( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

Transcript

1 Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις) Θέμα Α Α) Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών (Θ.Ε.Τ.) ΜΟΝΑΔΕΣ Α) Πότε μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό Λάθος α) Αν lim f ( ) = τότε f( ) < στην περιοχή του (Λ) β) Κάθε συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της συνάρτησης χωρίζουν το πεδίο ορισμού της (Λ) γ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό (Σ) δ) Αν f( ) f >, τότε ε) Αν > = τότε η εφαπτομένη της f κοντά στην περιοχή του (Σ) ( ) C στο σημείο Α, είναι ο άξονας (Λ) ΜΟΝΑΔΕΣ Τέλος ης Σελίδας από Σελίδες

2 Θέμα Β Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: r r για την οποία ισχύουν: lim = και f( 5) = 6 α) Να δείξετε ότι f( ) = 6 f( ) θεωρούμε Α( ) = τότε f( ) ( χ ) Α ( ) χ αφού f συνεχής χ, χ με lim Α( ) = χ lim = lim χ Α χ = 6 = 6 = f = και β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο σημείο M (,f ( )) Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y f( ) f ( )( ) f( ) f( ) ( χ ) Α( ) χ 6 ( χ ) Α( ) ( χ ) και = Χρειαζόμαστε την τιμή της παραγώγου f = lim = lim = lim = = χ Συνεπώς η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y 6 = ( ) y = γ) Να δείξετε ότι η ευθεία y = τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,5 ) Θεωρούμε την συνάρτηση Φ( ) = f( ) χ στο [,5 ] συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Φ( ) = f( ) = 6 5 = >, Φ5 = f5 5 = 6 7= < Εφόσον για την συνάρτηση Φ ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [,5 ] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,5) τέτοιο ώστε Φ( ξ) = f( ξ) = ξ άρα η γραφική παράσταση της Φ τέμνει την ευθεία y = σε ένα σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,5 ) f f 4 f 5 δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,5] ώστε f( ) = Εφόσον η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής σε αυτό άρα είναι συνεχής και στο [,5 ]. Τότε όμως στο [,5 ] θα παρουσιάζει ελάχιστη (μ) και μέγιστη (Μ) τιμή. Δηλαδή: για κάθε [,5] θα ισχύει μ f( ) Μ. Έτσι: [,5] θα είναι μ f( ) Μ 4 [,5] θα είναι μ f( 4) Μ μ f 5 Μ 5 [,5] θα είναι Τέλος ης Σελίδας από Σελίδες

3 Προσθέτοντας τις σχέσεις έχουμε ότι άρα ο αριθμός f f 4 f 5 f f 4 f 5 = f f 4 f 5 μ f f 4 f 5 Μ μ Μ είναι τιμή της συνάρτησης, άρα υπάρχει [,5] ώστε ΜΟΝΑΔΕΣ 55 = α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί σύνολο τιμών της συνάρτησης Β) Δίνεται συνάρτηση f : (, ) με f( ) για οποιαδήποτε, (, ) με < ισχύουν > και < >. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε f( ) f( ) > άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α = (, ). Εφόσον είναι συνεχής το σύνολο τιμών της θα είναι το f ( Α) = lim f ( ), lim f ( ) lim f ( ) = lim = αφού lim = άρα lim = και lim f ( ) = lim χ = Συνεπώς f ( Α ) = αφού lim = και για > είναι > β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό > τέτοιο ώστε = e Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται = e = lne = = f ( ) = = Αφού f( Α) θα υπάρχει συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα άρα και - στο Α Α τέτοιο ώστε f( ) = = e και είναι μοναδικό αφού η ΜΟΝΑΔΕΣ 54 Τέλος ης Σελίδας από Σελίδες

4 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f( ) =, (, ) α) Να αποδείξετε ότι f = f( ) f = = = = = χ β) Να αποδείξετε ότι lim = χ χ f( ) lim = lim = lim = lim = lim = γ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει α β =, να αποδείξετε ότι ln α lnβ lim f ( ) = Πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με ώστε να κατασκευάσουμε το γνωστό όριο ln α lnβ lim lnα lnα lnβ lnβ Επίσης lim = lim = ln α και lim = lim = lnβ χ χ χ χ Άρα έχουμε ( ln α lnβ) = ln( α β) = α β = δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και με δεδομένο ότι lim f ( ) να βρείτε το όριο lim f ( ) Είναι = = = = άρα η συνάρτηση f είναι - άρα είναι αντιστρέψιμη. Για τον υπολογισμό του ορίου lim f ( ) θέτουμε ω f ( ) γίνεται ( ω ) ω ω ω ω ω ω ω = και το όριο lim f ω ω = lim ω ω = lim = lim = ω ω ω ω Τέλος 4 ης Σελίδας από Σελίδες

5 ε) Να λυθεί η εξίσωση = 8 = 8 = f 8 = 8 = ΜΟΝΑΔΕΣ 4784 Θέμα Δ g = f Δ) Δίνονται οι συναρτήσεις = και Α = (, ) α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι - Για οποιαδήποτε, (, ) με < είναι με κοινό πεδίο ορισμού < και > < και με πρόσθεση των σχέσεων έχουμε f( ) < f( ) άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α άρα και - β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g στο σημείο με τετμημένη g ( ) = f ( ) f = ln = g χ =,, g = = g = = 4 και η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y g = g y = 4 y = 4 4 γ) να λυθεί η εξίσωση f g 8 = g ( ) = άρα g = 8 και η εξίσωση είναι f g g ( ) = ( ) = Για οποιαδήποτε, (, ) με < ισχύουν f( ) f( ) < και > f > f f < f οπότε με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε g( ) g < δηλαδή η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Α άρα και - Τέλος 5 ης Σελίδας από Σελίδες

6 Τότε όμως { g = g = = = ή = } ΜΟΝΑΔΕΣ 54 Δ) Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο [, ] και για κάθε [,] =. Επίσης δίνεται η συνάρτηση g = ισχύει α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο ώστε για για = έχουμε f = f = < και = έχουμε = f f = f f = από όπου έχουμε το συμπέρασμα ότι f( ) > αφού f ( ) στο [, ] θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε > Εφόσον η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano εφόσον η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη άρα και - = και θα είναι μοναδικό β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει ρίζα ρ στο (, ) Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και g ( ) = f ( ) = > Επίσης lim g ( ) lim ( f ( ) ) ο ο = = αφού lim = και η συνάρτηση f είναι γνησίως ο αύξουσα (αφού είναι γνησίως μονότονη με f f( ) Επειδή lim g ( ) ο < ) έτσι f < f > < = θα υπάρχει α στην περιοχή του μηδενός ώστε g ( α) <. Τότε όμως η συνάρτηση g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano στο [ α, ] άρα θα υπάρχει ρ ( α, ) (, ) ώστε g ( ρ) = γ) Να βρεθεί το όριο ρ lim g όπου ρ είναι η ρίζα της g στο (, ) f ( ρ) το όριο είναι της μορφής κλάσματος του ορίου. Επειδή άρα θα πρέπει να εξετάσουμε τα πρόσημα των όρων του ρ < f ρ < f ρ < Για να βρούμε το πρόσημο της g αφού γνωρίζουμε ρίζα, θα αναζητήσουμε την μονοτονία Για οποιαδήποτε, (, ) (,) με < έχουμε Τέλος 6 ης Σελίδας από Σελίδες

7 < και f( ) < f( ) και επειδή οι αριθμοί είναι αρνητικοί > < < δηλαδή g( ) g( ) < άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και έτσι όταν > ρ g( ) > Καταλήξαμε λοιπόν στο ότι ρ lim g = ΜΟΝΑΔΕΣ 46 Σας ευχόμαστε επιτυχία!!! Τέλος 7 ης Σελίδας από Σελίδες