ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Προσοµοιώσεις Monte Carlo

ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo Φίλιος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών & Φυσικών Επιστηµών ΕΜΠ 10 Νοεµβρίου 2010 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 1 / 91

Περίγραµµα Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 2 / 91

Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 3 / 91

Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Monte Carlo 1 Εξαντλητικοί υπολογισµοί πρακτικά µη πραγµατοποιήσιµοι 2 ειγµατολειψία Εκτίµηση παρατηρήσιµων µεγεθών Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 3 / 91

Θεµελιώδεις Εννοιες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Στατιστική Φυσική Μελετά τη θερµοδυναµική συµπεριφορά σωµάτων Αξιοποιεί τη ϑεωρία πιθανοτήτων σε στατιστικά µοντέλα Μακροσκοπικές ιδιότητες µικροσκοπικές ιδιότητες σωµατιδίων Monte Carlo 1 Εξαντλητικοί υπολογισµοί πρακτικά µη πραγµατοποιήσιµοι 2 ειγµατολειψία Εκτίµηση παρατηρήσιµων µεγεθών Πρότυπο Potts 1 Στερά σώµατα αποτελούµενα από πλέγµατα σωµατιδίων 2 Αλληλεπιδράσεις σωµατιδίων λόγω των spin τους 3 Μελέτη µαγνητικών ιδιοτήτων συναρτήσει ϑερµοκρασίας Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 3 / 91

Ιστορική αναδροµή Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Πρότυπο Ising 1 Επινοήθηκε το 1920 από τον Wilhelm Lenz 2 Η µονοδιάστατη εκδοχή επιλύθηκε από τον Ernst Ising 3 Προέβλεπε δυο καταστάσεις spin (πάνω και κάτω) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 4 / 91

Ιστορική αναδροµή Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Γενικεύσεις του Ising 1 Οι Ashkin-Teller το 1943 επεξέτειναν σε 4 καταστάσεις spin 2 Ο Cyril Domb γενίκευσε σε q καταστάσεις το 1952 3 Μελετήθηκε από τον Renfrey Potts ως διανυσµατικό µοντέλο Potts 4 Στο όριο q ισοδυναµεί µε το XY model Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 5 / 91

Αλληλεπιδράσεις spin Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Χαµιλτονιανή H = J ij δ(s i, s j ), δ(s i, s j ) = { 1 s i = s j 0 s i s j q καταστάσεις spin J > 0 σιδηροµαγνητικό, J < 0 αντισιδηροµαγνητικό Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 6 / 91

Παράµετροι συστήµατος Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Επιλογή παραµέτρων προς µελέτη 1 J > 0: Σιδηροµαγνητικό µοντέλο ενίσχυση οµόρροπων δεσµών 2 D = 2: ιδιάστατο πλέγµα 3 Τετραγωνική γεωµετρία 4 Ενα spin ανά πλεγµατική ϑέση 5 z = 4: Αλληλεπίδραση µε πλησιέστερους γείτονες Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 7 / 91

Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 8 / 91

Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Παράµετρος τάξης/αταξίας Μαγνήτιση (m) Παραµαγνητική ϕάση: Αυθόρµητα αµαγνήτιστο σύστηµα (m = 0) Σιδηροµαγνητική ϕάση: Μόνιµα µαγνητισµένο σύστηµα (m = 1) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 8 / 91

Μεταβάσεις ϕάσης Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Φυσικές καταστάσεις ή ϕάσεις Μορφές της ύλης µε διακριτές ιδιότητες (π.χ. στερεή, υγρή, αέρια) Σε µαγνητικά υλικά: παραµαγνητική, σιδηροµαγνητική Ενδεχόµενη διαφορετική συµµετρία (ή τάξη) Παράµετρος τάξης/αταξίας Μαγνήτιση (m) Παραµαγνητική ϕάση: Αυθόρµητα αµαγνήτιστο σύστηµα (m = 0) Σιδηροµαγνητική ϕάση: Μόνιµα µαγνητισµένο σύστηµα (m = 1) Μετάβαση ϕάσης Κυρίαρχη µεταβλητή: ϑερµοκρασία, µαγνητικό πεδίο, κλπ Κρίσιµο σηµείο: Θερµοκρασία µετάβασης ϕάσης Τάξη: Είτε συνεχείς είτε πρώτης τάξης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 8 / 91

Μελέτη µεταβάσεων Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Βήµατα Τοποθετούµε το σώµα ϑερµοκρασία T (ή β = 1/kT) Μεταβάλλουµε τη ϑερµοκρασία και µετρούµε χαρακτηριστικές ποσότητες Ενδιαφέροντα µεγέθη Μαγνήτιση (m) και µαγνητική επιδεκτικότητα (χ) Ενέργεια (e) και ειδική ϑερµότητα (c) Binder cumulant (bc) και Energy cumulant (bc) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 9 / 91

Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Ασυνέχεια στην καµπύλη της µαγνήτισης (m) Λανθάνουσα ϑερµότητα (e και ec) Συνύπαρξη ϕάσεων (ιστόγραµµα m ή e) Υστέρηση µαγνήτισης (m) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 10 / 91

Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης (m) Ανωµαλία στην µαγνητική επιδεκτικότητα χ Παγκοσµιότητα Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 11 / 91

Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ιδιότητες Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης (m) Ανωµαλία στην µαγνητική επιδεκτικότητα χ Παγκοσµιότητα Παγκοσµιότητα Κλάσεις µοντέλων µε κριτήριο από διάσταση πλέγµατος, εύρος αλληλεπίδρασης, κατευθύνσεις spin Νόµος δύναµης (power-law) στο κρίσιµο σηµείο Κρίσιµοι εκθέτες Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 11 / 91

Κρίσιµοι εκθέτες Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Ανηγµένη ϑερµοκρασία t = T T c T c = β c β 1 Μήκος συσχέτισης ξ = t ν Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = t γ Μαγνήτιση m = t β Ειδική ϑερµότητα c = t α Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 12 / 91

Finite size scaling Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Σκοπός Μπορούµε να προσοµοιώσουµε πεπερασµένα L, όχι άπειρα Μεταβολή µεγεθών µε τη γραµµική διάσταση L Με δεδοµένο κρίσιµο σηµείο ϐρίσκουµε εκθέτη ώστε να συµπίπτουν οι καµπύλες Με δεδοµένους εκθέτες ϐρίσκουµε το κρίσιµο σηµείο Μαγνήτιση m = L β ν m(l 1 ν t) Ειδική ϑερµότητα c = L α ν c(l 1 ν t) Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = L γ ν χ(l 1 ν t) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 13 / 91

Πρότυπο Potts Μεταβάσεις φάσης Το τετραγωνικό πρότυποpotts Τετραγωνικό σιδηροµαγνητικό πρότυπο Potts Κρίσιµο σηµείο β c (q) = ln(1+ q) Μετάβαση ϕάσης q 4: Συνεχής q > 4: Πρώτης τάξης Κρίσιµοι εκθέτες q ν α β γ λ 2 1 0 3 4 5 6 2 3 1 3 2 3 1 8 1 9 1 12 7 4 0 13 9 0 7 6 0 5 - - - - 0.0265 6 - - - - 0.1007 10 - - - - 0.3480 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 14 / 91

Περίγραµµα Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 15 / 91

Αλγόριθµος Heat-bath Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Χαρακτηριστικά Εναλλαγής µεµονωµένων spin (single-spin-flip) Πιθανότητα επιλογής νέου spin ανάλογη του ϐάρους Boltzmann Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 16 / 91

Αλγόριθµος Heat-bath Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Χαρακτηριστικά Εναλλαγής µεµονωµένων spin (single-spin-flip) Πιθανότητα επιλογής νέου spin ανάλογη του ϐάρους Boltzmann Βήµατα αλγορίθµου 1 Επιλέγουµε µια τυχαία ϑέση στο πλέγµα, έστω k. 2 Θεωρούµε κατάσταση µ µε ενέργεια E µ όπου spin s k = µ Q 3 Επιλέγουµε νέα κατάσταση ν µε ενέργεια E ν spin s k = ν Q µε πιθανότητα Boltzmann P(µ ν) = e βeν q i e βei Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 16 / 91

Αλγόριθµος Swendsen-Wang Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Βήµατα αλγορίθµου 1 Θεωρούµε οµάδες ισάριθµες σηµείων του πλέγµατος 2 Επιλέγουµε όλα τα στοιχεία ένα προς ένα 3 Εστω στοιχείο s k µε γείτονες s j 4 Αν s k = s j, τα τοποθετούµε στην ίδια οµάδα µε πιθανότητα p add = 1 e β 5 Τελικά κάθε πλεγµατικά σηµείο ανήκει σε κάποια οµάδα 6 Κάθε οµάδα παίρνει τυχαίο spin n Q µε πιθανότητα 1/q Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 17 / 91

Εναλλαγή spin clusters Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Παράδειγµα 3 καταστάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 18 / 91

Πραγµατοποίηση προσοµοιώσεων Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Βήµατα εργασίας 1 Επιλέγουµε ϑερµοκρασία (β) 2 Τρέχουµε τον αλγόριθµο για αρκετά sweeps (τυπικά 10 4 10 7 ) 3 Σε κάθε β µετρούµε E s και M s 4 εν είναι όλες οι µετρήσεις ανεξάρτητες µεταξύ τους 5 Κάνουµε στατιστική επεξεργασία όλων των Ϲευγών(M s, E s ) 6 Παράγουµε τα ενδιαφέροντα µεγέθη (m, e, c, χ, bc, ec) 7 Προχωρούµε σε επόµενο β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 19 / 91

Υπολογιστικά εργαλεία Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Αλγόριθµοι Monte Carlo Αλγόριθµοι Metropolis, Heatbath, Swendsen-Wang Γλώσσα προγραµµατισµού C Βασισµένα σε κώδικα Barkema και Swendsen-Wang Επέκταση στις D διαστάσεις Επιλογή ανάµεσα σε ελικοειδείς και περιοδικές Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 20 / 91

Υπολογιστικά εργαλεία Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Αλγόριθµοι Monte Carlo Αλγόριθµοι Metropolis, Heatbath, Swendsen-Wang Γλώσσα προγραµµατισµού C Βασισµένα σε κώδικα Barkema και Swendsen-Wang Επέκταση στις D διαστάσεις Επιλογή ανάµεσα σε ελικοειδείς και περιοδικές Σ.Σ. Επεξεργασία & ανάλυση tcsh scripts για συντονισµό php, sed & awk scripts για στατιστική επεξεργασία gnuplot για τα γραφήµατα latex για κείµενο και παρουσίαση Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 20 / 91

Ανάλυση αποτελεσµάτων Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα Συµπεράσµατα Κυρίως ποιοτικά µέσω γραφηµάτων Περιορισµένες ποσοτικές εκτιµήσεις Κρίσιµο σηµείο Σηµείο τοµής καµπυλών Binder Cumulant Προσαρµογή ψευδοκρίσιµων σηµείων β pc (L 1/ν ; q) = β num (q)+c(q) L 1/ν Κρίσιµοι εκθέτες & Finite Size Scaling Τάξη µετάβασης Ιστογράµµατα µαγνήτισης & ενέργειας (συνύπαρξη ϕάσεων) Λανθάνουσα ϑερµότητα στο Energy cumulant Υστέρηση µαγνήτισης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 21 / 91

Επιλογή q για τις προσοµοιώσεις Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα q = 2. Σύγκριση µε Ising, δοκιµή Heatbath q = 3. Πρώτη µη γνωστή περίπτωση. q = 4. Οριακά χαρακτηριστικά Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 22 / 91

Επιλογή q για τις προσοµοιώσεις Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα q = 2. Σύγκριση µε Ising, δοκιµή Heatbath q = 3. Πρώτη µη γνωστή περίπτωση. q = 4. Οριακά χαρακτηριστικά. Ασθενή χαρακτηριστικά πρώτης τάξης q = 6. Ευδιάκριτα χαρακτηριστικά πρώτης τάξης q = 10. Εντονες καµπύλες υστέρησης και διαχωρισµός ϕάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 22 / 91

Περίγραµµα q = 2 q = 3 q = 4 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 23 / 91

υο καταστάσεις q = 2 q = 3 q = 4 Ισοδυναµία µε Ising Ιδιος αριθµός spin, κοινές συµµετρίες Ιδιο universality class, κοινοί κρίσιµοι εκθέτες Οµοιες καµπύλες µεγεθών Χαµιλτονιανή H Potts = 1 2 H Ising J N 2 Κρίσιµο σηµείο β c,ising = 1 2 ln(1+ 2) 0.4407 β c,potts (2) = ln(1+ 2) 0.8813 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 24 / 91

µε Heatbath q = 2 q = 3 q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Ευρεία περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c 96.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128 Ελικοειδείς Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 25 / 91

µε Heatbath q = 2 q = 3 q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Ευρεία περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c 96.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128 Ελικοειδείς Σ.Σ. Στόχος Αξιολόγηση αποδοτικότητας Σύγκριση µε Swendsen-Wang Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 25 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης 0.9 0.8 0.7 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 26 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Πολύ µεγάλα σφάλµατα 700 600 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 500 400 χ 300 200 100 0 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 27 / 91

Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας 0.004 0.0035 0.003 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 28 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου - Μεγάλα σφάλµατα 3.5 3 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 2.5 <m 4 >/<m 2 > 2-1 2 1.5 1 0.5 0 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 29 / 91

q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c Και πάλι 96.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Ελικοειδείς Σ.Σ. Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 30 / 91

q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c Και πάλι 96.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Ελικοειδείς Σ.Σ. Στόχος Αξιολόγηση αποδοτικότητας Σύγκριση µε Heatbath Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 30 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης 0.8 0.7 0.6 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.855 0.86 0.865 0.87 0.875 0.88 0.885 0.89 0.895 0.9 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 31 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία - συρρίκνωση σφαλµάτων 1800 1600 1400 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 1200 χ 1000 800 600 400 200 0 0.85 0.855 0.86 0.865 0.87 0.875 0.88 0.885 0.89 0.895 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 32 / 91

Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας 0.004 0.0035 0.003 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.0025 0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 0.85 0.855 0.86 0.865 0.87 0.875 0.88 0.885 0.89 0.895 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 33 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (2) [0.8805, 0.8825] 2 1.5 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <m 4 >/<m 2 > 2-1 1 0.5 0 0.855 0.86 0.865 0.87 0.875 0.88 0.885 0.89 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 34 / 91

Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (2) 0.8813 ν = 1 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/8 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 7/4 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 35 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/8 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 0.2-2 -1 0 1 2 3 4 L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 36 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 0.12 0.11 0.1 0.09 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 χ L -γ/ν, γ = 7/4 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 37 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 0.4 0.2 0-2 -1 0 1 2 3 4 L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 38 / 91

Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 1 ; q := 2) = β num (2)+c(2) L 1 β num (2) = 0.8816±0.0003, (0.04%) 0.885 0.88 Fit asymptote Theory 0.875 β pc (L; q=2) 0.87 0.865 0.86 0.855 0.85 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 L -1/ν, ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 39 / 91

q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang q = 3 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (3) = ln(1+ 3) 1.0050 120.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 96, 128, 192, 256 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 40 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης 0.8 0.7 0.6 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 41 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία 1800 1600 1400 1200 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 1000 χ 800 600 400 200 0 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 42 / 91

Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Απουσία λανθάνουσας ϑερµότητας 0.01 0.009 0.008 0.007 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 43 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (3) [1.0043, 1.0056] 1.6 1.4 1.2 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <m 4 >/<m 2 > 2-1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 44 / 91

Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (3) 1.0050 ν = 5/6 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/9 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 13/9 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 45 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/9 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 0.2-2 -1 0 1 2 3 4 L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 46 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 0.12 0.11 0.1 0.09 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 χ L -γ/ν, γ = 13/9 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 47 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 1.4 1.2 1 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] 0.8 0.6 0.4 0.2 0-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 48 / 91

Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 6/5 ; q := 3) = β num (3)+c(3) L 6/5 β num (3) = 1.0051±0.0001, (0.012%) 1.006 1.004 Fit asymptote Theory 1.002 β pc (L; q=3) 1 0.998 0.996 0.994 0.992 0.99 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 L -1/ν, ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 49 / 91

q = 2 q = 3 q = 4 µε Swendsen-Wang q = 4 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (4) = ln(1+ 4) 1.0986 320.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 48, 64, 80, 96, 128, 192 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 50 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 Οµαλή καµπύλη µαγνήτισης 0.8 0.7 0.6 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 51 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 Ψευδοκρίσιµα σηµεία 1400 1200 1000 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 800 χ 600 400 200 0 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 52 / 91

Energy Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Ιχνη λανθάνουσας ϑερµότητας 0.025 0.02 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.015 0.01 0.005 0 1.08 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 53 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 Σηµείο τοµής στο β binder (4) [1.0983, 1.0992] 2 1.5 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <m 4 >/<m 2 > 2-1 1 0.5 0 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 54 / 91

Κρίσιµοι εκθέτες q = 2 q = 3 q = 4 Κρίσιµο β Εκθέτης µήκους συσχέτισης β fss (4) 1.09855 ν = 2/3 Τιµές εκθετών Μέγεθος Εκθέτης Τιµή Μαγνήτιση β 1/2 Μαγνητική επιδεκτικότητα γ 6/5 Binder Cumulant ω 0 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 55 / 91

Μαγνήτιση q = 2 q = 3 q = 4 < m >L n =[< M >/N] L β/ν, β = 1/12 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 0.2-4 -2 0 2 4 6 L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 56 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα q = 2 q = 3 q = 4 0.11 0.1 0.09 0.08 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 χ L -γ/ν, γ = 6/5 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01-2 -1 0 1 2 3 4 5 L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 57 / 91

Binder Cumulant q = 2 q = 3 q = 4 2 1.8 1.6 1.4 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 [<m 4 >/<m 2 > 2-1] 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 58 / 91

Προσαρµογή ψευδοκρίσµων β q = 2 q = 3 q = 4 β pc (L 3/2 ; q := 4) = β num (4)+c(4) L 3/2 β num (4) = 1.0985±0.0001, (0.01%) 1.1 Fit asymptote Theory 1.098 1.096 β pc (L; q=4) 1.094 1.092 1.09 1.088 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 L -1/ν, ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 59 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2 q = 3 q = 4 Ενδειξη συνύπαρξης ϕάσεων 1 0.8 L=32, β=1.0895 L=40, β=1.0920 L=48, β=1.0935 L=64, β=1.0950 L=96, β=1.0965 L=128, β=1.0975 L=192, β=1.0978 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 60 / 91

Περίγραµµα 1 Πρότυπο Potts Μεταβάσεις ϕάσης Το τετραγωνικό πρότυπο Potts 2 Αλγόριθµοι προσοµοίωσης Αριθµητικά αποτελέσµατα 3 q = 2 q = 3 q = 4 4 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 61 / 91

µε Swendsen-Wang Παράµετροι προσοµοίωσης Στενότερη περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (5) = ln(1+ 5) 1.1744 1.000.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 32, 40, 48, 64, 80, 96, 128 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 62 / 91

Μαγνήτιση Απότοµη µεταβολή µαγνήτισης 0.8 0.7 0.6 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.164 1.166 1.168 1.17 1.172 1.174 1.176 1.178 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 63 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα Ψευδοκρίσιµα σηµεία 900 800 700 600 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 500 χ 400 300 200 100 0 1.166 1.168 1.17 1.172 1.174 1.176 1.178 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 64 / 91

Energy Cumulant Παρουσία λανθάνουσας ϑερµότητας 0.04 0.035 0.03 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 1.164 1.166 1.168 1.17 1.172 1.174 1.176 1.178 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 65 / 91

Binder Cumulant Σηµείο τοµής στο β binder (5) [1.1742, 1.1746] 3 2.5 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <m 4 >/<m 2 > 2-1 2 1.5 1 0.5 0 1.169 1.17 1.171 1.172 1.173 1.174 1.175 1.176 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 66 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων 1 0.8 L=32, β=1.1680 L=40, β=1.1695 L=48, β=1.1710 L=64, β=1.1720 L=80, β=1.1726 L=96, β=1.1732 L=128, β=1.1736 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 67 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης Παρατηρήσεις Εκτέλεση προσοµοιώσεων µε διαφορά έναρξης (hot/cold) Εµφάνιση πρώτη ϕορά για Ενδειξη µετάβασης πρώτης τάξης Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 68 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης Παρατηρήσεις Εκτέλεση προσοµοιώσεων µε διαφορά έναρξης (hot/cold) Εµφάνιση πρώτη ϕορά για Ενδειξη µετάβασης πρώτης τάξης Παράµετροι Μεγάλο L = 768 Λίγα sweeps (1.000-8.000) Μείωση πλάτους µαγνήτισης µε την αύξηση των sweeps Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 68 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 768, 1000 sweeps 0.8 0.7 Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.171 1.172 1.173 1.174 1.175 1.176 1.177 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 69 / 91

µε Swendsen-Wang q = 6 Παράµετροι προσοµοίωσης Στενή περιοχή γύρω από το αναµενόµενο β c (6) = ln(1+ 6) 1.2382 3.000.000 sweeps Τετραγωνικά πλέγµατα µε L = 16, 32, 40, 48, 64, 80, 96 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 73 / 91

Μαγνήτιση Απότοµη µεταβολή µαγνήτισης 0.8 0.7 0.6 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.228 1.23 1.232 1.234 1.236 1.238 1.24 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 74 / 91

Μαγνητική επιδεκτικότητα Ψευδοκρίσιµα σηµεία 700 600 500 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 400 χ 300 200 100 0 1.23 1.232 1.234 1.236 1.238 1.24 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 75 / 91

Energy Cumulant Παρουσία λανθάνουσας ϑερµότητας 0.12 0.1 0.08 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <e 4 >/<e 2 > 2-1 0.06 0.04 0.02 0 1.226 1.228 1.23 1.232 1.234 1.236 1.238 1.24 1.242 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 76 / 91

Binder Cumulant Σηµείο τοµής στο β binder (6) [1.2381, 1.2385] 5 4 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <m 4 >/<m 2 > 2-1 3 2 1 0 1.235 1.2355 1.236 1.2365 1.237 1.2375 1.238 1.2385 1.239 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 77 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων 1 0.8 L=16, β=1.2210 L=32, β=1.2330 L=40, β=1.2345 L=48, β=1.2356 L=64, β=1.2366 L=80, β=1.2370 L=96, β=1.2374 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 78 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 512, 1000 sweeps 0.8 0.7 Hot start Cold start 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.236 1.2365 1.237 1.2375 1.238 1.2385 1.239 1.2395 1.24 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 79 / 91

q = 10 q = 10 Παράµετροι προσοµοίωσης Πολύ µεγάλος χρόνος αυτοσυσχέτισης Πολύ µεγάλος χρόνος προσοµοίωσης Περιορισµένες προσοµοιώσεις Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 83 / 91

q = 10 q = 10 Παράµετροι προσοµοίωσης Πολύ µεγάλος χρόνος αυτοσυσχέτισης Πολύ µεγάλος χρόνος προσοµοίωσης Περιορισµένες προσοµοιώσεις Ιστογράµµατα ενέργειας και µαγνήτισης Για L = 64, 15 10 6 sweeps, β = 1.4246 Μεγάλος λόγος µεγίστου-ελαχίστου Εντονος διαχωρισµός ϕάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 83 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης Συνύπαρξη ϕάσεων 0.0035 0.003 0.0025 0.002 h(m) 0.0015 0.001 0.0005 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 84 / 91

Ιστόγραµµα ενέργειας Εντονος διαχωρισµός 0.0018 0.0016 0.0014 0.0012 h(e) 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3 e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 85 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 1000 sweeps 0.9 0.8 Hot start Cold start 0.7 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.416 1.418 1.42 1.422 1.424 1.426 1.428 1.43 1.432 1.434 1.436 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 86 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 2000 sweeps 0.9 0.8 Hot start Cold start 0.7 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1.416 1.418 1.42 1.422 1.424 1.426 1.428 1.43 1.432 1.434 1.436 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 87 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 4000 sweeps 0.9 0.8 Hot start Cold start 0.7 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 1.416 1.418 1.42 1.422 1.424 1.426 1.428 1.43 1.432 1.434 1.436 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 88 / 91

Υστέρηση µαγνήτισης L = 256, 8000 sweeps 0.9 0.8 Hot start Cold start 0.7 0.6 < m >=< M >/N 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1 1.416 1.418 1.42 1.422 1.424 1.426 1.428 1.43 1.432 1.434 1.436 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 89 / 91

Εν κατακλείδει Αποτελέσµατα 1 Ανάπτυξη γενικού κώδικα 2 Επιβεβαίωση τάξης µετάβασης 3 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 90 / 91

Εν κατακλείδει Αποτελέσµατα 1 Ανάπτυξη γενικού κώδικα 2 Επιβεβαίωση τάξης µετάβασης 3 Επιβεβαίωση κρίσιµου σηµείου Προοπτικές Εφαρµογές Potts σε άλλες επιστήµες Εντατικότερες προσοµοιώσεις - υπολογιστικές απαιτήσεις για περισσότερες διαστάσεις - έλλειψη αναλυτικών προβλέψεων Ανάλυση µε εξεζητηµένες στατιστικές µεθόδους για ποσοτικές προβλέψεις Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 90 / 91

Ευχαριστώ Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 91 / 91

Backup Slides Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 92 / 91

Η µέθοδος Monte Carlo Ιδιότητες Εκτίµηση µεγεθών αντί υπολογισµού Επιλογή αντιπροσωπευτικών καταστάσεων (importance-sampling) Ισορροπία κατανοµή Boltzmann Χρήση διαδικασιών Markov για εναλλαγή καταστάσεων Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 93 / 91

Η µέθοδος Monte Carlo Ιδιότητες Εκτίµηση µεγεθών αντί υπολογισµού Επιλογή αντιπροσωπευτικών καταστάσεων (importance-sampling) Ισορροπία κατανοµή Boltzmann Χρήση διαδικασιών Markov για εναλλαγή καταστάσεων Πιθανότητα µετάβασης διαδικασιών P(µ ν) = f(µ, ν): Εξάρτηση από αρχική/τελική κατάσταση dp(µ ν) = dt 0: Σταθερή στο χρόνο ν P(µ ν) = 1: Κανονικοποίηση στη µονάδα P(µ µ) = P [0, 1]: Επιτρέπεται παραµονή στην ίδια κατάσταση Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 93 / 91

Συνθήκες διαδικασιών Markov Συνθήκη Εργοδικότητας (Ergodicity) Ολες οι καταστάσεις πρέπει να είναι προσβάσιµες από οποιαδήποτε τυχούσα κατάσταση ακόµη κι αν χρειαστεί η διαδικασία να τρέξει για µεγάλο διάστηµα. Συνθήκη Λεπτοµερούς Ισοζύγισης (Detailed balance) Κατά µέσο όρο στο σύστηµα ϑα πρέπει να συµβαίνουν µεταβάσεις από την κατάσταση µ στην κατάσταση ν εξίσου συχνά µε τις αντίστροφες µεταβάσεις, δηλ. από την ν στην µ. P(µ ν) P(ν µ) = e β(eµ Eν) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 94 / 91

Θερµοδυναµικά µεγέθη Συνάρτηση Επιµερισµού Κατανοµή Boltzmann - Θερµική ισορροπία Z = µ e βeµ p µ = 1 Z e βeµ Αντίστροφη ϑερµοκρασία Μαγνήτιση β = 1 kt M = F B Εσωτερική ενέργεια U = log Z β Ειδική ϑερµότητα C = E T Ενέργεια Helmholtz F = log Z β Μαγνητική επιδεκτικότητα χ = M B Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 95 / 91

Αριθµητικοί υπολογισµοί για δεδοµένο β Ενέργεια ανά sweep E s = δ(s i, s j ) Μαγνήτιση ανά sweep M s = N max N N max q 1 Ενέργεια Es e = 2N Ειδική ϑερµότητα c = β 2 E 2 s Es 2 2N Energy Cumulant ec = E4 s E 2 s 2 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 96 / 91

Αριθµητικοί υπολογισµοί για δεδοµένο β Ενέργεια ανά sweep E s = δ(s i, s j ) Μαγνήτιση ανά sweep M s = N max N N max q 1 Ενέργεια Es e = 2N Μαγνήτιση Ειδική ϑερµότητα E 2 2 c = β 2 s Es 2N Μαγνητική επιδεκτικότητα Energy Cumulant ec = E4 s E 2 s 2 1 Binder Cumulant m = Ms N χ = N( M s 2 M s 2 ) bc = M4 s M 2 s 2 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 96 / 91

Ενέργεια q = 2, Heatbath -0.76-0.78 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128-0.8 <e> = <E>/2N -0.82-0.84-0.86-0.88-0.9 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 97 / 91

Ειδική ϑερµότητα, Heatbath 0.8 0.7 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 0.6 c 0.5 0.4 0.3 0.2 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 98 / 91

Ενέργεια q = 2, Swendsen-Wang -0.81-0.82-0.83 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e> = <E>/2N -0.84-0.85-0.86-0.87-0.88 0.85 0.855 0.86 0.865 0.87 0.875 0.88 0.885 0.89 0.895 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 99 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 2, Swendsen-Wang 1.6 1.4 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 1.2 c 1 0.8 0.6 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 100 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 2, Swendsen-Wang 0.44 0.42 0.4 0.38 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 c L -α/ν, α = 4/17 0.36 0.34 0.32 0.3 0.28 0.26 0.24-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 L 1/ν (β c (2) / β - 1), ν = 1 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 101 / 91

Ενέργεια q = 3, Swendsen-Wang -0.73-0.74-0.75-0.76 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 <e> = <E>/2N -0.77-0.78-0.79-0.8-0.81-0.82-0.83 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 102 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 3, Swendsen-Wang 8 7 6 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 5 c 4 3 2 0.985 0.99 0.995 1 1.005 1.01 1.015 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 103 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 3, Swendsen-Wang 0.65 0.6 0.55 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 L=256 c L -α/ν, α = 5/13 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 L 1/ν (β c (3) / β - 1), ν = 5/6 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 104 / 91

Ενέργεια q = 4, Swendsen-Wang -0.66-0.68-0.7 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 <e> = <E>/2N -0.72-0.74-0.76-0.78-0.8 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 105 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 4, Swendsen-Wang 25 20 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 c 15 10 5 1.08 1.085 1.09 1.095 1.1 1.105 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 106 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 4, Swendsen-Wang 0.55 0.5 0.45 L=32 L=40 L=48 L=64 L=96 L=128 L=192 c L -α/ν, α = 1/2 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 L 1/ν (β c (4) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 107 / 91

Ενέργεια, Swendsen-Wang -0.64-0.66-0.68 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 <e> = <E>/2N -0.7-0.72-0.74-0.76-0.78-0.8 1.168 1.17 1.172 1.174 1.176 1.178 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 108 / 91

Ειδική ϑερµότητα, Swendsen-Wang 60 50 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 40 c 30 20 10 0 1.166 1.168 1.17 1.172 1.174 1.176 1.178 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 109 / 91

Ειδική ϑερµότητα, Swendsen-Wang 0.35 0.3 0.25 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 L=128 c L -27/13 0.2 0.15 0.1 0.05-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 L 1/ν (β c (5) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 110 / 91

Ενέργεια q = 6, Swendsen-Wang -0.6-0.62-0.64-0.66 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 <e> = <E>/2N -0.68-0.7-0.72-0.74-0.76-0.78-0.8 1.232 1.233 1.234 1.235 1.236 1.237 1.238 1.239 1.24 1.241 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 111 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 6, Swendsen-Wang 120 100 80 L=16 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 c 60 40 20 0 1.23 1.232 1.234 1.236 1.238 1.24 1.242 β Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 112 / 91

Ειδική ϑερµότητα q = 6, Swendsen-Wang 0.35 0.3 L=32 L=40 L=48 L=64 L=80 L=96 0.25 c L -45/26 0.2 0.15 0.1 0.05-0.5 0 0.5 1 1.5 L 1/ν (β c (6) / β - 1), ν = 2/3 Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 113 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = 0.7000 (αµαγνήτιστη) 1 0.8 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 114 / 91

Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = 0.7000 (αµαγνήτιστη) 18 16 14 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 12 τ int (t max ) 10 8 6 4 2 0 0 100 200 300 400 500 t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 115 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = 0.8800 (κρίσιµη) 1 0.8 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 116 / 91

Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = 0.8800 (κρίσιµη) 3000 2500 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 2000 τ int (t max ) 1500 1000 500 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 117 / 91

Χρονοσειρά µαγνήτισης q = 2, β = 0.8800, L = 128 12000 10000 8000 M 6000 4000 2000 0 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 t Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 118 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης q = 2, β = 1.1000 (µαγνητισµένη) 1 0.8 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 119 / 91

Ολ. χρόνος αυτοσυσχέτισης q = 2, β = 1.1000 (µαγνητισµένη) 6 5.5 5 L=32 L=48 L=64 L=96 L=128 4.5 τ int (t max ) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 100 200 300 400 500 t max (sweeps) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 120 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης, q = 3 1 0.8 L=32, β=0.9910 L=48, β=0.9960 L=64, β=0.9990 L=96, β=1.0015 L=128, β=1.0025 L=192, β=1.0035 L=256, β=1.0038 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 121 / 91

Ιστόγραµµα ενέργειας, q = 3 1 0.8 L=32, β=0.9910 L=48, β=0.9960 L=64, β=0.9990 L=96, β=1.0015 L=128, β=1.0025 L=192, β=1.0035 L=256, β=1.0038 0.6 h(e) 0.4 0.2 0-0.95-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7-0.65-0.6 e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 122 / 91

Ιστόγραµµα ενέργειας, q = 4 1 0.8 L=32, β=1.0895 L=40, β=1.0920 L=48, β=1.0935 L=64, β=1.0950 L=96, β=1.0965 L=128, β=1.0975 L=192, β=1.0978 0.6 h(e) 0.4 0.2 0-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7-0.65-0.6-0.55 e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 124 / 91

Ιστόγραµµα µαγνήτισης, 1 0.8 L=32, β=1.1680 L=40, β=1.1695 L=48, β=1.1710 L=64, β=1.1720 L=80, β=1.1726 L=96, β=1.1732 L=128, β=1.1736 0.6 h(m) 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 m=m/n Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 125 / 91

Ιστόγραµµα ενέργειας, 1 0.8 L=32, β=1.1680 L=40, β=1.1695 L=48, β=1.1710 L=64, β=1.1720 L=80, β=1.1726 L=96, β=1.1732 L=128, β=1.1736 0.6 h(e) 0.4 0.2 0-0.95-0.9-0.85-0.8-0.75-0.7-0.65-0.6-0.55-0.5 e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 126 / 91

Ιστόγραµµα ενέργειας, q = 6 1 0.8 L=16, β=1.2210 L=32, β=1.2330 L=40, β=1.2345 L=48, β=1.2356 L=64, β=1.2366 L=80, β=1.2370 L=96, β=1.2374 0.6 h(e) 0.4 0.2 0-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3 e=e/(2n) Φίλιος Κωνσταντίνος ιδιάστατο Πρότυπο Potts µε Αριθµητικές Monte Carlo 10 Νοε 2010 128 / 91