Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις

Κ15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 2 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Αρχές Ιεραρχικές τάξεις Στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης οι αριθμητικές ποσότητες οργανώνονται σε τάξεις με βάση τον αριθμό 2: δύο μονάδες απαρτίζουν μια δυάδα (ζεύγος), δύο δυάδες μια τετράδα, δύο τετράδες μιαν οκτάδα, κοκ Αριθμητικά σύμβολα Το πλήθος των συμβόλων τα οποία απαιτούνται για την αναπαράσταση ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι δύο: τα ψηφία 0 και 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 3 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Στη γενική περίπτωση, η αναπαράσταση ενός δυαδικού αριθμού X (2) = b n b n 1 b 2 b 1 b 0 στη δεκαδική του μορφή μπορεί να προκύψει από την ακόλουθη σχέση: X (10) = n b i 2 i i=0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 4 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη σχέση, γίνεται κατανοητό πως η βαρύτητα κάθε ψηφίου αυξάνει όσο αυξάνει η τάξη στην οποία αυτό αντιστοιχεί Επομένως, τα ψηφία ενός αριθμού θα γίνονται περισσότερο σημαντικά όσο η θέση τους είναι πιο απομακρυσμένη από το δεξιότερο ψηφίο του αριθμού Για τον ίδιο λόγο, το δεξιότερο ψηφίο ενός δυαδικού αριθμού ονομάζεται λιγότερο σημαντικό ψηφίο (least significant bit LSB), ενώ το αριστερότερο χαρακτηρίζεται ως το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (most significant bit MSB) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 5 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Παράδειγμα Έστω ο δυαδικός αριθμός Χ=10110101 Θα μεταγράψουμε τον αριθμό Χ στο δεκαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 6 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Λύση 7 X (10) = b i 2 i = 1 2 7 +0 2 6 +1 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +1 2 2 +0 2 1 +1 2 0 = i=0 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 181 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 7 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ερώτηση Έστω ο δυαδικός αριθμός 1010010 Ποια η τιμή του περισσότερο σημαντικού ψηφίου (MSB) και ποια η τιμή του λιγότερο σημαντικού (LSB); Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 8 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Άσκηση Δίνονται οι δυαδικοί αριθμοί 011010 και 101011 Να μεταγραφούν στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 9 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Άσκηση Δίνονται οι δυαδικοί αριθμοί Α=11101001001 και Β=11101011001 Να συγκρίνετε τους δύο αριθμούς, χωρίς να τους μετατρέψετε στο δεκαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 10 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης Η διαδικασία μετατροπής ενός αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης έγκειται στην ανακατανομή της αξίας του αριθμού στις ιεραρχικές τάξεις του δυαδικού συστήματος Κάτι τέτοιο μπορεί να επιτευχθεί μέσω διαδοχικών διαιρέσεων με τον αριθμό 2 (τη βάση του δυαδικού συστήματος) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 11 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Παράδειγμα Έστω ο δεκαδικός αριθμός Χ = 2014 Θα αναπαραστήσουμε τον αριθμό Χ στο δυαδικό σύστημα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 12 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Λύση 2014 2 0 1007 2 1 503 2 1 251 2 1 125 2 1 62 2 0 31 2 1 15 2 2014 (10) = 11111011110 (2) 1 7 2 1 3 2 1 1 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 13 / 72 1 0

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης Μια ισοδύναμη μέθοδος μετατροπής ενός αριθμού από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί διαδοχικές αφαιρέσεις δυνάμεων του 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 14 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Παράδειγμα Έστω ο δεκαδικός αριθμός Χ = 2014 Θα αναπαραστήσουμε τον αριθμό Χ στο δυαδικό σύστημα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των διαδοχικών αφαιρέσεων δυνάμεων του 2 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 15 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Μετατροπή αριθμών από το δυαδικό στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Λύση i 2 i Α 11 10 9 8 7 6 5 2 11 =2048 2 10 =1024 2 9 =512 2 8 =256 2 7 =128 2 6 =64 2 5 =32 2014 1024 1 990 512 1 478 256 1 222 128 1 94 64 1 30 0 4 3 2 1 0 2 4 =16 2 3 =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 =1 16 1 14 8 1 6 4 1 2 2 1 0 0 2014 (10) = 11111011110 (2) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 16 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Ερωτήσεις Ασκήσεις Ερώτηση Πώς μπορούμε να διακρίνουμε αν ένας δυαδικός αριθμός είναι άρτιος ή περιττός; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 17 / 72

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Ερωτήσεις Ασκήσεις Άσκηση Να μεταγράψετε στο δυαδικό σύστημα τους δεκαδικούς αριθμούς 12345 και 5432 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 18 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 19 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Φυσικός τρόπος αναπαράστασης Η αναπαράσταση των δεκαδικών αριθμών στο δυαδικό σύστημα την οποία περιγράψαμε στα προηγούμενα αντιστοιχεί στον αμιγή ή φυσικό τρόπο αναπαράστασης, ο οποίος είναι και ο ευρύτερα διαδεδομένος Παρόλα αυτά, διάφοροι λόγοι τεχνικής φύσης επιβάλλουν σε ειδικές περιπτώσεις εφαρμογών τη χρήση διαφορετικών τρόπων αναπαράστασης των δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Στη συνέχεια θα εξετάσουμε συνοπτικά δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις εναλλακτικών τρόπων αναπαράστασης Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 20 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δυαδικά κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού Στην αναπαράσταση BCD κάθε ψηφίο ενός δεκαδικού αριθμού αναπαρίσταται ως ένας τετραψήφιος δυαδικός αριθμός 1 1 Δεδομένου ότι τα δεκαδικά ψηφία είναι τα 0, 1, 2,, 9, η αναπαράστασή τους απαιτεί τέσσερα δυαδικά ψηφία Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 21 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δυαδικά κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού Παράδειγμα Έστω ο δεκαδικός αριθμός Χ = 2014 Θα αναπαραστήσουμε τον αριθμό Χ με τη βοήθεια δυαδικών ψηφίων, χρησιμοποιώντας κωδικοποίηση BCD Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 22 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δυαδικά κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού Λύση Θα αναπαραστήσουμε κάθε δεκαδικό ψηφίο ξεχωριστά, χρησιμοποιώντας τη φυσική δυαδική αναπαράσταση Έτσι, το ψηφίο 2 θα κωδικοποιηθεί ως 0010, το ψηφίο 0 ως 0000, το ψηφίο 1 ως 0001 και το ψηφίο 4 ως 0100 Τελικά, η BCD αναπαράσταση του αριθμού 2014 θα είναι 0010000000010100 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 23 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δυαδικά κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού Ερώτηση Ποιος είναι ο δεκαδικός αριθμός του οποίου η BCD αναπαράσταση είναι 101010; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 24 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δυαδικά κωδικοποιημένου δεκαδικού αριθμού Άσκηση Να αναπαραστήσετε τους δεκαδικούς αριθμούς 135 και 1010 χρησιμοποιώντας (α) τη δυαδική κωδικοποίηση BCD και (β) τη φυσική δυαδική αναπαράσταση Για τους συγκεκριμένους αριθμούς, συγκρίνετε τους δύο τρόπους αναπαράστασης ως προς τον αριθμό των δυαδικών ψηφίων τα οποία απαιτεί ο καθένας Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 25 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δεκαδικού αριθμού με τον κώδικα Gray Η αρχή στην οποία βασίζεται η κωδικοποίηση Gray είναι πως η δυαδική αναπαράσταση των δεκαδικών αριθμών θα πρέπει να γίνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε οι αναπαραστάσεις δύο διαδοχικών δεκαδικών αριθμών να διαφέρουν μόνο κατά ένα ψηφίο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 26 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Αναπαράσταση δεκαδικού αριθμού με τον κώδικα Gray δεκαδικός δυαδικός Gray 0 0000 0000 1 0001 0001 2 0010 0011 3 0011 0010 4 0100 0110 5 0101 0111 6 0110 0101 7 0111 0100 8 1000 1100 9 1001 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 27 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή φυσικού δυαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμό Gray Η κωδικοποίηση κατά Gray ενός φυσικού δυαδικού αριθμού ακολουθεί την εξής αρχή: Το περισσότερο σημαντικό ψηφίο των δύο αναπαραστάσεων είναι το ίδιο, ενώ για τα υπόλοιπα ψηφία της αναπαράστασης Gray τα μη μηδενικά αντιστοιχούν σε ψηφία της φυσικής αναπαράστασης για τα οποία το αμέσως σημαντικότερο ψηφίο είναι διαφορετικό Για τα μηδενικά ψηφία της αναπαράστασης Gray το αντίστοιχο ψηφίο της φυσικής αναπαράστασης είναι ίσο με το αμέσως σημαντικότερο Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 28 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή φυσικού δυαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμό Gray Παράδειγμα φυσικός δυαδικός: 1 0 0 1 = δυαδικός Gray: 1 1 0 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 29 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή φυσικού δυαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμό Gray Άσκηση Δίνεται ο φυσικός δυαδικός αριθμός Χ=10011101 Να κωδικοποιήσετε τον αριθμό Χ κατά Gray Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 30 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή δυαδικού αριθμού Gray σε φυσικό δυαδικό αριθμό Η αποκωδικοποίηση ενός δυαδικού αριθμού κατά Gray έγκειται στην αντίστροφη διαδικασία, δηλαδή στη μεταγραφή του δυαδικού αριθμού στη φυσική δυαδική του αναπαράσταση, και ακολουθεί την εξής αρχή: Το περισσότερο σημαντικό ψηφίο των δύο αναπαραστάσεων είναι το ίδιο, ενώ για τα υπόλοιπα ψηφία της φυσικής αναπαράστασης εκείνα για τα οποία το αμέσως σημαντικότερο ψηφίο είναι διαφορετικό αντιστοιχούν σε μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού Gray στην αντίστοιχη θέση Για τα ψηφία της φυσικής αναπαράστασης τα οποία έχουν την ίδια τιμή με το αμέσως πιο σημαντικό ψηφίο, το αντίστοιχο ψηφίο της αναπαράστασης κατά Gray είναι μηδενικό Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 31 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή δυαδικού αριθμού Gray σε φυσικό δυαδικό αριθμό Παράδειγμα δυαδικός Gray: 1 0 0 1 φυσικός δυαδικός: = 1 1 = 1 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 32 / 72

Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία Μετατροπή δυαδικού αριθμού Gray σε φυσικό δυαδικό αριθμό Άσκηση Δίνεται ο κωδικοποιημένος κατά Gray δυαδικός αριθμός Χ=11010101 Να μεταγράψετε τον αριθμό Χ στη φυσική δυαδική του μορφή Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 33 / 72

Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 34 / 72

Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Κωδικοποίηση Η δυαδική αναπαράσταση ενός συνόλου χαρακτήρων έγκειται στον καθορισμό μιας αντιστοιχίας μεταξύ των κωδικοποιούμενων χαρακτήρων και ενός συνόλου δυαδικών αριθμών, ίσου πλήθους Το μήκος (το πλήθος των ψηφίων) των δυαδικών αριθμών εξαρτάται, προφανώς, από το πλήθος του συνόλου των χαρακτήρων οι οποίοι κωδικοποιούνται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 35 / 72

Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Κώδικας ASCII Ο κώδικας ASCII (american standard code for information interchange) αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα συστήματος κωδικοποίησης χαρακτήρων (μεταξύ των οποίων περιλαμβάνονται αριθμοί, σημεία στίξης, ειδικά σύμβολα, κλπ) το οποίο καθιερώθηκε κατά τη δεκαετία του 1960 και βρήκε αρχικά εφαρμογή στις συσκευές των τηλετύπων, για να επικρατήσει σχεδόν ολοκληρωτικά στην τεχνολογία των ηλεκτρονικών υπολογιστών και του διαδικτύου μέχρι το τέλος, σχεδόν, της δεκαετίας του 2000, οπότε και ενσωματώθηκε ως υποσύνολο σε ευρύτερα συστήματα κωδικοποίησης (πχ το UTF-8) Στη βασική μορφή του, ο κώδικας ASCII συμπεριελάμβανε ένα σύνολο 128 χαρακτήρων με βάση το αγγλικό αλφάβητο, οι οποίοι κωδικοποιούνται σε επταψήφιους δυαδικούς αριθμούς Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 36 / 72

Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Κώδικας ASCII δυαδικός χαρακτήρας 100 0001 A 100 0010 B 100 0011 C 100 0100 D 100 0101 E 100 0110 F 100 0111 G 101 0110 V 101 0111 W 101 1000 X 101 1001 Y 101 1010 Z Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 37 / 72

Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων Ερώτηση Έστω το σύστημα κωδικοποίησης χαρακτήρων ISO-8859 Ποιο είναι το πλήθος των χαρακτήρων που μπορούν να κωδικοποιηθούν με το συγκεκριμένο σύστημα, αν είναι γνωστό πως το μήκος των αριθμών της αντίστοιχης δυαδικής αναπαράστασης είναι ίσο με 8; Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 38 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 39 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Στην αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου, το περισσότερο σημαντικό ψηφίο (MSB) ενός δυαδικού αριθμού χρησιμοποιείται για να δηλώσει το πρόσημό του, ενώ τα υπόλοιπα ψηφία αντιστοιχούν στο μέτρο (την απόλυτη τιμή) του αριθμού Συνήθως, χρησιμοποιείται το ψηφίο 0 για να δηλώσει έναν θετικό αριθμό, και το ψηφίο 1 για να δηλώσει έναν αρνητικό, ενώ το μήκος (ο αριθμός των ψηφίων) κάθε αριθμού στη συγκεκριμένη δυαδική αναπαράσταση παραμένει συγκεκριμένο και σταθερό Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 40 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Παράδειγμα Θα βρούμε τη δυαδική μορφή του δεκαδικού αριθμού 57 χρησιμοποιώντας οκταψήφια αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 41 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Λύση Δεδομένου ότι η δυαδική αναπαράσταση είναι οκταψήφια, τα επτά λιγότερο σημαντικά ψηφία θα αντιστοιχούν στο μέτρο του προσημασμένου αριθμού Η φυσική δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 57 είναι εξαψήφια, και συγκεκριμένα η 111001 Θα συμπληρώσουμε ένα ακόμα δυαδικό ψηφίο ως εξής: 0111001, ώστε η αναπαράσταση του μέτρου του αριθμού να γίνει επταψήφια Επειδή ο αριθμός είναι θετικός, θα προτάξουμε το μηδέν στη θέση του περισσότερο σημαντικού ψηφίου, για να καταλήξουμε στην οκταψήφια μορφή 00111001 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 42 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Παράδειγμα Θα βρούμε τη δυαδική μορφή του δεκαδικού αριθμού 120 χρησιμοποιώντας οκταψήφια αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 43 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Λύση Η φυσική δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 120 (του μέτρου του αριθμού 120) είναι επταψήφια, και συγκεκριμένα η 1111000 Επειδή ο αριθμός 120 είναι αρνητικός, θα προτάξουμε τη μονάδα στη θέση του περισσότερο σημαντικού ψηφίου, για να καταλήξουμε στην οκταψήφια μορφή 11111000 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 44 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση προσημασμένου μέτρου Ερώτηση Δίνονται οι δυαδικοί αριθμοί 00000000 και 10000000 οι οποίοι αντιστοιχούν σε αναπαραστάσεις προσημασμένου μέτρου ακέραιων αριθμών Ποιοι είναι οι ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι αντιστοιχούν στις συγκεκριμένες αναπαραστάσεις; Σχολιάστε την απάντησή σας Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 45 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 1 Μια εναλλακτική δυαδική αναπαράσταση προσημασμένων ακέραιων αριθμών είναι εκείνη που χρησιμοποιεί το συμπλήρωμα ως προς 1 Η αναπαράσταση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού με τη βοήθεια του συμπληρώματος ως προς 1 μπορεί να προκύψει από τη φυσική δυαδική αναπαράσταση του μέτρου (της απόλυτης τιμής) του αριθμού, με την εφαρμογή της πράξης του λογικού συμπληρώματος για κάθε ψηφίο του, ξεχωριστά Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 46 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 1 Παράδειγμα Θα βρούμε τη δυαδική μορφή του δεκαδικού αριθμού 120 χρησιμοποιώντας οκταψήφια αναπαράσταση με βάση το συμπλήρωμα ως προς 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 47 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 1 Λύση Η φυσική δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 120 (του μέτρου του αριθμού 120) είναι επταψήφια, και συγκεκριμένα η 1111000 Η αναπαράσταση του αντίστοιχου αρνητικού αριθμού ( 120) θα προκύψει από τη αναγραφή του αριθμού 120 ως οκταψήφιου με την πρόταξη του μηδενός (01111000) και, στη συνέχεια, με τη συμπλήρωση καθενός ψηφίου ξεχωριστά (10000111) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 48 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 1 Λύση Η φυσική δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 0 (του μέτρου του αριθμού 0) σε οκταψήφια μορφή είναι 00000000 Η αναπαράσταση του αντίστοιχου αρνητικού αριθμού ( 0) θα προκύψει από τη συμπλήρωση καθενός ψηφίου του αριθμού 0, ξεχωριστά (11111111) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 50 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 2 Η δυαδική αναπαράσταση ενός μη αρνητικού ακέραιου αριθμού με τη χρήση του συμπληρώματος ως προς 2 ταυτίζεται με την αντίστοιχη φυσική αναπαράσταση του, ενώ για τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς μπορεί να προκύψει από την αντίστοιχη αναπαράσταση με τη χρήση συμπληρώματος ως προς ως 1, προσθέτοντας στο τελευταίο τη μονάδα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 51 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 2 Ισοδύναμα, η δυαδική αναπαράσταση ενός αρνητικού ακέραιου αριθμού με τη χρήση του συμπληρώματος ως προς 2 μπορεί να προκύψει από τη φυσική αναπαράσταση του μέτρου του αριθμού, συμπληρώνοντας όλα τα ψηφία τα οποία είναι περισσότερο σημαντικά του λιγότερο σημαντικού μη μηδενικού του ψηφίου Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 52 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 2 Λύση (1ος τρόπος) Η φυσική δυαδική αναπαράσταση του αριθμού 120 (του μέτρου του αριθμού 120) είναι επταψήφια, και συγκεκριμένα η 1111000 Η αναπαράσταση του αντίστοιχου αρνητικού αριθμού ( 120) με τη χρήση του συμπληρώματος ως προς 1 θα προκύψει από τη αναγραφή του αριθμού 120 ως οκταψήφιου με την πρόταξη του μηδενός (01111000) και, στη συνέχεια, με τη συμπλήρωση καθενός ψηφίου ξεχωριστά (10000111) Στη συνέχεια, θα προσθέσουμε τη μονάδα στην προηγούμενη αναπαράσταση: 10000111 + 1 = 10001000 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 54 / 72

Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών Αναπαράσταση με το συμπλήρωμα ως προς 2 Λύση (2ος τρόπος) Εντοπίζουμε το λιγότερο σημαντικό μη μηδενικό ψηφίο της φυσικής δυαδικής αναπαράστασης του αριθμού 120 (01111000) και συμπληρώνουμε όλα τα ψηφία τα οποία είναι περισσότερο σημαντικά (δηλαδή, βρίσκονται πιο αριστερά) από αυτό: 10001000 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 55 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 56 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Στην αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής χρησιμοποιείται συγκεκριμένος αριθμός ψηφίων για την αναπαράσταση του ακέραιου μέρους του πραγματικού αριθμού, και συγκεκριμένος αριθμός ψηφίων για την αναπαράσταση του κλασματικού μέρους του Η θέση της υποδιαστολής υπονοείται Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 57 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Έστω αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής πραγματικών μη προσημασμένων αριθμών η οποία χρησιμοποιεί n ψηφία για την απεικόνιση του ακέραιου μέρους του αριθμού και m ψηφία για την απεικόνιση του κλασματικού μέρους Το ακέραιο μέρος (I) ενός αριθμού Χ θα προκύπτει από τη σχέση: n 1 I (10) = b i 2 i όπου b i τα ψηφία τα οποία αντιστοιχούν στο ακέραιο μέρος του αριθμού (b n 1 το MSB και b 0 το LSB) i=0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 58 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Κατ αναλογία, το κλασματικό μέρος (F) του αριθμού Χ θα προκύπτει από τη σχέση: F (10) = m 1 j=0 f j 2 j m όπου f j τα ψηφία τα οποία αντιστοιχούν στο κλασματικό μέρος του αριθμού (f m 1 το MSB και f 0 το LSB) Συνδυάζοντας τις σχέσεις για το ακέραιο και για το κλασματικό μέρος προκύπτει η τιμή του πραγματικού αριθμού Χ στο δεκαδικό σύστημα: n 1 m 1 X (10) = I (10) + F (10) = b i 2 i + f j 2 j m i=0 j=0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 59 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Παράδειγμα Έστω σύστημα αναπαράστασης σταθερής υποδιαστολής το οποίο χρησιμοποιεί οκταψήφιες αναπαραστάσεις τόσο για το ακέραιο όσο και για το κλασματικό μέρος ενός πραγματικού αριθμού Θα βρούμε τον αριθμό του οποίου η αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής είναι Χ (2) = 1001001011010100 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 60 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Λύση Αρχικά, θα διαχωρίσουμε το ακέραιο από το κλασματικό μέρος: I (2) = 10010010 και F (2) = 11010100 Στη συνέχεια, θα μεταγράψουμε τον αριθμό I (2) στο δεκαδικό σύστημα: 7 I (10) = b i 2 i = i=0 = 1 2 7 + 0 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = = 128 + 16 + 2 = 146 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 61 / 72

Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Αναπαράσταση σταθερής υποδιαστολής Λύση Παρόμοια, θα μεταγράψουμε τον αριθμό F (2) στο δεκαδικό σύστημα: 7 F (10) = f j 2 j 8 = j=0 = 1 2 1 + 1 2 2 + 0 2 3 + 1 2 4 + 0 2 5 + 1 2 6 + +0 2 7 + 0 2 8 = 1 2 + 1 4 + 1 16 + 1 32 + 16 + 4 + 1 = 64 64 = 53 64 = 0828125 Τελικά: X (10) = I (10) + F (10) = 146 + 0828125 = 146828125 = Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 62 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Περιεχόμενα 1 Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης 2 Αναπαραστάσεις δεκαδικών αριθμών με δυαδικά ψηφία 3 Δυαδική αναπαράσταση χαρακτήρων 4 Δυαδική αναπαράσταση αρνητικών ακέραιων αριθμών 5 Δυαδική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 63 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Γενικά Η εκτέλεση των βασικών αριθμητικών πράξεων στο δυαδικό σύστημα ακολουθεί τους κανόνες οι οποίοι μας είναι γνωστοί από το δεκαδικό σύστημα Θα παραθέσουμε, στη συνέχεια, με συντομία τις αντίστοιχες μεθοδολογίες μέσω αντιπροσωπευτικών παραδειγμάτων Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 64 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Πρόσθεση Η πρόσθεση στο δυαδικό σύστημα εκτελείται κατά τρόπο αντίστοιχο της πρόσθεσης στο δεκαδικό σύστημα, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της πρόσθεσης δύο δυαδικών ψηφίων: A B S C 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 65 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Πρόσθεση Παράδειγμα Θα προσθέσουμε τους δυαδικούς αριθμούς 101 και 1 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 66 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Πρόσθεση Λύση 1 0 1 + (0) (0) 1 1 0 1(x2) 0 = 1 1 0 (1: το κρατούμενο) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 67 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Πρόσθεση Άσκηση Να προσθέσετε τους δυαδικούς αριθμούς 110110 και 1101 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 68 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Αφαίρεση Η αφαίρεση στο δυαδικό σύστημα εκτελείται κατά τρόπο αντίστοιχο της αφαίρεσης στο δεκαδικό σύστημα, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της αφαίρεσης δύο δυαδικών ψηφίων: A B d b 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 69 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Αφαίρεση Παράδειγμα Θα αφαιρέσουμε τον δυαδικό αριθμό 1 από τον δυαδικό αριθμό 110 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 70 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Αφαίρεση Λύση 1 1 0 (0) (0) 1 1 1 1(x2) 1 = 1 0 1 (1: το δανειζόμενο) Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 71 / 72

Βασικές αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα Αφαίρεση Άσκηση Να αφαιρέσετε από τον δυαδικό αριθμό 110110 τον δυαδικό αριθμό 1101 Γιάννης Λιαπέρδος (TEI-Πελ) 2: Δυαδικό Σύστημα / Αναπαραστάσεις 72 / 72