ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης κείμενο εικόνες γραφήματα δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοπός Μελέτη Παρατήρηση Προσέγγιση Σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου Ομοιότητα Σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 4

Εισαγωγικά Έστω γραμμικό σύστημα που περιγράφεται από τη σχέση: y S[ u ] Αν η είσοδος είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων απλών σημάτων u η έξοδος του συστήματος θα είναι γραμμικός συνδυασμός των αποκρίσεων y S[ ] Άρα y S[ ] S[ ] S[ ] ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 5

Εισαγωγικά Πλεονεκτήματα. Αν γνωρίζουμε τις αποκρίσεις y S[ ] του συστήματος στις εισόδους ο προσδιορισμός της αποκρίσεως σε κάποιο άλλο σήμα μπορεί να αναχθεί σε ένα πρόβλημα αναπτύξεως του σήματος αυτού σε γραμμικό συνδυασμό των σημάτων. u. Αν κάθε επιτρεπόμενη είσοδος στο σύστημα μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των τότε γνωρίζοντας πως αποκρίνεται το σύστημα στις εισόδους πρακτικά γνωρίζουμε την εν γένει συμπεριφορά του συστήματος ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 6

Εισαγωγικά 3 Δοθέντων ενός σήματος και ενός συνόλου απλών σημάτων υπάρχουν αριθμοί τέτοιοι ώστε? Αν όχι τότε ποιοι είναι εκείνοι οι αριθμοί με τους οποίους επιτυγχάνεται η καλύτερη προσέγγιση; ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 7

Παρατήρηση Το γεγονός ότι ένα σήμα μπορεί να προσεγγίζει ικανοποιητικά ένα άλλο δεν σημαίνει ότι του μοιάζει. Η προσέγγιση ενός σήματος έχει σχέση με την απόσταση των δύο σημάτων ενώ η ομοιότητα έχει σχέση με την μορφή τους. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 8

Μαθηματικοί ορισμοί. Βάση διανυσματικού χώρου Ένα σύνολο στοιχείων Ν του διανυσματικού χώρου Χ ονομάζεται βάση του χώρου Χ αν για κάθε στοιχείο του χώρου υπάρχουν αριθμοί α α α Ν τέτοιοι ώστε Ο αριθμός Ν που εκφράζει το ελάχιστο πλήθος στοιχείων που αποτελούν μία βάση ονομάζεται διάσταση του διανυσματικού χώρου ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 9

Μαθηματικοί ορισμοί. Απόσταση διανυσματικού χώρου Μία συνάρτηση παίρνει d y d : X X που ορίζεται στο χώρο ΧΧ και τιμές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ονομάζεται απόσταση αν έχει τις παρακάτω ιδιότητες.dy= 0 αν και μόνο αν =y.dy= dy 3.dy dz+dzy προκύπτει εύκολα ότι η απόσταση είναι μη αρνητικός αριθμός ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 0

Μαθηματικοί ορισμοί 3 Η απόσταση μεταξύ δύο σημάτων είναι ένα μέτρο του πόσο διαφέρουν οι τιμές που παίρνουν τα δύο σήματα στο ίδιο χρονικό διάστημα. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση δύο σημάτων τόσο περισσότερο απέχουν συνολικά οι τιμές των δύο σημάτων. Παράδειγμα: Η απόσταση για κατά τμήματα συνεχή πραγματικά ή μιγαδικά σήματα συνεχούς χρόνου που ορίζονται στο διάστημα [b] μπορεί να οριστεί ως εξής: d y b y d Μέση τετραγωνική απόκλιση των αντίστοιχων τιμών των σημάτων και y πολλαπλασιασμένη επί το εύρος b - του διαστήματος [ b ]. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων

Απόσταση είναι επίσης d y m y b Μαθηματικοί ορισμοί 4 μέγιστη κατ απόλυτη τιμή στιγμιαία απόκλιση των σημάτων και y στο διάστημα [ b ]. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων

Προσέγγιση σήματος Προσέγγιση σήματος από γραμμικό συνδυασμό απλών σημάτων Τα σήματα συνεχούς χρόνου τα οποία συναντώνται σε εφαρμογές ανήκουν σε διανυσματικούς χώρους για τους οποίους δεν υπάρχει πεπερασμένης διαστάσεως βάση. Σε αυτήν την περίπτωση για οποιαδήποτε επιλογή των τιμών των παραμέτρων Ν θα αντιστοιχεί απλώς μία προσέγγιση του σήματος από γραμμικό συνδυασμό των σημάτων Ν : Χρησιμοποιώντας την απόσταση μπορεί κάποιος να αποφανθεί πόσο καλή είναι η προσέγγιση του σήματος ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 3

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 4 Προσέγγιση σήματος Έστω ˆ ˆ d το σήμα που προσεγγίζει το Η απόσταση μπορεί να εκφρασθεί σαν μία συνάρτηση των παραμέτρων Ν d ε Έχοντας ορίσει μια απόσταση μπορεί κανείς να αποφανθεί αν μία προσέγγιση είναι καλύτερη από μία άλλη.

Προσέγγιση σήματος 3 Άρα Το πρόβλημα προσδιορισμού της βέλτιστης προσεγγίσεως ανάγεται στην εύρεση των τιμών των παραμέτρων που ελαχιστοποιούν την συνάρτηση ε Παρατήρηση: Η μέθοδος προσδιορισμού της βέλτιστης προσεγγίσεως εξαρτάται από την απόσταση που έχει επιλεγεί. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 5

Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Απόσταση: d ˆ b ˆ d Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων b d Η βέλτιστη προσέγγιση επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας τις τιμές των παραμέτρων α α α Ν για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση ε ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 6

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 7 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου Οι βέλτιστες τιμές των α α α Ν προκύπτουν από τις συνθήκες βελτίστου ε... 0... 0 b d b b b b d d d d Παρατήρηση: στην περίπτωση που εξετάζουμε το ακρότατο της συναρτήσεως αυτής είναι και το ελάχιστο

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 8 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου 3 Οι προηγούμενες εξισώσεις γράφονται σε μορφή πίνακα: j j Εσωτερικό γινόμενο: b j j d Ετσι ο προσδιορισμός της βέλτιστης προσεγγίσεως με κριτήριο την μέση τετραγωνική απόκλιση ανάγεται στην επίλυση ως προς α α α Ν του γραμμικού συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων.

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 9 Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου 4 Αν τα σήματα Ν είναι ορθογώνια orhogol μεταξύ τους τα εσωτερικά γινόμενά τους μηδενίζονται και το αλγεβρικό σύστημα γίνεται: 0 0 0 0 0 0 διότι... j j d b j j... 0 Η βέλτιστη λύση προκύπτει από:

Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου 5 Αν οι συναρτήσεις = είναι ορθοκανονικές orhoorml τότε: b d 0 j... j και... j j τότε οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων α α α Ν υπολογίζονται από τις σχέσεις b d... ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 0

Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου 6 Μέθοδος mm Απόσταση: d ˆ m ˆ b Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων ε m b Κρίτηριο Chebyshev ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων Προσέγγιση σημάτων συνεχούς χρόνου 7 Tο πρόβλημα βελτιστοποιήσεως γίνεται: m ε m m b Πρόβλημα mm Παρατήρηση: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης με αυτή τη μέθοδο επιλύεται κατά κανόνα με εφαρμογή επαναληπτικών αριθμητικών μεθόδων

Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου Θεώρημα Αν Χ υποδηλώνει ένα διανυσματικό χώρο σημάτων διακριτού χρόνου που ορίζονται σε ένα πεπερασμένο διάστημα χρόνου [ b ] τότε κάθε σύνολο - b + γραμμικώς ανεξαρτήτων σημάτων ι [] X = - b + αποτελούν βάση του χώρου X. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 3

Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου Παρατήρηση: Στην περίπτωση σημάτων που ορίζονται σε μεγάλο χρονικό διάστημα η αναπαράσταση τους από γραμμικό συνδυασμό απλών σημάτων είναι δυνατή μόνο αν χρησιμοποιηθεί ένα μεγάλο πλήθος τέτοιων σημάτων. Γι αυτό και προτιμάται όπως στα σήματα συνεχούς χρόνου η προσέγγιση του σήματος δηλάδή ο προσδιορισμός των α για τα οποία υπάρχει βέλτιστη προσέγγιση ˆ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 4

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 5 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου 3 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Απόσταση: Μέτρο της αποκλίσεως μεταξύ των δύο σημάτων b d ] ˆ[ ] [ ˆ b ε ] [... ] [ ] [ ] [ Η βέλτιστη προσέγγιση επιτυγχάνεται προσδιορίζοντας τις τιμές των παραμέτρων α α α Ν για τις οποίες ελαχιστοποιείται η συνάρτηση ε

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 6 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου 4 Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων προκύπτουν από τις συνθήκες βέλτιστου 0... ε = b 0 ] [... ] [ ] [ ] [ ] [ ή αλλιώς Σε μορφή πίνακα:

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 7 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου 5 Εσωτερικό γινόμενο πραγματικών σημάτων διακριτού χρόνου: b j j ] [ ] [ Αν τα σήματα Ν είναι ορθογώνια orhogol μεταξύ τους j j b j j... 0 ] [ ] [... τότε το πρόβλημα βελτιστοποίησης ανάγεται στο πρόβλημα επίλυσης Ν ανεξάρτητων αλγεβρικών εξισώσεων

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 8 Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου 6 Αν οι συναρτήσεις = είναι ορθοκανονικές orhoorml τότε: j j b j j... 0 ] [ ] [ b... ] [ ] [ και b... ] [ ] [ Οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων α α α Ν υπολογίζονται ως εξής:

Προσέγγιση σημάτων διακριτού χρόνου 7 Μέθοδος mm Απόσταση: d ˆ m [ ] ˆ[ ] Η βέλτιστη προσέγγιση είναι ˆ [ ] [ ] [ ]... [ ] Και είναι η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης m m { ˆ[ ] [ ] [ ]...... [ ] } Και σε αυτήν την περίπτωση η λύση προκύπτει από την εφαρμογή επαναληπτικών αριθμητικών μεθόδων ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 9

Ομοιότητα σημάτων Δύο σήματα τ και yτ είναι όμοια smlr αν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός α και μία χρονική μετατόπιση τ* τέτοια ώστε τ y τ τ* υπάρχουν ένας αριθμός α και μία χρονική στιγμή τ* τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ των σημάτων τ και αyτ+τ* είναι μηδέν ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 30

Ομοιότητα σημάτων Για να μπορεί κάποιοςνα αποφανθεί πόσο μοιάζει ένα σήμα με ένα άλλο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μέτρο ομοιότητας smlry mesure : s y m τ* d τ y τ τ* Όσο μικρότερη είναι η τιμή του sy τόσο περισσότερο μοιάζουν τα δύο σήματα και yτ είναι δε εντελώς όμοια αν sy=0. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 3

Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Χρησιμοποιώντας την απόσταση d y y d το μέτρο ομοιότητας των σημάτων και y ορίζεται από την έκφραση s y m τ y τ d ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 3

Μαθηματικοί ορισμοί Ετεροσυσχέτιση cross-correlo των σημάτων και y R y τ y τ] d Αυτοσυσχέτιση uocorrelo του σήματος R τ τ] d ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 33

Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου Το μέτρο ομοιότητας s y m τ y τ d είναι ίσο με s y R y τ* R 0 R 0 R y 0 Μέγιστη τιμή της συναρτήσεως ετεροσυσχετίσεως R y τ. s y R 0 ρ y τ* όπου ρ y τ R R y τ 0 R y 0 συντελεστής συσχετίσεως correlo fcor των σημάτων και y ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 34

Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου 3 Η ελάχιστη τιμή της αποστάσεως επιτυγχάνεται όταν ικανοποιείται η συνθήκη βέλτιστου y τ d y τ d 0 ή R 0 R 0 R τ 0 y y Η λύση είναι: R R y y τ 0 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 35

Ομοιότητα σημάτων συνεχούς χρόνου 4 Παρατηρήσεις: Όσο μεγαλύτερη είναι η μέγιστη τιμή ρ y τ* του συντελεστού συσχετίσεως δύο σημάτων τόσο περισσότερο μοιάζουν τα σήματα αυτά. Η ετεροσυσχέτιση είναι ένας έμμεσος τρόπος να εκτιμηθεί η ομοιότητα των σημάτων και y. Η τιμή τ* της παραμέτρου τ για την οποία η ετεροσυσχέτιση R y τ λαμβάνει την μέγιστη τιμή της εκφράζει την χρονική μετατόπιση του σήματος y για την οποία το μέτρο ομοιότητας sy γίνεται ελάχιστο. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 36

Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου Σε αντιστοιχία με τα σήματα συνεχούς χρόνου το μέτρο ομοιότητας σημάτων είναι s y m τ d [ ] y[ k] Χρησιμοποιώντας την απόσταση d y [ ] y[ ] το μέτρο ομοιότητας γίνεται s y m k [ ] y[ k] ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 37

Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου Ακολουθώντας τα ίδια βήματα όπως στα σήματα συνεχούς χρόνου προκύπτει ότι η τιμή της α για την οποία ελαχιστοποιείται η απόσταση [ ] y[ k] είναι R y R y [ k*] [0] R y [k*]: μέγιστη τιμή της συναρτήσεως ετεροσυσχετίσεως των δύο σημάτων [] και y[] που ορίζεται από την σχέση R [ k] [ ] y[ k] y R y [k]: συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος y[] που ορίζεται από την σχέση R [ k] y[ ] y[ k] y ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 38

Ομοιότητα σημάτων διακριτού χρόνου 3 συντελεστής συσχετίσεως των σημάτων [] και y[] : ρ y [ k] R R y [ k] [0] R y [0] Το μέτρο ομοιότητας γίνεται: s y R [0] ρ y [ k*] Παρατήρηση: Όταν τα αθροίσματα στην συνάρτηση ετεροσυσχέτισης και αυτοσυσχέτισης απειρίζονται τότε αυτές ορίζονται από τις σχέσεις R y[ k] lm [ ] y[ k] R [ k] lm [ ] [ k] ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 39

Σημείωμα Αναφοράς Copyrgh Πανεπιστήμιο Πατρών Πέτρος Γρουμπός. «Σήματα και Συστήματα Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων». Έκδοση:.0. Πάτρα 04. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hps://eclss.uprs.gr/modules/course_med/opecourses.php?fc=5 ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Προσέγγιση και Ομοιότητα Σημάτων 40