ΔΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ xo ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΟΥ ( x. 2 lim χ + χ 5χ. χ 5χ+ lim. χ χ. lim.

Transcript

1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ o ΑΣΚΗΣΕΙΣ R Α. ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΟΥ ( ) ( Α ) Να υπολογίσετε τα όρια α) γ) 4 4 α, α > α α ε) ζ) η) + θ) ι) ια) ι + 4 ιγ) ι + ιε) 4 6 ιζ) 5 κ + λ µε : κ + λ = Β. ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ α + β, ( Β ) ίνεται η συνάρτηση =. Να βρείτε + β+ α, > τις τιµές των α και β, ώστε η γραφική της παράσταση, C, να διέρεται από το σηµείο Α(,) και να υπάρει το + α+ β, ( Β ) Αν = +, < <, να βρείτε τις τιµές των β+ α, α και β, ώστε να υπάρουν τα: και

2 ( Β ) Να υπολογίσετε τα όρια α) + 4 ε) γ) ζ) Γ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ( Γ ) Να υπολογίσετε τα όρια ηµ α) + ηµ + 4 γ) εφ ηµ ( a) ηµ ( β ) ε) ( ) ηµ + 5 ζ) ηµ π π συν η) π π θ) + + ηµ π ηµ ( ηµ) ι) ( Γ ) Αν η συνάρτηση είναι άρτια και να βρείτε το ( ) = ( Γ ) Αν η συνάρτηση είναι περιττή και να βρείτε το ( ) + 5 = + ( Γ4 ) Αν ( ) =, να υπολογίσετε τα όρια : α) ( ) ( ηµ) γ) ( ) ν ( ) ε) ( ) + ζ) ( ) ν

3 . ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΓΝΩΣΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ( ) Αν για τη συνάρτηση : R R ισύει : + = ηµ για κάθε R και ( ) Αν ( ) = k να βρείτε τον αριθµό k R. ( ) = τότε : (α) Να δείξετε ότι : ( Να βρείτε το όριο : ( α ) = α, όπου α. ηµ ηµ ( ) Έστω µια συνάρτηση : R R τέτοια, ώστε να ισύουν : ( + ) ( ) = 4+ για κάθε R 4 + = και να βρείτε τα όρια ( ) και ( ) 5 Ε. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ( Ε ) Αν για κάθε R ισύει: να υπολογίσετε : (α) την τιµή () ( τα όρια: ,, () ( Ε ) Αν : R R και για κάθε R ισύει: να βρείτε: (α) (), (, (γ), ( Ε ) Έστω συνάρτηση ορισµένη στο R τέτοια, ώστε να ισύει: ηµ,για κάθε R Βρείτε τα όρια: (α) ( + ηµ ηµ ( Ε4 ) Έστω η συνάρτηση : R R. Αν υπάρει το και για κάθε R ισύει : να βρείτε την τιµή του l. +,. = l R

4 ΣΤ. ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( ΣΤ ) Αν l = m, όπου m R, βρείτε το. ( ΣΤ ) Να βρεθεί ο ώστε το λ ( ) να είναι πεπερασµένο. ( ΣΤ ) Αν ( ΣΤ4 ) Αν = l και g = m, όπου, να δείξετε ότι: [ g ] = + =. g και = + +,να βρείτε το l m R. g ( ΣΤ5 ) Αν + α + β 5 = 6, να βρείτε τους α, β R. Ζ. ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ o R ( Ζ ) Να υπολογίσετε τα όρια : α) η) 5 ( 5) ( ) ε) θ) 4+ γ) ( ) ( + ) ζ) ι) + ( Ζ ) Για τις διάφορες τιµές του λ R να βρείτε (εφόσον υπάρουν) τα παρακάτω όρια: (α) λ + ( λ + (γ) λ 4

5 ( Ζ ) Αν 8 = +, να βρείτε το. ( Ζ4 ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρουν τα παρακάτω όρια: α) της της ( ) - = ( - ) ( + ) + = + στο = - στο = - ( Ζ5 ) Βρείτε τα λ, µ R λ, µ R ώστε το να είναι πραγµατικός αριθµός. + λ + µ + + H.ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ α) ( Η ) Να βρεθούν τα παρακάτω όρια ( + ) ε) ( 4 + 5) + ζ) ι) + ηµ + ( + ) γ) + 9 στ) ( 4 + ) + η) ια) ν ηµ +, * ν N ( 9 + ) θ) 5

6 ( Η ) Για τις διάφορες τιµές των παραµέτρων µ ή λ ή α ή β R, να υπολογίσετε τα όρια :, i=,,, 4,5 + i (α) (γ) = µ ( α = ( α 5 = (ε) ( α ) β ( + ) ( + ) µ = µ = λ ( Η ) Αν ( ) = + 5 α β και g( ) = α + + β να υπολογίσετε τους α, β R ώστε ( ) = και g( ) =. + ( Η4 ) Να υπολογίσετε τα όρια : ( ) θ. ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν α + ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ α> Αν < α < =+ α = + α = α =+ ( α ) =+ ( logα ) + = ( logα ) log + log + α + = =+ 6

7 ( Θ ) Να βρεθούν τα παρακάτω όρια : 4 ln + e ln α) ( ) γ) ε) ( Θ ) e e + + e + στ) ln( ln) + 4 α) e γ) + + e ε) + + ln ζ) + θ) ια) ln + e στ) + e e α, α > + + α e η) ln( + ) + ι) + + e ι ln( ln) + ( Θ ) Αν ( ) + ( ) + α 4 = α και ( ), να υπολογίσετε τα όρια : για τις διάφορες τιµές του α (, + ) 7

8 Ι. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( Ι ) Αν ( Ι ) Αν α β, =,<, να βρείτε τις τιµές των α, β β α, > ώστε: i) η να είναι συνεής στο και στο ii) η να είναι συνεής στο και ασυνεής στο λ + +, =, να βρείτε τις τιµές λ + µ + λ, > των λ, µ R ώστε: η να είναι συνεής στο = και η γραφική της παράσταση να διέρεται από το σηµείο Α(,5). ( Ι ) Να µελετήσετε ως προς τη συνέεια τις συναρτήσεις α) γ) = ηµ,, > 6, > + = 8, = 8 4, < + 5 ηµ, > = α, = +, <, = +, = ( Ι4 ) Αν =, Α ενώ (5) ( 5) + i) να βρείτε το πεδίο ορισµού της ii) να βρείτε τον α R ώστε η να είναι συνεής στο σηµείο µε = 5. = α, τότε ( Ι5 ) Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο = και ισύει: 5 =, να υπολογίσετε την τιµή () 4 8

9 ( Ι6 ) Αν =, Α 5 + ( ) ενώ (5) = α, τότε α)να βρείτε το πεδίο ορισµού της να βρείτε τον α R ώστε η να είναι συνεής στο σηµείο = 5 µε. ( Ι7 ) Να µελετήσετε ως προς τη συνέεια τις συναρτήσεις : α) ( ) = e,, =, > g = + ln( + e ), + ( Ι8 ) Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο = και ισύει: = 4, να υπολογίσετε την τιµή () ( Ι9 ) Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο = και για κάθε R ισύει: ηµ ηµ +, να υπολογίσετε την τιµή () (Ι ) Να µελετήσετε ως προς τη συνέεια τις συναρτήσεις:, g, +g, µε 5 5 7,, +, g = =, =, = 9

10 ΙΑ.ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ BOLZANO Θ.Ε.Τ.- ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΩ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ. (ΙΑ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( λ ) + + λ = έει µία τουλάιστον ρίζα στο διάστηµα (,) (ΙΑ) Να βρείτε κατάλληλο διάστηµα του ώστε για τις παρακάτω συναρτήσεις να εφαρµόζεται το Θεώρηµα Bolzano α) = ηµ 5 5+ γ) h = + ηµ = + g 5 4 w = (ΙΑ) Αν < κ <, να αποδείξετε ότι η εξίσωση: + = 4 κ έει τουλάιστον µία ρίζα στο διάστηµα (-,) π π (ΙΑ4) Να αποδείξετε ότι υπάρει ξ, 4εφξ σφξ = (ΙΑ5) Έστω :[ α, α] [ α, α] υπάρει [ ] τέτοιο, ώστε να ισύει: 4 συνεής συνάρτηση. Να δείξετε ότι α, α : + ( ) = (ΙΑ6) Έστω, g συνεείς συναρτήσεις στο R. Αν α, β R µε α< β και ( α ) + ( β ) = g( α ) + g( β ) να αποδείξετε ότι οι γραφικές C παραστάσεις C, g των συναρτήσεων και g αντίστοια, έουν ένα τουλάιστον κοινό σηµείο µε τετµηµένη ξ [ α, β] (ΙΑ7) Αν συνεής στο [α,β] και γ, δ µε γ δ υπάρει [ ] ξ α, β : ( ξ ) = γ ( α ) + δ ( β ) + = να δείξετε ότι (ΙΑ8) Αν συνεής στο [α,β] µε ( α) = α και ( β ) = β, να δείξετε ότι υπάρει ( α ώστε + ( ) = +, α β (ΙΑ9) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: + α = έει µία τουλάιστον πραγµατική λύση στο διάστηµα (-,),για κάθε α R {}

11 :,π R για την οποία (ΙΑ) ίνεται η συνεής συνάρτηση [ ] ισύουν: () = ( π ) και ( π ) () ξ, π ώστε να ισύει ( ξ) = ( ξ+ π ) (ΙΑ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:. Να αποδείξετε ότι υπάρει α) + + α = έει µία τουλάιστον λύση στο διάστηµα [-,] = έει µία τουλάιστον λύση στο διάστηµα (,) (ΙΑ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: + α + β = µε β > α β και + + <, έει δύο τουλάιστον λύσεις στο διάστηµα (-,) κ λ + + (ΙΑ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: + = α β και α < β έει µία τουλάιστον λύση στο διάστηµα (α, µε * κ, λ R α β (ΙΑ4) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: γ + δ = β >, γ δ <, έει µία µόνο λύση στο διάστηµα (γ, µε α>, (ΙΑ5) Αν, g συνεείς στο [,] µε () = g(), () = g(), g() g() ξ = g ξ να δείξετε ότι υπάρει (,) ξ µε (ΙΑ6) Αν, g :[ α, β] [ α, β] ότι : i) Ορίζεται η og ii) Υπάρει ξ [ α β ] µε ( og) (ΙΑ7) Αν, g :[ α, β] [ α, β] υπάρει [ ] ( og) ( go ) συνεείς συναρτήσεις, να δείξετε, ( ξ) = ξ συνεείς συναρτήσεις, να δείξετε ότι ξ α, β : ( ξ ) + ( ξ ) = ξ (ΙΑ8) Αν συνεής στο [α,β] µε ( α) ( και g = ( α + β ) να δείξετε ότι οι τετµηµένη ( α, C και C έουν ένα τουλάιστον κοινό σηµείο µε g (ΙΑ9) ίνονται οι συναρτήσεις: α β = + +, g = + α + β, β. Αν υπάρουν ρ < ρ R µε ( ) g( ρ ) =, να δείξετε ότι κάθε εξίσωση της µορφής: κ λ g, κ, λ ρ, ρ ρ = και + = > έει µία τουλάιστον λύση στο

12 (ΙΑ) Αν συνεής στο [α,β] µε ( α), να δείξετε ότι υπάρει ( ξ ) ( α) + ( β ) ξ ( α, τέτοιο, ώστε να ισύει: = ξ α β α (ΙΑ) Αν :[ α, β] R συνεής και, [ α, β], να δείξετε ότι η διατηρεί το πρόσηµό της στο [α,β] (ΙΑ) Αν :[,] R συνεής έτσι ώστε για κάθε [, ] ισύει [ ] + = 4, να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο (-,) να (ΙΑ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση µε ηµ ( π) παίρνει την τιµή 5 για ένα τουλάιστον (,) = + (ΙΑ4) Να προσδιορίσετε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων π = = συν,, π = 4,, = ηµ+ εφ,, 4 α), [,] γ) [ ] (ΙΑ5) Να βρεθεί η συνεής συνάρτηση : R R µε τις ιδιότητες : π = και ηµ + ηµ = συν, R. ΙΒ. ΓΕΝΙΚΕΣ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ (ΙΒ) Αν η συνάρτηση είναι συνεής στο R και ισύει: ( ) ( ) 5 6, R = + να βρείτε τον τύπο της (ΙΒ) Έστω συνεής συνάρτηση ορισµένη στο [ α, β ] και [ ]. Να αποδείξετε ότι υπάρει [ ] κ, λ, µ α, β ξ α, β : κ + 5 λ + 7 µ = 5 ξ.

13 (ΙΒ) Έστω : R R συνεής συνάρτηση µε : ( ) ( ) + = +, R και (α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (Να βρείτε τον τύπο της = = είναι αδύνατη.,4 µε :, ( 4) (ΙΒ4) Έστω συνεής στο [ ] και ( 4) + (α)υπάρει ξ (, ) : ( ξ) + = +. Να αποδείξετε ότι : =. (Η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται. (ΙΒ5) Έστω : R R συνεής συνάρτηση µε την ιδιότητα ( ) ( o )( ) =, για κάθε R. Αν ( ) = 999, τότε (α) Να αποδειτεί ότι υπάρει a R τέτοιο ώστε 5 ( Να βρεθεί ο αριθµός ( 5). a =. (ΙΒ6) ίνονται οι συνεείς συναρτήσεις : (, ) και : (,) ( β και g( α) α (α) α < β R + g R. Αν υπάρουν α, β R µε = =, να αποδειτεί ότι : ( υπάρει γ τέτοιο ώστε : g R γ + γ = γ. (ΙΒ7) Έστω : R R συνεής συνάρτηση µε : + ( 5) < 7< + ( 4) α + β = Να αποδειτεί ότι υπάρουν α, β R µε 7 και ( a) + ( = 7

14 (ΙΒ8) Έστω συνάρτηση για την οποία ισύουν ( + ψ ) = ( ψ ) για κάθε, ψ R και (). Να αποδείξετε ότι: i) Αν η είναι συνεής στο ii) Αν η είναι συνεής στο οποιοδήποτε τότε η είναι συνεής στο R =, τότε η είναι συνεής στο R = α µε ( α), (ΙΒ9) Έστω συνάρτηση για την οποία ισύει: ( ψ ) = + ( ψ ) * για κάθε, ψ R. Να αποδείξετε ότι αν η είναι συνεής στο = τότε η είναι συνεής στο R * (ΙΒ) Έστω : R R για την οποία ισύουν: (Ι) ( + ψ ) = συνψ + ( ψ ) συν, για κάθε, R ( h) (ΙΙ) =. Να αποδείξετε ότι: h h ( ) ( α ) η είναι συνεής στο R ( β ) = συν h για κάθε R (ΙΒ) Αν η συνάρτηση είναι συνεής και περιττή στο R και ισύει : = τότε (α) Να υπολογίσετε το όριο ψ και ( Να αποδείξετε ότι υπάρει ένα τουλάιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε : ( ξ ) = (ΙΒ) Έστω :[,] τη συνάρτηση (α)nα βρεθεί το R συνεής συνάρτηση µε ( ) g = +. Α g (Να αποδειτεί ότι η εξίσωση g( ) = έει τουλάιστον µια ρίζα στο,). 4, =. Θεωρούµε