Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 10: Βαρύτητα Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Νόμος του Νεύτωνα για τη Βαρύτητα Δύναμη και δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας μεταξύ σημειακής μάζας και εκτεταμένων σωμάτων Δυναμική ενέργεια σώματος κοντά στην επιφάνεια της Γής Ταχύτητα διαφυγής Κίνηση δορυφόρων Νόμοι Keple

Ο Νόμος της Βαρύτητας F m 1 m ˆ Η δύναμη αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας μεταξύ των μαζών m 1, m είναι, όπου =βάρος = συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε σώμα μάζας m από όλα τα άλλα σώματα στο σύμπαν. Κοντά στη γη, οι αλληλεπιδράσεις με όλα τα υπόλοιπα πλην της γης σώματα θεωρούνται αμελητέες, λόγω της μεγάλης απόστασής τους από το σώμα μάζας m mm 1 F G ˆ Αν το m είναι στην επιφάνεια της γης, G 6.67310 Nm / Kg 11 GmM GM B mg με g

Προσδιορισμός του G με τη βοήθεια του ζυγού Cavendish m m 1 F m 1 θ l O θ l θ m 1 m 1 m F Δυο ίσες μάζες m 1 είναι στερεωμένες σε αβαρή ράβδο σχήματος που κρέμεται από λεπτή ίνα χαλαζία. Δυο μεγάλες μάζες m στερεωμένες στα άκρα αβαρούς ράβδου όταν τεθούν κοντά στις m 1 τους ασκούν δύναμη F και τελικά ισορροπούν σε νέα θέση που σχηματίζει γωνία θ με την αρχική. Η ροπή της F ως προς το Ο είναι τ ο =F. l. Η στροφή της ράβδου προκαλεί ροπή επαναφοράς στη λεπτή ίνα χαλαζία k Όταν το σύστημα ισορροπεί Gm1m F l k, F

Προσδιορισμός του G με τη βοήθεια του ζυγού Cavendish συνέχεια Η σταθερά k προσδιορίζεται από την περίοδο ml 1 k Gm1m k l k, G m m l 1 Η γωνία θ προσδιορίζεται ως εξής: Αν πέσει φως πάνω σε καθρέπτη στερεωμένο στην ίνα χαλαζία η ανακλώμενη δέσμη προβάλλεται πάνω στην κλίμακα σαν κηλίδα και καθώς στρέφεται η ράβδος η κηλίδα μετακινείται στην κλίμακα κατά γωνία θ

Παράδειγμα 1 Υπολογισμός δύναμης και δυναμικής ενέργειας λόγω αλληλεπίδρασης βαρύτητας μεταξύ ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους L και σημειακής μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση α από το άκρο της ράβδου M Λύση L dm GmdM dm df, x dx M Gmdx df L x x α df m Ο Η δύναμη αλληλεπίδρασης F λόγω βαρύτητας θεωρείται η συνισταμένη των δυνάμεων αλληλεπίδρασης df μεταξύ της m και των στοιχειωδών μαζών dm από τις οποίες αποτελείται η ράβδος.

Παράδειγμα 1 συνέχεια 1 L L L 1 Gmdx x x x x 1 F df Gm d Gm 1 1 GmL GmM Gm L L L GmM GmM L 0 F ή L F Δηλαδή η ράβδος δρα σαν σημειακή μάζα Μ σε απόσταση α από την m.

Παράδειγμα 1 συνέχεια Η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας U, μεταξύ της m και της ράβδου θεωρείται σαν το άθροισμα των στοιχειωδών δυναμικών ενεργειών λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ της m και των στοιχειωδών μαζών dm από τις οποίες αποτελείται η ράβδος GmdM Gmdx U du, du x x L L Gmdx dx M L M L U Gm ln ln 1 x Gm Gm x L L L L 1 L L Αλλά ln 1 L L και όταν 1, ln 1 a M L GmM U GmM L Δηλαδή η ράβδος δρα σαν σημειακή μάζα Μ σε απόσταση α από την m.

Παράδειγμα Σημειακή μάζα m απέχει από το άκρο ράβδου μήκους α και μάζας Μ απόσταση α. Η γραμμική πυκνότητα της ράβδου μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση μ=ax, όπου Α θετική σταθερά. α) Να υπολογιστεί η σταθερά Α. β) Να υπολογιστεί η δύναμη της βαρύτητας που ασκεί η ράβδος στη σημειακή μάζα m. γ) Να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας. M α dm dm ) dm dx= Axdx dm A xdx dx 1 M A 3 4A A 4 x α df m 3 x

Παράδειγμα συνέχεια x x x x ) GmdM Gm df d GmA d GmA d x x x x 3 dx 3 M F df GmA GmAln Gm ln3 x 4 GmdM Gmdx GmAxdx ) du GmAdx x x x 3 M GmM U du GmAdx Gm 4

dm dm Δύναμη και Δυναμική Ενέργεια Παράδειγμα 3 Να αποδειχτεί ότι η δύναμη βαρύτητας που ασκείται σε σημειακή μάζα m από μια ομογενή λεπτή ράβδο απείρου μήκους και γραμμικής πυκνότητας μ, όταν η m απέχει καθετη απόσταση από τη ράβδο, είναι G mm y Μεταξύ dm και m ασκείται 1 G df mdm ˆ df 1 ˆ Μεταξύ της συμμετρικής της dm και της Ο θ df 1y m GmdM m ασκείται df ˆ. Οι και df df 1y y θ x df df y ˆ αλληλοαναιρούνται και GmdM dx F df1x df1cos cos Gm cos x tan x tan dx d(tan ) d, cos cos cos d cos Gm Gm Gm F Gm cos cos d sin cos

Παράδειγμα 4 α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ένα ομογενές ημικυκλικό σύρμα μάζας M και ακτίνας σε σημειακή μάζα m που βρίσκεται στο κέντρο του ημικυκλικού σύρματος. β) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ομογενής κυκλική πλάκα μάζας M, εσωτερικής ακτίνας a και εξωτερικής b σε σημειακή μάζα m που είναι τοποθετημένη στο κέντρο του ημικυκλίου, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) y α) dm M M GmdM dm F, ds d, df ˆ dm df ds s df GmdM θ Για την αντισυμμετρική της dm, df ˆ m x dθ ˆ Οι οριζόντιες συνιστώσες των df και df ˆ αλληλοαναιρούνται και επομένως GmdM Gm F df y df sin sin dssin Gm sin sin cos d Gm d Gm Gm 0 ds dμ 0 0

Παράδειγμα 4 συνέχεια 1 β) Η ομογενής πλάκα θεωρείται σαν επαλληλία λεπτών ημικυκλικών συρμάτων μάζας dm και πλάτους d y GmdM F df Αλλά a df b m d x dm M, dm ds d ds 1 1 b a Gm ds Gm d d b F Gm Gmln a a M b 4GmM b Gm ln ln 1 1 b a a b a a b

Παράδειγμα 5 Δακτύλιος έχει ακτίνα α και μάζα Μ. Να υπολογιστεί α) η δύναμη και β) η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ του δακτυλίου και της σημειακής μάζας m που βρίσκεται πάνω στον άξονα του στο σημείο P που απέχει απόσταση x από το κέντρο του Ο. α) Ο δακτύλιος θεωρείται ότι αποτελείται από στοιχειώδεις μάζες dm y GmdM dm df ˆ df ˆ Για όλες τις df τα είναι ίδια αλλά Ο φ φ η διεύθυνση της df αλλάζει. Για τη x α Ρ ˆ συμμετρική της dm ως προς το O, dm x df df df x df x df φ φ y df y df y x GmdM df ˆ Σε ανάλυση των df και df στους άξονες x και y τα df y και df y αλληλοαναιρούνται.

Παράδειγμα 5 συνέχεια Επομένως F df x dfcos αλλά cos x x GmdM x Gmx GmxM GmMx F df dm 3 3 x df Αν η m βρίσκεται στο κέντρο Ο, x=0 και F=0 όπως GmM αναμένεται. Αν x α F=x, δηλαδή ο δακτύλιος Ο m συμπεριφέρεται σαν σημειακή μάζα Μ στο κέντρο Ο df 3 β) Δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ της m και του δακτυλίου GmdM GmdM Gm GmM GmM du, U du dm x GmM GmM x=0, U=. x α U= x δηλαδή ο δακτύλιος συμπεριφέρεται σαν σημειακή μάζα Μ στο κέντρο Ο.

Παράδειγμα 6 Να υπολογιστεί η δύναμη και η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ ομογενούς δίσκου μάζας M και ακτίνας α και σημειακής μάζας m που βρίσκεται στον άξονα του δίσκου και σε απόσταση x από το κέντρο του O α) Θεωρούμε το δίσκο να φτιάχνεται από ομόκεντρους ομογενείς δακτυλίους μάζας dm. Σύμφωνα με τα προηγούμενα η δύναμη αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας df μεταξύ του δακτυλίου και της m είναι GmdM df x x 3/ Ο δίσκος έχει σημαντικές δύο διαστάσεις P m dm M df ds a M α O x d Αλλά ds είναι το εμβαδόν δακτυλίου πλάτους d, Gm ds Gm d df x x 3/ 3/ x x ds d

Θέτουμε Παράδειγμα 6 συνέχεια 1 F df Gm x d x 3/ ω x, ωdω d Επειδή το παίρνει τιμές μεταξύ 0 και α, το παίρνει τιμές μεταξύ x και x a x a x dω F Gmx ω Gmx d 3/ x ω x 1 a x F Gmx Gmx 1 x a 1 x 1 x x GmM x GmM x Gm 1 1 1 a x a x a x

Παράδειγμα 6 συνέχεια β) Δυναμική ενέργεια GmdM GmσdS Gmσπd U du, du x x x Gmσπd U du Gmσπ x d x Με ω x, ω x, ωdω d dω M U Gmσπ ω Gmσπ a x x Gm π a x x ω πa GmM a a x x a x x

Παράδειγμα 7 Να υπολογιστεί α) η δυναμική ενέργεια και β) η δύναμη αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας μεταξύ σφαιρικού φλοιού μάζας Μ και ακτίνας και σημειακής μάζας m που απέχει απόσταση από το κέντρο του α) i) Έστω. Αποδεικνύεται ότι η στοιχειώδης δυναμική ενέργεια du μεταξύ μιας στοιχειώδους μάζας dμ του σφαιρικού φλοιού και GmdM της σημειακής μάζας m είναι du d. Το 1 παίρνει τιμές 1 μεταξύ (σημείο Γ) και + (σημείο Δ) m GmM GmM U du d1 dm Μ 1 Δ Γ Ο Δηλαδή ο σφαιρικός φλοιός συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο του Ο. Αν η m είναι στην επιφάνεια του σφαιρικού φλοιού U GmM

ii) Αν Δύναμη και Δυναμική Ενέργεια Παράδειγμα 7 συνέχεια 1 GmM, du d1 - (σημείο Γ) και + (σημείο Δ) και το 1 παίρνει τιμές μεταξύ dm Μ Γ m Ο Δ GmM GmM U du d1. Δηλαδή, οπουδήποτε κι αν βρίσκεται στο εσωτερικό του σφαιρικού φλοιού η σημειακή μάζα m, U=σταθερό

Παράδειγμα 7 συνέχεια β) Δύναμη αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας F du d du d GmM GmM F d d du d GmM F 0 d d F() U() 0 GmM GmM 0 GmM GmM

Παράδειγμα 8 Να υπολογιστεί η δύναμη και η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης λόγω βαρύτητας μεταξύ ομογενούς σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας και σημειακής μάζας m που απέχει απόσταση από το κέντρο της σφαίρας. Η σφαίρα θεωρείται σαν επαλληλία ομόκεντρων σφαιρικών φλοιών. Έστω ένας από αυτούς που έχει ακτίνα ρ, πάχος dρ και μάζα dm. i) Αν η μάζα m είναι εκτός σφαίρας ( ) ο τυχαίος αυτός φλοιός συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο Ο, επομένως GmdM GmdM du df dm Μ ρ Ο dρ m Gm GmM U du dm Gm GmM F df dm

Παράδειγμα 8 συνέχεια 1 Δηλαδή η σφαίρα συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα της να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο Ο. ii) Αν <, δηλαδή η σημειακή μάζα m είναι στο εσωτερικό της σφαίρας, οι φλοιοί που έχουν ρ < θα ασκούν δύναμη στη μάζα m, ενώ για εκείνους που έχουν ρ > δηλαδή η m βρίσκεται στο εσωτερικό τους η δύναμη είναι μηδενική. Επομένως ρ Ο m ρ Ο m Μ m M Gm GmM F df dm 0 Αν d είναι η πυκνότητα της σφαίρας 3 M M 4 4 d M dv M dv 3 V V 3 3 3 GmM Gm GmM F Δηλαδή η F είναι ανάλογη του 3 3

Παράδειγμα 8 συνέχεια Για τον υπολογισμό της U() δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την U GmM γιατί αυτή έχει προκύψει με τη συμφωνία ότι για GmM, U 0 F 0 που δεν ικανοποιείται από την F 3 du GmM F du Fd d 3 d GmM B GmM U B U A d A B 3 3 A

Παράδειγμα 8 συνέχεια 3 GmM Με δεδομένο ότι U, επιλέγουμε B A οπότε U(B)=U() GmM GmM U 3 GmM GmM 3GmM GmM U ( ή) 3 3 Για (κέντρο της σφαίρας) 0 3 GnM 0 U F() 0 GmM GmM U() 0 GmM 3GmM GmM

Παράδειγμα 9 Ομογενής συμπαγής κύλινδρος έχει μάζα Μ, ακτίνα α και ύψος Η. Σημειακή μάζα m βρίσκεται στο γεωμετρικό του άξονα σε απόσταση D από το άκρο του, όπως στο σχήμα. Να υπολογιστεί η δύναμη λόγω βαρύτητας που ασκεί ο κύλινδρος στη μάζα m. Θεωρείστε γνωστή τη δύναμη που ασκεί δίσκος μάζας M και ακτίνας σε σημειακή μάζα m που βρίσκεται πάνω στον άξονά τον κάθετο στο επίπεδο του δίσκου που περνά από το κέντρο του και σε απόσταση x από αυτόν GmM F 1 x x

Παράδειγμα 9 συνέχεια 1 Ο κύλινδρος θεωρείται επαλληλία δίσκων μάζας dμ. m D α x dμ dx H GmdM x df 1 a a x dm M M dm dv a d dv V a H Gma dx x df 1 a a x x το x παίρνει τιμές μεταξύ x=d και x=d+h D H x F df Gm 1 dx D a x DH DH xdx F Gm dx D D a x

Παράδειγμα 9 συνέχεια Με και x a y xdx ydy, το y παίρνει τιμές μεταξύ D a D H a DH a ydy F Gm H Gm H D H a D a y D a M F Gm H D H a D a GmM H D H a D a H

Παράδειγμα 10 Δίνεται ομογενές, συμπαγές ημισφαίριο μάζας Μ και ακτίνας α και σημειακή μάζα m που απέχει απόσταση α από το κέντρο Ο. Η m βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το κέντρο και είναι κάθετος στη βάση του. Το ημισφαίριο θεωρείται επαλληλία δίσκων μάζας dm, οπότε z dm α α M Ο df dz α z α GmdM z df 1 z z a a z a az a m z az

Παράδειγμα 10 συνέχεια GmdM z Οπότε df 1 az M M 3M dm dv dz, 3 V 3 a a 3 Gm dz z z df 1 Gm 1 dz az az F df Gm dz z dz a a 1 1/ GmM 1 a a a a

Δυναμικής ενέργειας σώματος μάζας m που βρίσκεται σε ύψος y Πως προκύπτει η γνωστή έκφραση U=mgy της δυναμικής ενέργειας σώματος μάζας m που βρίσκεται σε ύψος y πάνω από την επιφάνεια της γής, όταν y<< Γ ; Gm Από την 1m Gm1m UB UA για την περίπτωση αυτή προκύπτει B A B m GmM GmM UB UA y y GM A g gm gm gm UB UA mg Γ y y 1 M Γ 1 y mg1 mg

Δυναμικής ενέργειας σώματος μάζας m που βρίσκεται σε ύψος y συνέχεια Με τη βοήθεια της ταυτότητας του Νεύτωνα n 3 b b nn 1 b nn 1n b 1 x 1 n x x x a a! a 3! a με n=-1, b=1, α= Γ και x=y 1 y y 1 y y y 1 1 1 1! Επειδή y Άρα y y και κατά προσέγγιση y UB UA mg1 mg mgy 1 y 1 y 1 και θεωρώντας την δυναμική ενέργεια στην επιφάνεια της Γης μηδενική (U(A)=0) προκύπτει U(B)=mgy

Ταχύτητα διαφυγής Ταχύτητα διαφυγής: η αναγκαία ταχύτητα υ 1 ώστε ένα σώμα μόλις να διαφύγει στο (υ =0) υ 1 1 K1 U1 K U 0 0 1 m M 1 GmM GM m1 0 1 4 Για τη Γή: 1 1.110 m/ s

Κίνηση δορυφόρων Αν ένα σωματίδιο διαγράφει κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη, η δύναμη λόγω βαρύτητας που του ασκείται δρα σαν κεντρομόλος υ GmM GM F m m Η ταχύτητά του είναι ανεξάρτητη της μάζας του, εξαρτάται F όμως από την. Για δεδομένο η ταχύτητά του για να κάνει M Γ Γ κυκλική τροχιά πρέπει να έχει συγκεκριμένη τιμή m m 0 Όλες οι ελλειπτικές τροχιές αποδεικνύεται ότι είναι δέσμιες τροχιές, έχουν Ε ολ < 0, δηλαδή η κινητική ενέργεια δεν είναι αρκετά μεγάλη σε κανένα σημείο της τροχιάς του σώματος ώστε να μπορέσει αυτό να διαφύγει. Αν Ε ολ > 0 δηλαδή αν 1 mυ 1 GmM Γ κάποια ταχύτητα και η τροχιά είναι υπερβολική > 0 το σώμα διαφεύγει στο με GM Αν Ε ολ = 0 το σώμα μόλις διαφεύγει στο και η τροχιά είναι παραβολική 1 Gm 1 GM Gm 1 GmM

Κίνηση δορυφόρων Παράδειγμα Δορυφόρος εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης οριζόντια με ταχύτητα υ 1 =10Km/s και διαγράφει ελλειπτική τροχιά. Θεωρείστε αμελητέα την αντίσταση του αέρα. A. Εφαρμόζοντας τους νόμους διατήρησης της στροφορμής και της μηχανικής ενέργειας βρείτε τη μέγιστη απόσταση του δορυφόρου από την επιφάνεια της Γης. B. Αν ο δορυφόρος εκτοξευτεί κατακόρυφα προς τα πάνω με την ίδια ταχύτητα, ποιο το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει; C. Σχολιάστε τη διαφορά των αποτελεσμάτων (Α) και (Β). Δίνονται: 5.9810 Kg, 6.3710 m, G 6.710 Nm Kg 4 6 11

υ 1 Α Κίνηση δορυφόρων Παράδειγμα συνέχεια 1 A. Διατήρηση στροφορμής ως προς Ο μεταξύ Α και Β 1 m1 m 1 Ο M Γ Γ Διατήρηση ενέργειας μεταξύ Α και Β 1 Gm 1 Gm m1 m Από τις (1) και () προκύπτει G B 1 υ 1 Επομένως η μέγιστη απόσταση από την επιφάνεια της Γης είναι 7 h.93 1.8710 m G 1 1

Κίνηση δορυφόρων Παράδειγμα συνέχεια B. Όταν εκτοξευτεί κατακόρυφα με την ίδια ταχύτητα στο μέγιστο ύψος h η ταχύτητά του υ =0. Από την () τότε 1 1 1 7 υ =0 1 GM h 3.93.510 m h h υ1 C. Στην πρώτη περίπτωση K U E 1 1 1 3 Στην δεύτερη περίπτωση 0 K U E 1 4 Από τις (3) και (4) K1 U1 U K1 U U1 0 GmM GmM K h h 1 0 h h

Νόμοι Keple 1 1 ος. Κάθε πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά με τον Ήλιο σε μια από τις εστίες της έλλειψης. πλανήτης Ήλιος ος. α) Οι τροχιές των πλανητών είναι επίπεδες και β) η εμβαδική ταχύτητα παραμένει σταθερή. α) Δύναμη βαρύτητας μεταξύ Ήλιου και L πλανήτη: κεντρική, επομένως L O Ήλιος F πλανήτης dlo o F 0, o 0, L o. dt L m, L ί ί. o o ά ί ί, L ά έ ί L, ά L. o o o

Νόμοι Keple β) Εμβαδική ταχύτητα είναι ο ρυθμός σάρωσης της επιφάνειας της τροχιάς. Εμβαδική ταχύτητα σταθερή σημαίνει ότι αν τα εμβαδά Α, Β, C κατά την κίνηση του πλανήτη σαρώνονται στον ίδιο χρόνο τότε είναι ίσα. C Ήλιος Β πλανήτης Α Ήλιος 1 1 da h (dsin ) ά d dsin da d h (t+dt) d (t) πλανήτης 1 da 1 d 1 1 1 da d, m L O. dt dt m m φ d

Νόμοι Keple 3 3 oς. Τα τετράγωνα των περιόδων των πλανητών είναι ανάλογα προς του κύβους των μεγάλων ημιαξόνων (α) των τροχιών τους. πλανήτης Ήλιος Μ H υ α πλανήτης Ακολουθεί η απόδειξη για την ειδική περίπτωση των κυκλικών τροχιών 4, T T GmM m GM, ό 4 4 3 T GM GM

Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-esnick-Kane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Seway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" obet M. Eisbeg, Lawence S. Lene, combined volume, McGaw-Hill, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Bekeley

Σημείωμα Αναφοράς Copyight Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 10». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatas.g/couses/phy1901/

Τέλος Ενότητας