Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών

Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε ορισμένα στοιχεία από τα ευθέα γινόμενα ομάδων τα οποία παρουσιάζουμε παρακάτω 31 Εξωτερικό και Εσωτερικό ευθύ Γινόμενο 311 Εξωτερικό ευθύ Γινόμενο Ορισμός 311 Έστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες Ονομάζουμε εξωτερικό ευθύ γινόμενο των ομάδων G 1 και G 2 την ομάδα (G 1 G 2, ), όπου G 1 G 2 είναι το καρτεσιανό γινόμενο των G 1 και G 2 και όπου η πράξη ορίζεται ως : (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ), ((g 1, g 2 ), (h 1, h 2 )) (g 1, g 2 ) (h 1, h 2 ) := (g 1 1 h 1, g 2 2 h 2 ) Ο προηγούμενος ορισμός γενικεύεται στο εξωτερικό ευθύ γινόμενο ( i I G i, ) οποιασδήποτε οικογένειας ομάδων ((G i, i )) i I Παραδείγματα 311 Η ομάδα (R, +) με στοιχεία τις ακολουθίες (α i ) i N των πραγματικών αριθμών και πράξη + : R R R, ((α i ) i N, (β i ) i N ) ((α i + β i ) i N ) την πρόσθεση των ακολουθιών συμπίπτει με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο τής οικογένειας ομάδων ((G i, i )) i N, όπου για κάθε δείκτη i N, η ομάδα (G i, i ) ισούται με την ομάδα (R, +) των πραγματικών αριθμών με πράξη τη συνηθισμένη πρόσθεση των πραγματικών 57

3 Ε Γ Ο Η επόμενη πρόταση αποδεικνύεται σε οποιοδήποτε εισαγωγικό μάθημα άλγεβρας: Πρόταση 311 Έστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες (α ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) των G 1 και G 2 είναι μια αβελιανή ομάδα αν, και μόνο αν, οι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι αβελιανές (β ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) είναι ισόμορφο με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 2 G 1, ) (γ ) Αν οι G 1 και G 2 είναι πεπερασμένες κυκλικές ομάδες με τάξεις σχετικώς πρώτες, δηλαδή με ΜΚΔ([G 1 : 1], [G 2 : 1]) = 1, τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) είναι κυκλική ομάδα τάξης [G 1 : 1] [G 2 : 1] Πόρισμα 312 Έστω ότι ((G i, i )) i I, I = {1, 2,, s N}, είναι μια πεπερασμένη οικογένεια κυκλικών ομάδων, όπου οι τάξεις [G i : 1] = n i είναι ανά δύο σχετικώς πρώτες, δηλαδή όπου ΜΚΔ(n i, n j ) = 1, i, j, 1 i, j s, i j Τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο ( s i=1 G i, ) τής οικογένειας ((G i, i )) i I είναι μια κυκλική ομάδα τάξης s i=1 n i Απόδειξη Επαγωγή ως προς το πλήθος s των ομάδων Παρατηρήσεις 311 (αʹ) Το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) δύο κυκλικών ομάδων (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) δεν είναι απαραιτήτως κυκλική ομάδα Για παράδειγμα, το εξωτερικό ευθύ γινόμενο τής κυκλικής ομάδας C n με n > 1 στοιχεία, δηλαδή η C n C n, δεν είναι ποτέ μια κυκλική ομάδα, αφού η τάξη οποιουδήποτε στοιχείου (a, b) C n C n είναι πάντοτε ένας διαιρέτης τού n (γιατί;), ενώ η τάξη της [C n C n : 1] ισούται με n 2 (βʹ) Είναι εύκολη η διαπίστωση ότι αν, (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο ομάδες και H i G i, i = 1, 2, είναι αντιστοίχως δύο υποομάδες τους, τότε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 H 2 είναι μια υποομάδα τού εξωτερικού ευθέος γινομένου G 1 G 2 Ωστόσο, δεν έχει κάθε υποομάδα H G 1 G 2 απαραιτήτως τη συγκεκριμένη μορφή Επί παραδείγματι, το εξωτερικό ευθύ γινόμενο Z Z διαθέτει ως υποομάδα την = {(z, z) z Z} Ωστόσο, δεν υπάρχουν υποομάδες H 1, H 2 τής Z με H 1 H 2 = Αφού, αν υπήρχαν H 1, H 2 Z με H 1 H 2 =, τότε κάθε (h 1, h 2 ) H 1 H 2 θα ήταν ίσο με κάποιο (z, z) και γι αυτό τελικώς θα ήταν H 1 = H 2 Τώρα επειδή η Z είναι κυκλική, έπεται ότι και η H θα ήταν κυκλική Συνεπώς, θα Ν Μαρμαρίδης 58

31 Ε Ε Γ υπήρχε a Z, a 0 με H = a Αλλά τώρα αφού H H =, πρέπει όλα τα στοιχεία τής H να είναι ίσα, το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο στην περίπτωση όπου H = {0} Αυτό είναι άτοπο, διότι η τάξη τής H H ισούται με 1, ενώ η τάξη τής είναι άπειρη Ορισμός 312 Τα εξωτερικά ευθέα γινόμενα ( n i=1 G i, ), όπου κάθε ομάδα G i είναι ισόμορφη με την κυκλική ομάδα C p, p πρώτος αριθμός, ονομάζονται στοιχειώδεις αβελιανές p ομάδες Προσέξτε ότι το εξωτερικό ευθύ γινόμενο (G 1 G 2, ) δύο ομάδων (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) δεν έχει ως υποομάδες τις G 1 και G 2 Ωστόσο, η συγκεκριμένη «ιδιάζουσα συμπεριφορά» αίρεται με την εισαγωγή τής έννοιας τού εσωτερικού ευθέος γινομένου 312 Εσωτερικό ευθύ Γινόμενο Ορισμός 313 Έστω ότι {G i i = 1, 2,, s} είναι ένα πεπερασμένο σύνολο υποομάδων μιας ομάδας (G, ) Η G ονομάζεται το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων G i, i = 1, 2,, s αν, για κάθε 1 i s, η G i G είναι ορθόθετη υποομάδα τής G και αν, κάθε g G γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο τής μορφής g = g 1 g 2 g s, όπου g i G i, i, 1 i s Υπενθυμίζουμε ότι ονομάζουμε την G γινόμενο των υποομάδων της {G i i = 1, 2,, s}, όπου G i G, i, 1 i s αν, G = G 1 G 2 G s, δηλαδή αν, κάθε στοιχείο g G ισούται με ένα γινόμενο τής μορφής g 1 g 2 g s, όπου g G i, i, 1 i s Παραδείγματα 312 Η κυκλική ομάδα (C 6 = x, ) τάξης 6 είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των κυκλικών υποομάδων C 2 = x 3 και C 3 = x 2 των οποίων οι τάξεις είναι 2 και 3 αντιστοίχως Προφανώς C 2 C 6 και C 3 C 6 Για τα στοιχεία τής C 6 έχουμε: e C6 = e C6 e C6, x = x 3 (x 2 ) 2, x 2 = e C6 x 2, x 3 = x 3 e C6, x 4 = e C6 x 4, x 5 = x 3 x 2 (*) Συνεπώς, C 6 = x 3 x 2 Υπολείπεται η απόδειξη ότι τα ανωτέρω γινόμενα (*) είναι μοναδικά ως γινόμενα, όπου ο πρώτος παράγοντας ανήκει στην C 2 και ο δεύτερος στην C 3 Όμως αυτό διαπιστώνεται αμέσως λαμβάνοντας υπ όψιν την αμέσως πρόταση 59 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Πρόταση 313 Έστω ότι (G, ) είναι μια ομάδα και ότι G i G, 1 i s είναι ορθόθετες υποομάδες τής G με G = G 1 G 2 G s Η ομάδα G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των G 1, G 2,, G s αν, και μόνο αν, i, 2 i s, (G 1 G 2 G i 1 ) G i = {e G } Απόδειξη Απόδειξη Σύμφωνα με τον ορισμό τού ευθέος γινομένου, υπολείπεται η απόδειξη του μοναδικού τής παράστασης κάθε στοιχείου τής G ως γινόμενο στοιχείων από τις υποομάδες G 1, G 2,, G s Έστω ότι g = g 1 g 2 g s = h 1 h 2 h s ( ), όπου i, 1 i s, g i, h i G i Τότε g s h 1 s = (g 1 g 2 g s 1 ) 1 (h 1 h 2 h s 1 ) G s και (g 1 g 2 g s 1 ) 1 (h 1 h 2 h s 1 ) G 1 G 2 G s 1 Επομένως, g s h 1 s (G 1 G 2 G s 1 ) G s = {e G } και γι αυτό g s = h s Τώρα η σχέση ( ) παίρνει τη μορφή g = g 1 g 2 g s 1 = h 1 h 2 h s 1 από όπου ακριβώς όπως Αλλά g s h 1 s προηγουμένως συμπεραίνουμε ότι g s 1 h 1 s 1 = e G, δηλαδή g s 1 = h s 1 Συνεχίζοντας έτσι καταλήγουμε ότι g s = h s, g s 1 = h s 1,, g 2 = h 2, g 1 = h 1 Έστω ότι α είναι ένα στοιχείο τής G, το οποίο ανήκει στην τομή (G 1 G 2 G i 1 ) G i Τότε α = g 1 g 2 g i 1 με g j G j, j = 1, 2, i 1 και α G i Αλλά το α έχει μοναδική παράσταση ως γινόμενο στοιχείων g i G i, i = 1, 2,, s Επομένως, α = e G Επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 312 διαπιστώνουμε τώρα ότι η C 6 είναι το εσωτερικό γινόμενο των δύο κυκλικών υποομάδων της C 2 και C 3, αφού C 2 C 3 = {e C6 } Πόρισμα 314 Έστω ότι μια ομάδα (G, ) είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων της G 1, G 2,, G s Τότε g i G i, g j G j με i j, 1 i, j s είναι g i g j = g j g i Απόδειξη Παρατηρούμε ότι το στοιχείο g i g j g 1 i g 1 j ανήκει στην τομή G i G j = {e G }, επειδή g i g j g 1 i G j και g j g 1 i g 1 j G i, αφού G i G και G j G Επομένως, g i g j g 1 i g 1 j = e G, δηλαδή g i g j = g j g i Στο σημείο αυτό παρουσιάζουμε ένα σημαντικό λήμμα που χρησιμοποιούμε αμέσως παρακάτω, αλλά και αργότερα κατά τη μελέτη των μηδενοδύναμων ομάδων, βλ Θεώρημα 536 Λήμμα 315 Έστω (G, ) μια πεπερασμένη ομάδα Αν, για κάθε πρώτο διαιρέτη p τής τάξης τής ομάδας υπάρχει ακριβώς μία p Sylow υποομάδα, τότε η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των Sylow υποομάδων της Απόδειξη Έστω P 1, P 2,, P s οι Sylow υποομάδες τής G, που αντιστοιχούν στους διαφορετικούς πρώτους διαιρέτες p 1, p 2,, p s τής τάξης τής G Θα δείξουμε ότι οι P 1, P 2,, P s ικανοποιούν τις υποθέσεις τής Πρότασης 313 Ν Μαρμαρίδης 60

31 Ε Ε Γ Αφού οι Sylow υποομάδες που αντιστοιχούν στον ίδιο πρώτο αριθμό είναι πάντοτε συζυγείς, συμπεραίνουμε από την υπόθεση τής εφαρμογής ότι οι P i είναι ορθόθετες υποομάδες τής G, i, 1 i s Τώρα θα αποδείξουμε ότι i, 2 i s είναι (P 1 P 2 P i 1 ) P i = {e G } και ότι P 1 P 2 P i = P 1 P 2 P i Πράγματι, P 1 P 2 = {e G }, αφού οι τάξεις P 1 και P 2 είναι σχετικώς πρώτοι αριθμοί Επιπλέον, P 1 P 2 = P 1 P 2, αφού P 1 P 2 = P 1 P 2 / P 1 P 2 Τώρα, (P 1 P 2 ) P 3 = {e G }, αφού οι τάξεις P 1 P 2 και P 3 είναι σχετικώς πρώτοι αριθμοί Επομένως, P 1 P 2 P 3 = P 1 P 2 P 3, αφού (P 1 P 2 ) P 3 = P 1 P 2 P 3 / (P 1 P 2 ) P 3 Υποθέτοντας ότι (P 1 P 2 P i 1 ) P i = {e G } και ότι P 1 P 2 P i = P 1 P 2 P i, θα δείξουμε ότι (P 1 P 2 P i ) P i+1 = {e G } (*) και ότι P 1 P 2 P i+1 = P 1 P 2 P i+1 (**) Πράγματι, η (*) είναι αληθής, αφού οι τάξεις P 1 P 2 P i = P 1 P 2 P i και P i+1 είναι σχετικώς πρώτοι αριθμοί Επιπλέον, η (**) είναι αληθής, αφού (P 1 P 2 P i ) P i+1 = P 1 P 2 P i P i+1 (P 1 P 2 P i ) P i+1 = P 1 P 2 P i P i+1 1 Τέλος, η G ισούται με την υποομάδα P 1 P 2 P s 1 P s, αφού η τάξη τής τελευταίας ισούται με P 1 P 2 P s 1 P s που είναι ακριβώς η τάξη τής G Επομένως, η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των P 1, P 2,, P s Πρόταση 316 Κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα (G, ) είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των Sylow υποομάδων της Απόδειξη Σε κάθε πρώτο διαιρέτη p τής τάξης τής G, η αντίστοιχη p Sylow υποομάδα είναι ορθόθετη, αφού η G είναι αβελιανή, και ως εκ τούτου μοναδική Επομένως, το συμπέρασμα τού θεωρήματος είναι άμεση συνέπεια τού Λήμματος 315 313 Σχέση εξωτερικού και εσωτερικού ευθέος Γινομένου Πρόταση 317 Μια ομάδα (G, ) είναι το εξωτερικό ευθύ γινόμενο των ομάδων (G i, i ), i = 1, 2,, s αν, και μόνο αν, υπάρχουν ορθόθετες υποομάδες N i G τής G, όπου για κάθε i, 1 i s, η υποομάδα N i είναι ισόμορφη με την G i έτσι, ώστε η G να ισούται με το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των N i, 1 i s 61 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Απόδειξη Για κάθε i, 1 i s, θεωρούμε την απεικόνιση θ i : G G, (g 1, g 2,, g s ) θ i ((g 1, g 2,, g s )) := (g 1, g 2,, g i 1, e Gi, g i+1,, g s ) Αποδεικνύεται εύκολα ότι η θ i είναι ένας ομομορφισμός ομάδων με πυρήνα N i := Kerθ i = {(e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) g i G i } Γι αυτό i, 1 i s, οι N i είναι ορθόθετες υποομάδες τής G Επιπλέον, έχουμε G = N 1 N 2 N s, αφού αν, α = (g 1, g 2,, g s ), τότε α = (g 1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, g s ), όπου προφανώς i, 1 i s, n i = (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) N i Η συγκεκριμένη παράσταση τού α ως γινόμενο των στοιχείων n i N i είναι μοναδική, αφού αν, α = (h 1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, h i, e Gi+1,, e Gs ) (e G1, e G2,, e Gi 1, e Gi, e Gi+1,, h s ), είναι ακόμη μια παράσταση τού α ως γινόμενο στοιχείων από τις N i, 1 i s, τότε α = (h 1, h 2,, h s ) από όπου έπεται ότι h i = g i, i, 1 i s και συνεπώς τα n i = (e G1, e G2,, e Gi 1, g i, e Gi+1,, e Gs ) N i, 1 i s με α = n 1 n 2 n i n s είναι μοναδικώς καθορισμένα Έστω ότι η G ισούται με το εσωτερικό ευθύ γινόμενο G = N 1 N 2 N s των ορθόθετων υποομάδων της N i G, 1 i s Θεωρούμε το εξωτερικό ευθύ γινόμενο N 1 N 2 N s των N i και την απεικόνιση σ : N 1 N 2 N s G = N 1 N 2 N s, (n 1, n 2,, n s ) n 1 n 2 n s Παρατηρούμε ότι η σ είναι ένας ομομορφισμός ομάδων, αφού σ ((n 1, n 2,, n s )(n 1, n 2,, n s)) = (n 1 n 1)(n 2 n 2) (n s n s) = (n 1 n 2 n s )(n 1n 2 n s) = σ ((n 1, n 2,, n s )) σ ((n 1, n 2,, n s)), αφού n i n j = n j n i, i, j, i j, 1 i, j n Προφανώς ο σ είναι ένας επιμορφισμός Επιπλέον αν, (n 1, n 2,, n s ) Kerσ, τότε n 1 n 2 n s = e G Αλλά αφού η G = N 1 N 2 N s είναι το εσωτερικό γινόμενο των N i, 1 i n, η παράσταση τού e G ως γινόμενο στοιχείων n i N i, 1 i n είναι μοναδική και γι αυτό n i = e G, i, 1 i s Επομένως, Kerσ = {(e G1, e G2,, e G2 )} και ο επιμορφισμός σ είναι ένας ισομορφισμός Παραδείγματα 313 Η διεδρική ομάδα (D 4, ) των στερεών κινήσεων τού τετραγώνου δεν ισούται με ένα εσωτερικό ευθύ γινόμενο δύο γνησίων υποομάδων της Πράγματι, οι γνήσιες υποομάδες τής D 4 έχουν τάξη 1, 2 ή 4 Αν ήταν η D 4 το εσωτερικό ευθύ γινόμενο δύο υποομάδων της, τότε θα ήταν και η ίδια αβελιανή Πράγμα άτοπο, αφού η D 4 δεν είναι αβελιανή Ν Μαρμαρίδης 62

31 Ε Ε Γ Παραδείγματα 314 Έστω ότι (S n, ) είναι η συμμετρική ομάδα των «1 1» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο N = {1, 2,, n} στον εαυτό του και ότι I είναι ένα γνήσιο μη κενό υποσύνολο τού N Έστω G το υποσύνολο τής S n που αποτελείται από τα σ S n με σ(i) = I, δηλαδή από τα στοιχεία τής S n που απεικονίζουν το υποσύνολο I στον εαυτό του Προτείνουμε στον αναγνώστη να αποδείξει ότι το σύνολο G είναι μια υποομάδα τής S n Έστω ότι J είναι το συνολοθεωρητικό συμπλήρωμα το I ως προς N, δηλαδή J = N\I Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία σ τής G διατηρούν το υποσύνολο J, δηλαδή σ(j) = J, επειδή αυτά διατηρούν το I και επειδή το N είναι μια αποσυνδετή¹ ένωση των υποσυνόλων I και J Θεωρούμε το υποσύνολο H (αντιστοίχως K) τής G που αποτελείται από τα σ G (αντιστοίχως τ G) που διατηρούν σημειακά το I (αντιστοίχως σημειακά το J), δηλαδή σ H i I, σ(i) = i (αντιστοίχως τ K j J, τ(j) = j) Προτείνουμε στον αναγνώστη να αποδείξει ότι τα υποσύνολα I και J είναι υποομάδες τής G Πρόκειται μάλιστα για ορθόθετες υποομάδες τής G, αφού είναι πυρήνες των δράσεων τής G επί των συνόλων I και J, βλ Ορισμό 113 Ισχυριζόμαστε ότι η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των υποομάδων της H και K Παρατηρούμε ότι H K = {Id n }, αφού αν, σ H K, τότε σ(α) = α, α I J = N Αν τώρα αποδείξουμε ότι κάθε σ G είναι σύνθεση ενός στοιχείου από την H με ένα στοιχείο από την K, τότε από την Πρόταση 317 θα προκύψει ότι η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των H και K Έστω σ G και μια ανάλυσή του σ = c 1 c t σε αποσυνδετούς κύκλους Παρατηρούμε ότι κάθε κύκλος c l, l = 1,, t περιέχει ή μόνο στοιχεία από το I ή μόνο στοιχεία από το J αφού αν, σε κάποιον c l υπήρχαν στοιχεία και από το I και από το J, τότε το σ δεν θα σταθεροποιούσε το σύνολο I, πράγμα άτοπο αφού το σ είναι στοιχείο τής G Γι αυτό σχηματίζοντας το γινόμενο σ I (αντιστοίχως σ J ) των κύκλων τού σ που δεν περιέχουν στοιχεία από το I (αντιστοίχως που δεν περιέχουν στοιχεία από το J), διαπιστώνουμε ότι το σ I ανήκει στο H και το σ J ανήκει στο K και σ = σ I σ J Ώστε η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των H και K και [G : 1] = [H : 1][K : 1] Προφανώς, η H (αντιστοίχως η K) είναι ισόμορφη με την συμμετρική ομάδα S J τού συνόλου J (αντιστοίχως με την συμμετρική ομάδα S I τού συνόλου I) και γι αυτό G = S J S I και [G : 1] = (n m)!m!, όπου m είναι το πλήθος των στοιχείων τού συνόλου I ¹ξένη 63 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο 32 Η Ταξινόμηση των πεπερασμένων αβελιανών Ομάδων Έστω ότι (G, ) είναι μια αβελιανή ομάδα τάξης n = p α 1 1 pα 2 2 pα s s, όπου οι αριθμοί p i, 1 i s είναι ανά δύο διαφορετικοί πρώτοι και οι α i, 1 i s, είναι φυσικοί Από την Πρόταση 316 γνωρίζουμε ότι η G ισούται με το εσωτερικό ευθύ γινόμενο P 1 P 2 P s των p i Sylow υποομάδων της P i, 1 i s, που έχουν αντίστοιχες τάξεις P i = p α i i, 1 i s και γι αυτό, βλ Πρόταση 317, η G είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο p ομάδων P 1 P 2 P s, όπου P i = p α i i, 1 i s Οι P i είναι αβελιανές p ομάδες και για κάθε i, 1 i s, η P i είναι ισόμορφη με την αντίστοιχη p i Sylow υποομάδα P i Παρατηρούμε ότι αν, σ : Q 1 Q 2 Q t G είναι ένας ισομορφισμός από ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο p ομάδων Q 1 Q 2 Q t στην G με Q j = q β j j, 1 j t, όπου οι αριθμοί q j, 1 j t είναι ανά δύο διαφορετικοί πρώτοι και οι β j, 1 j t είναι φυσικοί, τότε από τη μοναδικότητα τής ανάλυσης τής τάξης n τής G σε γινόμενο δυνάμεων πρώτων αριθμών, προκύπτει ότι s = t και εν συνεχεία ότι υπάρχει μια μετάταξη τ S s, ούτως ώστε i, 1 i s η τάξη τής Q τ(i) να ισούται με την τάξη τής αντίστοιχης p i Sylow υποομάδας P i Επομένως, η εικόνα τής Q τ(i), μέσω τού ισομορφισμού σ, είναι μια p i Sylow υποομάδα τής G και γι αυτό συμπίπτει με την P i Ώστε, για κάθε i, 1 i s, η Q τ(i) είναι ισόμορφη με την p i Sylow υποομάδα P i και ως εκ τούτου και με την αντίστοιχη p ομάδα P i τάξης p α i i Έτσι προκύπτει η Πρόταση 321 Έστω ότι (G, ) είναι μια αβελιανή ομάδα τάξης n = p α 1 1 pα 2 2 pαs s, όπου οι αριθμοί p i, 1 i s είναι πρώτοι, διαφορετικοί ανά δύο, και οι αριθμοί α i, 1 i s, είναι φυσικοί Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός ομάδων σ : G P 1 P 2 P s, όπου i, 1 i s, P i = p α i i Επιπλέον αν, η G είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο p ομάδων Q 1 Q 2 Q t, τότε s = t και υπάρχει μια μετάταξη τ S s, ούτως ώστε i, 1 i s, Q τ(i) = Pi Με άλλα λόγια μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα G είναι «με ακρίβεια μετάταξης» κατά μοναδικό τρόπο ισόμορφη με ένα ευθύ γινόμενο πεπερασμένων αβελιανών p ομάδων Τώρα θα αποδείξουμε ότι και οι p ομάδες είναι ισόμορφες με ευθέα γινόμενα κυκλικών ομάδων Λήμμα 322 Έστω ότι p είναι ένας πρώτος αριθμός και ότι (G, ) είναι μια πεπερασμένη αβελιανή p ομάδα Η G είναι κυκλική ομάδα αν, και μόνο αν, διαθέτει Ν Μαρμαρίδης 64

32 Η Τ Ο ακριβώς μια κυκλική υποομάδα τάξης p Απόδειξη Προφανώς, αν η G είναι κυκλική, τότε σε κάθε διαιρέτη τής τάξης της διαθέτει ακριβώς μία κυκλική υποομάδα, επομένως αυτό συμβαίνει και για τον διαιρέτη p Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή ως προς την τάξη p m τής ομάδας G Πριν προχωρήσουμε υπενθυμίζουμε, βλ Πρόταση 211, ότι για κάθε p n, n m, η G διαθέτει υποομάδα τάξης p n Ιδιατέρως, η G διαθέτει πάντοτε τουλάχιστον μια υποομάδα τάξης p, γεγονός που έπεται και από το Θεώρημα Cauchy, σελ 20 Για m = 1, η ομάδα G είναι πρώτης τάξης p και ως εκ τούτου κυκλική Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για τις ομάδες τάξης p k, θα αποδείξουμε ότι αυτός είναι αληθής και για κάθε ομάδα G τάξης p k+1 Ας είναι C p η μοναδική κυκλική υποομάδα τάξης p τής G Θεωρούμε τον ενδομομορφισμό ϕ : G G, g ϕ(g) = g p Προφανώς, C p Kerϕ Κάθε g Kerϕ, g e G παράγει μια υποομάδα g τής G τάξης p Επομένως, g = C p και γι αυτό g C p Ώστε, Kerϕ = C p Η πηλικοομάδα G/C p είναι τάξης p k και γι αυτό διαθέτει τουλάχιστον μια υποομάδα S τάξης p Ισχυριζόμαστε ότι η S είναι η μοναδική κυκλική υποομάδα τής G/C p τάξης p Πράγματι, αν οι S 1 και S 2 ήταν δύο διαφορετικές κυκλικές υποομάδες τής G/C p τάξης p, τότε και η ϕ(g) θα διέθετε δύο διαφορετικές κυκλικές υποομάδες τάξης p, αφού ϕ(g) = G/Kerϕ = G/C p Τότε όμως θα διέθετε και η G δύο διαφορετικές κυκλικές υποομάδες τάξης p, πράγμα άτοπο Επειδή τώρα η G/C p είναι τάξης p k και διαθέτει ακριβώς μια κυκλική υποομάδα τάξης p, μπορούμε να εφαρμόσουμε την επαγωγική υπόθεσή μας και να συμπεράνουμε ότι η G/C p είναι κυκλική Ώστε, G/C p = ac p, a G Ισχυριζόμαστε ότι a = G Πράγματι, αν g G, τότε gc p = a n C p, n N {0} και επομένως g 1 a n = c C p (*) Αλλά C p a, αφού η a G ως p ομάδα διαθέτει κυκλικές υποομάδες τάξης p, οι οποίες είναι και κυκλικές υποομάδες τάξης p τής G Άρα η μοναδική κυκλική υποομάδα τάξης p τής a είναι η C p Ώστε, το c στη σχέση (*) είναι στοιχείο τής a Έστω ότι c = a s, s N {0} Τώρα, η (*) γράφεται g 1 a n = a s και επομένως, g = a n s, δηλαδή G a και γι αυτό G = a Λήμμα 323 Έστω ότι (G, ) είναι μια αβελιανή p ομάδα και K μια μέγιστης τάξης κυκλική υποομάδα της, τότε υπάρχει μια υποομάδα G τής G, τέτοια ώστε η G να είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των K και G Απόδειξη Θα εκτελέσουμε την απόδειξη με επαγωγή ως προς την τάξη p m τής G Για m = 1, η ομάδα G είναι πρώτης τάξης p και ως εκ τούτου κυκλική Προφανώς, η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των K = G και G = {e G } Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για τις ομάδες τάξης p k, θα αποδείξουμε ότι είναι αληθής και για κάθε ομάδα G τάξης p k+1 Αν η G είναι κυκλική, τότε η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των K = G και G = {e G } Αν η G δεν είναι κυκλική, τότε θεωρούμε μια μέγιστης τάξης κυκλική υποομάδα a = K < G Προφανώς, η K διαθέτει μια μοναδική κυκλική υποομάδα K p τάξης p 65 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Επειδή η G δεν είναι κυκλική, περιέχει τουλάχιστον ακόμα μία κυκλική υποομάδα C p K p τάξης p, βλ Λήμμα 322 Προφανώς K p C p = {e G } και ως εκ τούτου K C p = {e G } Θεωρούμε την πηλικοομάδα G/C p και την υποομάδα της (K C p )/C p Παρατηρούμε ότι αφού [(K C p )/C p : 1] = [K C p : 1] [C p : 1] [K C p : 1] = [K : 1][C p : 1] [K C p : 1] = [K : 1][C p : 1] [C p : 1] = [K : 1][C p : 1] = [K : 1] (1) και αφού [K C p : 1] = 1, διότι K C p = {e G } Επειδή, b K, c C p είναι (bc)c p = bc p, διαπιστώνουμε ότι η (K C p )/C p είναι κυκλική, εφόσον παράγεται από το στοιχείο ac p Λόγω τής (1), η τάξη (ac p ) τού στοιχείου ac p είναι: (ac p ) = [(K C p )/C p : 1] = [K : 1] = (a) Επομένως, η (K C p )/C p είναι μια μέγιστης τάξης κυκλική υποομάδα τής G/C p, αφού gc p G/C p είναι (gc p ) (g) Η G/C p είναι μια p ομάδα τάξης p k Γι αυτό, χρησιμοποιώντας την μέγιστης τάξης κυκλική υποομάδα της (K C p )/C p, συμπεραίνουμε με τη βοήθεια τής επαγωγικής υπόθεσης, ότι υπάρχει μια υποομάδα L = G /C p τής G/C p, όπου η G είναι μια υποομάδα τής G με C p G, έτσι ώστε η G/C p να είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των (K C p )/C p και G /C p Δηλαδή, G/C p = ((K C p )/C p ) (G /C p )) και ((K C p )/C p ) (G /C p ) = {C p } Ισχυριζόμαστε ότι η G είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των K και G Αν g K G, τότε gc p ((K C p )/C p ) (G /C p ) = {C p } Συνεπώς, gc p = C p και g C p Αλλά τότε g K C p = {e G } Ώστε g = e G και K G = {e G } Υπολείπεται η απόδειξη ότι G = K G και επειδή η G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, αρκεί να δείξουμε ότι [K G : 1] = [G : 1] Αλλά [K G : 1] = 1, αφού K G = {e G } και γι αυτό [(K G ) : 1] = [K : 1][G : 1] [K G : 1] = [K : 1][G : 1] Συνεπώς, αρκεί να δείξουμε ότι [G : 1] = [K : 1][G : 1] Επειδή, η G/C p είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των (K C p )/C p και G /C p, έχουμε [G/C p : 1] = [(K C p )/C p : 1][G /C p : 1] = [(K C p )/C p : 1] [G : 1] [C p : 1] (2) Τώρα χρησιμοποιώντας την (1), η (2) γίνεται Ν Μαρμαρίδης 66 [G/C p : 1] = [K : 1] [G : 1] [C p : 1] (3)

32 Η Τ Ο Έτσι, λόγω τής (3), έπεται [G : 1] = [G/C p : 1][C p : 1] = [K : 1] [G : 1] [C p : 1] [C p : 1] = [K : 1][G : 1] Αυτό ακριβώς που θέλαμε να αποδείξουμε Πρόταση 324 (α ) Κάθε πεπερασμένη αβελιανή p ομάδα (G, ) είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων K 1 K 2 K s (β ) Επιπλέον αν, οι κυκλικές ομάδες K i, 1 i s είναι διατεταγμένες στο ως άνω ευθύ γινόμενο κατά διάταξη αντίστροφη των τάξεών τους, δηλαδή i j αν, και μόνο αν, [K i : 1] [K j : 1] και αν, η (G, ) είναι ισόμορφη με ένα ακόμη εξωτερικό ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων H 1 H 2 H t, οι οποίες είναι επίσης διατεταγμένες στο συγκεκριμένο ευθύ γινόμενο κατά διάταξη αντίστροφη των τάξεών τους, δηλαδή i j αν, και μόνο αν, [H i : 1] [H j : 1], τότε s = t και i, 1 i s, K i = Hi Απόδειξη Θα αποδείξουμε και τα δύο μέρη τής πρότασης με επαγωγή ως προς την τάξη p m τής G (α ) Για m = 1, η ομάδα G είναι πρώτης τάξης p και ως εκ τούτου κυκλική Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για κάθε ομάδα τάξης p k, θα αποδείξουμε ότι είναι αληθής και για κάθε ομάδα τάξης p k+1 Έστω G μια ομάδα τάξης p k+1 Αν η G είναι κυκλική, τότε δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάτι Αν η G δεν είναι κυκλική, τότε θεωρούμε μια μέγιστης τάξης κυκλική υποομάδα K < G, η οποία προφανώς είναι γνήσια υποομάδα τής G, και από το Λήμμα 323 συμπεραίνουμε ότι υπάρχει μια υποομάδα G τής G, ώστε η G να είναι το εσωτερικό ευθύ γινόμενο των K και G Τώρα η G είναι ισόμορφη με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 G, όπου η K 1 είναι μια ομάδα ισόμορφη με την κυκλική υποομάδα K τής G Η G είναι μια p ομάδα με τάξη γνήσια μικρότερη από p k+1, αφού η K είναι μια γνήσια υποομάδα τής G, και χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση, συμπεραίνουμε ότι η G είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 2 K s κυκλικών ομάδων Συνεπως, η G είναι ισόμορφη με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 K 2 K s των κυκλικών ομάδων K i, 1 i s (β ) Για m = 1, η ομάδα G είναι πρώτης τάξης p και ως εκ τούτου κυκλική Αν τώρα η G είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων H 1 H 2 H t, τότε θα είναι και το εξωτερικό ευθύ γινόμενο μια κυκλική ομάδα και αυτό μπορεί να γίνει μόνο αν t = 1 και G = H 1 Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για κάθε ομάδα τάξης p k, θα αποδείξουμε ότι είναι αληθής και για κάθε ομάδα τάξης p k+1 67 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Έστω G μια ομάδα τάξης p k+1 Αν η G είναι κυκλική, τότε η απόδειξη εκτελείται όπως και στην περίπτωση m = 1 Έστω ότι η G δεν είναι κυκλική και ότι η G είναι ισόμορφη με δύο εξωτερικά ευθέα γινόμενα K 1 K 2 K s και H 1 H 2 H t οι παράγοντες των οποίων είναι διατεταγμένες κατά διάταξη αντίστροφη των τάξεών τους, όπως ακριβώς περιγράφεται στη διατύπωση τής πρότασης Υπενθυμίζουμε ότι αν, A είναι οποιαδήποτε αβελιανή ομάδα και m είναι ένας φυσικός, τότε το σύνολο A m := {a m a A} είναι μια υποομάδα τής A (γιατί;) Επιπλέον αν, η A = a είναι κυκλική και παράγεται από το στοιχείο a, τότε η A m είναι (προφανώς!) επίσης κυκλική και παράγεται από το στοιχείο a m (γιατί;) Στην περίπτωση τής G θεωρούμε τον πρώτο p και την υποομάδα G p Η G p είναι μια γνήσια υποομάδα τής G, επειδή υπάρχουν στοιχεία τής G τάξης p, λόγω τού Θεωρήματος Cauchy (Θεώρημα 138) Επιπλέον, η G p είναι ισόμορφη με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 p K 2 p K s p καθώς επίσης και με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 p H 2 p H t p Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Ι Περίπτωση G p = {e G } Τότε i, 1 i s η κυκλική ομάδα K i p αποτελείται μόνο από το ουδέτερο στοιχείο e Ki Συνεπώς i, 1 i s, η K i είναι κυκλική τάξης p Με το ακριβώς ίδιο επιχείρημα συμπεραίνουμε ότι j, 1 j t, η H j είναι κυκλική τάξης p Αφού, G = K 1 K 2 K s είναι φανερό ότι οι δύο ομάδες έχουν την ίδια τάξη και γι αυτό [G : 1] = p s Επίσης αφού G = H 1 H 2 H t συμπεραίνουμε ότι [G : 1] = p t Επομένως, s = t και i, 1 i s, K i = Hi Στη συγκεκριμένη περίπτωση μάλιστα, όλες οι ομάδες K i, H j είναι ισόμορφες με την κυκλική ομάδα C p με p το πλήθος στοιχεία ΙΙ Περίπτωση G p {e G } Αφού G p = K 1 p K 2 p K s p, συμπεραίνουμε ότι και το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 p K 2 p K s p έχει περισσότερα τού ενός στοιχεία και ως εκ τούτου υπάρχουν παράγοντες K i p με περισσότερα τού ενός στοιχεία Έστω s ο μεγαλύτερος δείκτης μεταξύ των 1 και s, ούτως ώστε η ομάδα K s p να έχει περισσότερα τού ενός στοιχεία Τότε λόγω τού τρόπου με τον οποίο έχουν αριθμηθεί οι παράγοντες έχουμε ότι K s +1 p = {e Ks +1 }, K s +2 p = {e Ks +2 },, K s p = {e Ks } (*) Συνεπώς, η G p είναι επίσης ισόμορφη και με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 p K 2 p K s p Προσέξτε ότι από τη σχέση (*) συμπεραίνουμε ότι όλες οι ομάδες K s +1, K s +2,, K s είναι κυκλικές τάξης p Τώρα, αφού η G p είναι επίσης ισόμορφη με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 p H 2 p H t p, εργαζόμαστε παρομοίως με αυτό Έτσι θεωρούμε τον μεγαλύτερο δείκτη t μεταξύ των 1 και t, ούτως ώστε η ομάδα H t p να έχει περισσότερα τού ενός στοιχεία Τότε λόγω τού τρόπου με τον οποίο είναι αριθμημένες οι παράγοντες έχουμε ότι H t +1 p = {e Ht +1 }, H t +2 p = {e Ht +2 },, H t p = {e Ht } (**) Συνεπώς, η G p είναι επίσης ισόμορφη με το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 p H 2 p H t p Προσέξτε ότι από τη σχέση (**) συμπεραίνουμε ότι όλες οι ομάδες H t +1, H t +2,, H t είναι κυκλικές τάξης p Ν Μαρμαρίδης 68

32 Η Τ Ο Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει η G p είναι μια γνήσια υποομάδα τής G και γι αυτό εφαρμόζοντας την επαγωγική υπόθεση στην ομάδα G p, όπου G p = K p 1 K p 2 K p s και G p = H p 1 H p 2 H p t, συμπεραίνουμε ότι s = t και ότι i, 1 i s, K p i = H p i και ιδιαιτέρως έχουν ίσες τάξεις, δηλαδή [Kp i : 1] = [Hp i : 1] Επειδή η τάξη τής κυκλικής ομάδας K i (αντιστοίχως τής H i ) ισούται με p[k p i : 1] (αντιστοίχως με p[h p i : 1] συμπεραίνουμε ότι για κάθε i, 1 i s, οι τάξεις των κυκλικών ομάδων K i και H i είναι ίσες και ως εκ τούτου i, 1 i s, K i = Hi Υπολείπεται η απόδειξη ότι s = t, αφού ήδη γνωρίζουμε ότι οι ομάδες K s +1, K s +2,, K s και H s +1, H s +2,, H t είναι κυκλικές τάξης p και ως εκ τούτου ισόμορφες μέταξύ τους Θέτουμε G K για το εξωτερικό ευθύ γινόμενο K 1 K 2 K s και G H για το εξωτερικό ευθύ γινόμενο H 1 H 2 H s Τώρα G K = GH και η ομάδα G είναι ισόμορφη με τα εξωτερικά ευθέα γινόμενα G K K s +1 K s +2 K s και G H H s +1 H s +2 H t Συνεπώς, έχουμε: [G K : 1]p s s = [G : 1] = [G H : 1]p t s και αφού [G K : 1] = [G H : 1], συμπεραίνουμε ότι p s s = p t s και τελικώς s = t Διαμερίσεις Για να δούμε το πώς ακριβώς εφαρμόζεται η ανωτέρω πρόταση χρειαζόμαστε τον εξής πολύ γνωστό ορισμό Ορισμός 321 Έστω n N ένας φυσικός αριθμός Κάθε ακολουθία (m 1, m 2,, m t ) φυσικών αριθμών ονομάζεται μια διαμέριση τού n αν, n = t m i και m 1 m 2 m i m i+1 m t i=1 Έτσι, οι διαμερίσεις τού 3 είναι οι ακολουθίες δ 1 (3) = (3), δ 2 (3) = (2, 1) και δ 3 (3) = (1, 1, 1), τού 4 είναι οι ακολουθίες δ 1 (4) = (4), δ 2 (4) = (3, 1, 1), δ 3 (4) = (2, 2), δ 4 (4) = (2, 1, 1) και δ 5 (4) = (1, 1, 1, 1) Έστω P(n) το πλήθος των διαμερίσεων τού φυσικού n και (n) = {δ i (n) i = 1, 2,, P(n)} οι διαμερίσεις του Διατάσσουμε τα στοιχεία τού (n) κατά την αντίστροφη λεξικογραφική διάταξη και σχηματίζουμε με αυτά έναν πίνακα, που κάθε γραμμή του είναι ένα στοιχείο τού (n) Η διάταξη των γραμμών τού πίνακα είναι τέτοια ώστε αν, το δ(n) είναι η i-οστή γραμμή και δ (n) είναι j-οστή με j i, τότε δ (n) δ(n) Ο συγκεκριμένος πίνακας είναι μοναδικός, ονομάζεται πίνακας Young Θα τον συμβολίζουμε με Y(n) 69 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Το πλήθος των στοιχείων τής στήλης τού Y(n) με τα περισσότερα στοιχεία ισούται με το πλήθος P(n) των διαμερίσεων τού φυσικού n Επί παραδείγματι, Y(3) = 1 1 1 2 1 3, Y(4) = 1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 4 P(3) = 3, P(4) = 5 και P(5) = 7 και Y(5) = 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 4 1 5, Πρόταση 325 Έστω ότι q είναι ένας πρώτος αριθμός και ότι n είναι ένας φυσικός αριθμός Το πλήθος f G (q n ) των μη ισόμορφων αβελιανών p ομάδων (G, ) τάξης q n ισούται με το πλήθος P(n) των διαμερίσεων τού n Απόδειξη Έστω ότι (n) είναι το σύνολο των διαμερίσεων τού φυσικού n και ότι C(n) είναι το σύνολο των εξωτερικών ευθέων γινομένων C q m 1 C q m 2 C q m t όπου (m 1, m 2,, m t ) είναι μια διαμέριση τού n Σύμφωνα με την Πρόταση 324 (β ), οι ομάδες που ανήκουν στο σύνολο C(n) δεν είναι ισόμορφες Παρατηρούμε ότι τα (n) και C(n) βρίσκονται σε μια «1 1» και «επί» αντιστοιχία Λόγω τής Πρότασης 324 (α ), γνωρίζουμε ότι κάθε αβελιανή ομάδα G τάξης q n είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο κυκλικών ομάδων C q m που καθεμιά τους έχει ως τάξη μια δύναμη q m τού q, ας πούμε G = C q m 1 C q m 2 C q m t Συνεπώς, q n = q m 1+m 2 + +m t και γι αυτό n = m 1 + m 2 + + m t Επιπλέον, μπορούμε να διατάξουμε τους παράγοντες τού εξωτερικού ευθέος γινομένου κατά τέτοιον τρόπο, ώστε q m 1 q m 2 q m t Συνεπώς, m 1 m 2 m t και γι αυτό τώρα, η ακολουθία (m 1, m 2,, m t ) είναι μια διαμέριση τού n Επομένως, κάθε αβελιανή ομάδα G τάξης q n είναι ισόμορφη με ακριβώς μία από τις ομάδες τού συνόλου C(n) Το πλήθος των στοιχείων τού C(n) ισούται με P(n), δηλαδή το πλήθος των διαμερίσεων τού n Συνεπώς, f G (q n ) = P(n) Παρατήρηση 321 Προσέξτε ότι ο πρώτος q δεν επηρεάζει καθόλου το πλήθος f G (q n ) των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων G τάξης q n Το πλήθος f G (13 200 ) των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων G τάξης 13 200 είναι το ίδιο με το πλήθος f G (541 200 ) των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων G τάξης 541 200 Το πλήθος αυτό είναι ίσο με το πλήθος των διαμερίσεων τού 200, δηλαδή με P(200) και το P(200) είναι ίσο με 3972999029388 Ένας αρκετά μεγάλος αριθμός! Παραδείγματα 321 Ας δούμε με ποιες ομάδες μπορεί να είναι ισόμορφη μια αβελιανή ομάδα G τάξης q 3, όπου ο q είναι πρώτος αριθμός Από τον αντίστοιχο πίνακα Ν Μαρμαρίδης 70

32 Η Τ Ο Y(3) έχουμε ότι η G είναι ισόμορφη με ακριβώς μία από τις C 3 q, C 2 q C q, C q C q C q Ενώ μια αβελιανή ομάδα G τάξης q 5, όπου ο q πρώτος αριθμός, είναι ισόμορφη με ακριβώς μία από τις C q 5, C q 4 C q, C q 3 C q 2, C q 3 C q C q C q 2 C q 2 C q C q 2 C q C q C q C q C q C q C q C q Πρόταση 326 Έστω ότι n είναι ένας φυσικός αριθμός και ότι n = p α 1 1 pα 2 2 pαs s είναι μια ανάλυσή του σε γινόμενο θετικών δυνάμεων πρώτων αριθμών p i, 1 i s, διαφορετικών ανά δύο Το πλήθος f G (n) των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων G τάξης n ισούται με το γινόμενο P(α 1 ) P(α s ) P(α s ), όπου P(α i ) είναι το πλήθος των διαμερίσεων τού θετικού αριθμού α i, 1 i s Απόδειξη Σύμφωνα με την Πρόταση 321, μια αβελιανή ομάδα τάξης n = p α 1 1 pα 2 2 pα s s είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο s το πλήθος p ομάδων με αντίστοιχες τάξεις p α 1 1, pα 2 2,, pαs s Ο ισομορφισμός είναι ανεξάρτητος από τη σειρά με την οποία εμφανίζονται οι παράγοντες στο εξωτερικό ευθύ γινόμενο Ως εκ τούτου f G (n) = f G (p α 1 1 ) f G(p α 2 2 ) f G(p αs s ) = P(α 1 ) P(α s ) P(α s ), αφού λόγω τής Πρότασης 325, γνωρίζουμε ότι i, 1 i s, είναι f G (p α i i ) = P(α i ) Πόρισμα 327 Έστω n ένας φυσικός αριθμός τής μορφής n = p 1 p 2 p s, όπου οι p i, 1 i s είναι πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο Κάθε αβελιανή ομάδα τάξης n είναι ισόμορφη με την κυκλική ομάδα C n τάξης n Απόδειξη Από την προηγούμενη πρόταση γνωρίζουμε ότι f G (n) = P(1) P(1) P(1) = 1 1 1 = 1(s το πλήθος παράγοντες ) Ώστε, υπάρχει (με ακρίβεια ισομορφισμού) μόνο μία αβελιανή ομάδα τάξης n Προφανώς, αυτή η ομάδα είναι η κυκλική C n τάξης n Παραδείγματα 322 Πόσες μη ισόμορφες αβελιανές ομάδες G τάξης 600 υπάρχουν; Η ανάλυση τού 600 σε δυνάμεις πρώτων είναι η 600 = 2 3 3 5 2 Συνεπώς, f G (600) = P(3) P(1) P(2) = 6 71 Ν Μαρμαρίδης

3 Ε Γ Ο Κάθε αβελιανή ομάδα τάξης 600 είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο από τρεις p ομάδες με αντίστοιχες τάξεις 2 3, 3 και 5 2 Γι αυτό κάθε αβελιανή ομάδα G τάξης 600 είναι ισόμορφη με μια από τις επόμενες ομάδες: C 2 3 C 3 C 5 2, C 2 2 C 2 C 3 C 5 2, C 2 C 2 C 2 C 3 C 5 2, C 2 3 C 3 C 5 C 5, C 2 2 C 2 C 3 C 5 C 5, C 2 C 2 C 2 C 3 C 5 C 5 Αλλά και το πλήθος των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων G τάξης p 3 qr 2, όπου p, q, r είναι οποιοιδήποτε πρώτοι αριθμοί, διαφορετικοί ανά δύο, είναι επίσης 6 και κάθε τέτοια ομάδα είναι ισόμορφη με μια από τις C p 3 C q C r 2, C p 2 C p C q C r 2, C p C p C p C q C r 2, C p 3 C q C r C r, C p 2 C p C q C r C r, C p C p C p C q C r C r Τα ανωτέρω συνοψίζονται στο Θεώρημα 328 (Το Θεώρημα Ταξινόμησης των πεπερασμένων αβελιανών Ομάδων) Κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα είναι ισόμορφη με ένα εξωτερικό ευθύ γινόμενο κυκλικών p ομάδων Το πλήθος των παραγόντων του εξωτερικού ευθέος γινομένου καθώς και οι τάξεις των κυκλικών ομάδων προσδιορίζονται μοναδικά από την ομάδα Αν η τάξη τής αβελιανής ομάδας είναι n = s i=1 pα i i, όπου οι p i, 1 i s είναι πρώτοι αριθμοί διαφορετικοί ανά δύο και οι α i, 1 i s είναι φυσικοί, τότε το πλήθος των μη ισόμορφων αβελιανών ομάδων τάξης n είναι s i=1 P(α i), όπου P(α i ), 1 i s είναι το πλήθος των διαμερίσεων τού α i, 1 i s Ν Μαρμαρίδης 72

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Θεωρία Ομάδων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourseuoigr/course/viewphp?id=1250 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/