1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών"

Σέργιος Ανδρεάδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών 2 1

Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3.

2 Βάσεις Αριθµητικών Συστηµάτων Ι Εκατοντάδων (100) εκάδων (10) Μονάδων (1) εκάτων (.1) Εκατοστών (.01) Χιλιοστών (.001) Αριθµ ός = n i= -k d i 10 i Γενική µορφή δεκαδικού αριθµού d i [0,, 9] Βάση Αριθµ ό ς = d i 2 n i= -k Οκταδικοί αριθµοί d i [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] i υαδικό σύστηµα d i [0, 1] bit εκαεξαδικοί αριθµοί d i [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Α, Β, C, D, E, F] 3 Βάσεις Αριθµητικών Συστηµάτων ΙΙ υαδικό Οκταδικό εκαδικό εκαεξαδικό Ο αριθµός 2001 στο δυαδικό, οκταδικό, δεκαδικό και δεκαεξαδικό. 4 2

i [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] i υαδικό σύστηµα d i [0, 1] bit εκαεξαδικοί αριθµοί d i [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Α, Β, C, D,

3 Αντιστοίχηση Αριθµών σε ιαφορετικές Βάσεις Ι εκαδικός υαδικός Οκταδ. εκαεξ εκαδικοί αριθµοί και οι ισοδύναµοί τους δυαδικοί, οκταδικοί και δεκαεξαδικοί αριθµοί Αντιστοίχηση Αριθµών σε ιαφορετικές Βάσεις ΙΙ εκαδικός υαδικός Οκταδ. εκαεξ συνέχεια. 6 3

4 Μετατροπή Μεταξύ Αριθµητικών Βάσεων I Παράδειγµα 1 εκαεξαδικό υαδικό Οκταδικό Παράδειγµα 2 εκαεξαδικό υαδικό Οκταδικό Παραδείγµατα µετατροπής από οκταδικό σε δυαδικό και από δεκαεξαδικό σε δυαδικό. 7 Μετατροπή εκαδικού σε υαδικό Πηλίκα Υπόλοιπα Μετατροπή του δεκαδικού αριθµού µ 1492 σε δυαδικό µε διαδοχικές διαιρέσεις µε το 2. Η διαδικασία γίνεται κατακόρυφα ξεκινώντας από την κορυφή. Π.χ. το 93 διαιρούµενο µε το 2 δίνει πηλίκο 46 και υπόλοιπο 1, τα οποία γράφονται στην επόµενη γραµµή. 8 4

7 Μετατροπή εκαδικού σε υαδικό Πηλίκα Υπόλοιπα Μετατροπή του δεκαδικού αριθµού µ 1492 σε δυαδικό µε διαδοχικές διαιρέσεις

5 Μετατροπή υαδικού σε εκαδικό υαδικός Αποτέλεσµα Αρχή Μετατροπή του δυαδικού αριθµού σε δεκαδικό µε διαδοχικούς διπλασιασµούς, αρχίζοντας από χαµηλά. Κάθε γραµµή σχηµατίζεται διπλασιάζοντας την γραµµή που βρίσκεται από κάτω και προσθέτοντας το αντίστοιχο bit του δυαδικού αριθµού. Π.χ. το 749 είναι το διπλάσιο του 374 συν το bit 1 του δυαδικού αριθµού που βρίσκεται στην ίδια γραµµή µε το Αρνητικοί Με m bits µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους ακέραιους αριθµούς από 0 έως 2 m 1 (δηλ. από 00 0 έως 11 1). m-bits m-bits Πως θα µπορούσαµε όµως να αναπαραστήσουµε αρνητικούς αριθµούς; Μιααπλήλύσηείναιηδέσµευση ενός bit (π.χ. το αριστερότερο bit) που θα αναπαριστά το πρόσηµο (+ ή ) και συνεπώς θα παραµείνουν m 1 bits για την αναπαράσταση του µέτρου του αριθµού. Αυτό το σύστηµα ονοµάζεται αναπαράσταση προσηµασµένου µέτρου (signed magnitude). Υπάρχουν όµως και άλλασυστήµατα, όπως: Συµπλήρωµα ως προς 1 (one s complement) Συµπλήρωµα ως προς 2 (two s complement) Πλεόνασµα κατά 2 m 1 (excess 2 m 1 ) 10 5

9 Αρνητικοί Με m bits µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους ακέραιους αριθµούς από 0 έως 2 m 1 (δηλ. από 00 0 έως 11 1).

6 Προσηµασµένο Μέτρο Το αριστερότερο (πιο σηµαντικό) bitχρησιµοποιείται για το πρόσηµο: (0 + και 1 ) Τα υπόλοιπα bit περιέχουν την απόλυτη τιµή τουαριθµού (µέτρο). Συνεπώς µε mbitsσυµβολίζουµε τους αριθµούς: [ (2 m-1 1) έως +(2 m-1 1)] 10 δηλαδή [ έως ] 2 Π.χ. η αναπαράσταση των αριθµών +37 και 37 µε 8 bits θα είναι: +37 = = δηλ. ένα bit για το πρόσηµο και επτά bits για το µέτρο. Προβλήµατα: Υπάρχουν δύο αναπαραστάσεις του µηδέν ( & ) Υπάρχει δυσκολία στην υλοποίηση των πράξεων m m 11 Συµπλήρωµα ως προς 1 Το αριστερότερο (πιο σηµαντικό) bitχρησιµοποιείται για το πρόσηµο: (0 + και 1 ) Τα υπόλοιπα bit περιέχουν την απόλυτη τιµή τουαριθµού (µέτρο). Για να βρούµε τον αρνητικό αριθµό αντιστρέφουµε όλαταbits του αντίστοιχου θετικού αριθµού. Συνεπώς µε mbitsσυµβολίζουµε τους αριθµούς: [ (2 m-1 1) έως +(2 m-1 1)] 10 δηλαδή [ έως ] 2 Π.χ. η αναπαράσταση των αριθµών +37 και 37 µε 8 bits θα είναι: +37 = = δηλ. ένα bit για το πρόσηµο και επτά bits για το µέτρο. Προβλήµατα: Υπάρχουν δύο αναπαραστάσεις του µηδέν ( & ) Υπάρχει δυσκολία στην υλοποίηση των πράξεων 12 6

η αναπαράσταση των αριθµών +37 και 37 µε 8 bits θα είναι: +37 = 00100101 37 = 10100101 δηλ. ένα bit για το πρόσηµο και επτά bits για το µέτρο. Προβλήµατα: Υπάρχουν δύο αναπαραστάσεις του µηδέν (000.

7 Συµπλήρωµα ως προς 2 Το αριστερότερο (πιο σηµαντικό) bitχρησιµοποιείται για το πρόσηµο: (0 + και 1 ) Τα υπόλοιπα bit περιέχουν την απόλυτη τιµή τουαριθµού (µέτρο). Γιαναβρούµε τον αρνητικό αριθµό υπολογίζουµετοσυµπλήρωµαως προς 1 του θετικού αριθµού και προσθέτουµε στο αποτέλεσµα το1. Τυχόν τελικό κρατούµενο αγνοείται! Συνεπώς µε mbitsσυµβολίζουµε τους αριθµούς: [ (2 m-1 ) έως +(2 m-1 1)] 10 δηλαδή [ έως ] 2 Π.χ. η αναπαράσταση των αριθµών +37 και 37 µε 8 bits θα είναι: +37 = = = δηλ. ένα bit για το πρόσηµο και επτά bits για το µέτρο. Παρατηρήσεις: Μοναδική αναπαράσταση του µηδέν ( ) Ευκολότερη υλοποίηση των πράξεων Υπάρχει ένας αρνητικός περισσότερος σε σχέση µε τους θετικούς 13 Πλεόνασµα κατά 2 m 1 Ο αριθµός αναπαρίσταται αθροίζοντάς τον µε το2 m 1. Συνεπώς µε mbitsέχουµε πλεόνασµα κατά2 m 1 και συµβολίζουµε τους αριθµούς: [ (2 m-1 ) έως +(2 m-1 1)] 10 δηλαδή δή [ έως ] 2 Π.χ. η αναπαράσταση των αριθµών +37 και 37 µε 8 bits θα είναι: +37 = = 165 = = = 91 = δηλ. ένα bit για το πρόσηµο και επτά bits για το µέτρο. Παρατηρήσεις: Μοναδική αναπαράσταση του µηδέν ( ) Ευκολότερη υλοποίηση των πράξεων Υπάρχει ένας αρνητικός περισσότερος σε σχέση µε τους θετικούς Ταυτόσηµο µετοσυµπλήρωµα ως προς 2 αλλά µεαντεστραµµένο πρόσηµο 14 7

Συνεπώς µε mbitsσυµβολίζουµε τους αριθµούς: [ (2 m-1 ) έως +(2 m-1 1)] 10 δηλαδή [ 100...0 έως 011...1 ] 2 Π.χ.

8 Παραδείγµατα Αναπαράστασης Αρνητικών Αριθµών Ι Αρνητικοί αριθµοί των 8-bit στα 4 συστήµατα αναπαράστασης. 15 Παραδείγµατα Αναπαράστασης Αρνητικών Αριθµών ΙΙ 16 8

9 Αριθµητικές Πράξεις υαδικών 1 ος Προσθετέος 2 ος Προσθετέος Άθροισµα Κρατούµενο Άθροισµα bits Πρόσθεση µε αναπαράσταση στα συµπληρώµατα ως προς 1 και 2 εκαδικό Συµπλήρωµα ως προς 1 Συµπλήρωµα ως προς 2 κρατούµενο αποβάλλεται Απλούστερη υλοποίηση! Κάνουµε πρόσθεση όλων των bits κατά θέση και αγνοούµε τυχόν τελικό κρατούµενο 17 Πράξεις στο Συµπλήρωµα ως προς 2 εκαδικό υαδικό εκαδικό υαδικό αγνοείται! Βλ. ενότητα 1-6, Ψηφιακή Σχεδίαση, Μ. Mano Προσοχή λάθη! Εύρεση αριθµού Αντιστρέφουµε τον αριθµό: και προσθέτουµε τη µονάδα: = Συνεπώς ο αρχικός αριθµός είναι ο Υπερχείλιση (overflow): = Η πεπερασµένη µνήµη των υπολογιστών µας αναγκάζει να χρησιµοποιούµε µόνο αριθµούς που µπορούν να αναπαρασταθούν µε καθορισµένο αριθµό ψηφίων αριθµοί πεπερασµένης ακρίβειας! Ανιχνεύεται υπερχείλιση όταν οι προσθετέοι έχουν το ίδιο πρόσηµο και το αποτέλεσµα έχει διαφορετικό. 18 9

Κάνουµε πρόσθεση όλων των bits κατά θέση και αγνοούµε τυχόν τελικό κρατούµενο 17 Πράξεις στο Συµπλήρωµα ως προς 2 εκαδικό + 6 +13 19 υαδικό 00000110 00001101 00010011 εκαδικό 6 +13 + 7 υαδικό

10 Αφαίρεση στο Συµπλήρωµα ως προς 2 Παίρνουµε το συµπλήρωµα ως προς 2 του αφαιρετέου (συµπεριλαµβανοµένου και του bit προσήµου) και το προσθέτουµε στο µειωτέο (συµπεριλαµβανοµένου και του bit προσήµου). Τυχόν κρατούµενο αγνοείται. Π.χ. η αφαίρεση 6 ( 13) = 6 + (+13) = +7 θα είναι: ( ) ( ) = ( ) + ( ) = 1( ) µειωτέος αφαιρετέος συµπλήρωµα ως προς 2 αφαιρετέου Συµβολικά η αφαίρεση παρουσιάζεται ως ακολούθως: x y = x + ( y) = x + y + 1 αντιστροφή αγνοείται! δηλ. συντελείται µία αντιστροφή και ολοκληρώνεται η πράξη αποκλειστικά µε προσθέσεις! 19 10

Σχετικά έγγραφα

Αριθµητική υπολογιστών

Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές