2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

2. ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Τα παίγνια αποτελούν τη δεύτερη μορφή επιχειρησιακής έρευνας που θα εξετάζουμε. Πρόκειται για μία μέθοδο ανάλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον τρόπο λήψης αποφάσεων σε καταστάσεις σύγκρουσης και αλληλεπίδρασης. Παίκτης μπορεί να είναι ένα πρόσωπο, μία οργάνωση, ένα κράτος, μία επιχείρηση κτλ. Ως αντικείμενο έρευνας μπορούν να θεωρηθούν διάφορα προβλήματα πολιτικής, ψυχολογικής, κοινωνικής, οικονομικής μορφής. Για τη λύση των προβλημάτων αυτών θεωρείται προηγουμένως απαραίτητη η ανάλυση καταστάσεων, όπου δύο ή περισσότεροι παίκτες βρίσκονται αντιμέτωποι και ακολουθούν αντιμαχόμενες στρατηγικές. Κάθε παίκτης επιδιώκει να ασκήσει τη στρατηγική εκείνη που θα του δώσει τα μέγιστα δυνατά οφέλη έναντι του άλλου. Επομένως, οι ενέργειές του εξαρτώνται άμεσα από τη στρατηγική που θα επιλέξει ο αντίπαλος. Για την επίλυση των ασκήσεων που βασίζονται στη θεωρία των παιγνίων ακολουθούμε συγκεκριμένα βήματα. Παράδειγμα Δύο επιχειρήσεις A και B που δραστηριοποιούνται στην αγορά της ψηφιακής και καλωδιακής τηλεόρασης μοιράζονται τον τζίρο ο οποίος ανέρχεται σε 440 (εκατομμύρια ευρώ). Οι δύο επιχειρήσεις σχεδιάζουν την στρατηγική τους για την νέα περίοδο προκειμένου να αποσπάσουν μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς. Οι πιθανές στρατηγικές είναι οι ακόλουθες: 1) αύξηση διαφημιστικής δαπάνης σε τηλεοπτικά μέσα, 2) πακέτα προσφορών και μείωση τιμής, 3) ενσωμάτωση της προσφοράς ψηφιακής πλατφόρμας σε πακέτα τηλεφωνίας και Internet και 4) ανάπτυξη εναλλακτικών ηλεκτρονικών καναλιών προώθησης του προϊόντος (η τέταρτη στρατηγική μπορεί να εφαρμοστεί µόνο στην επιχείρηση Β). Ο ετήσιος τζίρος που αναμένεται να προκύψει για την επιχείρηση Α, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. Επιχείρηση Β Επιχείρηση Α Β2 Β3 Α1 200 250 300 300 Α2 250 400 200 100 Α3 225 300 150 150

ΒΗΜΑ 1 ο Εξετάζουμε αν προκύπτει σημείο ισορροπίας από την εφαρμογή αμιγών στρατηγικών Αμιγής στρατηγική : κάθε παίκτης επιλέγει μόνο μία από τις επιλεγόμενες στρατηγικές του την οποία εφαρμόζει αυτούσια με πιθανότητα 100%. Κανόνας 1 ος Ο παίκτης Α εφαρμόζει τη στρατηγική maximin (το μέγιστο των ελαχίστων), δηλαδή επιλέγει από κάθε γραμμή το ελάχιστο και στη συνέχεια το μέγιστο αυτών. Ο παίκτης Β εφαρμόζει τη στρατηγική minimax (το ελάχιστο των μεγίστων), δηλαδή επιλέγει από κάθε στήλη το μέγιστο και στη συνέχεια το ελάχιστο αυτών. Β2 Β3 Row Min Maximin Α1 200 250 300 300 200 200 Α2 250 400 200 100 100 Α3 225 300 150 150 150 Column Max 250 400 300 300 Minimax 250 250 200 Δηλαδή δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας από την εφαρμογή αμιγών στρατηγικών. Ο παίκτης Α (επιχείρηση Α) επιλέγει 200 και ο παίκτης Β (επιχείρηση Β) 250. Σε περίπτωση που προέκυπτε σημείο ισορροπίας το παίγνιο θα σταματούσε εδώ και η τιμή του θα ήταν ίση με το σημείο ισορροπίας. ΒΗΜΑ 2 ο Από τη στιγμή που δεν έχουμε σημείο ισορροπίας με την εφαρμογή αμιγών στρατηγικών, πρέπει να προχωρήσουμε στην εφαρμογή των μικτών στρατηγικών. Για το σκοπό αυτό πρέπει να διαγράψουμε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές του παίκτη Α και του παίκτη Β. Κανόνας 2 ος Υποδεέστερη στρατηγική του παίκτη Α είναι εκείνη η οποία δίνει ίσες ή μικρότερες τιμές παντού από μια άλλη στρατηγική του ίδιου παίκτη. Μεταξύ Α1 και Α2 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Μεταξύ Α2 και Α3 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Μεταξύ Α1 και Α3 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Επομένως ο Α δεν έχει υποδεέστερη στρατηγική. Υποδεέστερη στρατηγική του παίκτη Β είναι εκείνη η οποία δίνει ίσες ή μεγαλύτερες τιμές παντού από μια άλλη στρατηγική του ίδιου παίκτη. Μεταξύ και Β2 διαγράφεται η Β2 ως υποδεέστερη (έχει παντού υψηλότερες τιμές σε σχέση με τη ) Μεταξύ και Β3 δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Μεταξύ και δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Μεταξύ Β3 και διαγράφεται η Β3 ως υποδεέστερη (έχει υψηλότερη τιμή όταν ο Α ασκεί την Α2 και ίσες τιμές όταν ο Α ασκεί Α1 και Α3) 2

Έτσι ο πίνακας διαμορφώνεται ως εξής www.onlineclassroom.gr Α1 200 300 Α2 250 100 Α3 225 150 ΒΗΜΑ 3 ο Εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης του παιγνίου με σκοπό να απαλείψουμε μία ακόμη στρατηγική από τον Α αφήνοντάς τον επίσης με 2 στρατηγικές. Σχηματίζουμε ένα σχήμα με δύο κατακόρυφους και παράλληλους μεταξύ τους άξονες οι οποίοι συμβολίζουν τις στρατηγικές του παίκτη που έμεινε με δύο επιλογές. Μέσα στο σχήμα θα απεικονίζονται οι στρατηγικές του άλλου παίκτη. 300 Α1 Κ 250 225 200 150 100 Α3 Α2 Σκοπός της γραφικής επίλυσης είναι να μείνουν και οι δύο παίκτες με δύο στρατηγικές. Τη μεθοδολογία θα την καθορίσει ο παίκτης που βρίσκεται στις στήλες. Εδώ είναι ο Β ο οποίος εφαρμόζει τη minimax πολιτική, δηλαδή επιλέγει από τα μέγιστα το μικρότερο. Γραφικά αυτό περιγράφεται με το κατώτερο σημείο της πάνω γραμμής του σχήματος (σημείο Κ). Δηλαδή από το πάνω περίγραμμα του σχήματος θα πάρουμε το χαμηλότερο σημείο. Αν είχαμε τον παίκτη Α στις στήλες θα παίρναμε το κάτω περίγραμμα και το υψηλότερο σημείο του. Από το σημείο που επιλέξαμε, διέρχονται δύο ευθείες. Οι ευθείες αυτές θα είναι και οι στρατηγικές που θα παραμείνουν στο παιχνίδι για τον παίκτη Α (Α1 και Α2), ενώ η Α3 θα διαγραφεί. Έτσι προκύπτει ο τελικός πίνακας Α1 200 300 Α2 250 100 3

ΒΗΜΑ 4 ο Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την αλγεβρική επίλυση του παιγνίου. (Υ) (1-Υ) Α1 (Χ) 200 300 Α2 (1-Χ) 250 100 Ορίζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1 και (1 -x) την πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις. V(A, B1) = 200x + 250*(1-x) V(A, B4) = 300x + 100*(1-x) Εξισώνοντας τις έχουμε ότι 200x + 250*(1-x) = 300x + 100*(1-x) => 200x + 250 250x = 300x + 100 100x => 150 => 200x -250x-300x+100x=100-250 => -250x=-150 => x 0, 6 250 που δίνει x = 0,6 και (1-x) = 0,4. Επομένως ο παίκτης Α ασκεί την Α1 στρατηγική με πιθανότητα 0,6 ή 60% και την Α2 στρατηγική με πιθανότητα 0,4 ή 40%. Το ίδιο κάνουμε και για τον παίκτη Β Ορίζουμε y την πιθανότητα ο παίκτης B να ακολουθήσει τη στρατηγική B1 και (1 -y) την πιθανότητα να ακολουθήσει την B4. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις. V(Β, Α1) = 200y + 300*(1-y) V(Β, Α2) = 250y + 100*(1-y) Εξισώνοντας τες έχουμε ότι 200y + 300*(1-y) = 250y +100*(1-y) => 200y+300-300y=250y+100-100y => 200 => 200y-300y-250y+100y=100-300 => -250y=-200 => y 0, 8 250 που δίνει y = 0,8 και (1-y) = 0,2. Επομένως ο παίκτης Β ασκεί την στρατηγική με πιθανότητα 0,8 ή 80% και την στρατηγική με πιθανότητα 0,2 ή 20%. 4

ΒΗΜΑ 5 ο Υπολογίζουμε την τιμή του παιγνίου και αναφέρουμε το συμπέρασμα, δηλαδή το φυσικό νόημα του παιγνίου. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση του x = 0,6 σε μια από τις δύο εξισώσεις του. Έστω αντικατάσταση του x στην πρώτη εξίσωση: 200x+250(1-x)=200*0,6+250*(1-0,6)=120+100=220. Για επαλήθευση μπορούμε να αντικαταστήσουμε και την τιμή του y = 0,8 σε μια από τις δύο εξισώσεις του παίκτη Β. Έστω στην πρώτη εξίσωση: 200y + 300*(1-y) = 200 *0,8 + 300 * 0,2 = 160 + 60 =220. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Ο παίκτης Α ασκεί την Α1 στρατηγική με πιθανότητα 0,6 ή 60% και την Α2 στρατηγική με πιθανότητα 0,4 ή 40%. Ο παίκτης Β ασκεί την στρατηγική με πιθανότητα 0,8 ή 80% και την στρατηγική με πιθανότητα 0,2 ή 20%. Τιμή του παιγνίου V = 220. Επομένως, ο ετήσιος τζίρος της επιχείρησης Α είναι 220 εκατομμύρια ευρώ. Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, αν το παίγνιο επαναληφθεί n φορές με τους ίδιους όρους, ο αναμενόμενος τζίρος της επιχείρησης Α θα είναι 220 εκατομμύρια ευρώ και της επιχείρησης Β θα είναι 440 220 = 220 εκατομμύρια ευρώ επίσης. E-mail: info@onlineclassroom.gr 5