ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και () 0 στο (, ), τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της ( Α Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο A ; Α Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rlle Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Η εικόνα ( ) ενός διαστήματος Δ μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα β) Aν η συνεχής στο [α,β] και ()d 0 γ) Ισχύει, για κάθε R, τότε () 0 για κάθε [, ] δ) Aν R Z, τότε για κάθε (0, ) ε) Αν z,z C, τότε Re( z z) Re(z ) Re(z ) (0 μονάδες) ΘΕΜΑ Β i 0 Έστω οι μιγαδικοί z, w για τους οποίους ισχύει z, R και z i w i i B Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός Β Να αποδείξετε ότι όταν το μέτρο του z γίνεται μέγιστο τότε w 7i B Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του w Β4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () z e w αντιστρέφεται (8 μονάδες) (6 μονάδες)

2 ΘΕΜΑ Γ () Έστω η συνάρτηση : R R, δις παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει lim 0 e και η συνάρτηση g() ()ln, 0, της οποίας η γραφική παράσταση δεν έχει κανένα σημείο κάτω από την ευθεία y Γ Να βρεθεί το () Γ Να βρεθεί η εφαπτομένη της C στο σημείο 0, (0) A Γ Nα αποδείξετε ότι η έχει ένα πιθανό σημείο καμπής στο διάστημα (0,) (5 μονάδες) (6 μονάδες) Γ4 Αν επιπλέον ισχύει () για κάθε R, να αποδείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y 4 σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,4) ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία για κάθε ( t) (t ) ( t) dt e e R ισχύει :, και ο μιγαδικός z C για τον οποίο ισχύει zz 4 4z Δ Να βρείτε το τύπο της Δ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z Δ Ένα κινητό Μ κινείται στο γεωμετρικό τόπο του z (8 μονάδες) α) Να βρείτε σε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ ως προς το χρόνο t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y, αν υποτεθεί ότι y(t) 0 και (t) 0 για κάθε t 0 (6 μονάδες) β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y τη χρονική στιγμή που το κινητό Μ περνάει από το A,, όπου η τετμημένη ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο

3 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 58 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Α4 α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β z i ( i)( i) i i i i ( i)( i) Β zr Im(z) 0 0, αδύνατο Άρα z R, για κάθε R i i i i 4 z 4 4 Έστω g( ), R 4 6 g ( ), R 4 4 g ( ) Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα η g έχει μέγιστο για 0, το g(0) Οπότε το μέτρο του z γίνεται μέγιστο για 0 0 Για 0 είναι z i Άρα z i w i 4i i w w 7i w 7i Β Η g είναι γνησίως αύξουσα στο,0] lim 4 4 g( ) lim lim lim Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, ) Ομοίως lim g( ) Άρα (, ] (, άρα έχει σύνολο τιμών lim g( ),g(0) Άρα (, ] [, άρα έχει σύνολο τιμών lim g( ),g(0)

4 Άρα η g έχει σύνολο τιμών (, ] Οπότε για κάθε R, ισχύει g( ) z 0 w i Είναι z i w i z i w z w i w i Άρα z w i 4 w i 4 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w είναι τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων με κέντρο K(, ) και ακτίνες και 4 αντίστοιχα, καθώς και τα σημεία του κύκλου με κέντρο K(, ) και ακτίνα 4 Β4 () z e w () z e, R Είναι z z, άρα z 0 z 0 z e 0 Άρα () 0, για κάθε R, οπότε η γνησίως αύξουσα στο R Συνεπώς η είναι - και αντιστρέφεται, για κάθε R ΘΕΜΑ Γ Γ Η C g δεν έχει κανένα σημείο κάτω από την ευθεία y, άρα ισχύει g() για κάθε R Είναι g(), άρα ισχύει g() g() για κάθε R Οπότε η g έχει ελάχιστο για Επίσης είναι παραγωγίσιμη με () Άρα g () 0 0 () () g (), 0 Γ H είναι δις παραγωγίσιμη στο R, άρα η και η συνεχείς στο R () 0 Επίσης το όριο lim είναι της μορφής 0, άρα: e 0 () () () () lim lim lim e e e () () Έστω h(), 0 e Άρα () h()e () lim () lim h()e () Συνεπώς (0), οπότε 0 0 () (0) h()e () Εϊναι (0) lim (0) lim (0) limh()e () (0) (0) (0) 0 Άρα η εφαπτομένη της y (0) (0)( 0) y C στο σημείο 0, (0) A έχει εξίσωση:

5 Γ Η συνεχής στο [0,] και παραγωγίσιμη στο (0,), άρα υπάρχει (0,) τέτοιο () (0) ( ) Επίσης (0) 0 Είναι 0, η συνεχής στο [0,α], παραγωγίσιμη στο (0,α) και (0) ( ) Άρα υπάρχει ( 0, ) (0,) τέτοιο ώστε ( ) 0 Οπότε η έχει ένα πιθανό σημείο καμπής στο (0,) Γ4 Έστω ( ) () 4, R Είναι ( ) ( ) 0 και ( 4) (4) 8 Η συνεχής στο [-,0] και στο [,4], παραγωγίσιμη στο (-,0) και στο (,4) (0) ( ) ( ) Άρα υπάρχουν (,0) και (,4) τέτοια ώστε ( ) και 0 ( ) (4) () (4) ( ) 4 Είναι () για κάθε R ( ) Άρα ( ) ( ) 4 ( ) 0 ( ) 0 7 (4) και ( ) (4) 4 (4) 7 0 (4) 8 Οπότε ( ) 7 0 και ( 4) 0 Επίσης η φ είναι συνεχής στο [-,4], άρα υπάρχει (,4) τέτοιο ώστε ( ) 0 ( ) 4 Άρα η C τέμνει την ευθεία y 4 σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,4) ΘΕΜΑ Δ, R () Έστω u t t u du ( t) dt du dt dt du Για t, u και για t, u Δ Είναι ( t) (t ) ( t) dt e e Άρα ( t) (t ) ( t) dt (u) ( u ) (u) ( (u) ( u ) (u) (u)( u )du (u)(u )du du) Οπότε () <=> (u)(u )du e e, R Άρα για κάθε R, (u)(u )du e e ()( ) e e e e Για, () du

6 e e lim () lim lim e e e lim e Η συνεχής στο R, άρα () e e e, Τελικά () e, e e e ( ) (e e) e e e Δ Για κάθε, () ( ) ( ) Έστω g() e e e, R g () e e e e e e ( ), R g () 0 e ( ) 0 Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Άρα για κάθε είναι g() g() e e e 0 Οπότε για κάθε είναι () 0 και επειδή η συνεχής στο είναι γνησίως αύξουσα στο R Άρα zz 4 4z zz 4 4z z 4z 4 0 z 0 z Οπότε η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας Μορφοποιήθηκε: Ελληνικά (Ελλάδας) Δ α) Έστω Μ(,y) που ανήκει στον κύκλο y 4 Είναι (t) και y(t) M (t),y(t) και (t) y (t) 4, για κάθε t 0 Άρα (t) y (t) (4) (t) (t) y(t) y (t) 0 (t) (t) y(t) y (t) 0 Έστω t η χρονική στιγμή για την οποία ισχύει (t ) y (t ) Είναι (t ) 0 Επίσης ισχύει (t ) (t ) y(t ) y (t ) 0 (t ) y(t ) 0 y(t ) (t ) y, άρα Πρέπει (t ) y (t ) 4 (t ) (t ) 4 (t ) (t ) ή (t ) Αν (t ), τότε (t ) και αν (t ), τότε y(t ) y Είναι (t) 0, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y, άρα στο σημείο β) Έστω t η χρονική στιγμή για την οποία είναι (t ) και y(t ) Επίσης είναι (t ) Ισχύει (t ) (t ) y(t ) y (t ) 0 ( ) y (t ) 0 y (t ) Άρα η τεταγμένη στο σημείο Α μειώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΛΥΒΑΣ ΣΠΗΛΙΟΣ-ΚΑΣΤΑΝΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ-ΠΑΠΑΣΩΤΗΡΙΟΥ ΣΠΥΡΟΣ