qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ : Όρια συναρτήσεων στο Όρια συναρτήσεων στο cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopσ

2 Ορια στο R Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : γ) Αν κ+λ+ρ =, να βρείτε το όριο μεγαλύτεροι του, ν, μ θετικοί ακέραιοι Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : 6 4 ( ) δ) γ) Αν η συνάρτηση f ορίζεται στο [,+ ), έχει σύνολο τιμών το R και ισχύει f ( ) f 4 ( ) f ( ) 5 για κάθε, τότε να βρείτε το 5 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : 6 6 Να υπολογίσετε τα όρια : ( ) ( ) Εστω συνάρτηση f : RR και z C με z Αν ισχύει ότι z f () z για κάθε R Να δείξετε ότι : f () f ( ) α) z β) f () Re(z)ημ γ) z z 8 Να υπολογίσετε το όριο 5 9 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : γ)

3 Δίνεται η συνάρτηση f με f () g () ( ) f() g() g( ) και η συνάρτηση g με Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να υπάρχει στο R το όριο Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει : f () 5 f () 6 Να βρείτε τα όρια : f () Αν f (), για κάθε R, να βρείτε το f () Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : [( ) ] 4 Αν ισχύει [f () 6f ()] 9 5 Αν ισχύει [f () g () 4f () 6g()] f () και g(), να υπολογίσετε το όριο f () 6 Έστω f,g : R R για τις οποίες ισχύει f () g ( ) δείξετε τα όρια f () = g() =, να υπολογίσετε τα όρια για κάθε R Nα 7 Αν ισχύει [4f () g()] f () g() και [f () g()], να δείξετε ότι z z z 8 Εάν z C και ισχύει z, να δείξετε ότι z R 9 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g ορισμένες στο R, για τις οποίες ισχύουν : f () - g() και 4 Να βρείτε τα όρια : - - f () - f () γ) [(f () - ) ] g() - Δίνεται η συνάρτηση f R R για κάθε R : για την οποία ισχύει f () f () e

4 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να υπολογίσετε τα όρια : i) f () ii) f () (Απ α) β) ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : ( ( ) ) γ) δ), α,β (β) συν δ) ε) στ) π 4 ζ) θ) η) ( ) [( )] [( )] () ι) εφ εφ σφ σφ) - ημ ( 4 ι 8 ια) ( - α) ( ) Αν 4, να βρείτε το φυσικό αριθμό ν Αν για κάθε (, ) ισχύει g() 4 ημ g(), να υπολογίσετε το όριο f () 4 Αν f (), να βρείτε τα όρια : f () f () f () 5 Αν για κάθε R ισχύει ημ - f () f () f (), να υπολογίσετε τα όρια : 4

5 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : 6 6 γ) 7 Αν για κάθε πραγματικό αριθμό ισχύει η σχέση f()=f(+) και f () f (), να βρείτε το Να υπολογίσετε τα όρια : ( ) 4 7 δ) ( ) ( ) γ) ( ) 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R, f άρτια και g περιττή, για τις οποίες ισχύει: f () και g() 7 5 Να βρείτε το f () g() Αν f () l R, να δείξετε ότι [f ( h) f ( h)] h Έστω η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f(+y) = f() + f(y) για κάθε, f () f () f () y R Αν, να βρείτε το Να υπολογίσετε τα όρια : ( ) - γ) ( ) - 4 ( ) ( ), αr Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η f να έχει στο όριο πραγματικό αριθμό Εστω f( ) m Αν g είναι πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο R *, τέτοια ώστε : Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f με τύπο f g() 4 g() m f () για κάθε κοντά στο, να δείξετε ότι υπάρχει το 4 και να το υπολογίσετε 4 Εστω οι συναρτήσεις f, g : RR ώστε : [ f( ) ] ( ) ( ) 5 g 8 Να βρείτε, αν υπάρχουν,τα όρια : και 5

6 f( ) g( ) γ) [ f( ) g( )] 5 Έστω f : R R με f () f ( ) f () 5 f () για κάθε R * Να δείξετε ότι 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : ( ) 4 4 ( ) δ) ( ) ε) γ) 4 στ) ( ) 7 Αν, να υπολογίσετε το g() g()( ) f () 8 Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν g() αποδείξετε ότι g() και f () Να 9 Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύει ότι f () g( f () 4g() ότι 5 f () g () ) 5 5, να αποδείξετε 4 Έστω f : RR συνάρτηση άρτια, τέτοια ώστε να ισχύει f () κάθε R Να βρείτε το f () (Απ + ) 4 Έστω f()=συν, g()=ημ Να βρείτε τα όρια : f () f () f () f ( ), ν N * g () (Απ α) + ) 4 Δίνεται η περιττή συνάρτηση f : R R Αν f () υπάρχει το όριο της f στο, να εξετάσετε αν για 6

7 ( ) ρ, 4 Έστω η συνάρτηση f με f () Να βρείτε τους κ, αριθμούς ρ, κ ώστε να υπάρχει το f () και η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(-,5) 44 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) Να προσδιορίσετε τον αριθ- μό λ ώστε να υπάρχει το f ( ) και στη συνέχεια να το υπολογίσετε 45 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των αριθμών λ και μ : ( ) 4 ( ) 4 γ) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε να ισχύει : α z z 47 Έστω z C και f : R R με f () α) Αν f (), να δείξετε ότι z 6 β) Αν f (), να δείξετε ότι z ( ) Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε να υπάρχει το f( ) και να είναι πραγματικός αριθμός Στη συνέχεια να το 48 Εστω η συνάρτηση f υπολογίσετε f 49 Εστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R ώστε ( ) α) Να δείξετε ότι f( ) 4 f( ) β) Να βρείτε το όριο 5 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f( ) R α) Να βρείτε τον τύπο της f f β) Να βρείτε το ( ) για κάθε 7

8 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ν Ν * τέτοιος ώστε ( ) f ( ) 5 Εστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R ώστε f() α) Να δείξετε ότι f( ) f β) Να βρείτε το όριο ( ) για κάθε R 5 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, ώστε f(+y) = f()f(y) για κάθε, y R και f() Να δείξετε ότι : α) f() = β) f()>, για κάθε R γ) f( ), για κάθε R f( ) δ) f( ) f( ), ν Ν * ε) Αν η εξίσωση f() = έχει μοναδική λύση την =, τότε η f είναι - στ) Αν f( ), τότε f( ) 8 8

9 Ορια στο 5 Να βρείτε τα όρια : ( )( ) Να βρείτε τα όρια : α) Να βρείτε τα όρια : 4 γ) ε) δ) 56 Να βρείτε τα όρια : γ) 5 δ) Να βρείτε τα όρια : ( ) ( ) 58 Να μελετήσετε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ : ( ) ( -) ( ) 5 59 Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε να ισχύει 6 Να μελετήσετε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων τους : ( ), θ [, ] 9

10 6 Να βρείτε τον αριθμό α ώστε να υπάρχει το πραγματικός αριθμός 6 Να βρείτε τους αριθμούς α και β ώστε να ισχύει 5 6 Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει f να υπολογίσετε τα : α) f() f( ) και να είναι ( ) για κάθε R 4 64 Δίνεται η συνάρτηση f() =, λr f () α) Να βρείτε το όριο : α = (ως συνάρτηση του λ) β) Για την παραπάνω τιμή του α, να βρείτε το [f () - -] γ) Να βρείτε το όριο [f () ημ ] 65 Να βρείτε τα όρια : 9 ( 4 5 ) e 45 γ) δ) 7 6 e 66 Να μελετήσετε το αριθμού λ για τις διάφορες τιμές του θετικού 67 Να βρείτε τα όρια : ln() ln( ) β) 68 Αν για τις συναρτήσεις f, g που ορίζονται στο R, ισχύουν f () g() R και f () g() R, να δείξετε ότι 4 69 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο (,+ ) για την οποία ισχύουν f () και f() > για κάθε (,+ ) Να δείξετε ότι f () f () 7 Έστω f : RR τέτοια ώστε : f () f () e για κάθε R α) Να βρείτε την τιμή f() β) Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται

11 γ) Να βρείτε το πρόσημο των τιμών της f δ) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ε) Να λύσετε την ανίσωση lnf()> στ) Να βρείτε το όριο f () 7 Έστω f : (,+ ) R τέτοια ώστε : f () f () για κάθε (,+ ) α) Να δείξετε ότι f()> για κάθε > f () f () β) Να υπολογίσετε τα όρια : Α = και Β = 7 Έστω z C * και f : R R με f () z z z f () α) Να δείξετε ότι z f () β) Αν, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z (Απ β) z )