3. Παράγωγοι. f(χ) f(χ. χ χ. + χ χ. 2. Παρατηρήσεις f(χ0 h) f(χ 0) h Πολλές φορές το χ χ0. συμβολίζεται με Δx ενώ το f(χ0 h) f(χ

Transcript

1 . Η έννοια της Παραγώγου. Παράγωγοι. Παραγωγίσιμη συνάρτηση Παράγωγος Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν () ( ) υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με (). Δηλαδή είναι : () ( ) ( ) lim.. Παρατηρήσεις (h) ( ) ) Αν τώρα θέσουμε όπου h h τότε έουμε : ( ) lim. h h Πολλές φορές το συμβολίζεται με Δx ενώ το (h) ( ) συμβολίζεται με Δ( ). Άρα έουμε ( Δ( ) ) lim. Δ Δ d( ) d() ) Ένας άλλος συμβολισμός της παραγώγου της στο είναι ή. d d ) Αν η συνάρτηση είναι δίκλαδη και αλλάζει τύπο στο ή το είναι άκρο κλειστού διαστήματος του πεδίου ορισμού τότε ρησιμοποιούμε τις πλευρικές παραγώγους της και αυτή θα είναι παραγωγίσιμη στο αν και μόνο αν υπάρουν τα παρακάτω όρια και είναι ίσοι πραγματικοί () ( ) () ( ) αριθμοί : lim lim - + R τότε θα είναι ().. Εφαπτομένη της C σε σημείο της Α Κλίση συνάρτησης ) Ορισμός : Έστω μια συνάρτηση και Α, ( ) ένα σημείο της C. Αν υπάρει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της A, την ευθεία ε που διέρεται από το Α και έει συντελεστή διεύθυνσης λ. () ( ) lim C στο σημείο της ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο. Δηλαδή, είναι λ ( ) οπότε η σημείο Α, ( ) είναι η παράγωγος της στο εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι : y ( ) ( )( ) Την κλίση () κλίση της στο. της εφαπτομένης ε στο Α, ( ) θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή ) Η C έει οριζόντια εφαπτομένη σ ένα σημείο όταν και μόνο όταν ( ). Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι : y ( ). Αν () D, η C δεν έει σε κανένα σημείο της οριζόντια εφαπτομένη. 4) Αν η εφαπτομένη (ε) της Α, ( ) είναι : παράλληλη σε μια μη κατακόρυφη ευθεία (δ), τότε οι (ε) και (δ) θα έουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλαδή θα ισύει : ( ) λδ. C στο ΣΕΛ. 9

2 κάθετη σε μια ευθεία ( δ), που δεν είναι οριζόντια ή κατακόρυφη, τότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των (ε) και (δ) θα είναι ίσο με, δηλαδή θα ισύει : ( ) λ. δ 5) Αν ω είναι η γωνία που σηματίζει η εφαπτομένη της εφω λ ( ) και : 6) Γωνία Συντελεστής Διεύθυνσης Α, ( ) με τον, τότε C στο π ( ) ω 9 ω ( ) 9 ω8 ω ( ) ω ω ο ο 45 ο 6 ο 9 ο ο 5 ο 5 ο π π λ ( ) 7) Για να εφάπτεται η C στον στο σημείο (, ), θα πρέπει να ισύουν : ( ) και ( ). (Και αντίστροφα) 8) Οι C και C g έουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη όταν και μόνο όταν : ( ) g( ) και ( ) g( ). 9) Η ευθεία y α β Α, ( ) της εξισώσεις : ( ) α και ( ) α β έουν κοινή λύση. Η εφαπτομένη της Α, ( ) μπορεί να έει και άλλο κοινό σημείο με την εφάπτεται στο σημείο C στο 4. Παράγωγος και συνέεια ) Η συνάρτηση () είναι συνεής στο πεδίο ορισμού της D R. C όταν και μόνο όταν οι C. αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο ) Θεώρημα : Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεής στο σημείο αυτό. ) Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεής σε ένα τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο. () ( ) 4) Αν στο lim θέσουμε hτότε lim h lim, με άρα () ( ) ( h) ( ) ( h) ( ) ( h) ( ) ( ) lim lim lim lim, με h h h h (h ) h 5. Παράγωγοι και Φυσική ) Αν θεωρήσουμε s(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιαία ταύτητα τη ρονική στιγμή t δίνεται από τη σέση u(t ) s(t ). ) Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t ισύει s(t) s(t ), οπότε είναι t t u(t ). Ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t ισύει s(t) s(t ), t t οπότε είναι u(t ). ΣΕΛ.

3 Ασκήσεις 5. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έει εφαπτομένη στο την ευθεία y αβ, με α, όταν : () ( ) Α. lim αr Β. η είναι συνεής στο Γ. η δεν είναι συνεής στο () ( ) () ( ) Δ. το όριο lim είναι Ε. το όριο lim είναι 5. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε : Α. το lim () ( ) Β. το (h) ( ) Γ. το lim είναι ή h h Δ. το () ( ) () ( ) Ε. τα όρια lim και lim - + είναι άνισα. () ( ) δεν υπάρει lim lim () είναι ή 5. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η παράγωγος της συνάρτησης στο είναι : (Δ) ( ) ( Δ) ( Δ) Α. lim Β. lim Γ. lim Δ Δ Δ Δ Δ ( h) (h) ( h) (h) Δ. lim Ε. lim h h (h) () () 54. Αν lim, τότε : Α. η δεν ορίζεται στο Β. () Γ. () Δ. η δεν είναι συνεής στο Ε. δεν ισύει κανένα από τα παραπάνω 55. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δέεται οριζόντια εφαπτομένη στο Α(,( )), όταν : Α. η είναι συνεής στο Β. το είναι άκρο του πεδίου ορισμού της () ( ) () ( ) Γ. lim Δ. είναι ( ) Ε. lim η 56. Δίνεται η συνάρτηση με () ln. Η ( ),, δίνεται από το όριο : ln( h) ln ln Α. lim Β. h ln( h) h lim Γ. lim h h h h h h ln( h) lnh ln( Δ) Δ. lim Ε. lim h h h Δ 57. Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, () ( ) αν το lim είναι πραγματικός αριθμός.. Αν ισύει () ( ) lim ή τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο.. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε Σ Λ ΣΕΛ.

4 ( h) ( ) ( h) ( ) lim lim. h h h h () ( ) () ( ) 4. Αν ισύει lim lim - +, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο 5. Αν ()e h e e, τότε ( ) lim. h h 6. Αν μια συνάρτηση είναι συνεής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη Μ, ( ). της C στο σημείο της 7. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο της Μ, ( ), δεν έει άλλο κοινό σημείο με την C. 8. Αν μια ευθεία (ε) έει με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μόνο ένα κοινό σημείο, τότε είναι εφαπτομένη της. 9. Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με (), για κάθε Δ. Τότε η γραφική της παράσταση δεν δέεται οριζόντια εφαπτομένη.. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι συνεής στο.. Αν μια συνάρτηση είναι συνεής στο, τότε θα είναι παραγωγίσιμη στο.. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεής στο, τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε δεν είναι συνεής στο 4. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας σταθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ( Δ) ( ) 5. Στον τύπο ( ) lim το Δ είναι πάντοτε θετικό. Δ Δ () ( ) 6. Αν lim α R τότε η είναι παραγωγίσιμη στο Χ. 7. Η κλίση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο είναι η παράγωγος της στο 8. Αν μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο, τότε μπορεί να είναι συνεής στο σημείο αυτό. (h) ( ) 9. Αν D και lim α, αr, τότε ( ) α. h h ( ) (). Αν για τη συνάρτηση ισύει : lim 5 τότε είναι παραγωγίσιμη στο και ( ) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. ( h) () Συνάρτηση () Πηλίκο h Όριο πηλίκου στο h () () (), (), (), ΣΕΛ.

5 59. Η συνάρτηση g είναι συνεής στο, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισύει () g(), R. Να βρεθεί η τιμή g(). 5. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων στο (εφόσον υπάρει). (),. ημ, (), ημ,. e, συν, (), 4. (),,, e, 5., (), 6. (),, 5. Δίνεται η συνάρτηση (). Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη α) στο σημείο και β) στο σημείο Να βρείτε τις τιμές των α, β R ώστε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. 5. Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο R και () lim 5 α, () β, να είναι 4 (Απ: α ή α, β). Αν συνεής στο, να βρείτε το (). Απ: () 54. Έστω η συνάρτηση με () και (). Να βρείτε το () 8 lim 4. (Απ: ) 55. Αν για κάθε R, να βρείτε το (). Απ: () () ημ 56. Δίνεται συνάρτηση : R R για την οποία ισύει ( y) () (y) () και () 7, yr με παραγωγίσιμη στο. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R. Απ: ( ) ( ) () H συνάρτηση είναι ορισμένη στο R και συνεής στο με () 6 lim 6. Απ: () 4 Να βρείτε την (). 58. Έστω συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σέση ημ () ημ R. Αν (), να βρείτε την (). Απ: () 59. Έστω συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σέση παραγωγίζεται στο () () ημ R. Αν η Απ: () να βρείτε την (). ΣΕΛ.

6 5. Για ποια τιμή του αr, η συνάρτηση () α, α 4, είναι παραγωγίσιμη στο ; Απ: α 5. Να βρείτε τις τιμές των α, β R, ώστε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. 5. Δίνεται συνάρτηση : R R με 4συν εξίσωση e () () () ( ) (), να είναι α β, (Απ : α, β4) () R. Να αποδειθεί ότι η έει τουλάιστον μία ρίζα στο (, ). Απ: () 5. Έστω συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σέση ( y) συν (y) συνy () () για κάθε Απ: ( ), y R. Αν () να βρείτε την (π). π 54. Αν η συνάρτηση στο () β, α,, να βρείτε τα α και β ώστε η να είναι παραγωγίσιμη. Απ: α,β 55. Να βρεθούν τα α, β, γr ώστε η συνάρτηση: στο. 56. Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο και () () lim α, γ β α,, να είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι 5. () ( ) () ( ) 57. α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim και lim είναι πραγματικοί αριθμοί, - + τότε η είναι συνεής στο., αν β) Να εξετάσετε τη συνέεια της συνάρτησης () στο σημείο ( ), αν εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα. 58. Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο και ικανοποιεί τη σέση : να αποδείξετε ότι :. α) β) (), R, 59. Έστω συνάρτηση : RR παραγωγίσιμη στο α με (α). Αν g() (), R, δείξτε ότι α ή gα α g α. 54. Έστω : RR η οποία είναι συνεής στο αr. Αν g() α (), να αποδειθεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο α αν και μόνο αν (α). 54. Έστω οι συναρτήσεις και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο (α, β) με ( ) g( ) και ( ) g( ). Αν ισύει () h() g() για (α, β), να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα h( ) ( ). ΣΕΛ. 4

7 54. Έστω δύο συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το R, παραγωγίσιμες στο και οι οποίες ικανοποιούν τη σέση : () g () ημ, R. Να αποδείξετε ότι : α) g() β) g. 54. Έστω μία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί τη σέση: αβ (α)συνβ βσυνα για κάθε α, β R. Να δειθεί ότι : α) β) συν, R Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με g(). με, g(), 545. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να υπολογίσετε τα όρια : h h h α) lim β) lim. Απ: α) () β) h h h 5h 4h Αν η είναι παραγωγίσιμη στο α να δείξετε ότι : lim ( α) ( α) 4(α) (α) Για τη συνάρτηση γνωρίζουμε ότι : α β α β, για κάθε α, β R. Να δείξετε ότι η R με. παραγωγίζεται στο τυαίο 548. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο εφόσον υπάρουν : α) lim () με, να βρείτε τα παρακάτω όρια () β) lim. () ΣΕΛ. 5

8 . Παράγωγος Συνάρτηση Κανόνες Παραγώγισης. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ () ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ (). c 8. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ () ΣΕΛ. 6 x e. 9. ln.. 4. ν ν ν. log α ν ν x α. log ν ν 8. λ() λ () 5. () 9. () g(x) () g (x) 6. ν (). ()g(x) ()g(x)()g (x) 7. () v.. () g() g(). v () g() () g() g() g() ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ () x e α x lnα lnα ln. g() g() 4. () ν ν() ν g() () () () () ν ν () ν ν ν () () 8. ημ() συν() () g() 9. συν() ημ() () ν ν. εφ() 4. ημ συν. (x) e 5. συν ημ. ln() 6. εφ 7. σφ εφ συν. ημ ( σφ ) 4. () g() συν() (x) e () () () ( ln) (). Η παράγωγος της συνάρτησης () g(), () () g() g() ln() g() () () ος Τρόπος : ln g() g() ln Ως γνωστόν e, άρα () () e g() g()ln () () e () Άρα : g() () g()ln () g()ln () g() () e e g()ln () () g()ln () g() ln()

9 οπότε : g() g() () () () g()ln () g() () ος Τρόπος : g() h g() Θέτω : h() () lnh() ln() lnh() g()ln () h() () lnh() g()ln () g()ln () g() ln () h() h() g()ln () g() h() () g() () () g() g()ln () g() () (). Παραγωγίσιμες συναρτήσεις Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι : H είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο Α. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο (α,β). Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι () (α) παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισύει lim α R και () lim (β) R. + α β - β 4. Παράγωγος συνάρτηση ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιίζοντας κάθε Α στο () :Α R με () η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της ή απλά παράγωγος της. d H πρώτη παράγωγος της συμβολίζεται και με d Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία, ορίζουμε τη συνάρτηση : που διαβάζεται ντε εφ προς ντε ι. Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση () θα τη συμβολίζουμε και με (). ) Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της, αν d υπάρει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συμβολίζεται με ή d. Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της, με ν, και συμβολίζεται με Δηλαδή. (ν) (ν), ν ) Για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισύει : () g() h() () g() h() () g() h() () g() h() (ν) ή 4) Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η είναι παραγωγίσιμη στο g(δ), τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισύει : g() g() g() dy dy du Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y (u) και u g(), έουμε τον τύπο που d du d είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. d Ο συμβολισμός δεν είναι πηλίκο, αλλά σε μερικούς κανόνες συμπεριφέρεται ως πηλίκο. d ν d ν d. ΣΕΛ. 7

10 και όι 5) Για να βρούμε την παράγωγο μιας παραγωγίσιμης στο γράφουμε () ( ) γιατί ( ), αφού ( ) είναι η αριθμητική τιμή της στο και άρα ( ) c R. 6) Μπορεί δύο συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους και η συναρτήσεις g, g, να είναι παραγωγίσιμες στο g. Η εξέταση της παραγωγισιμότητας στο σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με την βοήθεια του ορισμού. 7) Οι κανόνες παραγώγισης ισύουν για τις τιμές του στις οποίες όλες οι συναρτήσεις που εμφανίζονται παραγωγίζονται. Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα. 8) Αν υπάρει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης στο D, σημαίνει ότι η συνεής στο και ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( θ, θ), με θ ή, β. (ν ) είναι ή α, 5. Παράγωγος Αντίστροφης Συνάρτησης Αν μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ με () για κάθε Δ, αντιστρέφεται και η είναι παραγωγίσιμη στο (Δ) τότε : (), (Δ) () Για κάθε (Δ) ισύει : () () () () () (), (Δ) () 6. Παράγωγος Άρτιας Περιττής Συνάρτησης ) Αν μία συνάρτηση είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι περιττή. ) Αν μία συνάρτηση είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η είναι άρτια. Ασκήσεις 549. Να βρεθεί η παράγωγος για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις (όπου ορίζεται) :. () 5. 4 (). 9 () 4. / () 5. () 6. () 5 7. () 4 8. () () 5. () 6. (). 6 (). () 4. () 5. () 6. () 7. () 5 8. () 6 9. (), 5. (). () 6 4. () 4 5. () 4. () 5 ΣΕΛ. 8

11 () 5 6. () α 9. () ln 4. 5 () ln e 5. 4 () ( )( ) 8. () ημ ln () ημ( συν) () ( )ln 47. () ( ) (x) 7. (). 4 () 4. () ημ 6. () e συν 5 9. ημ () 4. συν () 4 ημ συν 45. () 8 ημ 5 () 5 () 5 ln ημ () 6συν 8( ) () () e ημ6 () συν 48. () συν ( )( ) ln 49. () ln ln ημ 5. () () 7 θ 5. () εφ 5. (θ) ημθ e θ 54. () ημ () ημ 56. () ημ4 57. () εφ 58. () 59. () ημ 6. () e 6. () e α β 6. () e e 6. () e e 64. () 65. () 66. () ln e ln 67. () συν 68. () 69. () ln ln 7. () ln 7. () ln(α β) 7. () ln π () ln ημ 74. () e ln 75. ln e συν συν () 77. () e Να υπολογίσετε το (). () π () ημ e 4 συν () ημ στις παρακάτω συναρτήσεις και την εφαπτομένη στο 5 για. () για () ( )ln για Α, ( ) :. () για 4 ln9 () e για e 6. () ( )e για ln 7. () για 8. () ημ για 4 ημ συν π 9. () ln για e. () για ημ συν 4 e. () για ln. () για e π ΣΕΛ. 9

12 55. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων :. () ( ). () (ημ συν). 4. () (e ) (). (). () ημ(συν) 4. ημ 8. ημ. 6. () ημ () ημ ( ). () συν. () συν 6. () 6. () () ΣΕΛ. 5 () ( ) () ( ) ημ 9. () ημ 5 ημ. ημ (συν) () 5. () ημ 8. () ημ () ημ( ) () ημ( ) () συν( ). () συν () συν 4. () συν () συν 7. () συν ημ 8. () 9. () ημ. () e ln (). (). () e 5. () ln 6. () () ln e 8. e 4. () () e e 9. ημ e 4. () e e 44. () e 45. ln () e 47. () ln(ημ) 48. () e () e ημ συν () e () e () e ημ ln () ln(ημ ) 49. () ln 5. () ln(ημ) 5. () ln(συν ) 5. () ln(ημ συν) 5. () ln( ) () ln(e ) 56. () ln( ) 59. () lne () ln(e ) 57. () ln(ln) () ln( ) () ln(ln) 6. () ln(ln(ln)) e () e e e () ( ) ln( ) () ημ e () ln () e t Ρ(t) t e 8. (R) RR 8. R R () e 66. () ln () e ln () 69. () lnσυν e ημ () e ημ () 5 7. () ln () ln ω e 75. t t (t) e 76. s(t) t 5t α V(t) lnt 8. Ε(r) π(r )(r ) s(t) ut αt 84. u(t) u αt 55. Αν παραγωγίσιμη συνάρτηση, να βρείτε την () στις παρακάτω περιπτώσεις :. 4. e. ( ) 5. ( ). (e ) e 6. ( ) ln ημ (εφ) ημ e

13 55. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων : ημ συν π. g(),. h() ημ,, 554. Έστω η συνάρτηση (). Η εφαπτομένη της C στο (, ) είναι : Α. ο άξονας Β. ο άξονας y y Γ. η ευθεία y Δ. η ευθεία y Ε. η ευθεία y 555. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και ισύει ( ). Η γωνία που σηματίζει η εφαπτομένη της C στο (,( )) με τον άξονα είναι περίπου : Α. 64 Β. 7, Γ. 6,4 Δ. 89 Ε. 6, Αν Α. () (ν) e, τοτε η () θα ισούται με : e Β. ν e Γ. ν (e ) Δ. ν e Ε Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () 5 στο σημείο Α (, 4) είναι : Α. 5 Β. 5 Γ. Δ. Ε Σε κάθε σύμβολο της στήλης Α να αντιστοιίσετε το σύμβολο από τη στήλη Β που έει την ίδια σημασία. Στήλη Α Στήλη Β Α. Β. Γ. Δ. d dt dt d d d d d d d. () (). (). () () 4. () 5. ( () ) νe Απάντηση : 559. Όλες οι συναρτήσεις της στήλης Α διέρονται από το (, ). Να αντιστοιίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης αυτής με τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της στο σημείο αυτό που υπάρουν στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. () Β. 5 5 e e g() e e Γ. h() ln ln Δ. φ() Ε. s()... e e Α Β Γ Δ Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε ΣΕΛ.

14 56. Με βάση το σήμα να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. τετμημένη σημείου Χ Χ Χ 4 Χ 4 παράγωγος της 56. Στην στήλη Α γράφονται συναρτήσεις και ένα σημείο της γραφικής τους παράστασης και στη στήλη Β η κλίση τους στο σημείο αυτό. Να κάνετε την αντιστοίιση. Στήλη Α Στήλη Β Α. Β. Γ. Δ. Ε. () στο σημείο (, ) g() κ στο σημείο (, κ ) h() e στο σημείο (, ) φ() log στο σημείο (, ) s() e, στο σημείο (e, e e ) ln ln ln e e Απάντηση : 56. Σε κάθε συνάρτηση της στήλης Α να αντιστοιίσετε από την στήλη Β την παράγωγό της. Στήλη Α Στήλη Β Α. Ε. Γ. Β. Δ. () ημ(e ) g() e h() ln( ) φ() 5 t() εφ( ).. 5 ln5. συν ( ) e e συν(e ) Α Β Γ Δ Ε Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε ΣΕΛ.

15 56. Να αντιστοιίσετε κάθε σύμβολο της στήλης Α με το σύμβολο της στήλης Β, το οποίο έει την ίδια σημασία. Στήλη Α Στήλη Β Α. Β. Γ. d( g) d d dg d d d d. (). [ ()]. ()g() ()g () 4. () () 5. () g () Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. d d 6. () g () () g() 564. Να αντιστοιίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της, στο σημείο με τετμημένη, που υπάρουν στη στήλη Β του παρακάτω πίνακα. Στήλη Α Στήλη Β Α. () Β. () συν( ) ημ( ) Γ. 5 () 4ln() t Δ. () Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε Ε. 4 () r Αν για μια συνάρτηση ισύει ότι ( ) για κάποιο, τότε η εφαπτομένη της C στο σημείο Α (, ( )) είναι : Α. η ευθεία με εξίσωση y ( ) Β. η ευθεία με εξίσωση Γ. Δεν ορίζεται εφαπτομένη στο Α Δ. η ευθεία με εξίσωση y Ε. ο άξονας yy 566. Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο R και ισύει ( ) g( ) για κάποιο R. Τότε : Α. ( ) g( ) Β. Γ. ( ) g ( ) Δ. () g() για κάθε R Ε. οι εφαπτόμενες των C, C g στα (,( )) και (,g( )) αντίστοια είναι παράλληλες ΣΕΛ.

16 567. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Δ, τότε δεν ισύει ότι : Α. Η C δέεται εφαπτομένη στο Α(, ( )) Β. Η είναι συνεής στο Γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο Α (, ( )) είναι ( ) Δ. Η C δέεται εφαπτομένη στο Α (, ( )) την (h) ( ) Ε. Υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. h h 568. Να αντιστοιίσετε κάθε συνάρτηση της στήλης Α με την παράγωγο της στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. () α Β. () ημ (ν) Γ. () log Δ. () α Ε. () συν ν ΣΤ. () ln. () ln. () v ν ημ ν. () ln 4. () α lnα 5. () α α 6. () lnα 7. () ν ν ημ ν 8. () νσυν (ν) Απάντηση : Α Β Γ Δ Ε ΣΤ 569. Από τις παρακάτω συναρτήσεις έει παράγωγο τη συνάρτηση () ημ η συνάρτηση : Α. g() συν Β. h() συν Γ. φ() συν Δ. s() συν Ε. σ() συν 57. Η συνάρτηση (), [, ) είναι παραγωγίσιμη Α. στο πεδίο ορισμού της Β. στο Γ. στο (, ) (, ) Δ. στο (, ) Ε. σε κανένα σημείο του πεδίου ορισμού της () α lnα, α, R η 57. Από τις παρακάτω συναρτήσεις έει παράγωγο τη συνάρτηση α αln α Α. Β. log α Γ. e Δ. log Ε. 57. Δίνεται η συνάρτηση (). Η παράγωγος της με τάξη, δηλαδή η () (), είναι ίση με Α. Β. Γ. Δ. Ε. κανένα από τα προηγούμενα 57. Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g στο R ισύει g() (e ). Ο αριθμός g() είναι : Α. () Β. () Γ. () Δ. () Ε. () () 574. Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις και g στο διάστημα [, π] ισύει g() (ημ). Η τιμή π g είναι ίση με : Α. Β. () Γ. Δ. π Ε. π π 575. Οι συναρτήσεις, g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο κοινό πεδίο ορισμού τους R. Για να έουν κοινή εφαπτομένη στο Α (, ), από τις παρακάτω συνθήκες :. () g (). () g()., g συνεείς στο V. ()g () απαραίτητες είναι Α. μόνο η Β. μόνο η Γ. οι και Δ. οι και V Ε. όλες α ΣΕΛ. 4

17 συν 576. Η συνάρτηση () έει παράγωγο την συνάρτηση : ημ Α. () (ln) ημ συν Β. () (log) ημ Γ. συν Δ. () (ln) ημ συν Ε. () (συν) ημ () (συν) ln 577. Ο τύπος ( g)( ) (g( )) g ( ) ισύει, όταν : Α. οι και g είναι παραγωγίσιμες στο Β. οι και g είναι παραγωγίσιμες στο g( ) Γ. η g είναι παραγωγίσιμη στο και η παραγωγίσιμη στο g( ) Δ. η είναι παραγωγίσιμη στο και η g παραγωγίσιμη στο ( ) Ε. οι και g είναι συνεείς στο g( ) 578. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φαίνεται στο σήμα. Η εξίσωση () έει λύση την Α. Β. Γ. Δ. 4 Ε. καμία από τις παραπάνω 579. Η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης φαίνεται στο σήμα. Από τις παρακάτω συναρτήσεις η είναι : Α. () Β. () Γ. () Δ. () Ε. () 58. Για την συνάρτηση ισύει ότι είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και υπάρουν σ αυτό, πραγματικοί αριθμοί ώστε ( ) ( ). Η γραφική παράσταση της μπορεί να είναι : Α. Β. Γ. Δ. Ε. 58. Ένα σφαιρικό μπαλόνι φουσκώνει με σταθερή παροή αέρα. Τότε η ακτίνα του R συναρτήσει του ρόνου μπορεί να δίνεται από τη γραφική παράσταση : ΣΕΛ. 5

18 58. Η συνάρτηση, με () έει παράγωγο στη θέση που ισούται με : Α. Β. Γ. Δ. 4 Ε Στο παρακάτω σήμα, φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης () Να επιλέξετε ποιοι από τους παρακάτω ισυρισμούς είναι σωστοί. Α. Στο Α, 4 η εφαπτομένη της C είναι παράλληλη στον άξονα. Β. Για (,) οι εφαπτόμενες της C σηματίζουν με τον άξονα οξεία γωνία. Γ. Η C έει δύο εφαπτόμενες παράλληλες στον άξονα. Δ. Για κάθε R η C δέεται δύο εφαπτόμενες παράλληλες με κλίση μεγαλύτερη από 4. Ε. Υπάρει εφαπτομένη της C με συντελεστή διεύθυνσης ( ) Για τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g στο διάστημα (, ) ισύει Η τιμή της g () είναι : Α. () Β. () Γ. Δ. () Ε. () 585. Η παράγωγος της συνάρτησης () log( ημ) είναι : συνlog( ημ) συν Α. Β. log ( ημ)ln συν Δ. Ε. (ln)συν ( ημ)log ημ g(). Γ. συν ημ τότε η γωνία ω που σηματίζει η εφαπτομένη της C στο 586. Αν ( ) Α, ( ) με τον άξονα είναι : Α. 45 Β. Γ. 5 Δ. 45 Ε Αν Α. () e τότε η e Β. (ν) () είναι : νe Γ. ν e Δ. ΣΕΛ. 6 ν e Ε. ν e 588. Αν : RR παραγωγίσιμη και g: RR ώστε g() ( ) (). Ο αριθμός g() είναι : Α. () Β. () Γ. 5 () Δ. 7 () Ε. 6 () () 589. Αν Α. τότε η () μπορεί να είναι η : () (ln )συν, (συν) Β. 59. Αν 4 Α. t 5 Β. συν Γ. 5 (t) t τότε η (t) είναι : 4 5 Γ. (ημ) Δ. ημ Ε. 4 5 Δ. lnσυν 5 Ε.

19 τότε η εφαπτομένη της C στο 59. Αν (), () Α, () είναι : Α. y 7 Β. y 7 Γ. y 5 Δ. y 7 Ε. y 59. Σε ποιο σημείο, ( ), η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης είναι κάθετη στην ευθεία y 5 : e Α. (, e ) Β. (, e ) Γ., e (, e ) Δ. Ε. (,) () e, 59. Η εφαπτομένη της συνάρτησης () στο σημείο της Α(, ) είναι η ευθεία :, Α. y Β. y Γ. y Δ. y Ε. Δεν υπάρει 594. Δίνεται η συνάρτηση () Η 5 η παράγωγος της είναι : Α. Β. 4 Γ. Δ. Ε Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.. Για μια συνάρτηση ισύει () ( ) e. Τότε η C στο σημείο (, ()) δέεται οριζόντια εφαπτομένη.. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η είναι συνεής στο. () (). 4. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε 5. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () α β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 6. Αν δύο συναρτήσεις τέμνονται, τότε στο κοινό τους σημείο δέονται κοινή εφαπτομένη. 7. Η συνάρτηση () α,α, είναι παραγωγίσιμη στο R και ισύει 8. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, τότε ισύει () ( ()) 9. Αν το άθροισμα g δύο συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε και οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο.. Αν η συνάρτηση (g()) είναι παραγωγίσιμη, τότε οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες.. Αν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική νοστού βαθμού, τότε η συνάρτηση είναι επίσης πολυωνυμική ν βαθμού.. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δίνεται στο σήμα. Η παράγωγος της στο είναι ίση με. Σ Σ Λ Λ (α ) α. Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ. Η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο σήμα, έει εφαπτομένη στο, ( ). Σ Λ 4. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο R. 5. Οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων (), ΣΕΛ. 7

20 g(), h() στα σημεία τομής τους με την ευθεία, είναι παράλληλες. 6. Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σήμα, έει παράγωγο στο. Σ Λ 7. Η ευθεία (ε) του διπλανού σήματος είναι εφαπτομένη της C. Ισύει (). Σ Λ 8. Στο σήμα η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της C. Ισύει () g(), για κάθε στο κοινό πεδίο ορισμού τους. Σ Λ 9. Έστω (). Οι γραφικές παραστάσεις των και είναι αυτές που φαίνονται στο σήμα. Σ Λ. Αν η γραφική παράσταση της g προκύπτει από την C με κατακόρυφη μετατόπιση και ισύει (α), τότε θα είναι και g(α). Σ Λ. Η συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σήμα, είναι συνεής στο αλλά όι παραγωγίσιμη. Σ Λ. Αν y α β, τότε ο ρυθμός μεταβολής των τιμών του y εξαρτάται από τις τιμές του.. Αν (), τότε ισύει πάντα (). 6. Ισύει dc d. Είναι, όπου c σταθερά και R. 7. Για μια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R ισύει : i) αν η είναι άρτια, τότε η είναι περιττή. ii) αν η είναι περιττή, τότε η είναι άρτια. iii) αν η είναι περιοδική, τότε η είναι περιοδική με την ίδια περίοδο Αν (), τότε υπάρουν σημεία της C με παράλληλες εφαπτόμενες. 9. Αν υπάρει η ( g) ( ) τότε υπάρουν και οι ( ) και g( ). ημ( ) ( ) συν( ). ΣΕΛ. 8

21 . 6 Η κλίση της () είναι διαφορετική σε κάθε σημείο της.. Σε κάθε σημείο της (), αντιστοιεί ένα δεύτερο σημείο με την ίδια κλίση.. Η κλίση της εφαπτόμενης της () στο είναι ίση με. 4. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε και οι δύο συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο.. 5. Ισύει (log), για κάθε. 6. Μια συνάρτηση και η παράγωγος της, έουν πάντοτε το ίδιο πεδίο ορισμού. 7. Αν η συνάρτηση δεν είναι συνεής στο τότε δεν ορίζεται εφαπτόμενη της C στο σημείο της Μ(, ( )). 8. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σ ένα σημείο της, δεν μπορεί να έει μ αυτήν δεύτερο κοινό σημείο. Δ e e 9. Είναι lim ( Δ ) όπου () e. Δ 4. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η γραφική παράσταση της δέεται εφαπτόμενη στο σημείο Α (, ( )) με συντελεστή διεύθυνσης (h) ( ) λ lim. h h 4. Αν οι συναρτήσεις g και είναι παραγωγίσιμες στο, τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο. 4. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R ισύει () για κάθε R, τότε (). () 4. Αν (), τότε (). g() g() 44. Για κάθε συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R ισύει : 45. Για κάθε συνάρτηση με D, ισύει ( ) ( ) ( ). 46. Αν () g() για κάθε (α,β) και παραγωγίσιμη στο (α, β) τότε, η g είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και () g() για κάθε (α,β). 47. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη για κάθε R τότε και η () είναι συνεής συνάρτηση για κάθε R. 48. Αν,g: Δ R, Δ διάστημα και το Δ ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο και η g να μην είναι παραγωγίσιμη στο τότε, η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο. 49. Αν (), τότε () ( ln),. 5. Αν ο αριθμός είναι διπλή ρίζα της πολυωνυμικής συνάρτησης () τότε το είναι ρίζα της (). 5. Αν,g: Δ R, Δ διάστημα και Δ ώστε οι συναρτήσεις, g να μην είναι παραγωγίσιμες στο τότε, η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο. 5. Αν παραγωγίσιμη στο και η g δεν παραγωγίζεται στο ( ) τότε η g δεν παραγωγίζεται στο. 5. () Αν () e τότε () () (). 54. Αν,g: Δ R, Δ διάστημα και Δώστε η να είναι παραγωγίσιμη στο, ΣΕΛ. 9

22 ( ) και g παραγωγίσιμη στο τότε, η g είναι παραγωγίσιμη στο. 55. Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 56. Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () ln. 57. Αν : RR παραγωγίσιμη τότε η συνάρτηση g() () ημ() είναι παραγωγίσιμη. 58. Αν μια συνάρτηση είναι πολυωνυμική ν βαθμού τότε η είναι επίσης πολυωνυμική νοστού βαθμού. 59. Η συνάρτηση (), είναι παραγωγίσιμη στο με (). 6. Αν : RR παραγωγίσιμη με (ημ) συν, τότε (ημ) συν. 6. Αν () ημ τότε, () (). 6. Αν () ln( ) τότε, (). 6. Αν μια συνάρτηση είναι συνεής στο, τότε ορίζεται πάντα η εφαπτομένη της C στο σημείο της, ( ). 64. Αν ( ) τότε η εξίσωση της οριζόντιας εφαπτομένης της C στο σημείο της, ( ) είναι y. 65. Η συνάρτηση (), για όλα τα δέεται εφαπτόμενες με θετικό συντελεστή διεύθυνσης. 66. Για να έουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο, θα πρέπει να ισύει : ( ) g( ). 67. Αν για μια συνάρτηση ισύει : (), τότε η εφαπτομένη της C στο σημείο της Α, (), σηματίζει με τον άξονα y y γωνία Για να εφάπτεται η C στον άξονα θα πρέπει ( ) και ( ) Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης () με πολλαπλότητα (διπλή ρίζα), να δείξετε ότι ό ρ είναι ρίζα και της παραγώγου () Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () ημ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων :.. ημ,, (). (),,. συν, (),,, 599. Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(),, α) Να βρείτε τις παραγώγους των, g. β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση ( g)() είναι παραγωγίσιμη στο.. 6. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων : 4,. ()., (), 4, ΣΕΛ.

23 4,. () συν, κ λ, 6. Έστω η συνάρτηση με τύπο (), κ, λr. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ, λ ώστε () και (). (Απ : κ/, λ) 6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης π () π ημ π Απ: ημγ 6. Δίνεται η συνάρτηση () α (β ) (γ ) e. Να βρείτε τα α, β, γ R αν η γραφική παράσταση της () διέρεται από τα σημεία Α(, ), Β(, 7) και της () τέμνει 7 τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη. Απ: α, β, γ 64. Δίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο R και άρτια. α) Να δείξετε ότι περιττή. β) Αν, και (g )() ημ( ) 65. Έστω συνάρτηση όπου () α β γ, α και R. Να δείξετε ότι : R, να βρείτε την g (). Απ: () (), ρίζες της. Υπόδειξη: ln () 66. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια :. lim. lim e. συν lim 4. lim ln(e h) ημ h 5. lim 6. h h lim h h 7. h lim e ( h) (e ) ( ) e 8. lim 9. h h lim Απαντήσεις :. ln e e 67. Να διατάξετε από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων, στα αντίστοια σημεία τους.. () 5 4 στο σημείο (, ). g() στο σημείο (, ) π. h() στο σημείο (4, ) 4. φ() συν στο σημείο, 5. σ() log στο σημείο (, ) 68. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () (εφόσον υπάρει), σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις :. έει συντελεστή διεύθυνσης λ.. σηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. π, ΣΕΛ.

24 . είναι παράλληλη στην ευθεία y είναι κάθετη στην ευθεία y. 5. είναι παράλληλη στον άξονα. 6. είναι παράλληλη στον άξονα y y. 7. άγεται από το σημείο (, ). 69. Να βρείτε την εφαπτομένη (αν υπάρει) των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιο σημείο :. () ln στο (, ). () στο (, ). () στο, 4 6. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της (, ). (),, 6. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην εφαπτομένη που άγεται από το σημείο (, ). Απ:, Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () ημ, [, π] στο οποίο η π εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y. Απ:, 6. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης εφαπτόμενες της είναι παράλληλες στον άξονα. () στα οποία οι 64. Να βρεθεί το σημείο (,( )) στο οποίο η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () ln είναι κάθετη στην ευθεία y. 65. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y Έστω μια παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση, τέτοια ώστε να ισύει : ΣΕΛ. () στο οποίο η e e e () R. Να βρείτε : α) την παράγωγο της στο. (Απ : ()) β) την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A (, ()). (Απ : y 7) 67. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρείτε σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις την εξίσωση της εφαπτομένης της C και το σημείο επαφής Α στο οποίο η εφαπτομένη : ) Έει συντελεστή διεύθυνσης λ 5. (Απ : y 59) ) Είναι παράλληλη στην ευθεία δ : y 5. (Απ : y ) ) Είναι κάθετη στην διοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου των αξόνων. (Απ : y ) 4) Είναι παράλληλη στον. (Απ : y /4) 5) Σηματίζει γωνία ω5 με τον. (Απ : y ) 68. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στην γραφική παράσταση της, που διέρονται από το σημείο M (, 4). 69. Δίνεται η συνάρτηση (Απ : y 44, y 4x4) () κ κ 4, κr. Να βρείτε τις τιμές του κ για τις οποίες, η γραφική παράσταση της εφάπτεται στον άξονα. (Απ : κ, κ4)

25 6. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) : y εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () 4 Απ: Α(, 5). 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () 5, η οποία διέρεται από το σημείο (, ). (Απ : y 5) 6. Δίνεται η συνάρτηση : () στα σημεία Α (, ()) και Β (, ()). 9, 5,. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C (Απ : y, y 6) 6. Δίνεται η συνάρτηση () 5 4. Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C και το σημείο επαφής στο οποίο η εφαπτομένη : ) Έει συντελεστή διεύθυνσης λ. (Απ : Α (4, 8), y ) ) Είναι παράλληλη στον άξονα. Απ: Β,, y 4 4 π ) Τέμνει τον άξονα υπό γωνία ω. (Απ : Γ(, ), y 8) 4 4) Είναι κάθετη στην ευθεία δ : 5y 7. (Απ : Δ(, 4), y 54) 5) Είναι παράλληλη στην διοτόμο του ου και του 4 ου τεταρτημορίου των αξόνων. (Απ : Ε(, ), y ) ln 64. Να βρεθούν τα α, β R ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων () και 5 g() α β να έουν κοινή εφαπτομένη στο. Απ: α, β 65. α) Αν και g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ, δείξτε ότι οι C και C g έουν κοινή εφαπτομένη (ε) σε δύο διαφορετικά σημεία, Α (α, (α)) και Β (β, g (β)) με (α) g(β) α, β Δ, όταν και μόνο όταν : (α) α (α) g(β) βg(β) β) Να βρεθούν σε μη κοινά σημεία οι κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () 4 5 και g() 4. (Απ : y 4) 66. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () 5, οι οποίες διέρονται από το σημείο Α (, ). (Απ : y 5, y 5) 67. Να βρείτε τις τιμές του α R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να εφάπτεται στον άξονα. () α α 4 (Απ : α, α) 68. Να δείξετε ότι η ευθεία ε : y 8 εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () 4 9. (Απ: Α (, 5) ) 69. Δίνεται η συνάρτηση () α 4α και η ευθεία (ε) : y α. Να βρείτε το α R, ώστε η ευθεία (ε) να εφάπτεται της C. (Απ: α /) ΣΕΛ.

26 6. Δίνεται ότι η ευθεία (ε) : y 7 εφάπτεται στη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης στο σημείο της A (, ()). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης g() () ()() 7 στο σημείο της B (, g()). (Απ: y 644) 6. Δίνεται η συνάρτηση () (α β) (β ). Να βρείτε τα α, β R όταν η εφαπτομένη της C στο σημείο της Α (, ) διέρεται από το Β (, 5). (Απ: α, β) 6. Δίνονται οι συναρτήσεις () 4 5 και g(). Να εξετάσετε αν υπάρει κοινή εφαπτομένη των C και C g σε κοινό τους σημείο. (Απ: Α(, ) y4, Β(, )) 6. Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () και g() R *. Απ: y 4, y Να βρείτε τη κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων () e g() ln. Απ: y e και 65. Για τη συνάρτηση () 5α 4α, α R *, να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες οι εφαπτόμενες της C στα σημεία που αυτή τέμνει τους άξονες να είναι κάθετες μεταξύ τους. Απ: α 66. Για μια συνάρτηση ισύει 6 () ημ5 παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την εφαπτομένη της R. Να δείξετε ότι η είναι C στο σημείο A(, ()). (Απ: y6) 67. Δίνεται η συνάρτηση g που είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισύει g(5) (). Αν () ( ) g( ), να δείξετε ότι ορίζονται οι εφαπτόμενες ε, ε της 4 και αντίστοια στο σημείο και να βρείτε τις εξισώσεις τους. 68. Δίνεται η συνάρτηση g που είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και ισύει g( ) 7 (). Αν () ( ) g( 5), να δείξετε ότι η () Δίνεται η συνάρτηση () α β. Να βρείτε τα α και β ώστε η C να διέρεται από το σημείο (, 9) και να έει στο σημείο αυτό εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα. 64. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης () φαίνεται στο σήμα. α) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. β) Να σεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 64. Δίνεται η συνάρτηση (). Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της γραφικής της παράστασης οι οποίες : α) Είναι παράλληλες στην ευθεία y 5. β) Είναι κάθετες στην ευθεία y. γ) Διέρονται από το σημείο Α(, 7). ΣΕΛ. 4

27 64. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σήμα. α) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στα σημεία με τετμημένες,,. β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. 64. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτόμενη της C, όπως φαίνεται στο σήμα. Ονομάζουμε g τη συνάρτηση η οποία αντιστοιεί στη C g. α) Να βρείτε μια σέση η οποία να συνδέει τις συναρτήσεις και g. β) Με βάση την προηγούμενη σέση να δείξετε ότι g( ) ( 4) για κάθε R. γ) Να βρείτε την g(4) Δίνονται οι συναρτήσεις () e και g() ln. Να αποδειθεί ότι η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία στα οποία οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνουν τους άξονες, είναι κοινή τους εφαπτομένη Δίνονται οι συναρτήσεις () e και g() e. α) Να εξετάσετε αν οι εφαπτόμενες των C και C g στα σημεία (, ( )) και (, g( )) αντίστοια με, είναι κάθετες. β) Να εξετάσετε αν ισύει το ίδιο για κάθε R α) Να σεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης () 6 8, να φέρετε τις εφαπτόμενες ε,ε της C στα σημεία τομής της C με τον άξονα και να δικαιολογήσετε από το σήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της παραβολής y α β γ, α με Δ, στα β σημεία τομής της με τον άξονα, τέμνονται στην ευθεία (άξονας συμμετρίας). α 647. Δίνεται η συνάρτηση () α β γ δ, α. Να βρείτε την συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C να μην έει σε κανένα σημείο της οριζόντια εφαπτομένη Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου του παρακάτω σήματος. ln(α) 649. Δίνεται η συνάρτηση () με α και. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο κ, (κ). κ, (κ), καθώς μεταβάλλεται β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο το α, διέρονται από το ίδιο σημείο. ΣΕΛ. 5

28 65. Αν π π :, 4 4 R με (), να δείξετε ότι : συν 5 () () (). 65. α) Έστω δυο συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού το R. Να γράψετε συνθήκες ώστε η C και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη να δέονται κοινή εφαπτομένη. β) Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(). Να αποδείξετε ότι οι C, δέονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγμένες. 65. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της (), οι οποίες φέρονται από το σημείο Α (, ). 65. Έστω η συνάρτηση () ( ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σημείο της, δεν έει με αυτή άλλο κοινό σημείο Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισύει :, R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο (, ()) είναι κάθετη στην ευθεία y Δίνεται η συνάρτηση () ln,. Ποια γωνία σηματίζει με τον άξονα η εφαπτόμενη της C στο σημείο τομής της με τον άξονα Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισύει (ln) ln,. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της παραγώγου διέρεται από την αρή των αξόνων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο με τετμημένη. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σηματίζεται από την εφαπτομένη της C στο σημείο της με τετμημένη και τους άξονες και y y Να δείξετε ότι : α) αν () συν συν, τότε () ()εφ ημ. () β) αν () ln, τότε () e Δίνεται η συνάρτηση (). α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο Α (8, 5). β) Να βρείτε τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τους άξονες Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() ln, με. e α) Να αποδείξετε ότι υπάρει ώστε ( ) g( ). β) Να αποδείξετε ότι ( ) g( ). γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης τους στο σημείο αυτό. 66. Έστω η συνάρτηση αποδείξετε ότι () ln( ). Να εξετάσετε αν η C έει οριζόντια εφαπτομένη, αφού. 66. Αν είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισύουν (4) και C g () (), R, α) να βρεθεί ο τύπος της. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία y. ΣΕΛ. 6

29 66. Αν,,, 4 είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις και () () () () 4(), να αποδείξετε ότι () () () () (). () () () 4() 66. Δίνεται η συνάρτηση 4 () 4. Να προσδιορίσετε το σύνολο στο οποίο είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την παράγωγό της Να βρεθεί η παράγωγος των παρακάτω συναρτήσεων :, 4 συν, α) () 5 9 β) (), 4, Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης : () 4, 6 8, 666. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με α 667. Αν () e συν, να δειτεί ότι : α. Να δείξετε ότι : (α) (α). () Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισύει, R, να βρείτε την Αν P() α β γ δ, α,β, γ,δr, να βρείτε τους α, β, γ, δ ώστε Ρ() Ρ 4 για κάθε R Θεωρούμε μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R γ ια την οποία ισύει : y ( y) e (y) e () y α, για κάθε, y R. α) Να δείξετε ότι () α. β) Να δείξετε ότι η C περνάει από την αρή των αξόνων. γ) Να δείξετε ότι η ( ) ( ) () e, για κάθε R. 67. Μια συνάρτηση είναι περιττή και δυο φορές παραγωγίσιμη στο R. Να δείξετε ότι: α) Η γραφική της παράσταση διέρεται από το (, ). β) (). 67. Αν () R, να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης () g() στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα, είναι παράλληλη στην ευθεία y. () 67. Αν είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση με 4 και () για κάθε R, να βρεθούν α) Ο τύπος της. β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της C που είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : y Αν η είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο R με () βρεθεί το g. και. g() 4 () 5, να ΣΕΛ. 7

30 () 675. Έστω συνάρτηση : RR και α. Αν η συνάρτηση g(),, είναι παραγωγίσιμη στο α, να δείξετε ότι : α) η παραγωγίζεται στο α. β) Αν η εφαπτομένη της C g στο Α (α, g(α)) είναι παράλληλη στον άξονα, τότε η κλίση της στο Α είναι g(α) Να βρεθεί το αr ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : g() α να έουν κοινό σημείο με κοινή εφαπτομένη. () α και β 677. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της () αe, α,β, σε τυαίο της σημείο Ρ τέμνει τον άξονα στο σημείο Α. Αν Β η προβολή του Ρ στον ίδιο άξονα, να δείξετε ότι το τμήμα ΑΒ έει σταθερό μήκος. Απ:(ΑΒ) β 678. Δίνεται η συνάρτηση () και το σημείο Ρ (α, β) με α β. α) Να αποδείξετε ότι από το Ρ διέρονται δύο εφαπτόμενες της C. β) Αν το Ρ βρίσκεται στην ευθεία (δ) : y, δείξτε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες Δίνεται η συνάρτηση (),. Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της που δέονται οριζόντια εφαπτομένη. α β, 68. Δίνεται η συνάρτηση () γ. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε η C να έει στο, σημείο Α (, ()) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία (δ) : y Nα βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g() 8. () 4 () αβ αβ γ αβ γ. Να βρεθούν τα α, β, γ ώστε η C να περνάει από την αρή των αξόνων, ενώ η εφαπτομένη της στο σημείο A, 4 να σηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. 68. Έστω η συνάρτηση 68. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : RR και η συνάρτηση M, y κοινό σημείο των C,C g να δείξετε ότι η εφαπτομένη της της C στο ίδιο σημείο. g 684. Δίνεται η συνάρτηση παράστασης. Αν δείξτε ότι : dd. () g() ()συν α, α. Αν C στο Μ εφάπτεται και και (ε) μία εφαπτομένη της σε τυαίο σημείο της γραφικής της d, d οι αποστάσεις των σημείων Α, και Β, από την (ε) 685. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τετμημένες e και e κοινή εφαπτομένη. ln () έει στα σημεία της με ΣΕΛ. 8

31 686. Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R, με συνεή παράγωγο και (). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με g() () () () για κάθε R, παραγωγίζεται στο και μάλιστα g() () Αν () () για κάθε R και g() (), της C g στο. R, να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ν... ν 688. Γνωρίζουμε ότι για ισύει. ν- α) Να υπολογίσετε το άθροισμα... ν,. 4 5 β) Να υπολογίσετε το άθροισμα Εξηγήστε γιατί η παρακάτω διαδικασία οδηγεί σε άτοπο 4, άρα 4..., δηλαδή προσθετέοι φορές άρα 4, επομένως 4!!! 4..., φορές 69. Αν για τη συνάρτηση ισύει () αr, να αποδείξετε ότι : (5) () lim 9α () () () () () 69. Για τη συνάρτηση ισύει ότι () R και () (), τότε : lim () () () () 69. Για τη συνάρτηση ισύει : () (), [, ). Να αποδείξετε ότι : α) η εφαπτομένη της C στο σημείο της, () είναι παράλληλη στην ευθεία y 4 β) αν συνεής, τότε η εξίσωση () 5 έει μία τουλάιστον ρίζα στο (, ). 69. Δίνεται η συνάρτηση () ημ. Να δείξετε ότι υπάρει ένα τουλάιστον οποίο η εφαπτομένη της C διέρεται από την αρή των αξόνων. π π, 6 στο συν 694. Για τη συνάρτηση :(, π) R με () (ημ), δείξτε ότι : συν () (ημ) ln(ημ) σφ (Δ ΔΕΣΜΗ ) Έστω η συνάρτηση : (, ) R, με () ln( ). Έστω c πραγματικός μεγαλύτερος του. Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση yc και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα Α και Β. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της, στα Α και Β, είναι κάθετες μεταξύ τους. ΣΕΛ. 9

32 . Ρυθμός Μεταβολής. Ορισμός Αν δυο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σέση y (), όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο ().. Παρατηρήσεις ) Οι περισσότερες συναρτήσεις και κυρίως αυτές που αφορούν κίνηση έουν μεταβλητή το ρόνο t. π.. Ένα σημείο κινείται στον άξονα με ρυθμό μεταβολής m/s. Άρα : (t) m/s, αν y α β εννοείται ότι y(t) α (t) β. ) Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης s(t) ενός κινητού μας δίνει την στιγμιαία ταύτητα u(t ) την ρονική στιγμή t και ο ρυθμός μεταβολής της ταύτητας u ως προς το ρόνο t τη ρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος u(t ), η οποία λέγεται επιτάυνση του κινητού τη ρονική στιγμή t και συμβολίζεται α(t ), άρα : u(t ) s(t ), α(t ) u(t ) s (t ). ) Στην οικονομία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε, και το κέρδος P εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος. Η σέση που συνδέει τις παραπάνω συναρτήσεις είναι : Ρ() Ε() Κ() Ρ() Ε() Κ(). Η παράγωγος Κ ( ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους K ως προς την ποσότητα, όταν και ονομάζεται οριακό κόστος στο. Η παράγωγος Ε( ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης ως προς την ποσότητα, όταν και ονομάζεται οριακή είσπραξη στο. Η παράγωγος Ρ( ) παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P ως προς την ποσότητα, όταν και ονομάζεται οριακό κέρδος στο. Κ() Μέσο κόστος παραγωγής της ποσότητας ενός προϊόντος είναι Κ μ() ()()KxKxxμ=. 4) Αν δυο μεγέθη, y συνδέονται με τη σέση y () και παραγωγίσιμη ως προς τότε : α) Αν το y αυξάνεται ως προς με ρυθμό α εννοούμε () α. β) Αν το y μειώνεται ως προς με ρυθμό α εννοούμε () α με α. Ασκήσεις 696. Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης θέσης ενός κινητού s(t) είναι η στιγμιαία ταύτητα του κινητού.. Ο ρυθμός μεταβολής της πρώτης παραγώγου μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης είναι η δεύτερη παράγωγος της.. Ο ρυθμός μεταβολής της περιμέτρου ενός τετραγώνου ως προς την πλευρά του είναι Ο ρυθμός μεταβολής της ταύτητας ενός κινητού είναι η επιτάυνσή του. 5. Ο ρυθμός μεταβολής του κόστους λέγεται παραγωγικό κόστος. 6. Ο ρυθμός μεταβολής της επιφάνειας ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του ισούται με την περίμετρο του κύκλου Ένα κινητό ξεκινάει από την αρή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, [, ). Σε ποιο σημείο Μ της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης y αν y(t) t ; Απ: Μ, 4 ΣΕΛ. 4 Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ

33 698. Δίνεται η συνάρτηση (). α) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της ως προς στο σημείο. β) Για ποιες τιμές του ο ρυθμός μεταβολής της ως προς είναι θετικός και για ποιες αρνητικός ; γ) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α (, ()) ως προς στο Δίνεται η συνάρτηση () e. α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της για. β) Να υπολογίσετε το όριο e e lim. 7. Αν ο όγκος V μιας σφαιρικής μπάλας αυξάνεται με ρυθμό 45 cm /sec, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας της E, όταν η ακτίνα είναι R7 cm. 4 Υπενθυμίζουμε ότι : Ε 4πR, V πr. Απ: Ε(t) 5 cm /sec 7. Έστω η συνάρτηση () e και Α σημείο της γραφικής παράστασης της, στο οποίο η εφαπτομένη διέρεται από την αρή των αξόνων. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης. (Απ: ye) β) Αν ένα κινητό Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης της C και καθώς περνάει από το Α η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες ανά δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη ρονική στιγμή που το Μ περνάει από το Α. (Απ: y (t) e μονάδες /sec) 7. α) Να βρείτε τα κ, λ R ώστε ο άξονας να εφάπτεται της C στο, όταν () κ λ. (Απ: κ, λ4) β) Έστω, y οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Αν η διάσταση μεταβάλλεται με ρυθμό κ cm/sec και η διάσταση y μεταβάλλεται με ρυθμό λ cm/sec, όπου κ, λ οι πραγματικοί αριθμοί του ερωτήματος (α), να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου παραλληλογράμμου τη ρονική στιγμή που το cm και το y 5 cm. (E (t) cm / sec) 7. Στο παρακάτω σήμα είναι Α 9. Από το σημείο Α διέρεται ένας ποδηλάτης που κινείται ευθύγραμμα προς το σημείο Γ με σταθερή ταύτητα 4 m/sec. Στο σημείο Β που απέει 5 m από το σημείο Α, βρίσκεται ένας ακίνητος παρατηρητής. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ποδηλάτη παρατηρητή όταν η απόσταση αυτή είναι m. 48 Απ: y (t ) m/sec 74. Τέσσερα κινητά κινούνται στον ίδιο άξονα και οι θέσεις τους σε κάθε ρονική στιγμή t δίνονται πt από τους τύπους s t, s ημ, s t t, s4 t lnt. Να διατάξετε τις ταύτητες των κινητών από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τη ρονική στιγμή t. 75. Ένα σημείο κινείται σε άξονα και η θέση του τη ρονική στιγμή t καθορίζεται από την συνάρτηση s(t) t t. Να υπολογίσετε : α) την ταύτητα του κατά την ρονική στιγμή t sec. β) την επιτάυνση του κατά την ρονική στιγμή t 4 sec. γ) πότε η ταύτητα είναι. ΣΕΛ. 4

34 76. Ο όγκος ενός κύβου αυξάνει με ρυθμό,5 cm /sec. Να βρείτε το ρυθμό αύξησης της επιφάνειας του όταν ο όγκος είναι 7 cm. Δίνονται : Όγκος κύβου πλευράς α : V α Εμβαδόν επιφάνειας κύβου πλευράς α : Ε 6α. 77. Έει παρατηρηθεί ότι πίνοντας αναψυκτικό με καλαμάκι, μια αναρρόφηση διαρκεί περίπου sec και η ποσότητα που καταναλώνεται κατά την αναρρόφηση είναι ίση με την ποσότητα που ωρά στο καλαμάκι. Το ποτήρι έει διάμετρο 4 cm και το καλαμάκι έει διάμετρο,4 cm και ύψος 5cm. Να βρεθεί η ταύτητα με την οποία κατεβαίνει η στάθμη του αναψυκτικού στο ποτήρι σε κάθε αναρρόφηση. Δίνεται ο όγκος κυλίνδρου ύψους h και ακτίνας βάσης r : V πr h. 78. Η θέση ενός κινητού που κινείται σε άξονα δίνεται από τη συνάρτηση s(t) ln(t ), t. α) δειτεί ότι την αρική ρονική στιγμή το κινητό δεν βρισκόταν σε κατάσταση ηρεμίας. β) Δείξτε ότι η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη. γ) Να βρεθεί το μέτρο της ταύτητας και της επιβράδυνσης του κινητού τη ρονική στιγμή t. 79. Η ακτίνα R (σε cm) μιας σφαιρικής μπάλας από ιόνι τη ρονική στιγμή t (σε sec) δίνεται από τον τύπο R 9 t, t. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του όγκου V της μπάλας ως προς τον ρόνο : α) Τη ρονική στιγμή t. β) Τη ρονική στιγμή που η επιφάνεια της μπάλας είναι π cm. 7. Οι διαστάσεις, y ενός ορθογωνίου είναι και cm αντίστοια. Αρίζουν να ελαττώνονται με ρυθμό cm/sec και cm/sec αντίστοια. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου τη ρονική στιγμή που οι διαστάσεις του είναι ίσες με 5cm και y cm. 7. Μία σκάλα ΑΒ μήκους m είναι στερεωμένη σε έναν τοίο. Κάποια στιγμή η σκάλα γλιστράει και το ένα άκρο της Α που βρίσκεται στο έδαφος σε απόσταση 5m από τον τοίο, έει ρυθμό κίνησης m/sec. Να βρείτε το ρυθμό πτώσης του άκρου Β της σκάλας αυτή τη ρονική στιγμή. 7. Ένα σημείο κινείται κατά μήκος της καμπύλης y με τέτοιο τρόπο ώστε η απόσταση του από την αρή των αξόνων Ο να αυξάνει με σταθερό ρυθμό μονάδες/sec. Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου όταν αυτή ισούται με. 7. Ένα ποδήλατο βρίσκεται 4 km δυτικά από ένα σταυροδρόμι και κινείται προς αυτό με ταύτητα 9 km/h. Την ίδια ώρα ένα άλλο ποδήλατο βρίσκεται km βόρεια του σταυροδρομιού και απομακρύνεται από αυτό με ταύτητα km/h. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολή της απόστασης των ποδηλάτων τη ρονική αυτή στιγμή. 74. Το εμβαδόν της περιοής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm / sec. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι π cm / sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της περιφέρειας του μικρού κύκλου όταν αυτός έει εμβαδόν 6π cm. 75. Θεωρούμε ημικύκλιο ΑΟΒ ακτίνας R cm και την ΟΓ κάθετη στην ΑΒ στο Ο. Σημείο Μ κινείται από το Γ στο Β πάνω στον κύκλο έτσι ώστε η γωνία ΜΑΒ ω να ελαττώνεται με ρυθμό π rad/ sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης του Μ από τη διάμετρο ΑΒ τη ρονική στιγμή t όπου π ω(t ) Ένας παρατηρητής βρίσκεται στο έδαφος και παρατηρεί με τηλεσκόπιο αεροπλάνο το οποίο πλησιάζει με ταύτητα μίλια ανά λεπτό και πετάει σε ύψος 5 μιλίων από την επιφάνεια του εδάφους. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σηματίζει το τηλεσκόπιο με την κατακόρυφο, όταν η οριζόντια απόσταση του αεροπλάνου από τον παρατηρητή είναι μίλια. ΣΕΛ. 4