Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής

Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής Δ.Γ. Παπαγεωργίου Λίγη ιστορία 957 lder και Wanwrght: Μελέτη των αλληλεπιδράσεων σκληρών σφαιρών. 964 Rahan: Προσομοίωση υγρού r χρησιμοποιώντας ρεαλιστικό δυναμικό. 97 Rahan και Stllnger: Προσομοίωση νερού σε υγρή μορφή. Η προσομοίωση νερού αποτελεί μεγαλύτερη πρόκληση από το υγρό r, δεδομένου ότι εκτός από αλληλεπιδράσεις VdW, υπάρχουν ηλεκτροστατικές αλληλεπιδράσεις και δεσμοί υδρογόνου. 977 McCaon, Geln, Karlus: Πρώτη προσομοίωση πρωτεΐνης, του αναστολέα της βόειας παγκρεατικής θρυψίνης (ΒΡΤΙ, 58 αμινοξέα. Απόσπασμα από την πρώτη δημοσίευση προσομοίωσης Μοριακής Δυναμικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Η βασική ιδέα Τυπικός αλγόριθμος Μοριακής Δυναμικής Θεωρούμε ένα απομονωμένο σύστημα Ν ατόμων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Λόγω της αλληλεπίδρασης, σε κάθε άτομο ασκείται μια δύναμη: U r Εξαιτίας της δύναμης το άτομο κινείται. Η κίνηση περιγράφεται από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: Εξισώσεις κίνησης d r ( Σύστημα Ν διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με άγνωστα τα ( r Οι εξισώσεις κίνησης λύνονται αριθμητικά σε διακριτά χρονικά βήματα. Αποτέλεσμα Η τροχιά του συστήματος δηλαδή θέσεις και ταχύτητες των ατόμων σε κάθε χρονική στιγμή. υπολογίζονται από την τροχιά του συστήματος. Πχ. Η θερμοκρασία υπολογίζεται ως η μέση τιμή στο χρόνο της κινητικής ενέργειας του συστήματος: Οι φυσικές ιδιότητες Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση v Ν τ : Πλήθος χρονικών βημάτων Μέση κινητική ενέργεια Ανάθεση αρχικών θέσεων και ταχυτήτων σε κάθε άτομο Υπολογισμός της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε άτομο Επίλυση των εξισώσεων κίνησης που δίνουν νέες θέσεις και ταχύτητες Καταγραφή τροχιάς και υπολογισμός ποσοτήτων Επανάληψη για κάθε χρονικό βήμα Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4

Σύνδεση μικροσκοπικών με μακροσκοπικές ιδιότητες Κλασσική Μηχανική Μικροσκοπική περιγραφή (Θέσεις, ορμές Στατιστική μηχανική (Στατιστικά σύνολα Θερμοδυναμική Μακροσκοπικές ιδιότητες Σύντομη ανασκόπηση κλασσικής μηχανικής Κάθε κλασσικό σύστημα περιγράφεται από γενικευμένες συντεταγμένες q ( dq ( γενικευμένες ταχύτητες q ( Στη γενική περίπτωση η κινητική και δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι συνάρτηση των q, q Το σύστημα λέγεται διατηρητικό όταν το έργο για κίνηση μεταξύ δύο σημείων είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή και εξαρτάται μόνο από το αρχικό και τελικό σημείο, η δε κίνηση είναι αντιστρεπτή στο χρόνο. Στο σύστημα μπορεί να κινείται κάτω από περιορισμούς Ολονομικοί: εκφράζονται ως f ( q, q,, Μη ολονομικοί: εκφράζονται σαν ανισότητες ή περιέχουν και τις ταχύτητες q Στην περίπτωση ατομικών συστημάτων η κινητική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τις ταχύτητες K K(q η δυναμική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες U U (q Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6 Φορμαλισμός Lagrange Φορμαλισμός Halton Η συνάρτηση Lagrange ορίζεται ως: L( q, q,, qn, q, q, q n, Αρχή ελάχιστης δράσης του Halton S L( q, q, t K U Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Η κίνηση του συστήματος από το χρόνο t έως το χρόνο t είναι τέτοια ώστε το ολοκλήρωμα δράσης να έχει ένα στάσιμο σημείο t Εξισώσεις κίνησης Lagrange d L L q q n διαφορικές εξισώσεις ης τάξης Ορίζουμε τη γενικευμένη ορμή: Η συνάρτηση Halton ορίζεται ως: H q, q,, q, q, q, q, ( n Για συντηρητικά συστήματα με U U ( q K K ( q L q προκύπτει ότι η συνάρτηση Halton είναι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας, δηλαδή η ολική ενέργεια του συστήματος n q L( q, q, Εφαρμόζοντας την αρχή της ελάχιστης δράσης παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης Εξισώσεις κίνησης Halton H q H q n διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης H K U Joseh Lous Lagrange 76 8 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Wlla Rowan Halton 85 865 Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8

Χώρος φάσεων Παράδειγμα Αρμονικός ταλαντωτής Το κλασσικό σύστημα Ν ατόμων στη θεώρηση Halton περιγράφεται από Ν γενικευμένες συντεταγμένες q ( q, q, q Συνηθέστερη επιλογή είναι τα διανύσματα θέσης του κάθε ατόμου σε καρτεσιανές συντεταγμένες r r, r, r ( Ν γενικευμένες ορμές (,, Ο χώρος των 6Ν διαστάσεων που αποτελείται από τα διανύσματα συντεταγμένων και ορμών μαζί ονομάζεται Γ 6 Χώρος φάσεων ( q, q, q,,, Καθώς το σύστημα εξελίσσεται στο χρόνο το διάνυσμα Γ διαγράφει μια τροχιά στο χώρο των φάσεων. Επιλέγουμε ως συντεταγμένες Κινητική ενέργεια K U Δυναμική ενέργεια Φορμαλισμός Lagrange Συνάρτηση Lagrange Εξίσωση Lagrange L d L L q q L L Εξίσωση κίνησης Lagrange Ορμή L Φορμαλισμός Halton Συνάρτηση Halton H E Εξισώσεις κίνησης Halton H H Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Παράδειγμα Αρμονικός ταλαντωτής Τιμές μετρούμενων μεγεθών Αναλυτική λύση ( sn( t ( cos( t E Συχνότητα ταλάντωσης Πλάτος ταλάντωσης Φάση (αρχή του χρόνου Χώρος φάσεων του αρμονικού ταλαντωτή E E σταθ. E Η τιμή κάθε μετρούμενου μεγέθους λαμβάνεται ως μέση τιμή στο χρόνο Η μέση τιμή συμβολίζεται με άγκιστρα Η μέση τιμή του Α ορίζεται ως Σε περίπτωση διακριτών χρονικών βημάτων te l t t Γ ( t ( Γ( Μέση τιμή κινητικής ενέργειας αρμονικού ταλαντωτή ( Γ( te K cos t E t cos t E sn t 4 E Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση

Στατιστικό σύνολο (enseble Σύνολο μεγάλου αριθμού παρόμοιων συστημάτων που υπόκεινται στους ίδιους μακροσκοπικούς περιορισμούς αλλά μπορεί να βρίσκονται σε διαφορετική μικροκατάσταση. J.W. Gbbs ( ( ( V E V E V E Κάθε σύστημα χαρακτηρίζεται από ένα διάνυσμα Γ( που διαγράφει τροχιά στο χώρο των φάσεων. Σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή η πιθανότητα να βρεθεί ένα από τα σημεία του στατιστικού συνόλου μεταξύ Γ και Γ dγ είναι ( Γ, dγ ( Γ, dγ ( q,, ddq ( q στο χώρο των φάσεων, q, qn,,, n, dq dq dq d d d Josah Wllard Gbbs 89 9 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση ( Γ, n n Εξίσωση Louvlle Καθώς περνάει ο χρόνος τα σημεία του στατιστικού συνόλου κινούνται στο χώρο των φάσεων διαγράφοντας τροχιές. Πως εξελίσσεται το χρόνο η αντίστοιχη πυκνότητα πιθανότητας ; Διατήρηση της πυκνότητας πιθανότητας d Η εξέλιξη στο χρόνο της πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από ΕξίσωσηLouvlle L t Η λύση της εξίσωσης Louvlle είναι ( Γ, ( Γ, e ( Γ( L( Γ( t ( Γ( ( Γ( e Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4 Lt Lt Για μια οποιαδήποτε ιδιότητα Α που εξαρτάται από τα σημεία του χώρου των φάσεων ισχύει με λύση L Τελεστής Louvlle H H q q Joseh Louvlle 89 88 Εργοδικότητα Στην περίπτωση ενός συστήματος σε ισορροπία η πυκνότητα πιθανότητας δεν εξαρτάται από το χρόνο t Καθώς ένα σύστημα φεύγει από την κατάσταση Γ( και προχωρά στην επόμενη Γ( ένα άλλο φτάνει από την κατάσταση Γ( για να το αντικαταστήσει. Η πορεία μοιάζει με μακριά και περίπλοκη γραμμή και μπορεί να υπάρχουν πολλές τέτοιες στο σύνολο. Αν υπάρχει μία που περνάει από όλα τα σημεία του χώρου των φάσεων όπου τότε κάθε σύστημα θα επισκεφθεί τελικά όλα τα σημεία. Το σύστημα τότε ονομάζεται εργοδικό. Σχηματική αναπαράσταση του χώρου των φάσεων. Τα εξαγωνικά κελιά αναπαριστούν τα σημεία Γ(q,. Σε ένα εργοδικό σύστημα όλες οι γραμμές θα ήταν τμήματα μιας μεγάλης τροχιάς. Φαίνονται σκιασμένες μια περιοχή με κυκλική τροχιά και μια φραγμένη περιοχή που οδηγούν σε συμφόρηση. Couter Sulaton of Lquds, M.P. llen, D.J. ldesley Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 Μέσες τιμές σε εργοδικό σύστημα Σε ένα εργοδικό σύστημα η μέση τιμή μιας ποσότητας Α μπορεί να ληφθεί πάνω σε όλα τα μέλη του συνόλου «παγωμένα» σε μια χρονική στιγμή. te ens Με χρήση της πυκνότητας πιθανότητας Η πυκνότητας πιθανότητας μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια μιας συνάρτησης «βάρους» w( Γ ( Γ Q ens ( Γ ( Γ Γ Ο παράγοντας κανονικοποίησης είναι η συνάρτηση επιμερισμού Q w( Γ Γ Αντίστοιχα οι μέσες τιμές γράφονται w( Γ ( Γ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6 ens Γ Q Η σύνδεση με την κλασική θερμοδυναμική γίνεται ορίζοντας το κατάλληλο θερμοδυναμικό δυναμικό ln Q

Συνήθη στατιστικά σύνολα (VE, V Συνήθη στατιστικά σύνολα (P, μv Μικροκανονικό Κανονικό ή ισόθερμο Ισόθερμο ισοβαρές Μεγάλο κανονικό Σταθερά: Πλήθος ατόμων V Όγκος E Ενέργεια Heat bath Σταθερά: Πλήθος ατόμων V Όγκος Θερμοκρασία Heat bath Σταθερά: Πλήθος ατόμων P Πίεση Θερμοκρασία Heat bath artcle reservor Σταθερά: μ Χημικό δυναμικό V Όγκος Θερμοκρασία VE S ( H ( E Συνάρτηση επιμερισμού QVE drd ( H ( r, E! h Θερμοδυναμικό δυναμικό: Εντροπία ln Q VE H ( r, Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 V e Συνάρτηση επιμερισμού QV drde! h H ( r, Θερμοδυναμικό δυναμικό: Ελεύθερη ενέργεια Helholtz ln Q V H ( r, PV P e Συνάρτηση επιμερισμού QP dv! h V Θερμοδυναμικό δυναμικό: Ελεύθερη ενέργεια Gbbs G ln Q P drde H ( r, PV H ( r, V e Συνάρτηση επιμερισμού QP e! h Θερμοδυναμικό δυναμικό PV ln Q V Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8 drde H ( r, Θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας Θερμοκρασία Γενικευμένο θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας H q q H H U ( q H ( ( Όταν η Χαμιλτονιανή έχει τη μορφή τότε Από τη σχέση (, αθροίζοντας για κάθε βαθμό ελευθερίας και παίρνοντας μέση τιμή: Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9 K Σε περίπτωση που υπάρχουν περιορισμοί (πχ. στα μήκη δεσμών πρέπει να αφαιρεθούν από τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος. K Θερμοκρασία K c Πίεση Θεώρημα Vral Από το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας H q q ( Χρησιμοποιώντας διανύσματα θέσης r ως συντεταγμένες και επειδή U r ( r Αθροίζοντας για όλα τα άτομα και παίρνοντας μέση τιμή r ( Η δύναμη που ασκείται σε κάθε άτομο αναλύεται σε δύο συνεισφορές nt Rudolf Clausus 8 888 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση nt Εξαιτίας αλληλεπίδρασης με άλλα άτομα Εξαιτίας των τοιχωμάτων του δοχείου ( nt r r Οι αλληλεπιδράσεις με το τοίχωμα είναι μικρής εμβέλειας και υφίστανται μόνο στα όρια του κουτιού, πχ. για = και =L

L Πίεση Θεώρημα Vral L r PL L L PL L L PL L PV y z nt r PV y y L y y z z y z L z z Πίεση P r V V nt z y Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Στην περίπτωση αλληλεπιδράσεων ζευγών: f r nt Λόγω του ου νόμου του Νεύτωνα (δράση αντίδραση: f f r f ( r r f Επίλυση των εξισώσεων κίνησης Αλγόριθμος Verlet Ανάπτυγμα aylor της θέσης σε χρόνο t+δt d( d ( d (! 4 ( t ( t t t O t Ανάπτυγμα aylor της θέσης σε χρόνο t δt d( d ( d (! 4 ( t ( t t t O t (+( Οι ταχύτητες υπολογίζονται από κεντρικές διαφορές ( t ( t v( t d ( ( t ( ( t t O t Αλγόριθμος Verlet ( 4 ( t ( ( t t Ot Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4 Για το πρώτο βήμα χρησιμοποιούμε ( ( ( v( t t O( t ( ( Lou Verlet 9 Επιλογή χρονικού βήματος Περιορισμοί Θέση Χρόνος Μεγάλο χρονικό βήμα Χρειαζόμαστε 5 σημεία σε κάθε περίοδο για να περιγράψουμε σωστά την κίνηση. Τα μέταλλα έχουν μέγιστες συχνότητες φωνονίων Hz. Το χρονικό βήμα που προκύπτει είναι fs. Σε οργανικά μόρια η συχνότητα δόνησης του δεσμού C H είναι 9 Hz. Το χρονικό βήμα που προκύπτει είναι. fs. Για μια τροχιά ns χρειαζόμαστε 5 6 επαναλήψεις. d =.96Å Σε περιπτώσεις οργανικών μορίων είναι επιθυμητό να θεωρήσουμε σταθερή την απόσταση των υδρογόνων από τα πιο βαριά άτομα έτσι ώστε εξαλείψουμε τις υψηλές συχνότητες δόνησης και να χρησιμοποιήσουμε μεγαλύτερο χρονικό βήμα. ( r Παράδειγμα: Μόριο νερού d =.96Å Περιορισμοί r d r d Γενική μορφή για περιορισμούς δεσμών r d M Άλλες μορφές ολονομικών περιορισμών είναι επίσης δυνατές. g r g Εξισώσεις κίνησης Lagrange με περιορισμούς d L L g q q M a a a r Δύναμη εξαιτίας των περιορισμών Εξισώσεις κίνησης δεύτερης τάξης Σύστημα Ν διαφορικών και Μ αλγεβρικών εξισώσεων με άγνωστα τα r και λ Χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο Verlet για να λύσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και επαναληπτικές αριθμητικές μεθόδους για τα λ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4

Επίλυση των περιορισμών Υπολογισμός της μη διορθωμένης θέσης r (παραβιάζει τους περιορισμούς Η νέα θέση με τους περιορισμούς είναι Για να ικανοποιούνται οι περιορισμοί Αντικαθιστούμε από τον αλγόριθμο Verlet ( t ( t r ( t d Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 r r ( t r ( t t Σύστημα M μη γραμμικών εξισώσεων. Λύνεται επαναληπτικά με τη μέθοδο ewton Rahson: λ ( λ ( J σ( t t r ( t r ( r ( t t r ( t r ( t M r r r ( d Αλγόριθμος SHKE Rycaert J P, Cccott G erendsen HJC, Journal of Coutatonal Physcs (977 7 4. Στον αλγόριθμο SHKE κάθε περιορισμός λύνεται μόνος του, υποθέτοντας ότι ο πίνακας J έχει τα κυρίαρχα στοιχεία του στη διαγώνιο. Επανάληψη Gauss Sedel για = M ( ( r r r r ( r ( r Η ικανοποίηση ενός περιορισμού μπορεί να παραβιάζει κάποιον άλλο, οπότε η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου ικανοποιηθούν όλοι οι περιορισμοί σε μια δεδομένη ακρίβεια. Το κόστος κάθε επανάληψης είναι Ο(Μ και οι επαναλήψεις συγκλίνουν γραμμικά. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6 Μοριακή Δυναμική στο ισόθερμο σύνολο Η θερμοκρασία δίνεται από Βασικές κατηγορίες μεθόδων Μέθοδοι επαναπροσδιορισμού των ταχυτήτων. v new old eq v Μέθοδοι εκτεταμένων συστημάτων Θερμοστάτης ose Θερμοστάτης ose Hoover K Μέθοδοι εκτεταμένων συστημάτων Προστίθεται ένας επιπλέον βαθμός ελευθερίας στο σύστημα. Το πραγματικό σύστημα μπορεί να ανταλλάξει ενέργεια με την επιπλέον μεταβλητή διατηρώντας τη θερμοκρασία σταθερή. Ο νέος βαθμός ελευθερίας έχει «συντεταγμένη», «ταχύτητα» και «μάζα». Επίσης έχει «κινητική» και «δυναμική» ενέργεια. Με κατάλληλη επιλογή αυτών των συναρτήσεων η πυκνότητα πιθανότητας στο χώρο των φάσεων υπακούει το ισόθερμο σύνολο. Γράφεται η συνάρτηση Lagrange του συστήματος και συνάγονται οι εξισώσεις κίνησης. Η Χαμιλτονιανή δεν έχει πλέον την έννοια της ολικής ενέργειας του αρχικού συστήματος. Οι εξισώσεις κίνησης επιλύονται αριθμητικά όχι μόνο για τις θέσεις αλλά και για τον πρόσθετο βαθμό ελευθερίας. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 Θερμοστάτης ose Hoover Σκοπός: Η δημιουργία τροχιάς στο χώρο των φάσεων με την πυκνότητα πιθανότητας του ισόθερμου στατιστικού συνόλου Hoover W.G, Phys. Rev. (985 695 Martyna GJ, Klen ML, uceran M, J Che Phys 97 (99 65 V Εξισώσεις κίνησης θερμοστάτη ose Hoover Στις εξισώσεις κίνησης υπεισέρχονται: νέα μεταβλητή του εκτεταμένου συστήματος η αντίστοιχη «ορμή» Q αδρανειακός παράγοντας («μάζα» Διατηρούμενη ποσότητα H H (, q Q Πως επιλέγουμε τη «μάζα» Q Μικρό Q: Ισχυρή σύζευξη του θερμοστάτη με το σύστημα. Μπορεί να παρατηρηθούν υψίσυχνες ταλαντώσεις της θερμοκρασίας. Μεγάλο Q: Ο θερμοστάτης δημιουργεί το μικροκανονικό στατιστικό σύνολο. Προτεινόμενη επιλογή: Q XK eq όπου τ είναι η χαρακτηριστική χρονική κλίμακα κινήσεων στο σύστημα. Εμπειρικός κανόνας: το τ επιλέγεται 4 φορές μικρότερο από τη μικρότερη περίοδο στο σύστημα. uceran MΕ, Parrnello MJ, Che. Phys. (994. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8

Βαροστάτες Σκοπός: Η δημιουργία τροχιάς στο χώρο των φάσεων με την πυκνότητα πιθανότητας του ισόθερμου ισοβαρούς στατιστικού συνόλου. P Martyna GJ, obas D J, Klen ML, J. Che. Phys. (994 477. Εξισώσεις κίνησης Στις εξισώσεις κίνησης υπεισέρχονται:,v, W Q Νέες μεταβλητές του εκτεταμένου συστήματος. Οι αντίστοιχες «ορμές». Αδρανειακός παράγοντας βαροστάτη. Αδρανειακός παράγοντας θερμοστάτη. Διατηρούμενη ποσότητα H H ( r, ( Q PV W Shuch ose 95 5 Wlla Graha Hoover 96 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9