Πόσα σχήματα υπάρχουν; Εισαγωγή, χωρίς κόπο, στο πρόβλημα της ταξινόμησης πολλαπλοτήτων Σταύρος Αναστασίου Κέντρο Ερευνας και Εϕαρμογών Μη Γραμμικών Συστημάτων (CRANS) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών SAnastassiou@gmail.com Περίληψη. Μία από τις μεγαλύτερες επιτυχίες της τοπολογίας είναι η ταξινόμηση των πολλαπλοτήτων, ειδικά στις μικρές διαστάσεις. Οι, απευθυνόμενες σε μη ειδικό κοινό, σημειώσεις αυτές προσπαθούν να περιγράψουν το πρόβλημα της ταξινόμησης των, συμπαγών και προσανατολισμένων, πολλαπλοτήτων διάστασης ένα και δύο, και μια μέθοδο επίλυσής του.

Stavros Anastassiou 2 Εισαγωγή Συνήθως, η τοπολογία περιγράϕεται ως ο κλάδος εκείνος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες που παραμένουν αναλλοίωτες από τις συνεχείς απεικονίσεις. Πειραματιζόμενος, ο αναγνώστης δεν θα δυσκολευτεί να πειστεί ότι ένας κύκλος μπορεί να μετατραπεί σε ένα τετράγωνο, με τη βοήθεια μιας συνεχούς απεικόνισης, και αντιστρόϕως. Ο κύκλος και το τετράγωνο έχουν κοινές ορισμένες ιδιότητες, οι οποίες δεν αλλοιώνονται από τη συνεχή απεικόνιση που απεικονίζει το ένα σχήμα στο άλλο. Η τοπολογία έρχεται να βάλει σε ένα στέρεο πλαίσιο τέτοιες παρατηρήσεις, ακόμα και για σύνολα πιο πολύπλοκα από έναν κύκλο ή ένα τετράγωνο, και σε χώρους διάστασης μεγαλύτερης αυτής του επιπέδου. Οι σημειώσεις αυτές επιχειρούν να περιγράψουν το πρόβλήμα της ταξινόμησης των συνόλων μέσω συνεχών απεικονίσεων. Δεν απευθύνονται σε ειδικούς. για τον λόγο αυτόν, οι μόνες γνώσεις που απαιτούνται από τη μεριά του αναγνώστη, είναι οι βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων που διδάσκονται στο Λύκειο, καθώς επίσης και οι έννοιες του ανοιχτού και κλειστού συνόλου, και του μήκους καμπύλης. Για τον ίδιο λόγο όμως, η μαθηματική αυστηρότητα παραμελείται σε ορισμένα σημεία, με την διαισθητική περιγραϕή να προτιμάται, προκειμένου ο αναγνώστης να μπορεί να προσεγγίσει τις αναπτυσσόμενες έννοιες πιο εύκολα. Ξεκινούμε, στην πρώτη παράγραϕο, περιγράϕοντας την έννοια του ομοιομορϕισμού, έννοια θεμελιώδης στην τοπολογία, και δίνουμε, ως ορεκτικό, την ταξινόμηση των μηδενοδιάστατων συνόλων. Στη δεύτερη παράγραϕο, περιγράϕουμε ορισμένες καμπύλες του επιπέδου, και δίνουμε μερικά παραδείγματα ισοδυναμιών μεταξύ τους. Για την πλήρη ταξινόμηση βέβαια, απαιτούνται πιο αυστηρές έννοιες. Αυτές δίνονται στην τρίτη παράγραϕο, όπου και αποδεικνύεται ότι όλες οι κλειστές και απλές καμπύλες είναι τοπολογικώς ισοδύναμες του κύκλου. Στην τέταρτη παράγραϕο γίνεται μια μικρή εισαγωγή στις επιϕάνειες. Υποθέτουμε, αν και δεν το αναϕέρουμε ρητώς, ότι όλες οι επιϕάνειες είναι προσανατολισμένες (και συνεκτικές). Δείχνουμε ότι, εν αντιθέσει με την περίπτωση των καμπυλών, υπάρχουν τουλάχιστον δύο κλάσεις ισοδυναμίας, ενώ στην πέμπτη παράγραϕο δίνεται η λύση του προβλήματος της ταξινόμησης των επιϕανειών. Για τη λύση αυτή χρησιμοποιούμε δύο βασικές προτάσεις, χωρίς απόδειξη. Τούτο συμβαίνει για τρεις λόγους. Πρώτον, για την ευκολία του αναγνώστη, που υποτίθεται μη ειδικός. Δεύτερον, διότι οι προτάσεις αυτές είναι, ίσως, διαισθητικά προϕανείς. Και τρίτον, διότι, κατά την άποψη του γράϕοντος τουλάχιστον, η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε πολύ ενδιαϕέρουσες ατραπούς. Ορισμένες από αυτές σκιαγραϕούνται στην έκτη παράγραϕο, η οποία είναι αϕιερωμένη στις μεγαλύτερες διαστάσεις. Το κείμενο διανθίζουν μερικές άλυτες ασκήσεις, οι οποίες στοχεύουν στην καλύτερη κατανόηση των αναπτυσσόμενων εννοιών, ενώ περισσότερες λεπτομέρειες ο αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει στα βιβλία που προτείνονται στο τέλος των σημειώσεων. Για οποιαδήποτε παρατήρηση, ή διόρθωση, ο ενδιαϕερόμενος παρακαλείται να χρησιμοποιήσει την ηλεκτρονική διεύθυνση που δίνεται στην πρώτη σελίδα.

Stavros Anastassiou 3 1. Ομοιομορϕισμοί Εστω Σ ένα σύνολο. Στην τοπολογία, οποιαδήποτε επέμβασή μας στο σύνολο αυτό απαιτούμε να είναι συνεχής, και αντιστρέψιμη, προκειμένου να μπορούμε να παρακολουθούμε την μετάλλαξη που επιβάλλουμε στο σύνολο αυτό, αλλά και να μπορούμε να το επαναϕέρουμε στην αρχική του κατάσταση. Η απαίτησή μας αυτή κωδικοποιείται από τον επόμενο ορισμό. Ορισμός 1. Εστω f : Σ 1 Σ 2 μια απεικόνιση μεταξύ των συνόλων Σ 1, Σ 2. Η απεικόνιση αυτή ονομάζεται ομοιομορϕισμός όταν είναι ένα προς ένα, επί, συνεχής, και η αντίστροϕή της, f 1 : Σ 2 Σ 1, είναι επίσης συνεχής. Άσκηση 1. (i) Βρείτε έναν ομοιομορϕισμό από το (0, 1) στον εαυτό του. (ii) Βρείτε έναν ομοιομορϕισμό από το (0, 1) στο (0, 2). (iii) Βρείτε έναν ομοιομορϕισμό f : (0, 1) (a, b), όπου a, b R, a < b. Οταν υπάρχει ένας ομοιομορϕισμός μεταξύ δύο συνόλων, τα σύνολα αυτά ονομάζονται ομοιόμορϕα. Για παράδειγμα, τα διαστήματα (0, 1) και (a, b) της τελευταίας άσκησης είναι ομοιόμορϕα. Άσκηση 2. (i) Να δείξετε ότι το (0, 1) R είναι ομοιόμορϕο του R. Για να το πετύχετε αυτό, σχεδιάστε τη γραϕική παράσταση της f : ( π, π ) R, με τύπο f(x) = tanx. Επειτα 2 2 κατασκευάστε έναν ομοιομορϕισμό από το (0, 1) στο ( π, π ) (όπως στην προηγούμενη 2 2 άσκηση) και συνθέστε τον με την f. (ii) Να δείξετε ότι το να είναι δύο σύνολα ομοιόμορϕα είναι μια σχέση ισοδυναμίας επί των συνόλων. Αϕού λοιπόν η ομοιομορϕία συνόλων είναι μια σχέση ισοδυναμίας, ζητούμενο είναι η περιγραϕή των αντίστοιχων κλάσεων ισοδυναμίας. Στις σημειώσεις αυτές, αϕού περιοριστούμε στα σύνολα εκείνα που μας ενδιαϕέρει να μελετήσουμε, θα περιγράψουμε τις αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας. Ζητούμενο είναι να μπορούμε να διατυπώνουμε αποτελέσματα όπως το ακόλουθο. Πρόταση 1. (Ταξινόμηση μηδενοδιάστατων συνόλων) Εστω Σ 1, Σ 2 δύο σύνολα, με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Τα δύο αυτά σύνολα είναι ομοιόμορϕα αν, και μόνο αν, έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Παρατήρηση 1. Δεν αντιμετωπίζουμε καμία δυσκολία στην απόδειξη του ευθέος της προτάσεως αυτής. Πράγματι, αν τα σύνολα είναι ομοιόμορϕα, πρέπει να υπάρχει μια ένα προς ένα και επί συνάρτηση μεταξύ τους, άρα, έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Το αντίστροϕο είναι που απαιτεί ορισμένες γνώσεις, στοιχειώδους, τοπολογίας. Πράγματι, αν δύο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στροιχείων, υπάρχει μια ένα προς ένα και επί συνάρτηση μεταξύ αυτών. Πώς αποδεικνύουμε όμως ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής;

Stavros Anastassiou 4 Άρα, υπάρχουν τόσες κλάσεις ισοδυναμίας μηδενοδιάστατων συνόλων, όσοι και οι ϕυσικοί αριθμοί. Στόχος μας είναι τώρα να ταξινομήσουμε τα μονοδιάστατα σύνολα. Στην επόμενη παράγραϕο, θα περιγράψουμε ακριβώς τα μονοδιάστατα σύνολα που μας ενδιαϕέρουν. 2. Απλές και κλειστές καμπύλες του επιπέδου: πρώτες ισοδυναμίες Θα μας απασχολήσει η ταξινόμηση των καμπυλών του επιπέδου, αλλά μόνο εκείνων που ονομάζονται απλές και κλειστές καμπύλες. Ορισμός 2. Μια καμπύλη του επιπέδου ονομάζεται απλή όταν δεν τέμνει τον εαυτό της, ενώ ονομαζεται κλειστή, όταν περικλείει κάποιο εμβαδόν του επιπέδου. Σχήμα 1. Ποια από τις καμπύλες αυτές είναι απλή και κλειστή; Ολες οι απλές και κλειστές καμπύλες, διαισθητικά, ϕαίνεται να έχουν κάτι το κοινό. Μάλιστα, με λίγη ϕαντασία, ίσως γίνεται αντιληπτό ότι κάθε μία από αυτές μπορεί να παραμορϕωθεί, κατά τρόπο συνεχή, και να ταυτιστεί με οποιαδήποτε άλλη, απλή και κλειστή, καμπύλη. Πράγματι, ας προσηλωθούμε για λίγο στις καμπύλες του τετραγώνου Σχήμα 2. Κατασκευάζοντας έναν ομοιομορϕισμό ανάμεσα στον κύκλο και στο τετράγωνο. και του κύκλου (θα τις συμβολίζουμε ως Σ 1, Σ 2 αντίστοιχα). Καταλαβαίνουμε, ίσως, ότι, όντως, αυτές οι δύο καμπύλες μπορούν να ταυτιστούν, με τη βοήθεια ενός ομοιομορϕισμού. Μπορούμε όμως να κατασκευάσουμε τον ομοιομορϕισμό f : Σ 1 Σ 2 που επιτυγχάνει την ταύτιση αυτή;

Stavros Anastassiou 5 Μια ματιά στο σχήμα 2 αρκεί για να καταλάβουμε πώς ορίζεται αυτός ο ομοιομορϕισμός. Εγγράϕοντας στον κύκλο το τετράγωνο, θεωρούμε τις ημιευθείες εκείνες που εκκινούν από το κέντρο του κύκλου. Κάθε τέτοια ημιευθεία τέμνει το τετράγωνο σε μοναδικό σημείο p 1 και τον κύκλο σε μοναδικό σημείο p 2. Ορίζοντας f(p 1 ) = p 2, έχουμε κατασκευάσει τον ζητούμενο ομοιομορϕισμό. Άσκηση 3. Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί η παραπάνω απεικόνιση είναι ομοιομορϕισμός; Μπορούμε βέβαια να δώσουμε και τον αναλυτικό τύπο της παραπάνω απεικόνισης. Για τον σκοπό αυτόν όμως θα πρέπει να εισάγουμε συντεταγμένες στο επίπεδο. Εστω λοιπόν ότι εισάγουμε συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο, ώστε το κέντρο του κύκλου, στο παραπάνω σχήμα, να είναι η αρχή των αξόνων, και η ακτίνα του κύκλου να είναι μοναδιαία, τότε, αν x p 1 = (x, y) Σ 1, προϕανώς f(p 1 ) = p 2 = ( x, y 2 +y x ) Σ 2. 2 2 +y 2 Άσκηση 4. (i) Να εξηγήσετε γιατί η απεικόνιση f : R 2 R 2, όπως ορίστηκε παραπάνω, δεν είναι ομοιομορϕισμός. (ii) Να αποδείξετε ότι ο περιορισμός της, f : Σ 1 Σ 2, είναι ομοιομορϕισμός. (iii) Να βρείτε την f 1 : Σ 2 Σ 1. Με την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να αποδείξουμε ότι πολλές απλές και κλειστές καμπύλες είναι ομοιόμορϕες μεταξύ τους: αρκεί να εγγράψουμε, όταν αυτό είναι δυνατόν, την μία καμπύλη στην άλλη, και να χρησιμοποιούμε ημιευθείες για να ταυτίσουμε τα σημεία τους. Άσκηση 5. (i) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος είναι ομοιόμορϕος ενός οποιουδήποτε τριγώνου. (ii) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος είναι ομοιόμορϕος του κανονικού εξαγώνου. (iii) Χρησιμοποιείστε τα παραπάνω για να δείξετε ότι το οποιοδήποτε τρίγωνο είναι ομοιόμορϕο του κανονικού εξαγώνου. Η διαδικασία αυτή, αν και εξαιρετικά χρήσιμη σε απλές περιπτώσεις, αδυνατεί να λύσει το γενικό πρόβλημα της ταξινόμησης των καμπυλών που μας ενδιαϕέρουν για δύο λόγους. Πρώτον, διότι μπορεί να εϕαρμοστεί μόνο σε καμπύλες που εγγράϕονται η μία στην άλλη κατά τρόπο τέτοιον ώστε η ένα προς ένα και επί ταύτιση των σημείων τους να είναι προϕανής. Δεύτερον, διότι ακόμα και εάν μπορούσε να εϕαρμοστεί σε όλες τις καμπύλες, δεν θα ήταν δυνατόν να ελέγξουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά, καθώς οι καμπύλες αυτές είναι άπειρες. Η γενική περίπτωση αντιμετωπίζεται στην επόμενη παράγραϕο. Για να αντιμετωπιστεί όμως, θα χρειαστούμε μερικούς ορισμούς ακόμα. 3. Τοπολογική ταξινόμηση συμπαγών μονοδιάστατων πολλαπλοτήτων Οι καμπύλες που μας ενδιαϕέρουν, και που ξεκινήσαμε να μελετάμε στην προηγούμενη παράγραϕο, περιγράϕονται από τη ϕράση συμπαγείς μονοδιάστατες τοπολογικές υποπολλαπλότητες του R 2. Ας δούμε τι σημαίνει η ϕράση αυτή.

Stavros Anastassiou 6 Ορισμός 3. Μία μονοδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 2 είναι ένα μη κενό υποσύνολο M του R 2 τέτοιο, ώστε για κάθε p M, να υπάρχει ανοιχτός δίσκος V του R 2, με κέντρο p, και ένας ομοιομορϕισμός ϕ : V M U, όπου U ανοιχτό υποσύνολο του R. Η απεικόνιση ϕ ονομάζεται τοπικός χάρτης της M (επικεντρωμένος στο p). Παράδειγμα 1. Στο R 2 θεωρούμε την παραβολή M με εξίσωση y = x 2. Η παραβολή αυτή είναι μια μονοδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 2. Για να βεβαιωθούμε για αυτό, θα πρέπει να δείξουμε ότι ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό. Οντως, είναι ένα μη κενό υποσύνολο του R 2, και αν (x 0, y 0 ) ανήκει στην παραβολή αυτή, θεωρούμε τον δίσκο V = {(x, y) R 2 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < 1}. Η απεικόνιση ϕ : V M U R που ορίζεται ως ϕ(x, y) = x, είναι ένας ομοιομορϕισμός, με αντίστροϕο τον ϕ 1 : U V M, ϕ 1 (x) = (x, x 2 ). Τα σύνολα V M του προηγούμενου παραδείγματος καλύπτουν προϕανώς όλη την Μ, ονομάζονται ανοιχτά σύνολα αυτής (ως προς την επαγόμενη από το R 2 τοπολογία), και είναι άπειρα το πλήθος. Θα θέλαμε να είμαστε σε θέση να επιλέξουμε πεπερασμένο πλήθος από τέτοια σύνολα, που και πάλι να καλύπτουν την M, προκειμένου να μην χρειάζεται να δουλεύουμε με άπειρους το πλήθος χάρτες, αλλά αυτό δεν είναι πάντοτε δυνατόν. Ορισμός 4. Εστω M μία μονοδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 2, και {V a, a A}, μια οικογένεια ανοιχτών δίσκων του R 2 τέτοια, ώστε a (V a M) = M. Η M ονομάζεται συμπαγής υποπολλαπλότητα, εάν από κάθε τέτοια οικογένεια ανοιχτών δίσκων, μπορούμε να διαλέξουμε ένα πεπερασμένο πλήθος δίσκων {V b, b {1, 2,.., n}, n N}, ώστε και πάλι να είναι a (V a M) = M. Παράδειγμα 2. Η παραβολή του προηγούμενου παραδείγματος δεν είναι συμπαγής υποπολλαπλότητα του επιπέδου. Πράγματι, από το σύνολο ανοιχτών δίσκων που επιλέξαμε, αν κρατήσουμε μόνο ένα πεπερασμένο το πλήθος τέτοιων δίσκων, δεν μπορούμε να καλύψουμε όλη την παραβολή. Το επόμενο θεώρημα ταξινομεί τις συμπαγείς, μονοδιάστατες τοπολογικές υποπολλαπλότητες του επιπέδου. Θεώρημα 1. (Ταξινόμηση απλών και κλειστών καμπυλών του επιπέδου) Εστω M μονοδιάστατη, συμπαγής, τοπολογική υποπολλαπλότητα του επιπέδου. Τότε η M είναι ομοιόμορϕη του κύκλου. Απόδειξη. Εστω M μονοδιάστατη, συμπαγής, τοπολογική υποπολλαπλότητα του επιπέδου. Θεωρούμε ένα σύνολο χαρτών της, ϕ a : V a M U a R, το οποίο σύνολο μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι πεπερασμένο, ότι δηλαδή a {1,.., n}, n N, αϕού η M είναι συμπαγής. Ονομάζουμε T 1 = cl(ϕ 1 1 (U 1 )), T 2 = cl(ϕ 1 2 (U 2 ) \ ϕ 1 1 (U 1 )), και συνεχίζοντας κατά τον τρόπο αυτόν, T n = cl(ϕ 1 n (U n ) \ i=1,..,n 1 ϕ 1 i (U i )), όπου έχουμε συμβολίσει ως cl(b) την κλειστή θήκη του συνόλου B. Κάθε T i, i = 1,.., n, είναι ένα κλειστό υποσύνολο της M, και η ένωσή τους ισούται με την M. Δύο τέτοια σύνολα, T i, T j, i j, εάν τέμνονται, τέμνονται μόνο σε κάποιο σημείο του συνόρου τους (γιατί;), ενώ σε κάθε σημείο τομής μόνο δύο διαϕορετικά τέτοια

Stavros Anastassiou 7 σύνολα μπορούν να ενώνονται (αλλιώς θα παραβιαζόταν κάποια απαίτηση του ορισμού της μονοδιάστατης υποπολλαπλότητας). Επιλέγουμε στην τύχη ένα τέτοιο T i, ονομάζουμε το ένα από τα δύο άκρα του συνόρου του 0, και κάθε σημείο του με τον αριθμό του μήκους που απέχει από το μηδέν. Φτάνουμε έτσι στο άλλο σημείο του συνόρου του. Εάν το σημείο αυτό είναι κοινό σημείο με κάποιο από τα σημεία του συνόρου ενός άλλου T j, i j, ονομάζουμε το κοινό αυτό σημείο με τον ίδιο αριθμό (την κοινή απόστασή τους από το μηδέν δηλαδή), και συνεχίζουμε να ονομάζουμε τα σημεία του T j με τον ίδιο τρόπο, ώσπου να ϕτάσουμε στο άλλο σημείο του συνόρου του. Ισχυριζόμαστε ότι και το άκρο αυτό είναι κοινό με το άκρο ενός άλλου συνόλου T k, k i, j, και ότι συνεχίζοντας κατά τον τρόπο αυτόν, και εξαντλώντας τα (πεπερασμένα το πλήθος) σύνολα T l, θα καταλήξουμε στο τελευταίο τέτοιο σύνολο, το τελευταίο άκρο του οποίου θα ταυτίζεται με το άκρο 0. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι κάποιο από τα άκρα ανήκει μόνο σε ένα κλειστό σύνολο T j. Τότε, το σημείο αυτό δεν διαθέτει ανοιχτό δίσκο V του R 2 ώστε να υπάρχει ομοιομορϕισμός ϕ : V M U R (γιατί;). Άρα, κάθε άκρο ενός διαστήματος V j είναι κοινό με ένα και μοναδικό άκρο μοναδικού άλλου διαστήματος V k, και το τελευταίο άκρο του τελευταίου διαστήματος V l ταυτίζεται με το 0. Με τη βοήθεια της ονομασίας των σημείων των διαστημάτων T i που περιγράψαμε, κάθε σημείο της M έχει ταυτιστεί με μοναδικό σημείο του διαστήματος [0, L], όπου L το μήκος της καμπύλης M, και αντιστοιχεί στο τελευταίο άκρο του διαστήματος V l, το οποίο πρέπει να ταυτιστεί με το 0. Το διάστημα [0, L] είναι ομοιόμορϕο του [0, 2π] (γιατί;) και η απεικόνιση k : [0, 2π] R 2, k(t) = (cost, sint), ορίζει έναν ομοιομορϕισμό από το διάστημα [0, 2π], όπου έχουμε ταυτίσει τα δύο άκρα, στον κύκλο κέντρου (0, 0) και ακτίνας 1 του R 2. Η σύνθεση του ομοιομορϕισμού της αρίθμησης των σημείων της M, αναλογα με την απόστασή τους από το 0, και του k βεβαιώνει ότι οποιαδήποτε συμπαγής και μονοδιάστατη υποπολλαπλότητα του R 2 είναι ομοιόμορϕη του κύκλου. Υπάρχει δηλαδή μόνο μία κλάση ισοδυναμίας μονοδιάστατων και συμπαγών υποπολλαπλοτήτων του επιπέδου, ο κύκλος. Στις επόμενες παραγράϕους θα επιχειρήσουμε να μελετήσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας των επιϕανειών του χώρου R 3. 4. Επιϕάνειες στον χώρο Προχωρούμε τώρα στην περίπτωση των επιϕανειών του χώρου R 3. Οπως και πριν, προκειμένου να απλοποιήσουμε το πρόβλημα που μελετάμε, δεν θα ασχοληθούμε με όλες τις επϕάνειες του R 3, αλλά μόνο με αυτές που ονομάζονται απλές και κλειστές. Ορισμός 5. Μία επιϕάνεια του R 3 ονομάζεται απλή όταν δεν τέμνει τον εαυτό της, ενώ ονομάζεται κλειστή, όταν περικλείει όγκο. Στόχος μας είναι να ταξινομήσουμε τις απλές και κλειστές επιϕάνειες του R 3 με τη βοήθεια των ομοιομορϕισμών. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εγγραϕής μιας επιϕάνειας

Stavros Anastassiou 8 Σχήμα 3. Ποια από τις επιϕάνειες αυτές είναι απλή και κλειστή; σε μία άλλη, και ϕέρνοντας σε αμϕιμονοσήμαντη αντιστοιχία τα σημεία τους, είναι δυνατόν να αποδείξουμε την ισοδυναμία πολλών επιϕανειών μεταξύ τους. Ασκηση 6. Να αποδείξετε ότι ο κύβος είναι ομοιόμορϕος της σϕαίρας και του κανονικού οκταέδρου (υπόδειξη: ανατρέξτε στην παράγραϕο δύο). Παρ όλα αυτά, είναι αρκετά εύκολο να πειστούμε ότι δεν υπάρχει μόνο μία κλάση ισοδυναμίας επιϕανειών. Υπάρχουν δηλαδή τουλάχιστον δύο απλές και κλειστές επιϕάνειες, οι οποίες δεν είναι ομοιόμορϕες, όπως για παράδειγμα, οι επιϕάνειες της σϕαίρας και του τόρου. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό μας αυτόν. Σχήμα 4. Η σϕαίρα και ο τόρος δεν είναι ομοιόμορϕες επιϕάνειες. Πρόταση 2. Η σϕαίρα, S2, και ο τόρος, T2, δεν είναι ομοιόμορϕες επιϕάνειες. Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας ομοιομορϕισμός ανάμεσα στις δύο αυτές επιϕάνειες, ο h : S2 T2. Επιλέγουμε έναν από τους ισημερινούς του τόρου, και τον ονομάζουμε k. Ο ισημερινός αυτός δεν είναι τίποτα άλλο από έναν κύκλο, και η προεικόνα του, h 1 (k) είναι προϕανώς ένας (τοπολογικός) κύκλος που ανήκει στη σϕαίρα. Δεν είναι δύσκολο να αντιληϕθούμε ότι οποιοσδήποτε τοπολογικός κύκλος που ανήκει στη σϕαίρα ϕράσσει ένα εμβαδόν της σϕαίρας. Υπάρχει, με άλλα λόγια, ένας τοπολογικός δίσκος της σϕαίρας, το σύνορο του οποίου ταυτίζεται με το h 1 (k). Θεωρούμε την εικόνα h( ) του τοπολογικού αυτού δίσκου. Καθώς η h είναι ομοιομορϕισμός, η εικόνα αυτή θα πρέπει να είναι ένας τοπολογικός δίσκος του τόρου, που να έχει ως σύνορο την καμπύλη k. Η καμπύλη k όμως δεν ϕράσσει κανένα εμβαδόν του τόρου, συνεπώς ένας τέτοιος ομοιομορϕισμός h δεν δύναται να υπάρχει.

Stavros Anastassiou 9 Παρατήρηση 2. Στην παραπάνω απόδειξη, κρύψαμε κάτω από το χαλί του προϕανούς ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά της σϕαίρας: ότι κάθε κλειστή καμπύλη επί της επιϕάνειας αυτής ϕράσσει εμβαδόν. Καθώς λοιπόν η σϕαίρα δεν είναι ομοιόμορϕη του τόρου, υπάρχουν τουλάχιστον δύο κλάσεις ισοδυναμίας απλών και κλειστών επιϕανειών. Η πρώτη κλάση περιέχει όλες τις επιϕάνειες αυτές που είναι ομοιόμορϕες της σϕαίρας, και η δεύτερη όλες τις επιϕάνειες που είναι ομοιόμορϕες του τόρου. Υπάρχουν και άλλες κλάσεις ισοδυναμίας επιϕανειών; Οπως και στην περίπτωση των καμπυλών, για να απαντήσουμε την ερώτηση αυτή απαιτείται λίγη παραπάνω προσοχή. 5. Τοπολογική ταξινόμηση συμπαγών διδιάστατων πολλαπλοτήτων Γενικεύοντας τον ορισμό της μονοδιάστατης πολλαπλότητας που δόθηκε στην παράγραϕο τρία, προκύπτει ο ορισμός της διδιάστατης επιϕάνειας του R 3, που μας ενδιαϕέρει στην παράγραϕο αυτή. Ορισμός 6. Μία διδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 3 είναι ένα μη κενό υποσύνολο M του R 3 τέτοιο, ώστε για κάθε p M, να υπάρχει ανοιχτός δίσκος V, κέντρου p, του R 3 και ένας ομοιομορϕισμός ϕ : V M U, όπου U ανοιχτό υποσύνολο του R 2. Η απεικόνιση ϕ ονομάζεται τοπικός χάρτης της M. Παράδειγμα 3. Στον R 3 θεωρούμε το παραβολοειδές M με εξίσωση z = x 2 + y 2. Η παραβολή αυτή είναι μια διδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 3. Για να βεβαιωθούμε για αυτό, θα πρέπει να δείξουμε ότι ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό. Οντως, είναι ένα μη κενό υποσύνολο του R 3, και αν το σημείο (x 0, y 0, z 0 ) ανήκει στο παραβολοειδές αυτό, θεωρούμε την μπάλα V = {(x, y, z) R 3 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < 1}. Η απεικόνιση ϕ : V M U R 2 που ορίζεται ως ϕ(x, y, z) = (x, y), είναι ένας ομοιομορϕισμός, με αντίστροϕο τον ϕ 1 : U V M, ϕ 1 (x, y) = (x, y, x 2 + y 2 ). Άσκηση 7. Δώστε τον ορισμό της n διάστατης τοπολογικής υποπολλαπλότητας του R n+1, καθώς και ένα παράδειγμα τέτοιας υποπολλαπλότητας. Παρατήρηση 3. Γενικότερα, είναι δυνατόν να ορίσουμε τοπολογικές πολλαπλότητες οποιασδήποτε διάστασης, χωρίς να χρειάζεται να αναϕερόμαστε σε έναν περιβάλλοντα χώρο, όπως κάναμε στους ορισμούς που δώσαμε παραπάνω. Περισσότερες λεπτομέρειες ο ενδιαϕερόμενος αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει στη βιβλιογραϕία. Τα σύνολα V M του προηγούμενου παραδείγματος καλύπτουν προϕανώς όλη την Μ, ονομάζονται ανοιχτά σύνολα αυτής (ως προς την επαγόμενη από τον R 3 τοπολογία), και είναι άπειρα το πλήθος. Και πάλι, θα θέλαμε να είμαστε σε θέση να επιλέξουμε πεπερασμένο πλήθος από τέτοια σύνολα, που να καλύπτουν την M. Ορισμός 7. Εστω M μία διδιάστατη τοπολογική υποπολλαπλότητα του R 3, και {V a, a A}, μια οικογένεια από ανοιχτές μπάλες του R 3 τέτοια, ώστε a (V a M) = M. Η M ονομάζεται συμπαγής υποπολλαπλότητα, εάν από κάθε τέτοια οικογένεια, μπορούμε να

Stavros Anastassiou 10 διαλέξουμε ένα πεπερασμένο πλήθος από μπάλες {V b, b {1, 2,.., n}, n N}, ώστε και πάλι να είναι a (V a M) = M. Παράδειγμα 4. Το παραβολοειδές του προηγούμενου παραδείγματος δεν είναι συμπαγής υποπολλαπλότητα του R 3. Στόχος μας είναι να μετρήσουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας των διδιάστατων και συμπαγών υποπολλαπλοτήτων του R 3. Αυτός ο στόχος επιτυγχάνεται από το επόμενο θεώρημα. Θεώρημα 2. (Ταξινόμηση συμπαγών και προσανατολισμένων επιϕανειών του R 3 ) Υπάρχουν αριθμήσιμες το πλήθος κλάσεις ισοδυναμίας διδιάστατων και συμπαγών υποπολλαπλοτήτων του R 3. Οσοι είναι οι ϕυσικοί αριθμοί λοιπόν, τόσες είναι (τοπολογικώς) και οι συμπαγείς επιϕάνειες. Πώς αποδεικνύεται αυτό όμως; Και πώς διαχωρίζουμε τις κλάσεις ισοδυναμίας αυτές μεταξύ τους; Ισως ο πιο συστηματικός τρόπος για την ταξινόμηση των συμπαγών διδιάστατων πολλαπλοτήτων να είναι η μέθοδος εκείνη που βασίζεται στη συνδυαστική (στα αγγλικά η απόδειξη που στηρίζεται στη μέθοδο αυτή είναι γνωστή ως zip proof ). Η zip proof ξεκινά μελετώντας κανονικά πολύγωνα του επιπέδου, και ταυτίζοντας τις πλευρές τους σύμϕωνα με διαϕορετικές συνταγές. Τα αντικείμενα που προκύπτουν έπειτα από την ταύτιση αυτή ονομάζονται συνδυαστικές επιϕάνειες. Στο επόμενο σχήμα ϕαίνεται, για παράδειγμα, πώς μπορεί να κατασκευαστεί ένας τόρος με τη μέθοδο αυτήν. Σχήμα 5. Κατασκευάζοντας έναν τόρο ταυτίζοντας τις πλευρές ενός τετραγώνου. Άσκηση 8. Κατασκευάστε, σχηματικά, μία σϕαίρα ταυτίζοντας τις πλευρές ενός τετραγώνου. Αποδεικνύεται ότι όλες οι συμπαγείς επιϕάνειες μπορούν να προκύψουν ταυτίζοντας πλευρές πολυγώνων με διαϕορετικές συνταγές. Οπότε, για να μετρήσουμε τις, τοπολογικώς διαϕορετικές, συμπαγείς επιϕάνειες, αρκεί να μετρήσουμε το πλήθος των διαϕορετικών αυτών συνταγών (βλ. [6, 4]). Και ενώ η zip proof είναι ίσως η πιο συστηματική μέθοδος για την ταξινόμηση επιϕανειών, στο κείμενο αυτό επιλέγουμε να ακολουθήσουμε μία άλλη οδό. Την οδό αυτή μάς έδειξε ο μεγάλος μαθηματικός August Ferdinard Möbius, και την επιλέγουμε για δύο κυρίως λόγους. Πρώτον, διότι είναι ίσως πιο εύκολο να γίνει αντιληπτή από τον

Stavros Anastassiou 11 Σχήμα 6. August Ferdinard Möbius, Γερμανός μαθηματικός, 1790-1868. μη ειδικευμένο αναγνώστη, και δεύτερον, διότι αν και αναπτύχθηκε το 1863 (βλ. [1]), είναι τόσο μοντέρνα, ώστε μπορεί κανείς να ανιχνεύσει σε αυτήν ψήγματα θεωριών, όπως η θεωρία Morse και η χειρουργική πολλαπλοτήτων (αγγλιστί surgery, βλ. [3]), οι οποίες θεωρούνται διαμάντια των σύγχρονων μαθηματικών. Δεν θα περίμενε βέβαια κανείς τίποτα λιγότερο από τον Möbius, που έμαθε μαθηματικά στο Göttingen, υπό την καθοδήγηση των Johann Friedrich Pfaff (1765-1825) και Carl Friedrich Gauss (1777-1885). Η ιδέα του Möbius ήταν να χρησιμοποιήσει σαν λεπίδες ορισμένα από τα επίπεδα z = c R του R 3, προκειμένου να κόψει την επιϕάνεια που τον ενδιαϕέρει σε απλούστερες επιϕάνειες. Στο σχήμα 7, για παράδειγμα, απεικονίζεται το πώς ο Möbius έκοβε τον τόρο, Σχήμα 7. Τεμαχίζοντας τον τόρο (σχέδιο του Möbius). χρησιμοποιώντας οριζόντια επίπεδα ως λεπίδες. Κατέληγε έτσι, ξεκινώντας από το Α της

Stavros Anastassiou 12 κορυϕής του τόρου, στο καπελάκι με κορυϕή το Α και σύνορο το α, στο παντελονάκι, με σύνορο την μέση α και τα παντζάκια b και c, το ανάποδο παντελονάκι, με σύνορο τα παντζάκια b και c και τη μέση d, καθώς και το ανάποδο καπελάκι με σύνορο το d που καταλήγει στο B. Το κομβικό αποτέλεσμα του Möbius, το οποίο παραθέτουμε χωρίς απόδειξη, είναι το ακόλουθο. Πρόταση 3. Οποιαδήποτε συμπαγής διδιάστατη επιϕάνεια του R 3 είναι ομοιόμορϕη μιας άλλης επιϕάνειας, η οποία, αν κοπεί από καταλλήλως επιλεγμένα επίπεδα z = c R, αποσυντίθεται σε επιϕάνειες που είτε: έχουν ως σύνορο μια απλή κλειστή καμπύλη (τέτοιες επιϕάνειες είναι ομοιόμορϕες του δίσκου, και θα συμβολίζονται ως E 1 ), έχουν ως σύνορο την ένωση δύο απλών και κλειστών καμπυλών (είναι δηλαδή ομοιόμορϕες του κυλίνδρου και θα συμβολίζονται ως E 2 ) είτε τέλος έχουν ως σύνορο την ένωση τριών απλών και κλειστών καμπυλών, και θα συμβολίζονται ως E 3 (το παντελονάκι που είδαμε πιο πάνω). Για την απόδειξη της πρότασης αυτής ο αναγνώστης παραπέμπεται στο [1]. Η πρόταση E 1 E 2 E 3 Σχήμα 8. Τα κατά Möbius θεμελιώδη συστατικά μιας συμπαγούς επιϕάνειας. αυτή μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε όλες τις συμπαγείς επιϕάνειες. Πράγματι, έστω M μια τέτοια επιϕάνεια. Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση, μπορούμε να κόψουμε την επιϕάνεια αυτή σε κομμάτια E n1, E n2,.., E nk, όπου k N και n 1,.., n k {1, 2, 3}. Για να επανακατασκευάσουμε την M από τα κομμάτια αυτά, αρκεί να τα κολλήσουμε μεταξύ τους. Μία καμπύλη του συνόρου της E n1 ενώνεται με μία καμπύλη του συνόρου της E n2. Μία καμπύλη του συνόρου της προκύπτουσας επιϕάνειας, την οποία θα συμβολίζουμε εδώ ως E n1 E n2, ενώνεται με μία καμπύλη του συνόρου της E n3, και ούτω καθ εξής. Προκύπτει έτσι η επιϕάνεια: M = E n1 E n2... E nk, η οποία, στη γενική περίπτωση, ενδέχεται να έχει ως σύνορο ένα πλήθος m N απλών και κλειστών καμπυλών. Απλώς, πρέπει απαραιτήτως ο m να είναι άρτιος, να είναι δηλαδή m = 2g, για κάποιον ϕυσικό αριθμό g.

Stavros Anastassiou 13 Πράγματι, η επιϕάνεια M δεν έχει σύνορο (κάτι τέτοιο θα αντίκειτο στον ορισμό της τοπολογικής επιϕάνειας που δόθηκε), οπότε, εάν έπειτα από τις πρώτες συγκολλήσεις που οδήγησαν στην επιϕάνεια M υπάρχει σύνορο, τότε αναγκαστικά αυτό θα αποτελείται από άρτιο το πλήθος καμπύλες, προκειμένου οι καμπύλες αυτές να ενωθούν ανά δύο μεταξύ τους, και να προκύψει έτσι μια επιϕάνεια χωρίς σύνορο, ομοιόμορϕη της αρχικής M. Ορισμός 8. Ο ϕυσικός αριθμός g που κατασκευάστηκε προηγουμένως ονομάζεται γένος της επιϕάνειας M. Επειτα ο Möbius έδειξε την επόμενη πρόταση. Πρόταση 4. Το γένος μιας συμπαγούς επιϕάνειας αποτελεί την μοναδική αναλλοίωτη της κλάσης ισοδυναμίας της. δύο δηλαδή συμπαγείς επιϕάνειες είναι ομοιόμορϕες αν, και μόνο αν, έχουν το ίδιο γένος. Αυτή η πρόταση είναι επίσης πολύ σημαντική. Βεβαιώνει ότι αϕού κάποιος κατασκευάσει, με τις πρώτες συγκολλήσεις, την επιϕάνεια M, δεν έχει σημασία το με ποια σειρά θα εκτελέσει τις δεύτερες συγκολλήσεις των εναπομείναντων συνόρων. Οι προκύπτουσες επιϕάνειες θα είναι ομοιόμορϕες, όπως για παράδειγμα, ο πεπλεγμένος τόρος είναι ομοιόμορϕος του κλασικού τόρου. Εχουμε λοιπόν αποδείξει, χρησιμοποιώντας τις Σχήμα 9. Ο πεπλεγμένος τόρος είναι ομοιόμορϕος του μη πεπλεγμένου τόρου που έχουμε ήδη συναντήσει. παραπάνω δύο βασικές προτάσεις, ότι οι κλάσεις ισοδυναμίας συμπαγών επιϕανειών είναι όσοι και οι ϕυσικοί αριθμοί, αϕού διαχωρίζονται από το γένος τους. Για να κατασκευάσουμε τον αντιπρόσωπο κάθε τέτοιας κλάσης ισοδυναμίας, αρκεί να κολλήσουμε μεταξύ τους, με τον τρόπο που περιγράϕηκε, τα δομικά συστατικά E 1, E 2, E 3. Η πρώτη κλάση ισοδυναμίας είναι αυτή που αντιστοιχεί σε γένος g = 0. Επειτα δηλαδή από τις πρώτες συγκολλήσεις, πρέπει να προκύψει μια επιϕάνεια χωρίς σύνορο. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν κολλήσουμε μεταξύ τους δύο κομμάτια τύπου E 1. Η επιϕάνεια E 1 E 1 που προκύπτει, είναι προϕανώς ομοιόμορϕη της σϕαίρας. Επειτα, πρέπει να δημιουργήσουμε μια επιϕάνεια γένους ένα. Επειτα δηλαδή από τις πρώτες συγκολλήσεις, πρέπει να προκύψει μια επιϕάνεια με δύο κλειστές καμπύλες ως σύνορο. Κάτι τέτοιο είναι βέβαια ο κύλινδρος E 2, του όποίου, όπως έχουμε δει, αν

Stavros Anastassiou 14 Σχήμα 10. Συμπαγείς επιϕάνειες γένους 0, 1, 2 και 3. ταυτίσουμε τις συνοριακές καμπύλες, προκύπτει ο τόρος, ο οποίος είναι ο αντιπρόσωπος της κλάσης ισοδυναμίας επιϕανειών γένους 1. Επειτα, πρέπει να κατασκευάσουμε μια επιϕάνεια με γένος δύο. Επειτα από τις πρώτες συγκολλήσεις δηλαδή, πρέπει να προκύψει μια επιϕάνεια M, η οποία να έχει τέσσερεις καμπύλες ως σύνορο. Μια τέτοια επιϕάνεια είναι η M = E 3 E 3. Ενώνοντας τις εναπομείνασες συνοριακές καμπύλες μεταξύ τους, προκύπτει η μοναδική (δια μέσου ομοιομορϕισμών) επιϕάνεια γένους δύο: ο διπλός τόρος. Συνεχίζοντας έτσι, προκύπτουν όλες οι κλάσεις ισοδυναμίας συμπαγών επιϕανειών. Άσκηση 9. Να γραϕούν οι επιϕάνειες γένους τρία και τέσσερα ως συγκολλήσεις των θεμελιωδών κομματιών E 1, E 2 και E 3, και έπειτα να παρασταθούν γραϕικώς. 6. Περιήγηση στις περισσότερες διαστάσεις Προϕανώς, το πρόβλημα της ταξινόμησης πολλαπλοτήτων περιπλέκεται στις περισσότερες διαστάσεις. Για τον λόγο αυτόν, δεν θα τολμήσουμε εδώ παρά μια σύντομη περιγραϕή των πιο διάσημων αποτελεσμάτων. 6.1. Πολλαπλότητες διάστασης 3 Κάθε ϕυσικός αριθμός μπορεί να γραϕεί ως το γινόμενο πρώτων αριθμών, κατά τρόπο μοναδικό (όπου δύο τρόποι γραϕής θεωρούνται ισοδύναμοι, αν το μόνο που αλλάζει είναι η σειρά των πρώτων παραγόντων). Κατ αναλογίαν, κάθε πολλαπλότητα διάστασης τρία μπορεί να γραϕεί ως το συνεκτικό άθροισμα πρώτων πολλαπλοτήτων, και μάλιστα, κατά τρόπο μοναδικό (όπου ένας τρόπος γραϕής θεωρείται ισοδύναμος ενός άλλο, αν διαϕέρουν μόνο στη σειρά των πρώτων παραγόντων). Ο, αμερικανός μαθηματικός, William Thurston διατύπωσε, στις αρχές τις δεκαετίας του 1980, την εικασία ότι αυτοί οι πρώτοι παράγοντες μιας πολλαπλότητας είναι δυνατόν να κοπούν (υπό μία έννοια αντίστοιχη αυτής της χειρουργικής του Möbius που είδαμε πιο πριν) σε βασικά κομμάτια, τα οποία βασικά κομμάτια μπορούν να εϕοδιαστούν μόνο με μία από τις ακόλουθες διαϕορετικές γεωμετρίες.

Stavros Anastassiou 15 Σχήμα 11. William Paul Thurston, 1946-2012. Αμερικανός μαθηματικός, τιμήθηκε με το μετάλλιο Fields το 1982. Ασχολήθηκε και με τη θεωρία κόμπων. (i) Η γεωμετρία της σϕαίρας S 3, η οποία έχει καμπυλότητα +1. (ii) Η γεωμετρία του ευκλείδειου χώρου R 3, με καμπυλότητα 0. (iii) Η γεωμετρία του υπερβολικού χώρου H 3, με καμπυλότητα 1. (iv) Η γεωμετρία του χώρου R S 2. (v) Η γεωμετρία του χώρου R H 2. (vi) Η γεωμετρία του χώρου των στοιχείων της μορϕής: ). ( 1 x y 0 1 z 0 0 1 (vii) Η γεωμετρία του χώρου των στοιχείων της μορϕής: ( 1 0 0 ) x e z 0. y 0 e z (viii) Η γεωμετρία του χώρου SL(2, R). Παραπέμπουμε στο βιβλίο [5] για περισσότερες λεπτομέρειες. Ο Thurston τιμήθηκε, το 1982, με το μετάλλιο Fields, εν μέρει διότι κατάϕερε να αποδείξει την εικασία του αυτή για την ειδική εκείνη περίπτωση των πολλαπλοτήτων που ονομάζονται πολλαπλότητες Haken. Η λύση της γενικής περίπτωσης άρχισε να δημοσιεύεται 20 χρόνια μετά, το 2002. Χρειάστηκαν τέσσερα χρόνια μέχρι να διαπιστωθεί η ορθότητα της απόδειξης που έδωσε ο Ρώσος μαθηματικός Grigori Yakovlevich Pelerman, γεννηθείς το 1966. Το 2006 του προσεϕέρθη, για την απόδειξη αυτή, το μετάλλιο Fields, το οποίο όμως αρνήθηκε. 6.2. Διαστάσεις μεγαλύτερες του τρία Ακούγεται ίσως απογοητευτικό, αλλά υπό μία έννοια, το πρόβλημα της ταξινόμησης στις διαστάσεις τις μεγαλύτερες του τρία δεν λύνεται. Φρόντισε να μας πληροϕορήσει για αυτό ο Ρώσος μαθηματικός Andrey Andreyevich Markov (1903-1979), στο όνομα του οποίου ϕροντίζουμε να προσθέτουμε τη λέξη junior, για να τον ξεχωρίζουμε από τον, επίσης διάσημο μαθηματικό, πατέρα του, Andrey Andreyevich Markov Senior (1856-1922). Ο Markov ήταν αυτός που απέδειξε, εν έτει 1958, το ακόλουθο θεώρημα.

Stavros Anastassiou 16 Σχήμα 12. Grigori Yakovlevich Pelerman, 1966-. Ρώσος μαθηματικός, αρνήθηκε το μετάλλιο Fields το 2006. Σχήμα 13. Andrey Andreyevich Markov, 1903-1979, Ρώσος μαθηματικός. Θεώρημα 3. Το πρόβλημα της τοπολογικής ταξινόμησης κλειστών πολλαπλοτήτων διάστασης μεγαλύτερης ή ίσης του 4 είναι αλγοριθμικώς μη επιλύσιμο. Η απόδειξη του αποτελέσματος αυτού μπορεί να βρεθεί στο [2]. Στηρίζεται στο γεγονός ότι το αντίστοιχο πρόβλημα της θεωρίας ομάδων (όπου μια ομάδα μπορεί να θεωρηθεί ως η θεμελιώδης ομάδα ομοτοπίας μιας πολλαπλότητας), είναι επίσης μη επιλύσιμο. 7. Επίλογος Οι σημειώσεις αυτές στοχεύουν στο να δώσουν στον, μη ειδικό, αναγνώστη μια πρώτη γεύση του τι περίπου είναι η τοπολογία, περιγράϕοντας μερικούς από τους σημαντικότερους σταθμούς της. Δεν μπορούν ϕυσικά να προσϕέρουν παρά ένα σκιαγράϕημα για περισσότερες λεπτομέρειες ο αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει στη βιβλιογραϕία που ακολουθεί. Ο γράϕων ελπίζει απλώς το σκιαγράϕημα αυτό να μην είναι πολύ αδρό.

Stavros Anastassiou 17 Βιβλιογραϕία [1] Möbius A F, Theorie der elementaren Verwandtschaft, Berichte Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 15, 18-57, 1863 (http://www.maths.ed.ac.uk/ aar/papers/mobiussurf.pdf). [2] Markov A A, Jr. The insolubility of the problem of homeomorphy (Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR 121, 218 220, 1958. [3] Milnor J, Morse Theory, Princeton University Press, 1969. [4] Hirsch M W, Differential Topology, Springer, 1976. [5] Thurston W P, Three dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press, 1997. [6] Munkress J, Topology, second edition, Prentice Hall, 2000.