Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία

Transcript

1 Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη, Κ.Ζέκιος, Α.Ζησόπουλος, Κ.Ήμελλος, Γ.Θεοδωρόπουλος, Ι.Θερμός, Π.Ίσσαρης, Γ.Καγκάκης, Φ.Καλογεροπούλου, Ι.Καλούτσας, Ν.Καντεράκης, Κ.Καρδαράκος, Π.Λιναρδάκης, Α.Μαλάμου. Ν.Μπέντα, Π.Νικολέλλης, Β.Ντούσης, Α.Παπαβασιλείου, Π.Παπαθανασίου, Α.Σούλη, Μ.Τσιλπιρίδης, Γ.Χρονόπουλος. Συντονισμός Μαθηματικών

2 Ασκήσεις στις Συναρτήσεις. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) 4 β) g γ) t 9 4 δ) m ln ln ε) h στ) r ln. Δίνονται οι συναρτήσεις, και g σημείων της. Δίνεται η συνάρτηση C που βρίσκονται πάνω από την e, 0 ln, 0, C g. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις, g :, με την ιδιότητα : Να δείξετε ότι g., με 5. Να βρείτε τις τετμημένες των. Να σχεδιάσετε τη C και τη C. ( g )() ( g)() για κάθε. 5. Αν για κάθε ισχύει ότι να βρείτε τον τύπο της. 6. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει:. α) Να αποδείξετε ότι η είναι περιττή. β) Να βρείτε τον τύπο της. 0, για κάθε 7. Αν για τη συνάρτηση : ισχύει ότι, για κάθε, τότε : α) Να βρείτε την. β) Να βρείτε τα, για τα οποία η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g όπου g. Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων --

3 8. Να εξετάσετε στις παρακάτω περιπτώσεις αν οι συναρτήσεις και g είναι ίσες: α), 0, 0 05 β) 4 g,. και * και g ln. 9. Δίνεται η συνάρτηση :. Δίνονται ακόμα οι συναρτήσεις g και h για τις οποίες ισχύει ότι : g() e (), h() () για κάθε πραγματικό. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g και h δεν είναι ίσες. 0. Δίνονται οι συναρτήσεις και g με ln Να βρείτε τους αριθμούς,, ώστε να είναι g. και g ln.. Αν, 5 8, και g,, 0 να ορίσετε τις συναρτήσεις g και g.. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να ορίσετε τις συναρτήσεις g, g,, g g, εφόσον αυτές ορίζονται : α) (), g() ln ln. β) (), g()., 0 e, 0 γ) (), g(). ln, 0,. Θεωρούμε τη συνάρτηση με () 4. Να βρείτε πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση g τέτοια ώστε : g (g()) 0 και g g. 4. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τους δυνατούς τύπους της συνάρτησης. ημ α) A [,], Ag, ( g)(), g() ημ. 4 συν A [,], A, (g )() συν, β) g g(). 5. Α) Αν : είναι άρτια συνάρτηση και g: είναι περιττή συνάρτηση, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι άρτια ενώ η συνάρτηση g g είναι περιττή. Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων --

4 Β) i. Αν : είναι συνάρτηση γνησίως αύξουσα και g: είναι συνάρτηση γνησίως φθίνουσα, να δείξετε ότι οι συναρτήσεις g και g είναι γνησίως φθίνουσες. ii. Αν : και g: είναι συναρτήσεις οι οποίες είναι και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες, τότε να δείξετε ότι οι συνθέσεις γνησίως αύξουσες. g και g είναι 6. Δίνεται η συνάρτηση με ln e,, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. β) Να αποδείξετε ότι ln e.. 7. Να εξετάσετε αν οι ακόλουθες συναρτήσεις είναι και για όσες είναι να ορίσετε την., αν 0 α) (), β) () (e )( ), γ) () e, αν 0, (,] δ) () ε) (), ζ) (), (,4] 7, (, ) 5 5 η) () 4 5, [, 5] θ) (), ι) (), 5 8. Δίνεται η συνάρτηση :, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα ακριβώς στοιχείο της στήλης Β. 4 y Στήλη Α () ( ) () (0) ( ) 5 ( ) ( ) () () (0) Στήλη Β Α. Β. Γ. Δ. 0 Ε. 0 Ζ α) Αν οι συναρτήσεις,g : είναι να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι. β) Αν η συνάρτηση : είναι, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() () () είναι. Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων --

5 0. Δίνεται η ορισμένη στο συνάρτηση, με την ιδιότητα () e για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι. β) Να λύσετε την εξίσωση.. α) Να λύσετε την εξίσωση: e. β) Να λύσετε την ανίσωση: e.,,. Δίνεται η συνάρτηση () ln e 00 αντιστρέφεται.. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση. Η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση : α) Να αποδείξετε ότι η είναι. β) Να λύσετε την εξίσωση : ( ) (4 ),. ( ()) (),. 4. Δίνεται συνάρτηση : με α). β) Η συνάρτηση g: με για κάθε.να αποδείξετε ότι : g δεν είναι. 5. Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το και τέτοια ώστε να ισχύει φ() e φ() για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι και να βρείτε την β) Να υπολογίσετε τους αριθμούς γ) Να λύσετε την εξίσωση 0.. e (), φ( ln ), e. δ) Να λύσετε την εξίσωση ε) Να λύσετε την ανίσωση 4 e e 5. 6 e ( 6) e. 6. Δίνεται συνάρτηση : με και () για κάθε. Αν η συνάρτηση g() (), είναι αντιστρέψιμη, τότε να δείξετε ότι g, για κάθε. Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων -4-

6 7. Δίνεται συνάρτηση : με ( ), γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A, και B5,9. α) Να λύσετε την εξίσωση 9. β) Να λύσετε την ανίσωση Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία γνωρίζετε ότι: ( y) () (y) για κάθε, y. () Η δεν είναι σταθερή συνάρτηση. α) Να δείξετε ότι () 0 για κάθε. β) Να δείξετε ότι () 0 για κάθε. γ) Να δείξετε ότι (0) και ( ) για κάθε (). () δ) Να δείξετε ότι ( y) για κάθε, y (y). ε) Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα και ότι ( ) 0, ότι η αντιστρέφεται και ότι y () (y) για κάθε, y0,. να αποδείξετε 9. Δίνεται συνάρτηση y * : για την οποία ισχύει () y Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση () 0 έχει μία ακριβώς ρίζα, τότε: α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη. β) Να λύσετε την εξίσωση (). για κάθε, y0,. γ) Αν επιπλέον είναι () 0 για κάθε, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. 0. α) Αν οι συναρτήσεις, g, h είναι γνησίως αύξουσες στο και θετικές για κάθε A, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο () () g() είναι γνησίως αύξουσα στο. h() β) i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ii) Να λύσετε στο [, ). Δίνεται συνάρτηση, με ιδιότητα ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. () ( ) e είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). ln ln( ) e ( ) e ( ) ln ln. την εξίσωση 5 () () για κάθε. Να αποδείξετε Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων -5-

7 . Δίνεται η συνάρτηση : με α). για κάθε. Να αποδείξετε ότι: β) Η είναι. γ) Η δεν είναι γνησίως μονότονη. δ) Η είναι περιττή. ε). στ) Δίνεται συνάρτηση με ( )() 4 9 για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η είναι. β) Να βρείτε το, ώστε. 4. α) Έστω : A μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση με (A). Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις και () είναι ισοδύναμες για κάθε B. () () β) Αν 5 (), να δείξετε ότι ορίζεται η και να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των και. 5. Δίνεται η συνάρτηση με 8 8 για την οποία ξέρετε ότι ( ). α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β) Να λύσετε την ανίσωση. γ) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. δ) Να υπολογίσετε την τιμή 8. ε) Να λύσετε την ανίσωση (). 6. Δίνεται η συνάρτηση () e, 0. α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε τον αριθμό ( e). β) Να λυθεί η ανίσωση e ln, 0. γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g() e (), 0 δεν είναι «-». Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων -6-

8 δ) Δίνεται η συνάρτηση h :[0, ) h(h()) h() e, 0. i. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται. ii. Να δείξετε ότι h(0) 0. Αρσάκεια Τοσίτσεια Σχολεία με h() 0 για κάθε 0. Αν γνωρίζετε ότι : iii. Να λυθεί η εξίσωση h h 0, Δίνεται η συνάρτηση () e ln, 0. α) Να δείξετε ότι η είναι «-» και να βρείτε τον αριθμό (e). β) Να δείξετε ότι: e ln( ) e ln( ), για κάθε. Εν επιπλέον δίνεται η συνάρτηση h :(0, ) (0, ) για την οποία ξέρετε ότι h(h()) h() e ln e για κάθε 0, τότε:. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται.. Να δείξετε ότι h().. Να λύσετε την ανίσωση h(h()) h(), 0. Συντονισμός Μαθηματικών - Ασκήσεις Συναρτήσεων -7-