Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη"

Transcript

1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h

2

3 Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε o τύπος της g να είναι τύπος συνάρτησης Για μ==λ γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) g, ii) h και iii) h όπου h η συνάρτηση του διπλανού σχήματος Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία δίνεται ότι ln ln, e α) Να δείξετε ότι e β) i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να ορίσετε την αντίστροφη της και να βρείτε τον τύπο της γ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση e e e e Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 ( ) 5 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης C g : και δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒΤο κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/secτη χρονική στιγμή που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων t m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ χ ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες)

4 Δίνονται οι συναρτήσεις, και α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να βρείτε το πρόσημο της g π π g ημ συν,, γ) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του ε) Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) : α) β) lim g γ) lim g 5Δίνονται οι συναρτήσεις g :,,,, για τις οποίες ισχύουν : lim lim g lim lim g 8 lim g 9 α) Να δείξετε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου h β) Να δείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι,, Με δεδομένο ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, : δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και hg, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 6Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για h h την οποία ισχύει ότι lim h h α) Να δείξετε ότι, και β) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Aξ, ξ και Β ξ, εφάπτεται της C στο Α γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της που άγεται από το σημείο Γ, ε) Ένα κινητό Μ κινείται επί της C και αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του;

5 στ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο, π π 7Δίνονται οι συναρτήσεις ημ,, πκαι g εφ,, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Να βρείτε, στο διάστημα ημ συν ε) Να λύσετε την εξίσωση g,π π,, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης της εξίσωσης 8Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις οποίες ισχύει : () e () 5 g g g α) Να δείξετε ότι: i) ii), 5 β) Να δείξετε ότι g :, g :, για τις γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο,εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g e g έχει μία δ) Αν,να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο, 9Δίνονται οι συναρτήσεις,g : τέτοιες ώστε:, η είναι παραγωγίσιμη με γνησίως αύξουσα, g lime ln, α) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία γ) Αν e d g, να δείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε δ) i) Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της,

6 ii) Να δείξετε ότι d iii) Να βρείτε το lim Δίνονται οι συναρτήσεις,g : όπου g Αν g 8,, τότε: α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g εφάπτεται σε σημείο Α στη γραφική παράσταση της γ) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της δ) Αν Γ είναι το σημείο τομής των ε, χωρία που έχουν λόγο εμβαδών C C g στο σημείο B,, να δείξετε ότι η C,όπου F αρχική της α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Να δείξετε ότι : d d, α α α Επίσης δίνεται ότι : G G γ) i) F F χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο Δίνεται παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη συνάρτηση : για την οποία γνωρίζουμε ότι : F F F G h G h και lim,όπου G αρχική της F h h ii) Να δείξετε ότι F για κάθε F F iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, δ) Να δείξετε ότι d F είναι γνησίως αύξουσα στο Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση η οποία έχει σταθερό όρο το 5 και για την οποία ισχύει ότι tdt, α) Να δείξετε ότι 5 5 β) Να δείξετε ότι η έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6 Πόσες από τις ρίζες είναι ακέραιες; δ) Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h 6,, δέχονται κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία, ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

7 Λύσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε o τύπος της g να είναι τύπος συνάρτησης Για μ==λ γ) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) g, ii) h και iii) h όπου h η συνάρτηση του διπλανού σχήματος Λύση α) Για να έχει πεδίο ορισμού το η συνάρτηση πρέπει να ισχύει για κάθε,το οποίο ισχύει όταν 6 6 β) Για να παριστάνει συνάρτηση πρέπει γ) Για μ==λ έχουμε, Για έχουμε g (Aπό το σχήμα horner για το πολυώνυμο Άρα 6 5 Για έχουμε g 8 Άρα οι συναρτήσεις και g είναι ίσες και g , για 5, έχουμε: δ) Όπως φαίνεται από το σχήμα η h έχει πεδίο ορισμού το Ah, i) A A A, h h ii) H γραφική παράσταση της h τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία με τετμημένες -,,

8 Άρα A,, g A iii) Πρέπει : Ah ύύ Άρα Ah : Δίνεται η συνάρτηση, για την οποία δίνεται ότι ln ln, e α) Να δείξετε ότι e β) i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να ορίσετε την αντίστροφη της και να βρείτε τον τύπο της γ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση α) Έχουμε τη σχέση : e e e e Λύση ln ln, () Θέτουμε ln e,οπότε η σχέση () μετατρέπεται στη σχέση : α e α α α e () Αν βάλουμε όπου α το,προκύπτει η σχέση : α α e α α e e α α α α α α α e e α e Πολλαπλασιάζουμε τη σχέση () με και την προσθέτουμε στην σχέση () οπότε έχουμε: e e e e e e e e e Άρα η συνάρτηση έχει τύπο, e β) i) Έστω, με e e e e e e e e e e e e e e άρα η είναι - οπότε αντιστρέφεται

9 ii) Θέτουμε e y y e y e y e y e y e y y y y ye y e ln, y y ln, y y y y y (Πρέπει y y y y y y ) y Άρα η έχει τύπο ln και πεδίο ορισμού το A, e e e e e Έστω με γ) i), e e e e e e e e e e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της < ii) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e < e e e e e e : e e e e e Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: lim για κάθε α) Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο β) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο 6 ( ) 5 γ) Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εφαπτομένη ε της στο εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της συνάρτησης C g και δ) Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές O και Oy αντίστοιχα Ένα δοκάρι είναι τοποθετημένος κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒΤο κάτω μέρος του δοκαριού ολισθαίνει πάνω στον ημιάξονα Οχ με ρυθμό m/secτη χρονική στιγμή που η κορυφή του δοκαριού απέχει από την αρχή των αξόνων t m, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της οξείας γωνίας θ που σχηματίζει το δοκάρι με τον χ χ ii) την ταχύτητα που πέφτει το πάνω μέρος του δοκαριού (Δίνεται ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ίσο με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ όπου Γ,Δ τα σημεία τομής της εφαπτομένης ε του προηγούμενου ερωτήματος με τους άξονες)

10 Λύση, [,), g και α) Θεωρούμε g g lim lim οπότε g lim lim lim g lim g lim g 5 lim g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με β) () Για = : () 6 () 6 u u 6 lim lim lim 6 u6 u 6 H εξίσωση της εφαπτομένης της στο 6 είναι η (ε) : C y y y 6 γ) H εξίσωση της εφαπτομένης της C στο είναι η (ε) : Έστω, Οπότε g To σημείο,g( ) ανήκει στην (ε) οπότε y y y 6 A g το σημείο επαφής της εφαπτομένης με τη g και δ) i)h (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, και, Έστω,,, C g g 5 y t t οι συντεταγμένες του πάνω και κάτω άκρου του πάσσαλου την τυχαία χρονική στιγμή t Αν t η γωνία θ την τυχαία χρονική στιγμή t τότε t t t tt () 5 5 t y t Για t t tt 5 5 t t t rad / sec 5

11 yt ii) t y t 5 t y t 5 t t 5 Για t t : yt 5 t t t yt m / sec Δίνονται οι συναρτήσεις, και α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να βρείτε το πρόσημο της g γ) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο, δ) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του ε) Να βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) : α) β) lim g lim g α) Έστω,, με Λύση π π g ημ συν,, τέμνονται σ ένα γ) lim g () Επίσης () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο, Είναι lim lim lim lim Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, άρα το σύνολο τιμών της είναι το A, lim, β) Έχουμε g άρα αφού, g άρα g στο,, g άρα g στο,

12 γ) Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ημ είναι γνησίως αύξουσα στο,, Επίσης γνωρίζουμε η συνάρτηση συν είναι γνησίως αύξουσα στο, Άρα για οποιαδήποτε,, με () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε g g αύξουσα στο, δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h g ε) i) Η h είναι συνεχής στο, h g h g, άρα και στο ισχύει () και άρα και στο άρα η g είναι γνησίως σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Άρα h h οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano δηλαδή υπάρχει, τέτοιος ώστε h g g Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη αρνητική και μεγαλύτερη του lim lim g g στο ii), g g g g g αφού και lim g lim g lim g άρα από Κριτήριο Παρεμβολής lim g g

13 γ) lim lim, g lim lim 5Δίνονται οι συναρτήσεις g :,, ισχύουν : lim lim lim g 8 lim g 9,,, για τις οποίες α) Να δείξετε ότι το είναι ρίζα του πολυωνύμου h β) Να δείξετε ότι γ) Να δείξετε ότι,, Με δεδομένο ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, δ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη α) Λύση h, h limh lim h άρα το ρίζα του Ισχύει πολυωνύμου h β) Από το α) έχουμε () lim lim lim lim () γ) Όπως δείξαμε στο β) ερώτημα οπότε lim lim lim Από τις σχέσεις (),() έχουμε για ότι και δ) Θεωρούμε τη συνάρτηση k g lim k lim g 8 αφού :

14 Άρα υπάρχει,τέτοιος ώστε k αφού lim k lim g 9 Άρα υπάρχει πολύ μεγάλος αριθμός ν,τέτοιος ώστε Η k είναι συνεχής στο σαν διαφορά συνεχών kk Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε η εξίσωση k g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,,, k Επομένως κάθε οριζόντια ευθεία y, 8 τέμνει τη γραφική παράσταση της g σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ε) Έχουμε Θεωρούμε τη συνάρτηση l h g g lim l Άρα υπάρχει,τέτοιος ώστε lim l lim 9 8 Άρα υπάρχει πολύ μεγάλος αριθμός τ,τέτοιος ώστε l Η l είναι συνεχής στο σαν διαφορά συνεχών ll Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε η εξίσωση l g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,,, Άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g, τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 6Δίνεται συνάρτηση ορισμένη στο, και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για h h την οποία ισχύει ότι lim h h α) Να δείξετε ότι, και β) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Aξ, ξ και Β ξ, εφάπτεται της C στο Α γ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της δ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της που άγεται από το σημείο Γ, ε) Ένα κινητό Μ κινείται επί της C και αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του; ημ, π στ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο

15 Λύση h h h h α) lim lim h h DLH h h h h h h lim lim h h h h h γιατί u khuh k kh u u lim lim lim k k, k h h h u u u u u k Άρα c c, c c c c c c, c c c c c, c και c οπότε ξ ξ ξ β) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λαb ξ ξ ξ ξ οπότε εφάπτεται της C στο Α ξ, ξ τότε, y y, y y, άρα y y, y και γ) Έστω B,, σημείο της C Η δ) Έστω Η εφαπτομένη της Για να διέρχεται η ε από το Γ πρέπει ε) Έστω και αντιστρέφεται, είναι παραγωγίσιμη στο, με C στο Β είναι η ευθεία ε: y y, άρα ε: y M t,y t με y t t Επειδή το Μ αυξάνει διαρκώς την απόστασή του από την αρχή των αξόνων έχει t Είναι y t t και τη χρονική t στιγμή t που ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, είναι

16 yt t t t M, t t t, άρα στ) ημ ημ Έστω g ημ,,π Είναι g, gπ π π ggπ και επειδή η g είναι συνεχής στο λόγω του ΘBolzano, υπάρχει ρ,π : gρ Εύκολα αποδεικνύεται ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα το ρ είναι μοναδικό δηλαδή, π ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, π 7Δίνονται οι συναρτήσεις ημ,, πκαι g εφ,, α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα δ) Να βρείτε, στο διάστημα π, ημ συν ε) Να λύσετε την εξίσωση g,π, το πλήθος των ριζών της εξίσωσης της εξίσωσης Λύση α) Η είναι παραγωγίσιμη στο,π με συν Για το πρόσημο της έχουμε τρόπους ος τρόπος Με βάση τη γραφική παράσταση της y συν, έχουμε: π συν, και π,π ος τρόπος,π π συν Στο διάστημα, είναι και επειδή η Διάστημα,, είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Επιλεγμένο π/6 / π διάστημα αυτό Επειδή είναι 6 Πρόσημο της + για κάθε, και επειδή η είναι π συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο, Στο διάστημα, είναι και επειδή η είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα αυτό Επειδή

17 π είναι για κάθε, και επειδή η είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο Η έχει τοπικό ελάχιστο το το π 9 π ημ ημ β) Στο διάστημα π A, π,π, ελάχιστο το π π ( και μέγιστο η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα άρα έχει αντίστοιχο 9 π σύνολο τιμών το A, Επειδή το δεν περιέχεται στο έχει ρίζα στο A A, η δεν π Στο διάστημα A,π η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα έχει αντίστοιχο 9 π σύνολο τιμών το A π, Επειδή το περιέχεται στο, η έχει π ρίζα στο διάστημα,π,π η οποία είναι και μοναδική αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό π γ) Η g είναι παραγωγίσιμη στο, συν g συν συν με π, A π π g συν συν συν συν συν π Για κάθε, είναι π g π g, και για κάθε,π είναι π π g g, Η g έχει τοπικό ελάχιστο το g και μέγιστο το π π g (από το σύνολο τιμών της g) ημ ημ συν ημ συν συν δ) εφ g Για κάθε έχει ρίζα στο π, π g g g g άρα η εξίσωση ημ lim g lim π π π συν είναι π, Είναι g δεν

18 π π Στο διάστημα A, η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα άρα έχει αντίστοιχο π σύνολο τιμών το ga, Επειδή το περιέχεται στο, η π π π έχει μια ρίζα στο διάστημα,, η οποία είναι και μοναδική αφού η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό ga g h g π ημ εφ,, Είναι συν συν h συν συν συν ε) Έστω - ρ = h συν συν συν h Για κάθε π, συν π h είναι π h h, συν συν συν Για κάθε hh g Επειδή μοναδική ρίζα της εξίσωσης h g h, το είναι η 8Δίνονται οι δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις :, g :, για τις οποίες ισχύει : () e () 5 g g g α) Να δείξετε ότι: i) ii), 5 β) Να δείξετε ότι g γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο,εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της g e g έχει μία δ) Αν,να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο, Λύση α) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση h e h e άρα η h είναι Η συνάρτηση h είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο γνησίως αύξουσα και - Από τη σχέση () έχουμε : h e h h

19 ii) Από τη σχέση () έχουμε : () Θεωρούμε τη συνάρτηση k Η k είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της k k άρα στο παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο) Από τη σχέση () έχουμε,οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat δηλαδή k Έχουμε : k οπότε k β) Από τη σχέση () έχουμε : 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση l 5 5 g g (5) Η συνάρτηση l είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο γνησίως αύξουσα και -,οπότε έχει μοναδική ρίζα το l Για l l l Από τη σχέση (5) έχουμε : g l 5 άρα η l είναι l και για l l l για, είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο,, οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα και Επειδή g,η g είναι αρνητική στο διάστημα 5 5 g g έχουμε : Επίσης g,η g είναι θετική στο διάστημα 5 έχουμε : g Από τη σχέση (5) έχουμε g άρα 5, οπότε από τη σχέση (5), οπότε από τη σχέση (5) g για κάθε γ) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο έχει εξίσωση : y y y Βρίσκουμε τα σημεία(σημείο) της C g για τα οποία g 5 5 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο,, g έχει εξίσωση : y g g y, η οποία ταυτίζεται με την εξίσωση της (ε) δ) Οι εξισώσεις e και g όπως δείξαμε έχουν μοναδική ρίζα το Άρα η ζητούμενη ρίζα θα είναι της εξίσωσης Η k είναι παραγωγίσιμη στο, το οποίο είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της k k άρα στο παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο),οπότε Από τη σχέση () έχουμε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat δηλαδή k Έχουμε : k οπότε k Θεωρούμε τη συνάρτηση m Η συνάρτηση m είναι συνεχής στο, σαν γινόμενο συνεχών συναρτήσεων

20 Η συνάρτηση m είναι παραγωγίσιμη στο m και m, με παράγωγο m Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle οπότε υπάρχει m 9Δίνονται οι συναρτήσεις,g : τέτοιες ώστε:, η είναι παραγωγίσιμη με γνησίως αύξουσα, g lime ln, α) Να δείξετε ότι η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την g ως προς την μονοτονία γ) Αν,, τέτοιο ώστε e d g, να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο ώστε δ) i) Να βρείτε την εφαπτομένη της στο σημείο της ii) Να δείξετε ότι d iii) Να βρείτε το lim Λύση, α) H g είναι συνεχής στο σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων u u u limg lim lim lim () u u u u u lim lim g lim e ln () αφού * e lim e ln lim ln e e ln lim lim, lim ln lim lim DLH DLH, η g συνεχής στο άρα και στο lim β) g Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο,, οπότε υπάρχει

21 τέτοιο ώστε Για την ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο,, οπότε υπάρχει,, τέτοιο ώστε Επομένως για έχουμε οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο είναι συνεχής στο αφού γ) e d e e d e e e e e d g e d β σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο Θεωρούμε τη συνάρτηση Η β είναι συνεχής στο,, Για την β ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle oπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε δ) i) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο είναι: (ζ): y y ii) Η στο άρα η είναι κυρτή στο οπότε βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της ζ εκτός από το σημείο επαφής άρα ()H ισότητα δεν ισχύει d d d d lim για κάθε οπότε: iii) lim άρα

22 Δίνονται οι συναρτήσεις,g : όπου g Αν g 8,, τότε: α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g εφάπτεται σε σημείο Α στη γραφική παράσταση της γ) Να βρείτε την εφαπτομένη ε της C στο σημείο B, δ) Αν Γ είναι το σημείο τομής των ε, C g, να δείξετε ότι η χωρία που έχουν λόγο εμβαδών α)έστω u Λύση Τότε η σχέση g u u u u u 8 u u, u C χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο g 8 γίνεται: 8 u, u β) Αρχικά θα αναζητήσουμε σημείο M, στο οποίο Η είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι Η εφαπτομένη της στο σημείο A, είναι η ευθεία η g C γ) ε: y y δ) Από το σύστημα των ε, C g προκύπτει ότι Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν: ABΓ ΑΒ ΓΟ τμ Το χωρίο που περικλείεται από τη έχει εμβαδόν: Ω C Γ, και τον άξονα g, άρα λ ΕΩ d d τμ Το χωρίο Ω έχει εμβαδόν: ΕΩ ΑΒΓ ΕΩ τμ ΕΩ Είναι ΕΩ y, άρα είναι h λ ε) Η συνάρτηση h έχει εφαπτομένη στο B, την ε όταν h και ε h a, Έστω ότι

23 h a a Έχουμε lim lim lim οπότε h, Η h είναι παραγωγίσιμη με τύπο h β β h β, τότε Είναι h c c, οπότε h, Δίνεται παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη συνάρτηση : για την οποία γνωρίζουμε ότι : F F F,όπου F αρχική της α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Να δείξετε ότι : d d, α α α Επίσης δίνεται ότι : G G γ) i) F F G h G h και lim,όπου G αρχική της F h h ii) Να δείξετε ότι F για κάθε F iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, δ) Να δείξετε ότι d F F είναι γνησίως αύξουσα στο Λύση α) Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, άρα υπάρχουν,,, τέτοια ώστε: F F F F F, F F F F F Έστω ότι η είναι γνησίως φθίνουσα,τότε: F F F F F F F άτοπο από τη σχέση που μας δίνεται,οπότε η είναι γνησίως αύξουσα α α β) Έχουμε : d d Fα Fα Fα Fα α α Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα,,, υπάρχουν,,, τέτοια ώστε: F F F F F, άρα

24 F F F F F Έχουμε: F a F a F a F a γ) i) Το είναι μέγιστο της G,είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της,η G είναι παραγωγίσιμη σ αυτό οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Fermat και G F GhGh GhG GGh Επίσης : lim lim h h h h G h G G h G lim G G G h h h F, ii) Για την συνάρτηση F ισχύει το ΘΜΤ στo διάστημα άρα υπάρχει τέτοιο ώστε: F F F F F Έχουμε: F F iii) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, με τύπο F F F g Όμως F F είναι γνησίως αύξουσα στο, από το α) άρα g στο δ) Από το ερώτημα Δβ)α) έχουμε F F οπότε d F d d F d d F F d d F d d F d F,, άρα η g

25 Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση η οποία έχει σταθερό όρο το 5 και για την οποία ισχύει ότι tdt, α) Να δείξετε ότι 5 5 β) Να δείξετε ότι η έχει δύο τοπικά ελάχιστα και ένα τοπικό μέγιστο γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6 Πόσες από τις ρίζες είναι ακέραιες; δ) Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h 6,, δέχονται κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Λύση, α) Είναι t dt t dt Έστω t dt λ, τότε 5 5λ c, c Επειδή η έχει σταθερό όρο το 5, είναι c 5 d λ 5 5λ 5 d λ λ 5 5λ, οπότε 5 5λ 5 5 5λ 5λ 8λ 5 λ 5 λ 6 λ 6 Άρα 5 5, β) Είναι 6 και 6 Για κάθε,, είναι και επειδή η είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα,, Είναι και, Για κάθε, είναι lim lim 6 lim, lim lim στο εσωτερικό του, 6 και Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ,6 Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό Δ τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ,6 Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, ώστε Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ,, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ, Επειδή το βρίσκεται στο εσωτερικό του Δ υπάρχει μοναδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, ώστε - + < > <

26 Για κάθε, Για κάθε, Η έχει τοπικό ελάχιστο το Για κάθε, Για κάθε, Η έχει τοπικό μέγιστο το Για κάθε, και για κάθε, Η έχει τοπικό ελάχιστο το :5 γ) Είναι lim, lim lim lim Είναι Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A, τιμών το A, Επειδή A,έχει αντίστοιχο σύνολο υπάρχει μοναδικό ρ Α τέτοιο, ώστε ρ Είναι Η είναι συνεχής στο -, οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο A, αντίστοιχο σύνολο τιμών το A, εσωτερικό του A ρ, υπάρχει μοναδικό Επειδή, η εξίσωση έχει ρίζα το Η είναι συνεχής στο είναι η μοναδική ρίζα της στο διάστημα αυτό, ρ και έχει Επειδή το βρίσκεται στο στο εσωτερικό του τέτοιο, ώστε Α οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο A, Είναι Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A, τιμών το A, Επειδή A η έχει ρίζα και η οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τέσσερις ρίζες Ακέραια ρίζα της είναι το Πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του 5, δηλαδή οι, 5 Είναι άρα το - δεν είναι ρίζα ρ στο A Τελικά η έχει Είναι άρα το 5 δεν είναι ρίζα Είναι άρα το - 5 δεν είναι ρίζα Μοναδική ακέραια ρίζα της είναι το δ) Τα κοινά σημεία των h g τα ρ, ρ,, ρ C, C είναι οι ρίζες της εξίσωσης - άρα < > - > < > ΤΕ < ΤΕ ΤΜ +

27 Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο ρ πρέπει h ρ g ρ h ρ g ρ ρ που είναι άτοπο Όμοια για τις, και Άρα δεν έχουν κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία ρ ρ ε) g6 g Έστω t 6,, Είναι t 8, t , δηλαδή t t και επειδή η t είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική, λόγω του ΘBolzano, η t 6 εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, ,

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

f '(x 0) lim lim x x x x

f '(x 0) lim lim x x x x Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει

για κάθε x 0. , τότε f x στο Απάντηση είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε (x , ισχύει ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α Α Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α. Ορισμός στο σχολικό βιβλίο σελίδα 15. β. i) Μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Ρ Ο Τ Ε Ι Ν Ο Μ Ε Ν Α Θ Ε Μ Α Τ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια.

Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 142 Γεωμετρική ερμηνεία του θ. Fermat: Στο σημείο (x o, f(x o )) η εφαπτομένη της C f είναι οριζόντια. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 76 Α. α. Ψ β. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και 13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 86 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α δ Α4 α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ΘΕΜΑ Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 7-8 ΘΕΜΑ Α (α) Δίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [ ].Αν η G είναι μια παράγουσα της στο [ ], τότε να αποδείξετε ότι : d

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο Μαΐου 9 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

1ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Θέμα Α ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ Θ.ΜΤ. g είναι παραγωγίσιμη στο,τότε και η συνάρτηση f x g x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ Θ.ΜΤ. g είναι παραγωγίσιμη στο,τότε και η συνάρτηση f x g x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΘΜΤ ΘΕΜΑ o Α Η συνάρτηση f( ), f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) ln, δηλαδή ln a a a Μονάδες Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «αν η συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

x x f x για κάθε f x x ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. α) Σχολικό σελίδα 15

x x f x για κάθε f x x ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. α) Σχολικό σελίδα 15 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό σελίδα 5 β) i. Μια συνάρτηση : είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε A y y A, η συνεπαγωγή: αν τότε ii. Μια συνάρτηση g: με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]

x, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0] Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [,

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 9 Ιουνίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα)

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα