Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100)

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Διοίκηση και Διαχείριση Έργων και Προγραμμάτων Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Έργων (Y100) Μέρος ΙΙ Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Μαθηματικά Μοντέλα Εισαγωγή Μεθοδολογία Γραμμικού Προγραμματισμού Λογισμικό Επίλυσης προβλημάτων ΓΠ (Solver Excel & LINDO LINGO) Ανάλυση Ευαισθησίας. Ερμηνεία των σκιωδών τιμών Εφαρμογές γραμμικού προγραμματισμού σε προβλήματα διοίκησης έργων Προβλήματα μεταφοράς- Προβλήματα αναθέσεων. Ειδικές περιπτώσεις Ακέραιος Προγραμματισμός Προγραμματισμός Στόχων Π. Γ. Υψηλάντης ipsil@teilar.gr

Το σκεπτικό των μοντέλων Τι είναι ένα μοντέλο; Αναπαράσταση, συνήθως απλοποιημένη, μιας πραγματικής κατάστασης Όλα τα μοντέλα είναι λανθασμένα" και αυτό είναι αλήθεια... "Αλλά κάποια είναι χρήσιμα" και αυτό αποτελεί την προστιθέμενη αξία τους. Γιατί μοντέλα; Κατανοούμε καλύτερα πως λειτουργεί ο κόσμος. Ευφυείς πολίτες Απομονώνουμε σημαντικά στοιχεία, ορίσουμε σχέσεις μεταξύ τους, σκεφτόμαστε λογικά, εντοπίζουμε (και απορρίπτουμε) λογικές ασυνέπειες Αναλύουμε / Εξηγούμε καταστάσεις του παρελθόντος. πιθανόν Χρήσιμες για το μέλλον

Το σκεπτικό των μοντέλων Γιατί μοντέλα (συνέχεια); Προβλέψεις Ερμηνεία καταστάσεων που έχουν ήδη συμβεί Βοηθούν να εντοπίζουμε παράγοντες που δεν λήφθηκαν αρχικά υπ όψη Μειώνουμε την αβεβαιότητα των αποφάσεων Προσδιορίζουμε τα δεδομένα που χρειαζόμαστε Υποστήριξη Αποφάσεων

Το σκεπτικό των μοντέλων Γιατί μοντέλα (συνέχεια); Υποστήριξη Αποφάσεων Παράδειγμα: Χρηματοπιστωτικοί Οργανισμοί Αν κάποιος κινδυνεύει με πτώχευση Σώζω ή Αφήνω στην τύχη του

Το σκεπτικό των μοντέλων Γιατί μοντέλα (συνέχεια); Υποστήριξη Αποφάσεων Παράδειγμα: The Monty Hall Problem Πίσω από μία από τις τρεις κουρτίνες βρίσκεται ένα αυτοκίνητο A B C Ο παίκτης επιλέγει μία Ας πούμε την Α Η μία από τις άλλες δύο είναι οπωσδήποτε κενή και ο Monty γνωρίζει ποια είναι (ας πούμε η C) και την ανοίγει A B C Στον παίκτη τίθεται το ερώτημα: Μένεις με την αρχική σου επιλογή (την Α) ή αλλάζεις και επιλέγεις την Β? Ποια είναι η «σωστή» απόφαση?

Μαθηματικά μοντέλα Τι είναι; αναπαράσταση (συνήθως με μαθηματική μορφή αλλά όχι μόνο) μιας πραγματικής κατάστασης Ένα Μαθηματικό Μοντέλο είναι συνήθως ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων (εξισώσεων) που περιγράφουν μια δεδομένη κατάσταση. Απλά παραδείγματα Μαθηματικών Μοντέλων

Χρήση Μαθηματικών Μοντέλων Π ρ αγματικό Ε πιχειρησιακό Π ρ ό β λημα Μ αθηματικό Μ ο ν τ έ λο Π αραδοχές Μ ε θ ο δ ο λογία Λ ύ σ η Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Δ ε δ ο μ έ ν α Α ν άλυση / Ε ρ μ ηνεία Λύσης Μ αθηματικού Μ ο ν τ έ λου Υ λοποίηση Λ ύ σ ης

Βασικά Χαρακτηριστικά Μαθηματικών Μοντέλων Δομή ενός μοντέλου Μεταβλητές Αντικειμενικός στόχος Περιορισμοί / Παράμετροι ντετερμινιστικά (deterministic) μοντέλα στοχαστικά (stochastic) μοντέλα Ο Χρονοπρογραμματισμός ενός έργου γίνεται μέσω ενός μοντέλου (CPM). Περιγράψτε τη δομή του σύμφωνα με τα παραπάνω Ποιές ιδιότητες επιθυμούμε σε ένα Μαθηματικό Μοντέλο; a. Πιστότητα περιγραφής πραγματικής κατάστασης b. Δυνατότητα Επίλυσης

Μοντέλα Γραμμικού Προγραμματισμού Παράδειγμα Ελεγκτική ΕΠΕ Η Ελεγκτική ΕΠΕ έχει αναλάβει σε δύο έργα Α και Β την παρακολούθηση του κόστους του έργου με τη μέθοδο EVA (Earned Value Analysis). Ο μόνος διαθέσιμος ελεγκτής για την επόμενη εβδομάδα μπορεί να εργαστεί συνολικά 60 ώρες. Για το έργο Α θα χρειαστεί να εργαστούν μαζί του 2 βοηθοί ελεγκτή και 2 λογιστές, ενώ αντίστοιχα για το Β έργο 1 βοηθός ελεγκτή και 3 λογιστές. Η εταιρεία διαθέτει αρκετούς νέους βοηθούς λογιστές αλλά για τη συγκεκριμένη εβδομάδα είναι συνολικά διαθέσιμα 4 άτομα που μπορούν να εργαστούν 37,5 ώρες ο καθένας. Αντίθετα οι συνολική διαθεσιμότητα των βοηθών ελεγκτών ανέρχεται σε 80 ώρες. Το κέρδος της Ελεγκτική ΕΠΕ σε ωριαία βάση έχει εκτιμηθεί σε 300 την ώρα για το έργο Α και 400 την ώρα για το έργο Β. Η Ελεγκτική ΕΠΕ θεωρεί ότι για προφανείς λόγους ο ελεγκτής θα πρέπει οπωσδήποτε να επισκεφθεί και τα 2 έργα για τουλάχιστον 10 ώρες στο καθένα. Ποιος είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος κατανομής του έργου του ελεγκτή στα έργα Α και Β;

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ερωτήματα για Λήψη Αποφάσεων Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να είναι πιο αποδοτικό για την εταιρεία? Ποιοι είναι οι περιορισμοί που τίθενται; Ποιοι από αυτούς είναι δεσμευτικοί; Πόσες ώρες βοηθών απαιτούνται σε κάθε έργο; Αν υπάρχει μεγαλύτερη διαθεσιμότητα στελεχών / βοηθών σε ποιο έργο θα πρέπει να τις κατανέμουμε; Τι ποσό είμαστε διατεθειμένοι να καταβάλουμε (π.χ. σε υπερωριακή απασχόληση) για να αποκτήσουμε επί πλέον δυναμικό; Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι συντελεστές κέρδους των δύο έργων;

Γραμμικός Προγραμματισμός Παράδειγμα Ελεγκτική ΕΠΕ Δεδομένα Απαιτούμενες άτομα για κάθε Διαθέσιμες ώρες ώρα εργασίας Έργο Α Έργο Β Ελεγκτής 1 1 55 Βοηθός Ελεγκτή 2 1 80 Λογιστής 2 3 150 Κέρδος Ελεγκτικής 300 400

Εισαγωγή στο Μαθηματικό Προγραμματισμό Η λήψη αποφάσεων σε πολλά επιχειρησιακά προβλήματα περιλαμβάνει την αποτελεσματική αξιοποίηση περιορισμένων πόρων Εξοπλισμός, εργασία, κεφάλαια, χρόνος, χώρος, υλικά κ.ά Ο Γραμμικός Προγραμματισμός (ΓΠ) είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνική μοντελοποίησης που μπορεί να βοηθήσει στην αποτελεσματικά κατανομή των διαθέσιμων πόρων Ανήκει στη ευρύτερη κατηγορία των τεχνικών μαθηματικού προγραμματισμού Ο όρος προγραμματισμός αναφέρεται στη μοντελοποίηση και επίλυση ενός προβλήματος με μαθηματικό τρόπο (και όχι στον προγραμματισμό η/υ)

Χαρακτηριστικά Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Ο ΓΠ έχει εφαρμογή στην επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων τα τελευταία 60 χρόνια Όλα τα προβλήματα ΓΠ έχουν 4 κοινά χαρακτηριστικά 1. Όλα τα προβλήματα αποσκοπούν στη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση κάποιου μεγέθους (αντικειμενική συνάρτηση) 2. Η παρουσία περιορισμών οριοθετεί / περιορίζει το βαθμό στον οποίο επιτυγχάνετε ο επιζητούμενος σκοπός (στόχος) 3. Η ύπαρξη εναλλακτικών λύσεων από τις οποίες επιλέγεται η καλύτερη περιγράφεται από τις τιμές των μεταβλητών 4. Ο στόχος και οι περιορισμοί του προβλήματος μπορούν να διατυπωθούν με όρους γραμμικών συναρτήσεων, εξισώσεων, ή ανισώσεων

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Μαθηματική Διατύπωση Μεταβλητές Αν ζητήσουμε από κάποιον να μας δώσει μια λύση τι ακριβώς περιμένουμε να μας πει; Χ Ώρες στο Έργο Α Υ Ώρες στο Έργο Β Ο στόχος (αντικειμενική συνάρτηση) Συνήθως είναι η μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση κάποιου κρίσιμου μεγέθους. π.χ. κέρδους, κόστους, Χρόνου, Φορτίου κ.λπ. Μπορώ να υπολογίσω τη τιμή του στόχου όταν γνωρίζω τις τιμές των μεταβλητών; Αν όχι πίσω στο προηγούμενο βήμα. Αμοιβή Ελεγκτικής ΕΠΕ για την εβδομάδα: 300Χ + 400Υ

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Μαθηματική Διατύπωση Περιορισμοί Ποιοι είναι οι παράγοντες που επηρεάζουν τις τιμές των μεταβλητών; π.χ. οι διαθέσιμες ώρες των ελεγκτών είναι μόνον 55, επομένως όσες χρησιμοποιηθούν πρέπει να είναι το πολύ 55. Αντίστοιχα για βοηθούς λογιστές και ελεγκτές. Μπορώ να υπολογίσω τις παραπάνω σχέσεις όταν γνωρίζω τις τιμές των μεταβλητών; Αν όχι πίσω στον καθορισμό των μεταβλητών Περιορισμός Ωρών Ελεγκτών : Χ+Υ 55 Συνέχεια

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Συνολική Μαθηματική Διατύπωση Χ Ώρες στο Έργο Α Υ Ώρες στο Έργο Β Μεγιστοποίηση Αμοιβής: Υπό τους Περιορισμούς: και Χ, Υ 0 300Χ + 400Υ Ώρες Ελεγκτών : Χ + Υ 55 Ώρες Βοηθών Ελεγκτών : 2Χ + Υ 80 Ώρες Λογιστών : 2Χ +3Υ 150 Ελάχιστες ώρες Έργο Α : Χ 10 Ελάχιστες ώρες Έργο Β : Υ 10

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση Δύο μεταβλητές σε ένα σύστημα ΧΥ αξόνων Κάθε σημείο στο επίπεδο αντιπροσωπεύει μία λύση Άλλες λύσεις είναι αποδεκτές άλλες όχι Βήμα 1: Προσδιορισμός Εφικτών Λύσεων 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0.0 30 ώρες στο έργο Α και 50 στο έργο Β 25 ώρες στο έργο Α και 30 στο έργο Β.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση Ωρες Ελεγκτή Ώρες Ελεγκτών : Χ + Υ 55 80.0 70.0 Έργο Α: 0 ώρες Έργο Β: 55 ώρες 60.0 50.0 40.0 Έργο Α: 25 ώρες Έργο Β: 30 ώρες 30.0 20.0 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση Ωρες Βοηθού Ελεγκτή Ώρες Βοηθών Ελεγκτών : 2Χ + Υ 80 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση Ωρες Ελεγκτή & Βοηθού Ελεγκτή Ώρες Ελεγκτών : Χ + Υ 55 Ώρες Βοηθών Ελεγκτών : 2Χ + Υ 80 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση Ώρες Ελεγκτών : Χ + Υ 55 Ώρες Βοηθών Ελεγκτών : 2Χ + Υ 80 Ώρες Λογιστών : 2Χ +3Υ 150 80.0 70.0 60.0 50.0 Ωρες Ελεγκτή, Βοηθού Ελεγκτή & Λογιστή 40.0 30.0 20.0 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μια γραφική προσέγγιση 80.0 Περιοχή Εφικτών Λύσεων Περιοχή Εφικτών Λύσεων 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Μέγιστο κέρδος (Κ) επιτυγχάνεται μόνον σε ένα από τα ακραία σημεία. 80 70 60 50 40 Α Β Βέλτιστη Λύση Γ Α(0,50) 30 Β(15,40) Γ(25,30) Δ(40,0) 20 10 0 Ισοκερδής Ευθεία 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Δ -10 Project A Ισοκερδής - Αμοιβή: 18.500

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ποιος είναι ο μηχανισμός βελτιστοποίησης; Τα ακραία σημεία 80.0 Περιοχή Εφικτών Λύσεων Κέρδος Δεσμευτικοί Περιορισμοί Α(0,50) 20,000 Λογιστών Β(15,40) 20,500 Λογιστ. & Ελεγκτών Γ(25,30) 15,750 Ελεγκτών & Βοηθών Δ(40,0) 12,000 Βοηθών 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 Α ΛΟΓ: 2Χ+3Υ 150 Β Γ ΕΛΕΓΚΤ: Χ+Υ 55 Δεσμευτικοί Περιορισμοί: - Εξαντλούνται όλοι οι διαθέσιμοι πόροι - Περιορίζουν την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης 20.0 10.0.0 ΒΟΗΘ: 2Χ+Υ 80 Δ.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Project A

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Ας το δούμε σαν μία άσκηση στο Excel Ώρες Επίσκεψης Ομάδας Έργο Α Έργο Β 20 20 Σύνολο Απαιτούμενων Ωρών Σύνολο Διαθέσιμων Ωρών Ελεγκτής 20 20 40 55 Βοηθός Ελεγκτής 40 20 60 80 Λογιστής 40 60 100 150 Συνολική Αμοιβή ανά ώρα 300 400 Αμοιβή Συνολική Αμοιβή 6.000 8.000 14.000

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Επίλυση στο Microsoft Excel 1/3 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Επίλυση στο Microsoft Excel 2/3 1. 3. 2. H λύση του προβλήματος με το Solver (Επίλυση) του Excel

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Αναφορά Απαντήσεων στο Microsoft Excel 3/3

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Οι απαντήσεις στα ερωτήματα μας έως τώρα Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος για την εταιρεία? Ποιοι είναι οι περιορισμοί που τίθενται; Ποιοι από αυτούς είναι δεσμευτικοί; Πόσες ώρες βοηθών χρειαζόμαστε ; Η συνέχεια Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι ωριαίες αμοιβές; Π.χ. Λάθος εκτίμηση Αν υπάρχει μεγαλύτερη διαθεσιμότητα στελεχών / βοηθών σε ποιο έργο θα πρέπει να τις κατανείμουμε; Τι ποσό είμαι διατεθειμένος να πληρώσω (π.χ. υπερωριακή απασχόληση) για να αποκτήσω επί πλέον δυναμικό;

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι ωριαίες αμοιβές; Περιοχή Εφικτών Λύσεων παραμένει αμετάβλητη Βέλτιστη Λύση Αλλάζει η κλίση της ευθείας κέρδους π.χ. αντί 300Χ+400Υ αν είχαμε: Περίπτωση 1: 400Χ + 300Υ Περίπτωση 2: 80 70 60 50 40 30 20 Α Β Γ Δ Ισοκερδής Ευθεία 300Χ +500Υ 10 Σε ποιο σημείο θα είχαμε μέγιστο; 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Project A Εργο Α 300 Έργο Β 400 Ισοκερδής - Αμοιβή: 20.500

Γ.Π. Ανάλυση Ευαισθησίας (Συντελεστές Κέρδους) Τι θα συμβεί αν μεταβληθούν οι συντελεστές κέρδους των μεταβλητών; Απαντήσεις δίνει η ανάλυση ευαισθησίας των συντελεστών κέρδους Παράδειγμα Επίλυσης με το Excel Ο συντελεστής αμοιβής για το Έργο Α μπορεί να κυμανθεί μεταξύ 267 (300-33) και 400 (300+100) χωρίς να αλλάξει η κατανομή των ωρών Ποια είναι τα όρια για το συντελεστή αμοιβής του Έργου Β;

Project B Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Τι θα συνέβαινε αν είχαμε έστω και μία ώρα επί πλέον διαθέσιμη στους ελεγκτές (56 αντί 55); Η Περιοχή Εφικτών Λύσεων αλλάζει. Η ευθεία ΒΓ μετακινείται προς τα δεξιά. Νέα σημεία τομής με τους άλλους περιορισμούς Β Γ Η ισοκερδής ευθεία 80.0 70.0 60.0 50.0 Α Περιοχή Εφικτών Λύσεων ΛΟΓ: 2Χ+3Υ 150 ΕΛΕΓΚΤ: Χ+Υ 56 40.0 30.0 20.0 Β Β Γ Γ ΕΛΕΓΚΤ: Χ+Υ 55 ΒΟΗΘ: 2Χ+Υ 80 10.0.0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 Δ Project A

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ ΠΤι θα συνέβαινε αν είχαμε έστω και μία ώρα επί πλέον διαθέσιμη στους ελεγκτές (56 αντί 55); Η Περιοχή Εφικτών Λύσεων αλλάζει. Η ευθεία ΒΓ μετακινείται προς τα δεξιά. Νέα σημεία τομής με τους άλλους περιορισμούς Β & Γ Η ισοκερδής ευθεία μετακινείται δεξιότερα (αύξηση κέρδους) Βελτιστοποίηση στο σημείο Β (Κέρδος = 20.600) Β (15,40) Γ (25,30) Β (18,38) Γ (24,32)

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ 58 ώρες 60 ώρες 56 ώρες 55 ώρες Μία (1) επί πλέον ώρα ελεγκτών αυξάνει το κέρδος κατά 100. Δύο (2) ώρες κατά 200 Υπάρχει κάποιο όριο και γιατί; Που σταματούμε και γιατί; Τι συμβαίνει αν οι ώρες ελεγκτών γίνουν 60;

Γ.Π. Ανάλυση Ευαισθησίας (Διαθέσιμοι Πόροι) Τι συνέπειες έχει η μεταβολή των διαθέσιμων πόρων στο αποτέλεσμα; Απαντήσεις δίνει η ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών Παράδειγμα Επίλυσης με το Excel Σκιώδης Τιμή: Η αύξηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε επί πλέον μονάδα του αντίστοιχου πόρου. Π.χ. Ελεγκτές: 100. Γιατί η σκιώδης τιμή είναι μηδενική στους βοηθούς; Επιτρεπόμενη αύξηση / μείωση: Τα όρια για τα οποία ισχύει η σκιώδης τιμή. Μεταβολή πέρα από τα όρια απαιτεί εκ νέου επίλυση του προβλήματος Π.χ. Οι ώρες των ελεγκτών μπορεί να αυξηθούν κατά 3 ή να μειωθούν κατά 5 με επίδραση στο κέρδος 100 /ώρα

Γ.Π. Ελεγκτική ΕΠΕ Οι απαντήσεις στα ερωτήματα μας έως τώρα Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος για την εταιρεία? Ποιοι είναι οι περιορισμοί που τίθενται; Ποιοι από αυτούς είναι δεσμευτικοί; Πόσες ώρες βοηθών χρειαζόμαστε ; Τώρα μπορούμε να δώσουμε τις απαντήσεις Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι ωριαίες αμοιβές; Π.χ. Λάθος εκτίμηση Αν υπάρχει μεγαλύτερη διαθεσιμότητα στελεχών / βοηθών σε ποιο έργο θα πρέπει να τις κατανείμουμε; Τι ποσό είμαι διατεθειμένος να πληρώσω (π.χ. υπερωριακή απασχόληση) για να αποκτήσω επί πλέον δυναμικό;

Γ.Π. Προβλήματα μεγαλύτερου μεγέθους Η γραφική προσέγγιση είναι δυνατή μόνο σε προβλήματα με δύο μεταβλητές Προβλήματα μεγαλύτερου μεγέθους με περισσότερες μεταβλητές και περιορισμούς λύνονται αλγεβρικά με τη μέθοδο Simplex Λογισμικό επίλυσης προβλημάτων ΓΠ Excel-Solver, Lindo/Lingo, SAS, Mathematica, κ.ά. (επαγγελματικά) QSB, QW, κ.λπ. (ακαδημαϊκά) Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων είναι ακριβώς η ίδια;

Γραμμικός Προγραμματισμός Ελεγκτική ΕΠΕ - Επέκταση Παραδείγματος Η Ελεγκτική ΕΠΕ έχει τώρα αναλάβει και ένα τρίτο έργο το έργο Γ (πέρα των άλλων δύο Α και Β). Επίσης, μετά από καθυστερήσεις που σημειώθηκαν στην παρακολούθηση των πρώτων έργων θεωρεί ότι στην ομάδα ελέγχου θα πρέπει να μετάσχει και ένας αναλυτής όχι κατά ανάγκη με πλήρη απασχόληση. Οι απαιτήσεις για κάθε έργο σε Ελεγκτές, Βοηθούς Ελεγκτές, Λογιστές και Αναλυτές καθώς και οι διαθέσιμες ώρες για τις 4 κατηγορίες ατόμων δίνονται στον παρακάτω πίνακα. ΕΡΓΟ Α ΕΡΓΟ Β ΕΡΓΟ Γ ΔΙΑΘΕΣΙΜΕΣ ΩΡΕΣ ΕΛΕΓΚΤΕΣ 1 1 1 55 ΒΟΗΘΟΙ 2 1 2 80 ΛΟΓΙΣΤΕΣ 2 3 3 150 ΑΝΑΛΥΤΕΣ 0,5 1 0,5 35 Το κέρδος της Ελεγκτικής ΕΠΕ έχει υπολογισθεί σε 300 την ώρα για το έργο Α, 400 για το έργο Β και 450 για το έργο Γ Η Ελεγκτική ΕΠΕ θεωρεί ότι για προφανείς λόγους η κάθε ομάδα θα πρέπει οπωσδήποτε να επισκεφθεί και τα 2 έργα για τουλάχιστον 10 ώρες το καθένα, αλλά εκ των πραγμάτων δεν μπορεί να εργαστεί περισσότερο από 25 ώρες στο κάθε έργο Ποιος είναι ο πιο αποδοτικός τρόπος κατανομής των ωρών στα τρία έργα;

Ελεγκτική ΕΠΕ ΙΙ 1/5

Ειδικές Περιπτώσεις Προβλημάτων ΓΠ Τέσσερεις ειδικές περιπτώσεις μπορούν να εμφανισθούν στην επίλυση προβλημάτων ΓΠ Μη Εφικτές Λύσεις (Infeasibility) Σύνολο Λύσεων μη Φραγμένο (Unboundedness) Πλεονασμός (Redundancy) Εναλλακτικές Βέλτιστες Λύσεις (Alternative Optimal Solutions)

Μη εφικτές λύσεις Πρόβλημα με μη εφικτές λύσεις: X 2 2Χ 1 + Χ 2 8 Χ 1 + 2Χ 2 6 Χ 1 7 8 6 4 2 0 Περιοχή που ικανοποιείται ο τρίτος περιορισμός 2 4 6 8 X 1 Όταν δεν υπάρχει λύση που να ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς Δεν είναι ασυνήθιστο σε πραγματικά προβλήματα Ένας ή περισσότεροι περιορισμοί χαλαρώνονται έως ότου βρεθεί λύση Περιοχή που ικανοποιούνται οι δύο πρώτοι περιορισμοί

Μη φραγμένο σύνολο λύσεων Περιοχή λύσεων μη φραγμένη προς τα δεξιά: Χ 2 10 Χ 1 + 2Χ 2 10 Χ 1 5 X 2 15 X 1 5 10 5 X 2 10 Περιοχή εφικτών λύσεων X 1 + 2X 2 15 0 5 10 15 X 1 Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης, οι τιμές μίας η περισσότερων μεταβλητών αυξάνονται χωρίς φραγμό, και επομένως η αντικειμενική συνάρτηση μπορεί συνεχώς να παίρνει μεγαλύτερες τιμές χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισμοί Λάθη στη διατύπωση του προβλήματος, δεν έχουν διατυπωθεί όλοι οι περιορισμοί

Πλεονασμός Πρόβλημα με πλεονάζοντα περιορισμό X 2 30 25 20 15 10 5 Feasible Region 2X 1 + X 2 30 X 1 + X 2 20 Πλεονάζων περιορισμός X 1 25 Ένας περιορισμός είναι πλεονάζων εάν δεν έχει καμία επίπτωση στην περιοχή των εφικτών λύσεων Άλλοι περιορισμοί μπορεί να είναι πιο δεσμευτικοί Απαντάτε συχνά σε πραγματικά προβλήματα Δεν δημιουργεί προβλήματα, αλλά η αφαίρεση των πλεοναζόντων περιορισμών μειώνει την πολυπλοκότητα του προβλήματος 0 5 10 15 20 25 30 X 1

Εναλλακτικές Βέλτιστες Λύσεις Πρόβλημα με περισσότερες εναλλακτικές λύσεις X 2 8 7 6 A 5 4 3 Όλα τα σημεία πάνω στο τμήμα ΑΒ αποτελούν βέλτιστες λύσεις Ισοκερδής για 600 Μεγιστοποίηση 225 Χ 1 +150Χ 2 3Χ 1 + 2Χ 2 12 Χ 1 3 Συμβαίνει όταν οι συντελεστές κέρδους ή κόστους είναι ανάλογοι των συντελεστών των μεταβλητών σε έναν περιορισμό 2 Περιοχή 1 Εφικτών Λύσεων 0 B Ισοκερδής για 900 Συμπίπτει με τον περιορισμό AB 1 2 3 4 5 6 7 8 X 1

LINGO Software

Homework #1 Καταστρώστε και επιλύστε το πρόβλημα της Ελεγκτικής ΙΙ με χρήση του Excel Solver. Πόσες ώρες θα πρέπει να επισκεφτεί η ομάδα το κάθε έργο ώστε να είναι πιο αποδοτικό για την εταιρεία? Ποιοι από τους περιορισμούς που τίθενται είναι δεσμευτικοί; Αν μπορούσαμε να απασχολήσουμε βοηθούς λογιστές υπερωριακά με επιπλέον κόστος 50 την ώρα θα τα κάναμε; Για πόσες ώρες? Με τη επίδραση στο αποτέλεσμα? Τι θα συμβεί αν διαφοροποιηθούν οι συντελεστές κέρδους των δύο έργων; Εγκαταστήστε το πρόγραμμα Lingo και λύστε το ίδιο παράδειγμα Οδηγίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο e-class

End of Lecture