(ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΚΗΕΙ ΚΑΙ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ ΣΗ Ε.Μ.Ε) ΑΚΗΗ 1 Έςτω ςυνεήσ ςυνάρτηςη :RR, με (0)=2 η οποία ικανοποιεί τη ςέςη ( ) 4 = 6 ια κά ε R α) Να βρείτε τισ τιμέσ (2) και (-2) β) Να απο είξετε τι υπάρει (0,2) ςτε ( ) = 0. Να απο είξετε τι το ί ιο ις ει και ια το ιάςτημα ( 2,0) ) Να απο είξετε τι 2 = 2 = 0 4 5 ) Αν = 4, να βρείτε το 1 ( ) ε) Να απο είξετε τι η εξίςωςη ( ) 1 = 0 έει ο τουλάιςτον ρί εσ ςτο 2, 2 ΑΚΗΗ 2 Δίνεται η ςυνάρτηςη = 1 και οι μι α ικοί αρι μοί z=, =, 1. Να βρείτε τουσ πρα ματικο σ αρι μο σ ςτε να ις ει z= 2. Αν =-1, να είξετε τι οι εικ νεσ των μι α ικ ν z,, μα ί μα την αρή των αξ νων ςηματί ουν ορ ο νιο τρί ωνο ΑΚΗΗ 3 1 Δίνεται η ςυνεήσ και νηςίωσ φ ίνουςα ςυνάρτηςη : R R. Αν = 1, τ τε: ( 1) α) Να απο είξετε τι η ραφική παράςταςη τησ ςυνάρτηςησ ιέρεται απ την αρή των αξ νων (ημ) β) να βρείτε το ) Να απο είξετε τι η ραφική παράςταςη τησ ςυνάρτηςησ τέμνει την ευ εία = 1 ςε ένα ακριβ σ ςημείο (, ) με (0,1) ΑΚΗΗ 4 Δί ονται οι μι α ικοί αρι μοί z και και η ςυνάρτηςη = z,. 1) Να απο είξετε τι η αντιςτρέφεται 2) Εάν η εξίςωςη = έει μονα ική λ ςη, να υπολο ίςετε τη ιαφορά - z. 3) Να απο είξετε τι +z ΑΚΗΗ 5 Έςτω η ςυνεήσ ςυνάρτηςη : R R που ικανοποιεί τη ςέςη = ια κά ε R. α) Να λ ςετε την εξίςωςη = 0 β) Να απο είξετε τι η ιατηρεί ςτα ερ ςε κα ένα απ τα ιαςτήματα (, 0) και (0, ) ) Αν ( 2) 0 και (2) 0, να απο είξετε τι = 1
) Να απο είξετε τι η αντιςτρέφεται και να ορίςετε την ε) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των ραφικ ν παραςτάςεων των ςυναρτήςεων και ΑΚΗΗ 6 Δί ονται οι μι α ικοί αρι μοί z και των οποίων οι εικ νεσ ςτο μι α ικ επίπε ο είναι Α, Β αντίςτοια. Δίνεται ακ μα η ςυνάρτηςη με τ πο = z, 0 z, 0 ςυνευ ειακά, (Ο είναι η αρή των αξ νων). Εάν η f ςυνεήσ, να απο είξετε τι τα ςημεία Α,Β,Ο είναι ΑΚΗΗ 7 Δίνεται ςυνεήσ ςυνάρτηςη : R R και 1 2 έτςι ςτε να ις ουν (1) ημ = 2 ια κά ε R (2) 2 =, με = 2 1 α) Να απο είξετε τι: 1) 2 = 2 1 και 2) Οι εικ νεσ των μι α ικ ν αρι μ ν ανήκουν ςτον κ κλο = 1. (ημ) β) Να βρείτε το ) Να απο είξετε τι η ςυνάρτηςη = ιατηρεί ςτα ερ το πρ ςημο ςε κα ένα απ τα ιαςτήματα (, 0)και (0, ) ) Να βρείτε λουσ τουσ υνατο σ τ πουσ τησ ε) Να απο είξετε τι η εξίςωςη ( 3 4 5) = 10, έει μια τουλάιςτον ρί α ςτο ιάςτημα 1,2. ΑΚΗΗ 8 Δί ονται οι μι α ικοί αρι μοί z και = 2 z, 0 3 z, 0 και η ςυνάρτηςη Εάν είναι νωςτ τι υπάρει το, να απο είξετε τι ο αρι μ σ z είναι πρα ματικ σ ΑΚΗΗ 9 Έςτω οι μη μη ενικοί μι α ικοί αρι μοί,. Αν = 1 3 και η εικ να Α του μι α ικο αρι μο, ςτο μι α ικ επίπε ο ανήκει ςτο κ κλο κέντρου Ο(0,0)και ακτίνα ρ = 2, τ τε: α) Να απο είξετε τι η εικ να Β του μι α ικο ανήκει ςε μονα ιαίο κ κλο 2
β) Να απο είξετε τι = 3 και = 7 ) Να απο είξετε τι υπάρει ξ (0,1) τέτοιο ςτε να ις ει (ξ 2) ξ ξ = 2 (3 4) 2010 ) Αν = κ, με κ R, να απο είξετε τι 3 κ 7 ημ ΑΚΗΗ 10 Εςτω : R R ςυνεήσ ςυνάρτηςη τέτοια ςτε 2 = 3ημ ια κά ε R. Αν = α τ τε: α) Να είξετε τι α=1 (ημ) ( ) β) Να βρείτε τα ρια 1) 2) 3) 3 2 ΑΚΗΗ 11 Δί ονται ο ςυναρτήςεισ,g οριςμένεσ ςτο, και οι μι α ικοί z= g με. Ακ μα ις ει z 1, να βρείτε τα ρια και g ΑΚΗΗ 12 Εςτω : R R ςυνεήσ ςυνάρτηςη και νηςίωσ α ξουςα. Αν α) Να βρείτε το ριο (ημ) ςυν 1 = 1 β) Να είξετε τι (1) = 0 ) Να βρείτε την τιμή του κ, ςτε η ςυνάρτηςη = 1, 1 να είναι ςυνεήσ ςτο R κ, = 1 ) Για την τιμή του κ = 1 να είξετε τι η ραφική παράςταςη τησ τέμνει την ευ εία = 2 ςε ένα τουλάιςτον ςημείο με τετμημένη (0,1). ΑΚΗΗ 13 Να προς ιορίςετε τον εωμετρικ τ πο των μι α ικ ν z, ια τουσ οποίουσ το ριο z 4 z 4 5 5 1 υπάρει και είναι πρα ματικ σ αρι μ σ. ΑΚΗΗ 14 Εςτω : R R ςυνάρτηςη τέτοια ςτε 1 ια κά ε R. 3
α) Να είξετε τι = 1 β) Να βρείτε τα ρια 1), ν Ν 2) 1 3) 2 1 ΑΚΗΑΗ 15 Δί ονται ο ςυναρτήςεισ,g οριςμένεσ ςτο, και οι μι α ικοί z= g και ο = ια κά ε. Αν z =Re να απο είξετε τι οι ςυναρτήςεισ και g είναι ςυνεείσ ςτα ςημεία = 1 και = 1 ΑΚΗΗ 16 Έςτω ςυνάρτηςη ςυνεήσ ςτο R ια την οποία ις ει: α) Να είξετε τι β) Να βρείτε το (1) ) Να είξετε τι υπάρει 1 ημ 1 = 0 = ημ 1, ια κά ε R π π 6, π π 2 τέτοιο ςτε ( ) = 0 ΑΚΗΗ 17 Δί εται μία ςυνάρτηςη ςυνεήσ ςτο ιάςτημα α,β και το πολυ νυμο Ρ(z)=z (α)z (β)z 1, z. Αν ο αρι μ σ 1 είναι ρί α του πολυων μου, να απο είξετε τι υπάρει τουλάιςτον ένα (α,β) ςτε να ις ει ( )=0 ΑΚΗΗ 18 Δίνεται ςυνάρτηςη νηςίωσ α ξουςα ςτο R και (-1) 0 και ο μι α ικ σ αρι μ σ ( 1) (0) 4 3 = 2 (1), ια τον οποίο ις ει τι = 1 2 3. Να απο είξετε τι α) ( 1) (0) (1) = 8 β) 2R ( ) = ) ( 1) 2 (1) ) η αντιςτρέφεται και ις ει 1 0 ΑΚΗΗ 19 Να απο είξετε τι η εξίςωςη = 1, με ν, έει το πολ 2ν-2 το πλή οσ λ ςεισ ςτο ς νολο -R. 4
ΑΚΗΗ 20 Εςτω τέτοιοσ ςτε α β = 0, που α, β, R με α β. Να απο είξετε τι: α) α β = 0 β) R ΑΚΗΗ 21 Αν ο μι α ικ σ επαλη ε ει τη ςέςη 2 5 7 = 0, τ τε: α) Να απο είξετε τι: 1) = = 1 2) = 1 3) Να βρείτε τον μι α ικ αρι μ ΑΚΗΗ 22 Δίνεται μια ςυνάρτηςη ςυνεήσ ςτο α,β και μια ςυνάρτηςη g ια την οποία (α 1 )( β) (β 1 )( α) ις ει g = (α β ) ια κά ε α, β. α β Αν η εξίςωςη (β) -2 (α)z (β)=0 έει ο λ ςεισ ςτο -, να είξετε τι η εξίςωςη g=0 έει μία τουλάιςτον λ ςη ςτο (α,β) ΑΚΗΗ 23 Δίνονται ο μι α ικοί αρι μοί z, και η ςυνάρτηςη = z z. Να απο είξετε τι η εξίςωςη = 0 έει μία τουλάιςτον λ ςη ςτο -1,1] ΑΚΗΗ 24 Δίνεται ένασ μη μη ενικ σ μι α ικ σ z και μια ςυνάρτηςη ςυνεήσ ςτο. Αν υπάρουν τα ( ) ( ) ςτο, να απο είξετε τι υπάρει τουλάιςτον ένα [0,1] ςτε ( )=0 και ΑΚΗΗ 25 Δίνεται η ςυνάρτηςη = z ( z 1 1) 7, ν, z. Αν ια τον μι α ικ z ις ει z-1 =4- z+1, τ τε 1) Να βρείτε το εωμετρικ τ πο των εικ νων του z 2) Να απο είξετε τι z z 1 = 7 3) Να απο είξετε τι η αντιςτρέφεται 4) Να βρείτε τα κοινά ςημεία των ραφικ ν παραςτάςεων των και 5
6