσώ από έα Ρωμαίο στρατιώτη. Η ιστορία παρουσιάζει το Αρχιμήδη α λέει στο στρατιώτη, ο οποίος το βρήκε α στοχάζεται πάω από κάποια σχήματα που είχε σχεδιάσει στο χώμα και το πλησίασε πολύ, «Μη μου τους κύκλους τάραττε ( Μη μου χαλάς το σχήμα)». Ο στρατιώτης εξαγριώθηκε με τα λόγια του και το σκότωσε. Μερικά από τα έργα του που έχου διασωθεί είαι τα εξής: Περί σφαίρας και κυλίδρου, δύο βιβλία. Κύκλου μέτρησις Περί κωοειδέω και σφαιροειδέω Τετραγωισμός παραβολής Η Μέθοδος ια το έργο του στη εωμετρία όπως ο Πλούταρχος ααφέρει «Δε ήτα δυατό α βρεθού στη εωμετρία δυσκολότερα και πιο βασαιστικά ερωτήματα διατυπωμέα σε μορφή απλούστερω και σαφέστερω προτάσεω» Οι πρωτότυπες μελέτες του σχετικά με το τετραγωισμό καμπυλόγραμμω επιπέδω σχημάτω, καθώς και με το τετραγωισμό και το κυβισμό καμπύλω επιφαειώ ουσιαστικά ( για α χρησιμοποιήσουμε τα λόγια του Chasles) «γέησα το Απειροστικό Λογισμό», το σηματικότερο ίσως τομέα της Μαθηματικής ε- πιστήμης.