ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης P ( ) 0, τότε να βρείτε τις τιμές των α και β γ) αν και είναι οι μη πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P ( ) 0, να αποδείξετε ότι: + 7 ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i) Nα εξετάσετε αν η f είναι - ii) Να βρείτε την αντίστροφη της f iii) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) f ( ) iv) Να βρεθούν οι συναρτήσεις fof, f of ΘΕΜΑ 3 Για κάθε μιγαδικό αριθμό C A Να λυθούν οι εξισώσεις: α) f () i β) f () /{ i} θέτουμε f ( ) i Και να βρεθούν οι εικόνες Α, Κ αντίστοιχα των προηγούμενων λύσεων Β Θέτουμε + yi όπου, y R Να εκφράσετε συναρτήσει των,y τους Re f () και Im f () α) Να καθορίσετε και να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο το σύνολο των σημείων Μ() που είναι τέτοια ώστε ο f() να είναι πραγματικός β) Να καθορίσετε και να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο το σύνολο των σημείων Μ() που είναι τέτοια ώστε ο f() να είναι φανταστικός

2 γ) Εξετάστε τη σχέση των σημείων Α, Κ ως προς τα σύνολα των σημείων που έχουν καθοριστεί τα ερωτήματα (Β α)) και (Β β)) Σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων αυτά τα σύνολα Γ Θεωρούμε τώρα όλους τους μιγαδικούς που βρίσκονται πάνω στην ευθεία που καθορίζουν τα σημεία Α και Κ Βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού f() Τι παρατηρείτε; ΘΕΜΑ 4 Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 θέτουμε f () Επίσης για κάθε μιγαδικό 0 σημειώνουμε με Μ την εικόνα του και με Μ την εικόνα του f() στο μιγαδικό επίπεδο Να επιλυθεί στο C η εξίσωση Ονομάζουμε, τις ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης Βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς f (),f ( ) και τοποθετήστε στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία A( ),B( ),A'(f ()) και B' (f ( )) Τι παρατηρείτε; Αποδείξτε ότι ( OM ) ( OM' ) διάφορο της αρχής Ο για κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου Μ, f () Αποδείξτε ότι για κάθε 0 έχουμε αν και μόνο αν f () αν και μόνο αν f () f () Έστω (c) ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Ι(,0) και ακτίνα r Δείξτε ότι το σημείο Μ() διαγράφει τον κύκλο (c) αν και μόνο αν Δείξτε ότι το τμήμα ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου (c) Εάν το σημείο Μ() με 0 διαγράφει τον κύκλο (c) να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ (f()) ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η συνάρτηση f() 3 ++ Νδο: η f αντιστρέφεται

3 Να βρείτε, αν ορίζεται, το f - (4) Nα λύσετε τις εξισώσεις f(), f - () - Να βρείτε τα κοινά σημεία της C - f με τους άξονες καθώς και με την ευθεία ψ Να λύσετε την εξίσωση (-ημ χ) 3 ημ 3 χ+ημ χ+ημχ- Nα λύσετε τις ανισώσεις f - ()<3, f - (+) +5 ΘΕΜΑ 6 Έστω ο αριθμός + i i Α Να βρείτε τους αριθμούς Re( ) και Im( ) Β Να αποδείξετε ότι Γ Να αποδείξετε ότι i Δ Να αποδείξετε ότι 3 I Ε Να αποδείξετε ότι i ΘΕΜΑ 7 Έστω οι μιγαδικοί, ώστε + + i και i Α Να αποδείξετε ότι + i και i 3 3 Β Να αποδείξετε ότι Re( ) + Re( ) Im( ) + Im( ) 0 Γ Έστω M M( ) και M M( ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο OM M είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ΘΕΜΑ 8 Έστω η συνάρτηση f : R R που ικανοποιεί την σχέση f () f (y) f ( y) για κάθε,y και η εξίσωση f () 0 που έχει μοναδική ρίζα Α Να βρεθεί το f (0) Β Να δείξετε ότι η f είναι Γ Αν f () < 0 για κάθε < 0 α Να δείξετε ότι η f είναι γν αύξουσα β Να λύσετε την ανισωση f ( e ) + f ( 3 ) < f ( e ) +

4 ΘΕΜΑ 9 Έστω ο αριθμός + i με α, β R του οποίου οι εικόνες Μ() κινούνται στον κύκλο (k) : + (y ) Έστω και οι αριθμοί w i Α Αποδείξτε ότι ο γεωμετρικός τύπος των M (w) είναι κύκλος (c) : + y Β Αν 0 είναι εκείνος ο με το μεγαλύτερο μέτρο, να αποδείξετε ότι w i Γ Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και w είναι διαφορετικοί Δ Να αποδείξετε ότι (w ) 3 i ΘΕΜΑ 0 Έστω k + i, ki με k R Α Να αποδείξετε ότι Α) i και Α) i Β Να αποδείξετε ότι Β Να αποδείξετε ότι (k + i) + ( ki) 0 Γ Αν ο αριθμός είναι φανταστικός να αποδείξετε ότι k 0 και τότε να βρείτε τις τιμές του 3 v v N ώστε ΘΕΜΑ Α Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: f( f ()) R Να δείξετε ότι f( ) f() Να βρεθεί το f () Β Έστω η συνάρτηση f () και η ευθεία ε : y α + β Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες για κάθε Αν η C f και η ε τέμνονται πάνω στην ευθεία και η ε διέρχεται από το σημείο A(,3) να βρείτε τα α,β ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,w ώστε Α Να αποδείξετε ότι Β Να εκφράσετε τον w σε συνάρτηση του w + w Γ Αν η εικόνα του w κινείται στον κύκλο κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας p να

5 αποδείξετε ότι η εικόνα Μ() του κινείται στον άξονα y y Δ Αν ο μιγαδικός είναι φανταστικός, να αποδείξετε ότι w ΘΕΜΑ 3 Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το ΙR Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι - Α Να δείξετε ότι η g είναι - Β Αν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ισχύει: g(f(ln)+) g(χ+) να δείξετε ότι f() e +, ε ΙR ΘΕΜΑ 4 Έστω η εξίσωση ( ε ) : ηµθ + 0, (0, ) και Z C Α Να αποδείξετε ότι αυτή έχει δύο ρίζες μη πραγματικές Β Έστω οι ρίζες αυτής ώστε Im( ) > Im( ) 00 Β Να αποδείξετε ότι ( + ) 0 < θ Β Να αποδείξετε ότι ηµ ( ) i Β3 Αν i, να προσδιορίσετε τους μιγαδικούς, ΘΕΜΑ 5 Έστω η συνάρτηση f () Α Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται Β Να αποδείξετε ότι η f είναι - Γ Να αποδείξετε ότι είναι γνήσια φθίνουσα Δ Να βρείτε το πεδίο τιμών της και να την εξετάσετε ως προς τα ακρότατα ΘΕΜΑ 6 Αν C με 6 i τότε : i) να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων : A, B i ii) Να βρείτε ποιοι από τους παραπάνω μιγαδικούς έχουν την ιδιότητα να μεγιστοποιούν ή να ελαχιστοποιούν τις παραστάσεις Α, Β

6 iii) Αλλάζει κάτι στις απαντήσεις των (i), (ii) αν αντί της δοθείσας ισότητας είχαμε 6i ; ΘΕΜΑ 7 Έστω οι μιγαδικοί και, με και + 0 Έστω και ο μιγαδικός w Να δείξετε ότι: + 4 α) και 4 β) w w και w R γ) w δ)αν w,τότε το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0, και είναι ισόπλευρο ΘΕΜΑ 8 Αν f ( + y) f ( ) + f ( y) για, y R να αποδείξετε ότι: Α f ( 0) 0 Α η συνάρτηση f είναι περιττή Α3 f ( y) f ( ) f ( y) με, y R Β Να αποδείξετε ότι f ( v) vf ( ) για * v N Β Υπολογίστε την τιμή της παράστασης Π f ( ) + f () + f ( ) + f (5) f (7) Β3 Αν η f είναι -, να λύσετε την εξίσωση f ( ) f () + f (3) + f (6) i ΘΕΜΑ 9 Δίνεται ο μιγαδικός f (), C, + Α Να γραφεί ο μιγαδικός f ( + i) στη μορφή α + βi Β Αν w + 3i 5 + να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης f( + i) w Γ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του για τους οποίους ισχύει: f() πραγματικός Δ Να γραφεί ο μιγαδικός f( i) ως άθροισμα των μιγαδικών, των

7 οποίων οι εικόνες βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε :y και ε : y αντίστοιχα + ΘΕΜΑ 0 Έστω η ορισμένη στο A ( 0, + ) συνάρτηση f και η ορισμένη στο A g R συνάρτηση g( ) Α Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο Κ του R που ορίζεται η fog A Aν ( fog )( ), να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f ( ) f Α3 Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο οι f, g γίνονται ίσες Β Να ορίσετε τις συναρτήσεις Β) f g και Β) g o f ΘΕΜΑ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς + yi, όπου, y πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους υπάρχει α IR ώστε να ισχύει: + + i i + ( )i Να αποδείξετε ότι: α αν Im() 0, τότε α β αν α 0, τότε + 0 γ για τον πραγματικό αριθμό α ι σχύει: 0 α δ οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα, 5