ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ 8. ΓΕΝΙΚΑ Τα µαθηµατικά και φυσικά οµοιώµατα είναι πολύ χρήσιµα για βασική και εφαρµοσµένη έρευνα, σε µία ευρεία περιοχή οριακών συνθηκών, δια µέσου της οποίας είναι δυνατόν να προκύψουν γενικοί κανόνες σχεδιασµού. Επιβάλλεται όµως επί τόπου έρευνα και έλεγχος των παραµέτρων, ή γενικά βαθµονόµηση του οµοιώµατος, για την αποδοχή του τελικού αποτελέσµατος. Η διαδικασία αυτή είναι απαραίτητη προκειµένου περί φυσικών υδατορευµάτων όπου η κίνηση νερού και φερτών υλών είναι πολύπλοκη. 8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ Η µαθηµατική προσοµοίωση της κίνησης του νερού και των φερτών υλών έχει παρουσιάσει πολύ µεγάλη εξέλιξη κατά την τελευταία δεκαετία. Ένας αριθµός αριθµητικών οµοιωµάτων, λίγο πολύ έτοιµων να χρησιµοποιηθούν, κυκλοφορούν στη διεθνή αγορά. Τα οµοιώµατα αυτά χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση των µορφολογικών µεταβολών που θα προκύψουν από φυσικά αίτια ή ανθρώπινες ενέργειες. Η πρακτική εφαρµογή τους είναι ακόµη περιορισµένη. Κατά τη µελέτη προβληµάτων, που εµφανίζονται σε φυσικά υδατορεύµατα, πρέπει να εξεταστεί ένας µεγάλος αριθµός µεταβλητών. Γενικά, το πρόβληµα είναι

60 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών τρισδιάστατο και µη µόνιµο. Τα φερτά υλικά δεν παρουσιάζουν οµοιοµορφία και µερικά τµήµατα του υδατορεύµατος είναι µη διαβρώσιµα. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι όχθες του καναλιού συνίστανται από διαβρώσιµα υλικά. Από την άλλη µεριά, δεδοµένα πεδίου είναι ελάχιστα και ακόµη λιγότερα τα αξιόπιστα δεδοµένα. Αυτός είναι ο λόγος που πολλά οµοιώµατα έχουν επαληθευθεί µόνο µε δεδοµένα εργαστηρίου. Βαθµονόµηση και επαλήθευση των µαθηµατικών οµοιωµάτων απαιτεί λεπτοµερή σειρά δεδοµένων πεδίου. Οι ακόλουθες τρεις κλάσεις οµοιωµάτων χρησιµοποιούνται. 8.. Τρισδιάστατα οµοιώµατα Χρησιµοποιούνται κυρίως για την προσοµοίωση της τυρβώδους ροής, και της ροής θερµότητας και µάζας. Ένα από τα πλέον δηµοφιλή οµοιώµατα κλεισίµατος του συστήµατος των εξισώσεων είναι το k-ε οµοίωµα που εισήγαγαν οι Rastogi και Rodi το 978. Τα τρισδιάστατα οµοιώµατα στη µηχανική των ποταµών εφαρµόστηκαν στον υπολογισµό του πεδίου συγκέντρωσης φερτών υλών σε εργαστηριακά κανάλια που εν µέρει περιορίζονται από βάθρο γέφυρας (van Rijn 989) και στη µελέτη του πεδίου ροής σε µαίανδρο (Simizu et al. 990). Οι Simizu et al καθώς και οι Zheng και Song (989) και Wang (988) και Wang et al (989) εφάρµοσαν τα ψευδο-τρισδιάστατα οµοιώµατα. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο ροής προσοµοιώνεται µε ένα οµοίωµα µέσης ως προς το βάθος ροής, σε συνδυασµό µε ένα νόµο κατανοµής ταχύτητας ως προς το βάθος. Οι εξισώσεις συνέχειας και κίνησης έχουν τη γενική µορφή των εξισώσεων (6.5.38 και 6.5.40) οι οποίες, για αµελητέες µέσες ως προς το βάθος τάσεις (ορθές και διατµητικές) καθώς και διατµητικές τάσεις στην ελεύθερη επιφάνεια, γίνονται: h t ( hu) ( hv) y 0 ( hu) ( hu ) ( huv) t y (h z ) τ gh ρ x 0 (8..) (8..) ( hv) ( huv) ( hv ) (h z ) τy 0 t y gh y ρ (8..3) όπου οι µέσες ως προς το βάθος ταχύτητες U, V και οι διατµητικές τάσεις πυθµένα τ x, τ y ορίζονται µε τις σχέσεις (6.5.4) και (6.5.4) αντίστοιχα.

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 6 Για την κατανοµή των ταχυτήτων χρησιµοποιήθηκαν διάφορες εµπειρικές σχέσεις. Οι Simizu et al (990) χρησιµοποίησαν τη λογαριθµική κατανοµή u U u z z k U ln h (8..4) όπου u η ταχύτητα στη θέση z, k 0.4 η σταθερά του von Kaman και u ghs. Οι Ikeda και Nishimua (987) χρησιµοποίησαν την ακόλουθη πολυωνυµική σχέση u U u k U G όπου το πολυώνυµο G(ξ) είναι: ( ξ ) (8..5) 3 G( ξ) 6. 64ξ 3. 9ξ 0. 6ξ. 3 ξ z z h (8..6) (8..7) Άλλοι ερευνητές χρησιµοποίησαν τον εκθετικό νόµο (Odgaad 986, 989) u u U u m m z h / m (8..8) όπου ο εκθέτης m µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση m ku k u 8 f (8..9) µε f τον συντελεστή τριβής Dacy Weisach. Εκτός αυτών χρησιµοποιήθηκε και ο παραβολικός νόµος (Simizu et al 990) u u U u h z z u m h h 3 (8..0)

6 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών όπου η παράµετρος m είναι: m 6 ku h (8..) Στις σχέσεις 8..9 και 8.., k 0.4 η σταθερά von Kaman. 8... Φορτίο πυθµένα Το φορτίο πυθµένα κατά τη διεύθυνση της ροής εισάγεται µε µία από τις σχέσεις που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 7.3.3.. Ο υπολογισµός του φορτίου κατά την εγκάρσια διεύθυνση υπολογίζεται µε τις ακόλουθες σχέσεις: α) του Engelund (974) q V h q s α U tanϕ h (8..) β) του Hasegawa (984) q u q s v τ c µ µ τ s k z (8..3) όπου q, q η εγκάρσια και η κατά µήκος στερεοπαροχή όγκου πυθµένα ανά s µονάδα πλάτους αντίστοιχα, U, V οι µέσες ως προς το βάθος ταχύτητες κατά τη διεύθυνση της ροής και την εγκάρσια διεύθυνση, η ακτίνα καµπυλότητας, α 7 σταθερά του οµοιώµατος του Engelund, φ η γωνία τριβής, h το βάθος, u, v οι ταχύτητες κοντά στον πυθµένα κατά τη διεύθυνση της ροής και την εγκάρσια διεύθυνση, αντίστοιχα, z η στάθµη του πυθµένα, µ s ο στατικός παράγων τριβής, µ k 0.45 ο κινηµατικός παράγων τριβής, τ c η αδιάστατη κρίσιµη διατµητική τάση, για την έναρξη κίνησης των κόκκων, από το διάγραµµα του Shields και τ η αδιάστατη διατµητική τάση πυθµένα που ορίζεται από τη σχέση τ u ( Ss ) gds (8..4) όπου D s η διάµετρος των κόκκων πυθµένα. Οι Kassem και Chaudy (998) χρησιµοποίησαν την εµπειρική εκθετική

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 63 σχέση για να εκφράσουν τις συνιστώσες της στερεοπαροχής q x και q y κατά τις διευθύνσεις x, y, δηλ. q x αu U V (8..5) q y αv U V (8..6) όπου α, εµπειρικές παράµετροι που εξαρτώνται από τις ιδιότητες των φερτών υλών και τη µορφή του πυθµένα. 8... Φορτίο σε αιώρηση Με την παραδοχή ότι οι συνιστώσες κατά τη z διεύθυνση είναι αµελητέες, η µέση ως προς το βάθος εξίσωση του αιωρούµενου φορτίου, σε σύστηµα ορθογώνιων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων, γράφεται (Simizu et al 990) Ν s ( huc) hvc R ( Ν) c ( hvc) C C εh εh s s ( q w C )h su s (8..7) όπου C η µέση ως προς το βάθος συγκέντρωση και ορίζεται από τη σχέση C C β e β µε (8..8) β w s h ε και h το βάθος, -Ν - /R c, απόσταση του σηµείου (κατά µήκος του άξονα ) από την αρχή (κείται στον άξονα του αγωγού), R c ακτίνα καµπυλότητας του άξονα του αγωγού, ε ο συντελεστής διάχυσης κατά τη διεύθυνση s (ο συντελεστής διάχυσης κατά τη διεύθυνση είναι ίσος µε ε ), q su ο ρυθµός εισόδου στερεών από την µονάδα επιφάνειας του πυθµένα στην περιοχή των αιωρουµένων στερεών, w s η ταχύτητα καθίζησης των στερεών και C q su /w s.oι συνιστώσες της στερεοπαροχής όγκου q sx, q sy κατά τις οριζόντιες διευθύνσεις x, y

64 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών αντίστοιχα, εκφράζονται γενικά µε τις σχέσεις: q sx h ucdz, qsy a h a vcdz Εξίσωση συνέχειας φερτών υλών Η εξίσωση συνέχειας για διδιάστατη µεταφορά του ολικού φορτίου (πυθµένα και αιωρούµενου) φερτών υλών γράφεται: z t q q q s η s ( ) R p Ν Ν c q w C su s 0 (8..9) όπου q s και q η στερεοπαροχή κατά τη διεύθυνση της ροής και εγκάρσια προς αυτή αντίστοιχα και η p το πορώδες των φερτών υλών. 8.. ιδιάστατα οµοιώµατα Η οριζοντιογραφία υδατορεύµατος και η τοπογραφία του πυθµένα του είναι αποτέλεσµα της ροής του ρευστού, της κίνησης των φερτών και των ορίων του καναλιού. Τα διδιάστατα οµοιώµατα, που έχουν µέχρι σήµερα αναπτυχθεί, αντιµετωπίζουν τα προβλήµατα αυτά. Τα τρισδιάστατα οµοιώµατα παρουσιάζουν το µειονέκτηµα του υψηλού κόστους λειτουργίας και η κατάστρωση τους δεν είναι συχνά κατάλληλη για την εφαρµογή τους στις συνθήκες του πρωτότυπου. Μερικές αβεβαιότητες που υπάρχουν, στα τρισδιάστατα οµοιώµατα, κατά τη χρήση των εξισώσεων στερεοπαροχής µε τις εξισώσεις κινήσεως είναι ένα επιπλέον ασθενές σηµείο. Εποµένως, τα διδιάστατα οµοιώµατα είναι περισσότερο δηµοφιλή. Οι µέσες ως προς το βάθος εξισώσεις συνέχειας και κίνησης σε σύστηµα ορθογώνιων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων, για µόνιµη ροή, είναι: ( hv ) ( hv ) s s 0 s [ g(h z )] f V V V V V Vs Vs V s h [ g(h z )] f V Vs Vs V Vs s V Vs Vs V s s s h (8..0) (8..) (8..)

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 65 όπου V, V s οι µέσες ως προς το βάθος ταχύτητες κατά την ακτινική διεύθυνση και κατά την κατά µήκος διεύθυνση s και z w η στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας. Προσεγγιστικά η καµπυλότητα (/ s ), της γραµµής ροής, µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: s η (8..3) R c όπου /R c η καµπυλότητα του άξονα της ροής, η απόσταση από τον άξονα της ροής και η η καµπυλότητα που εισάγεται από το πεδίο ροής. Η η ορίζεται µε τη σχέση: V η (8..4) V s s Η διδιάστατη εξίσωση συνέχειας φερτών υλών στην περίπτωση µόνιµης ροής και αµελητέου φορτίου σε αιώρηση γίνεται: q s q q R s c 0 (8..5) όπου q s, q οι συνιστώσες της στερεοπαροχής πυθµένα κατά τη διεύθυνση s και, αντίστοιχα, οι οποίες προσδιορίζονται από τις σχέσεις: qs q cosα (8..6) q q sinα (8..7) µε q το ολικό φορτίο πυθµένα και α η γωνία της διεύθυνσης µεταφοράς. Λόγω των δυνάµεων βαρύτητας που ασκούνται στους κόκκους, οι οποίοι κινούνται σε κεκλιµένο πυθµένα, η διεύθυνση κινήσεως των κόκκων δεν ταυτίζεται µε τη διεύθυνση των διατµητικών τάσεων. Ο von Bendegon (947) έδωσε τον ακόλουθο τύπο για τη γωνία α (που έγινε αποδεκτός από τους deviend 98 και Cosato 990) tanα sinδ f ( θ) cosδ z (8..8)

66 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών όπου δ γωνία της διεύθυνσης των διατµητικών τάσεων πυθµένα µε: V δ actan actan V Α h (8..9) s s C g Α c (8..30) k kc f( θ) 0. 85 θ E (8..3) k 0.4 σταθερά του von Kaman, C c συντελεστής βαθµονόµησης µε τιµές 0.4 µέχρι., s ακτίνα καµπυλότητας της γραµµής ροής, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, Ε συντελεστής βαθµονόµησης (Ε 0.5 για εργαστηριακά κανάλια) και θ η παράµετρος Shields που ορίζεται από τη σχέση θ V V s C D 50 s ( S ) (8..3) όπου C ο συντελεστής Chezy. Για µικρές τιµές της δ η εξίσωση 8..9 γράφεται: V tanα Αh V R f s c ( θ) z (8..33) 8..3 Μονοδιάστατα οµοιώµατα Τα οµοιώµατα αυτά (Σχ. 8.) χρησιµοποιούνται για την πρόβλεψη µέσων τιµών µορφολογικών παραµέτρων σε µία διατοµή και είναι τα: αναλυτικά οµοιώµατα και αριθµητικά οµοιώµατα Κατά την εφαρµογή της προσέγγισης των προβληµάτων µε αναλυτικά οµοιώµατα γίνεται συνήθως η παραδοχή της ψευδο-µόνιµης κατάστασης. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση κίνησης γράφεται: U (h z ) g τ ρ U g C h x U (8..34)

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 67 Σχ. 8. Σκαρίφηµα ορισµού των παραµέτρων του αναλυτικού οµοιώµατος όπου C ο συντελεστής τριβής Chezy και η εξίσωση συνέχειας q Vh σταθ. γράφεται: h U U h 0 (8..35) H εξίσωση συνέχειας των φερτών υλών γράφεται: z t q z 0 (8..36) και η εξίσωση µεταφοράς είναι: q q (V, παράµετροι) (8..37) Τα αριθµητικά µονοδιάστατα οµοιώµατα χρησιµοποιούνται ευρύτατα για πολλές µορφολογικές διαδικασίες. Οι βασικές εξισώσεις που περιγράφουν τη µη µόνιµη ροή σε υδατορεύµατα µε κινούµενα όρια αναπτύχθηκαν από τον Kishnappan (98) οι οποίες για την κίνηση, συνέχεια του νερού και συνέχεια των φερτών υλών αντίστοιχα είναι: Q Q Q Q y y Q Q y g g ( S S) q V t o q Β Α Α Α Α l x Α Α Α Q y z Β P q t w t l (8..38) (8..39)

68 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Σχ. 8. Σκαρίφηµα ορισµού παραµέτρων του αριθµητικού οµοιώµατος q t z y C Ρ s C av q w t w av t t s Β Α l (8..40) όπου t ο χρόνος, Q η παροχή, x ο κατά µήκος της ροής άξονας, Α το εµβαδόν της διατοµής, Β το πλάτος στην ελεύθερη επιφάνεια της διατοµής, y η κατακόρυφη διεύθυνση, S o η κλίση του πυθµένα, S η κλίση της γραµµής ενέργειας, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, q l η παροχή των πλευρικών εισροών στο υδατόρευµα, V q η ταχύτητα των πλευρικών εισροών κατά τη διεύθυνση της κύριας ροής, Α x y είναι ο ρυθµός µεταβολής της Α σε σχέση µε το x όταν y διατηρείται σταθερό, Ρ w η βρεχόµενη περίµετρος, z η στάθµη του πυθµένα, q t η ολική ογκοµετρική στερεοπαροχή, s w ο όγκος των στερεών ανά µονάδα όγκου του στρώµατος του πυθµένα, C av η µέση συγκέντρωση στερεών στη διατοµή και q sl ο ρυθµός πλευρικής εισροής φερτών υλών. Για το κλείσιµο των εξισώσεων 8..38, 8..39 και 8..40 απαιτείται: α) Η εξίσωση της στερεοπαροχής (για την εκτίµηση των q t και C av ). Από διάφορους ερευνητές χρησιµοποιήθηκαν όλες σχεδόν οι εξισώσεις της παραγράφου 7.3.3. β) Ο συντελεστής τριβής για τον υπολογισµό της κλίσης της γραµµής ενέργειας (παρ. 7.3.). Οι Rahuel et al. (989) χρησιµοποίησαν τον τύπο του Stickle και είχαν ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Υπάρχουν τρεις κυρίως µέθοδοι αριθµητικής επίλυσης των προβληµάτων: η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων, η µέθοδος των χαρακτηριστικών και η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών. Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών χρησιµοποιείται στην πλειονότητα των βιοµηχανικών οµοιωµάτων. Υπάρχει ποικιλία σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών. Στα πλέον δηµοφιλή περιλαµβάνονται τα πεπλεγµένα σχήµατα και το σχήµα του Peissman. Σύµφωνα

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 69 µε το σχήµα αυτό µία µεταβλητή f και οι παράγωγοί της διακριτοποιούνται ως ακολούθως (Κishnapan 98, Pak and Jain 987) ( ) ( ) j j f x, t λ f f f f (8..4) i i i i [ λ( f f ) ( f f i i i i) ] f (8..4) x f t [ f f ] t i i (8..43) όπου j j f f f i i i (8..44) και x, t είναι το βήµα µήκους και χρόνου αντίστοιχα, i, j ο κόµβος κατά µήκος του x-άξονα και t-άξονα αντίστοιχα (Σχ. 8.3) και λ συντελεστής βάρους. Όταν λ 0 το σχήµα γίνεται πλήρως λυµένο και όταν θ γίνεται πλήρως πεπλεγµένο. Στην πράξη συνήθως λαµβάνεται λ 0.65 0.67. Η εισαγωγή των εκφράσεων 8..4 8..43 στις εξισώσεις 8..38 και 8..39 δίνει τις ακόλουθες σχέσεις (Kishnappan 98, Pak και Jain 987) a i yi i Qi ci yi di Qi ei (8..45) a y Q c y d Q e i i i i i i i i i (8..46) όπου οι συντελεστές a i, i,... και a ι, ι,... δίνονται από τον Kishnappan (98). Οι εξισώσεις 8..45 και 8..46 περιέχουν Ν αγνώστους, όπου Ν είναι ο αριθµός των κόµβων του κανάβου κατά µήκος του καναλιού. Με δύο γνωστές οριακές συνθήκες ο αριθµός των αγνώστων είναι ίσος προς τον αριθµό των εξισώσεων. Η εξίσωση συνέχειας των φερτών υλών λύνεται χρησιµοποιώντας λυµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών. Οι αρχικές και οριακές συνθήκες είναι: α) Αρχική συνθήκη: Για t 0, η στάθµη του πυθµένα z (x, 0) είναι δεδοµένη. β) Κατάντη οριακή συνθήκη: Στη θέση x, η παροχή Q(L, t) πρέπει να είναι γνωστή. γ) Ανάντη οριακή συνθήκη:

70 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Σχ. 8.3 Κάναβος πεπερασµένων διαφορών Στη θέση x 0, η παροχή Q(t) και η ολική στερεοπαροχή q t (t) πρέπει να είναι γνωστές συναρτήσεις. Σε ορισµένες περιπτώσεις αντί της q t (t) είναι γνωστή η στάθµη του πυθµένα z (t). 8.3 ΦΥΣΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ Σύµφωνα µε τον Shen (986) οι κύριες συναρτήσεις φυσικού οµοιώµατος ποταµού µπορούν να περιλαµβάνουν την αναπαραγωγή επιλεγµένων γνωστών φαινοµένων ποταµών την εξέταση των επιδράσεων ορισµένων επιλεγµένων παραγόντων στα προηγούµενα φαινόµενα, και την έρευνα και πρόβλεψη των µεταβολών που θα προκύψουν για διάφορες περιοχές µεταβολής των παραµέτρων. Τα φυσικά οµοιώµατα υποδιαιρούνται στα υδραυλικά και αναλογικά οµοιώµατα. Τα υδραυλικά οµοιώµατα συνήθως διακρίνονται στα οµοιώµατα µε σταθερό, ηµισταθερό και κινητό πυθµένα. Τα οµοιώµατα µε σταθερό πυθµένα εφαρµόζονται για την έρευνα της κινηµατικής δοµής της ροής στο οµοίωµα µε στόχο την εκτίµηση της πιθανής φύσεως της ροής και των πιθανών επιδράσεων στον προστατευόµενο ή µη πυθµένα του φυσικού υδατορεύµατος (πρωτότυπο). Τα οµοιώµατα αυτά λειτουργούν µε το πρωτότυπο ρευστό (νερό). Τέτοια οµοιώµατα εφαρµόσθηκαν

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 7 για µετρήσεις µέσων ταχυτήτων της ροής και µε βάση τις µετρήσεις αυτές υπολογίστηκαν οι παραµορφώσεις πυθµένα στην περιοχή υδραυλικών έργων. Οι υπολογισθείσες παραµορφώσεις εισήχθησαν στο οµοίωµα και προσδιορίστηκε η νέα κατανοµή ταχυτήτων από την οποία προέκυψαν οι νέες παραµορφώσεις. Η διαδικασία αυτή συνεχίστηκε µέχρις ότου επιτευχθεί κάποια ισορροπία. Έχουν µελετηθεί φυσικά υδατορεύµατα σε οµοίωµα όπου αντί του νερού χρησιµοποιήθηκε αέρας (ποταµός Βόλγας). Τα πλέον δηµοφιλή οµοιώµατα ποταµών είναι αναµφίβολα τα οµοιώµατα µε κινητό πυθµένα, όπου σαν ρευστό χρησιµοποιείται το νερό και σαν φερτά υλικά φυσικό έδαφος ή τεχνητά κοκκώδη υλικά. Τα οµοιώµατα αυτά µπορούν να προσφέρουν πολλά στα έργα διευθέτησης των ποταµών, δυστυχώς όµως η πολυπλοκότητα της ροής του νερού και τα φαινόµενα µεταφοράς των φερτών υλών, στα ποτάµια, δεν επιτρέπουν την προσέγγιση της πλήρους οµοιότητας του πρωτότυπου µε το µικρής κλίµακας φυσικό οµοίωµα. Πρέπει µε προσοχή να εκτιµηθούν οι πιθανές επιδράσεις κλίµακας που µπορεί να οδηγήσουν σε εσφαλµένους ελέγχους του οµοιώµατος. Προς το παρόν τα οµοιώµατα κλίµακας χρησιµοποιούνται σε ορισµένες περιπτώσεις κατά τις οποίες δεν υπάρχουν ακόµη διαθέσιµα πλήρη µαθηµατικά οµοιώµατα. Τα µαθηµατικά οµοιώµατα χρησιµοποιούνται για να διορθώσουν τα αποτελέσµατα οµοιωµάτων κλίµακας από τις επιδράσεις της κλίµακας. Υπάρχουν δύο µέθοδοι εξαγωγής κλιµάτων: α) Κατά την πρώτη µέθοδο εφαρµόζονται: η διαστατική ανάλυση από την οποία προκύπτουν αδιάστατα γινόµενα π.χ. F η µαθηµατική περιγραφή φυσικών διαδικασιών από τις οποίες προκύπτουν σχέσεις κλίµακας. β) Κατά τη δεύτερη µέθοδο, που πρέπει να προτιµάται επειδή δίνει νόηµα στο µέγεθος των επιδράσεων της κλίµακας, οι σχέσεις κλίµακας είναι δυνατόν να χωριστούν στις ακόλουθες δύο κατηγορίες: συνθήκες κλίµακας, από τις οποίες επιτρέπονται αποκλίσεις αν και οι επιδράσεις κλίµακας µπορούν να εισαχθούν νόµοι κλίµακας, οι οποίοι πρέπει να πληρούνται. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε σχέση κλίµακας πρέπει να πληρείται, π.χ. ο συντελεστής τριβής του Chezy πρέπει να οριστεί κατά τον ίδιο τρόπο στο οµοίωµα και το πρωτότυπο. 8.3. Οµοιώµατα σταθερού πυθµένα Θεωρητικά δύο διαφορετικές οµοιόµορφες ροές σε ανοικτούς αγωγούς (π.χ. στο πρωτότυπο και το οµοίωµα) είναι όµοιες όταν οι αριθµοί Re και F

7 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Vl V Re, F ν gl (8.3.) στο πρωτότυπο και στο οµοίωµα ταυτίζονται. Στις προηγούµενες σχέσεις V η µέση ταχύτητα, l χαρακτηριστικό µήκος (π.χ. βάθος), ν κινηµατικό ιξώδες και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. υστυχώς, πρακτικά, είναι σχεδόν αδύνατο να πληρούνται συγχρόνως αυτές οι συνθήκες (στο οµοίωµα και το πρωτότυπο). Τα φυσικά οµοιώµατα είναι δυνατόν να θεωρηθούν στρεβλά (X Y π.χ. όταν η οριζόντια κλίµακα µήκους είναι διαφορετική από την κατακόρυφη κλίµακα µήκους, ή µη (όταν X Y ). Σε ροές µε ελεύθερη επιφάνεια και υδροστατική κατανοµή των πιέσεων, η κατακόρυφη επιτάχυνση του νερού µπορεί να θεωρηθεί αµελητέα σε σχέση προς την επιτάχυνση της βαρύτητας g και µπορεί να εφαρµοστεί οµοίωµα στρεβλής κλίµακας. Στην αντίθετη περίπτωση εφαρµόζεται µη στρεβλό οµοίωµα. Για τα οµοιώµατα αυτά η κλίµακα της ισοδύναµης τραχύτητας της άµµου πρέπει να ισούται προς την οριζόντια κλίµακα. Η αναπαραγωγή της κατάλληλης τραχύτητας στο οµοίωµα µπορεί να βασιστεί στη σχέση (Shap 98) n / / 6 Y h X (8.3.) όπου n ο συντελεστής τριβής Manning, ο δείκτης συµβολίζει τη σχέση µιας ποσότητας στο πρωτότυπο και το οµοίωµα (π.χ. Χ X / X, όπου Χ είναι η τιµή της παραµέτρου στο πρωτότυπο και Χ η τιµή της ίδιας παραµέτρου στο οµοίωµα). Η σχέση 8.3. ισχύει όταν ο F ταυτίζεται σε οµοίωµα και πρωτότυπο. Για h Y : n / 3 Y / X (8.3.3) Όταν Υ < X (µία πρακτικά κοινή περίπτωση σε στρεβλά οµοιώµατα), η τραχύτητα του οµοιώµατος πρέπει τεχνητά να αυξηθεί χρησιµοποιώντας ράβδους, σύρµατα κ.λπ. κατά τη διάρκεια βαθµονόµησης του οµοιώµατος, ώστε να προκύπτει µία σωστή σχέση µεταξύ παροχής νερού και στάθµης. 8.3. Οµοιώµατα µε κινητό πυθµένα

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 73 Τα οµοιώµατα αυτά, όπως αναφέρθηκε, εφαρµόζονται ευρύτατα όπως π.χ. κατά την προσοµοίωση, στο εργαστήριο, των µορφολογικών και/ή ανθρώπινων επεµβάσεων στην τοπογραφία του πυθµένα των ποταµών. Επιπλέον, η προσοµοίωση των φαινοµένων γενικών ή τοπικών διαβρώσεων και εναποθέσεων είναι συνήθης. Η επιλογή των κλιµάκων βασίζεται συνήθως στην ακόλουθη διαδικασία. Η οριζόντια γραµµική κλίµακα ορίζεται σύµφωνα µε το µήκος του τµήµατος του ποταµού, το διαθέσιµο χώρο και την παροχή στο εργαστήριο. Η κατακόρυφη κλίµακα επιλέγεται σύµφωνα µε το βάθος ροής που απαιτείται για την έρευνα. Στρεβλά οµοιώµατα, αν είναι δυνατόν, να αποφεύγονται. Σύµφωνα µε τον Shen (986), η σχέση κατακόρυφης προς οριζόντια κλίµακα δεν πρέπει να είναι µικρότερη από /3. Στην περίπτωση του κινητού πυθµένα δεν υπάρχει µία δεδοµένη σειρά από εξισώσεις µε τις οποίες προσδιορίζονται π.χ. η αντίσταση σε αλλουβιανούς πυθµένες, τα φορτία πυθµένα και τα αιωρούµενα, η διατοµή πυθµένα κ.λ.π. Εποµένως, η διαδικασία οµοιωµατοποίησης περιλαµβάνει την επιλογή παραµέτρων και εξισώσεων ανάλογα µε το πρόβληµα που εξετάζεται. Κάθε µελετητής/ερευνητής δοµεί τους δικούς του κανόνες ελέγχου του οµοιώµατος. Σαν παράδειγµα, στα επόµενα περιγράφεται συνοπτικά η διαδικασία επιλογής των παραµέτρων από τον Shen (986). α) Κίνηση του φορτίου πυθµένα Για να µελετηθεί η κίνηση του φορτίου πυθµένα σε οµοίωµα µε κινητό πυθµένα, χρησιµοποιείται η παράµετρος Shields Θ που είναι αντίστροφη της παραµέτρου Ψ του Einstein, δηλ. τ Π Θ (8.3.4) Ψ ρg( S )D s όπου τ η διατµητική τάση πυθµένα. Το κριτήριο Π σταθ. (σε οµοίωµα και u D πρωτότυπο) πληρείται όταν R e > 70 00, όπου Π 0.05 0.06 σταθ. ν Ορισµένοι συγγραφείς λαµβάνουν το Π (από το διάγραµµα του Shields) για Re µεταξύ 5 50. Το κριτήριο αυτό χρησιµοποιείται συνήθως για την επιλογή των φερτών υλών κατά τους ελέγχους του οµοιώµατος. Η εξίσωση συνέχειας του φορτίου κοίτης, γράφεται µε τη µορφή: q η z (8.3.5) p t

74 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών όπου q η στερεοπαροχή πυθµένα ανά µονάδα πλάτους, η p το πορώδες και z η στάθµη πυθµένα. Από την εξίσωση αυτή είναι δυνατόν να υπολογιστεί η κλίµακα χρόνου για την κίνηση του φορτίου πυθµένα και τις µεταβολές της στάθµης του πυθµένα µε τον χρόνο. Εποµένως, t Y X η (8.3.6) p q Η σχέση t καλείται µορφολογική (ιζηµατολογική) κλίµακα χρόνου. Κατά τη µελέτη µη µόνιµων ροών η προηγούµενη κλίµακα διαφέρει από την αποκαλούµενη υδραυλική κλίµακα χρόνου που ακολουθεί το νόµο οµοιώµατος του Foude. Κατά τον de Vies (969), η τελευταία κλίµακα χρόνου είναι δευτερεύουσας σηµασίας στην περίπτωση υδατορεύµατος µε κινητό πυθµένα. β) Κριτήριο τριβής και µορφές πυθµένα Είναι γνωστό ότι εξαιτίας του στρεβλού οµοιώµατος (δ X / Y > ), η τραχύτητά του είναι συνήθως πολύ µικρή σε σχέση µε το πρωτότυπο (εξ. 8.3. και 8.3.3). Για οµοιώµατα µε κινητό πυθµένα, είναι µάλλον δύσκολο να προσοµοιωθεί το πεδίο τριβής στο οµοίωµα. ιάφορες µορφές µεθόδων δια δοκιµών (tial and eo) εφαρµόζονται από τα διάφορα εργαστήρια για την προσοµοίωση του πεδίου των παραγόντων τριβής στο οµοίωµα. Το πρώτο βήµα είναι η εκτίµηση της συµβολής κάθε µορφής τριβής στις ολικές απώλειες ενέργειας στο τµήµα του υδατορεύµατος που εξετάζεται. Ο Yalin (97) διέκρινε τρεις παράγοντες τριβής, που εκφράζονται µε τους αντίστοιχους συντελεστές τριβής f i των Dacy - Weisach, των οποίων το άθροισµα ισούται προς τον ολικό συντελεστή τριβής, δηλ. f f f f 3 (8.3.7) όπου f, f, f 3 οι συντελεστές τριβής των κόκκων, της µορφής του πυθµένα και ο f 3 αντιστοιχεί στη µεταβολή της γεωµετρίας της ροής. Ο Yalin έδωσε τις ακόλουθες σχέσεις: f h 8. ln k (8.3.8) s

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 75 f f 3 4 f λh (8.3.9) h 8ζ L (8.3.0) όπου ln ο φυσικός λογάριθµος, h βάθος, k s απόλυτη τραχύτητα, f, λ ύψος και µήκος της µορφής του κύµατος του πυθµένα, ζ συντελεστής απωλειών ενέργειας και L το µήκος του αγωγού όπου µεταβάλλεται η γεωµετρία της ροής. Για ευθύγραµµα τµήµατα µε τραχέα τοιχώµατα ( u k s /ν> 70 ) και οµοιόµορφη ροή, ο Yalin έλαβε υπόψη µόνο τον συντελεστή τριβής f. Κάτω από αυτές τις συνθήκες, καθόρισε τα ακόλουθα πέντε κριτήρια για τον προσδιορισµό κλιµάκων σε ένα στρεβλό οµοίωµα µε κινητό πυθµένα. Re u D 50 σταθ. D ν δ Y (8.3.) f Y ln D h ln D 50 δ δ (8.3.) 3/ ρf u Y Π. ( s w) ( σταθ γ γ (8.3.3) γs γw) D δ S o δ (8.3.4) F σταθ. U Y (8.3.5) όπου δ X / Y η στρέβλωση, γ w, γ s ειδικό βάρος νερού και ξηρών στερεών, S ο η κλίση πυθµένα. Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα οµοίωµα τµήµατος υδατορεύµατος, µε κινητό πυθµένα, που έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: 3 Q 300m / sec, h.8m, B 76 max max max

76 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών 3 Q min 4m / sec, h min.0m, B min S 0.000, D 0.4mm, γ / γ o 50 s w 6 g 9.8m / sec ν 0 m / sec 60m.65 Λύση Από το διάγραµµα του Shields λαµβάνεται Π c 0.035 (που αντιστοιχεί περίπου σε Re 40). Tα φερτά υλικά του πυθµένα κινούνται όταν Π > Π c και το ελάχιστο βάθος ροής, έστω h c (που αντιστοιχεί στο Π c ), είναι: h c τ c γ S w o ( γ γ ) Π D c s w 0. 035 65. 0. 0004 γ S 0. 000 w o 0. m< h 0. m min Εποµένως κίνηση φερτών υλών στο πρωτότυπο παρατηρείται για όλα τα βάθη ροής. Υποθέτουµε στρεβλό οµοίωµα, λαµβάνοντας και την µεγαλύτερη τιµή του δ, δηλ. δ 3. Με την παραδοχή αυτή οι εξισώσεις 8.3. και 8.3. γίνονται: D 3 Y Υ ln D και 3, 8 ln 0. 0004 Από την επίλυση του συστήµατος των δύο αυτών εξισώσεων προκύπτει D Y 0. 306 3 Η οριζόντια γραµµική κλίµακα θα γίνει X δy 3 3 96 Η µέση διάµετρος κόκκων του πυθµένα και η διάµετρος των στερεών που θα τροφοδοτείται το οµοίωµα είναι: 0. 4 D D / D 3. mm 50 50 0. 306

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 77 Το ειδικό βάρος των στερεών αυτών θα προκύψει από τη σχέση 8.3.3. Εποµένως: ( γ γ ) s w Y 3/ 3/ 3 34, 84 3 3 ( γ γ ) '' s w 650 000 34, 84 3 47, 36 N / m 3 γ γ 47. 36 047, 36 N / m (πολυεστέρας) s w Σύµφωνα µε την εξίσωση 8.3.4 υπολογίζεται η κλίση του πυθµένα S o δ 3 0. 33 S o S o S o 0. 000 0. 0006 0. 33 Η µέγιστη παροχή του οµοιώµατος είναι Q max Q max 300 X Y 3/ 3/ 96 3 3 0. 076 m / sec και οι ακραίες τιµές βαθών, πλατών και ταχυτήτων είναι h h max. 80 0. 088 m max Y 3 h h min 0. 0. 03 m min Y 3 Β Β max 76 0. 79 m max X 96

78 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Β Β min 60 0. 65 m min X 96 Q U max 0. 076 max h Β 0. 88 7, 9 max max 0. 48 m / sec U min Q min h Β min min 0. 4 0. 3 6. 5 0. m / sec Η ελάχιστη τιµή του αριθµού Reynolds στο οµοίωµα είναι: Re min U h min min ν 0. 0. 03 6 0 387 Εποµένως η ροή στο οµοίωµα είναι τυρβώδης. γ) Αιωρούµενο φορτίο Η προσοµοίωση της ροής µε αιωρούµενο φορτίο είναι πολύ πιο πολύπλοκη από την αντίστοιχη µε φορτίο πυθµένα. Κατά την προσοµοίωση µε αιωρούµενο φορτίο τα φαινόµενα καθίζησης, τα χαρακτηριστικά διάχυσης, η δυνατότητα µεταφοράς και καθίζησης και ο χρόνος διάβρωσης πρέπει να είναι τα ίδια σε πρωτότυπο και οµοίωµα. Μέχρι και πρόσφατα µερικοί συγγραφείς (π.χ. Togleka 97) είχαν τη γνώµη ότι δεν είναι δυνατή η προσοµοίωση µε αιωρούµενο φορτίο στο οµοίωµα. Από την άλλη µεριά, µε βάση την εµπειρία του Shen (986) στην Κίνα, τα ακόλουθα κριτήρια πρέπει να ικανοποιούνται: καθίζηση U w s X (8.3.6) H διάχυση U f U (8.3.7) όπου

Κεφ. 8 Οµοιώµατα 79 U f h 5. ln gd k (8.3.8) s µεταφορά στερεών q s γ s ( γ γ ) s w (8.3.9) χρόνος t s X (8.3.0) U C όπου t s (χρόνος διάβρωσης/χρόνος καθίζησης), C συγκέντρωση φερτών σε βάρος. Αν απαιτείται η ίδια κλίµακα χρόνου για το φορτίο πυθµένα και το αιωρούµενο, πρέπει ο χρόνος t s (εξ. 8.3.0) να ταυτιστεί µε τον χρόνο t (εξ. 8.3.6). Η συνθήκη αυτή είναι δύσκολη, µπορεί όµως να επιτευχθεί.