Κινητική Ενέργεια Κινητήρων Περνάµε τώρα στη συνεισφορά κινητικής ενέργειας λόγω της κίνησης & ϑ m του κινητήρα που κινεί την άρθρωση µε q& και, προφανώς όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, ευρίσκεται στον σύνδεσµο. Αυτές συσχετίζονται, ανεξάρτητα µε το αν η άρθρωση είναι περιστροφική ή πρισµατική µέσω κατάλληλης µετάδοσης ισχύος (κιβώτιο) µε την & ϑ = k q& (3.24) m r ω m p& m p m z x y Με τη ίδια λογική όπως αυτή που αναπτύχθηκε προηγουµένως καταλήγουµε στην έκφραση της κινητικής ενέργειας του ρότορα, όπου για τον ρότορα του κινητήρα : m = m m p& m p& m + ω m I m ω m (3.25) 2 2 m m είναι η µάζα του, p& m είναι η (γραµµική) ταχύτητα του κέντρου µάζας του και I m ο τανυστής αδράνειάς του ως προς το κέντρο µάζας του εκφρασµένος στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων. Παρατηρούµε ότι ω = ω + & ϑ z = ω + k q & z (3.26) m m m m r όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του συνδέσµου επί του οποίου ευρίσκεται ο κινητήρας και είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα του ρότορα. Παροµοίως µε προηγούµενα z m m p& = J q& (3.27) ω m = J q& (3.28)
( m ) J ( m ) J όπου οι Ιακωβιανές θέσης και προσανατολισµού και υπολογίζονται µε τρόπο αντίστοιχο µε αυτόν που περιγράψαµε πιο πάνω θεωρώντας όµως ότι ο κινητήρας βρίσκεται τοποθετηµένος πάνω στον σύνδεσµο. Αυτή η θεώρηση δεν απέχει από την πραγµατικότητα, καθώς κατά τη συνήθη πρακτική επιχειρείται οι κινητήρες των αρθρώσεων να βρίσκονται τοποθετηµένοι όσο πιο κοντά στη βάση του βραχίονα γίνεται, έτσι ώστε να µειώνονται κατά το δυνατόν τα αναπτυσσόµενα δυναµικά φορτία. Θα έχουµε λοιπόν: I I Τα διανύσµατα και δίνονται ως εξής: ( m) ( m) ( m) J = I K I K (3.29) ( m) ( m) ( m) J = I K I K (3.3) ( m ) z I = z p p ( m ) για πρισµατική άρθρωση για περιστροφική άρθρωση (3.3) όπου p είναι το διάνυσµα θέσης της αρχής του συστήµατος και διάνυσµα θέσης του κέντρου µάζας του κινητήρα και p m είναι το ( l ) I =, K, I =. (3.32) k r z = m Υπενθυµίζουµε ότι στην τελευταία σχέση k είναι ο λόγος µείωσης του µειωτήρα και ο µοναδιαίος άξονας z κατά µήκος του άξονα περιστροφής του ρότορα του κινητήρα. r z m Υπενθυµίζοντας ότι όσον αφορά στους τανυστές αδράνειας I (τανυστής αδράνειας του ρότορα του κινητήρα ως προς το κέντρο µάζας του εκφρασµένος στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων) και I ισχύουν αντίστοιχα πράγµατα µε αυτά που σηµειώσαµε παραπάνω για τους τανυστές m I l και λαµβάνουµε τη σχέση: I l, δηλαδή I = R I R m, (3.33) m m m m m ( m) m ( m) m = m m q& J J q& + q& J Rm I m R m J q& (3.34) 2 2 όπου m η µάζα του ρότορα του κινητήρα, m J και m m J αντίστοιχα οι Ιακωβιανές θέσης και προσανατολισµού που έχουν προκύψει για τον κινητήρα, περιστροφής του ρότορα του κινητήρα τανυστής αδράνειας του ρότορα του κινητήρα στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων. Ολική Κινητική Ενέργεια R το µητρώο ως προς το σύστηµα αναφοράς της βάσης και m I ο m m ως προς το κέντρο µάζας του εκφρασµένος Έχοντας προσδιορίσει για κάθε σύνδεσµο τις συνεισφορές κινητικής ενέργειας l και είµαστε πλέον σε θέση να υπολογίσουµε την ολική κινητική ενέργεια του βραχίονα. Μετά τις σχετικές πράξεις προκύπτει ότι η ολική κινητική ενέργεια θα δίνεται από µία σχέση της µορφής m 2
= ( q, q& ) = b ( q) q& q& = q& B( q) q& 2 2 = = (3.35) όπου ο τετραγωνικός πίνακας B( q) = ( m J J + J R I R J = l ( l ) ( l ) ( l ) ( l) l ( m) ( m) ( m) m ( m ) + mm J ) J + J Rm I m R m J R (3.36) ονοµάζεται µητρώο αδράνειας ή µητρώο κινητικής ενέργειας του βραχίονα, και είναι συµµετρικό (δηλ. b = b ), θετικά ορισµένο, και γενικά εξαρτώµενο από την εκάστοτε θέση του βραχίονα. 3.3 Προσδιορισµός της Ολικής υναµικής Ενέργειας Η ολική δυναµική ενέργεια του βραχίονα προκύπτει ως άθροισµα των συνεισφορών δυναµικής ενέργειας των συνδέσµων και των κινητήρων, µε λογική αντίστοιχη µε αυτή που περιγράψαµε στην περίπτωση της κινητικής ενέργειας. Θα έχουµε λοιπόν: U l U = ( Ul + U ) m (3.37) = όπου η δυναµική ενέργεια του συνδέσµου και η δυναµική ενέργεια του κινητήρα που επενεργεί στην άρθρωση. U m Η δυναµική ενέργεια του (µη παραµορφώσιµου) συνδέσµου και δίνεται από τη σχέση: ( 3.6) * l Vl οφείλεται µόνο στη βαρύτητα U = g p ρ dv = ml g p (3.38) l όπου p l το διάνυσµα θέσης τους κέντρου µάζας του συνδέσµου και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Και τα δύο αυτά µεγέθη είναι εκφρασµένα στο σύστηµα αναφοράς της βάσης. Έτσι π.χ. στην περίπτωση που ο άξονας z του συστήµατος βάσης είναι κατακόρυφος η επιτάχυνση της βαρύτητας θα ισούται µε [ g] g =. Με παρόµοιο τρόπο η συνεισφορά δυναµικής ενέργειας λόγω του ρότορα του κινητήρα θα είναι: Um m m g pm = (3.39) όπου p το διάνυσµα θέσης του κέντρου µάζας του κινητήρα εκφρασµένο στο σύστηµα m αναφοράς της βάσης. Εποµένως l m l l = = U = U( q) = ( U + U ) = ( m g p + mm g pm ) (3.4) Από τις σχέσεις που προηγήθηκαν για την ολική κινητική και δυναµική ενέργεια του βραχίονα γίνεται φανερό ότι η µεν κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση τόσο των µετατοπίσεων όσο και των ταχυτήτων των αρθρώσεων, η δε δυναµική ενέργεια αποτελεί συνάρτηση µόνο των µετατοπίσεων των αρθρώσεων. Ειδικά για τα διανύσµατα και p l p m 3
υπενθυµίζουµε ότι εξαρτώνται, µέσω της κινηµατικής, µόνο από το διάνυσµα των µεταβλητών των αρθρώσεων q και όχι από το διάνυσµα των ταχυτήτων q&. 3.4 Προσδιορισµός των Εξισώσεων Κίνησης Με δεδοµένες την ολική κινητική και την ολική δυναµική ενέργεια από τις σχέσεις που έχουν προηγηθεί, οι δυναµικές εξισώσεις του βραχίονα προκύπτουν µε εφαρµογή των σχέσεων Euler-Lagrage (3.3). Πιο συγκεκριµένα, επειδή έχουµε: L( q, q& ) = ( q, q& ) U( q) = b ( q) q& q& + ( m g p + m g p ) (3.4) Εύκολα παίρνουµε τις παραγώγους l l m m 2 = = = ( 3.35 d L d ) db ( q) b ( q) dt q& dt q dt q = = b ( q) q&& + q& = b ( q) q&& + q& kq& & = = = = k= k q ( 3.35) = 2 = k= (3.42) bk ( q) qq & & k (3.43) q U p p m g m g m g m g g ( q) (3.44) q q q ( 3.4) ( 3.8,27) l m ( l ) = ( l + ) ( m = l I + m I ) = = Εποµένως µε βάση τις (3.4-44) οι Euler-Lagrage (3.3) γίνονται k k = = k= b ( q) q&& + h q q& q& + g ( q) = ξ =, K, (3.45) όπου h k ( q) Αν στην παραπάνω σχέση θεωρήσουµε b ( q) bk ( q) = q 2 q k (3.46) παίρνουµε c = h q & (3.47) k k k = ή σε µητρωϊκή µορφή b ( q) q&& + c q& + g ( q) = ξ =, K, (3.48) = = B( q) q&& + C( q, q& ) q& + G( q) = ξ (3.49) Στο πρώτο µέλος της τελευταίας σχέσης παρατηρούµε ότι εµφανίζονται όροι τριών διαφορετικών ειδών: Οι όροι b (αδρανειακοί) συνιστούν το µητρώο αδράνειας Bq που αναφέραµε πιο πάνω. Από τα στοιχεία του µητρώου αυτού τα µεν διαγώνια b αναπαριστούν τη ροπή αδράνειας του άξονα της άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα, όταν οι υπόλοιπες αρθρώσεις είναι ακίνητες. Από την άλλη πλευρά τα µη διαγώνια στοιχεία περιγράφουν το αποτέλεσµα της επιτάχυνσης της άρθρωσης στην άρθρωση. b 4
Οι όροι c συνιστούν ένα µητρώο Cqq (, &) R, το οποίο περιέχει τις φυγόκεντρες ροπές και τις ροπές Corols που αναπτύσσονται στο βραχίονα. Τα στοιχεία του µητρώου C( qq&, ) δίνονται από την c = c q& όπου οι σταθερές k k k = b b b k k ck = + ονοµάζονται σύµβολα Chrstoffel πρώτου τύπου. Είναι 2 qk q q προφανές ότι το µητρώο C( qq&, ) προκύπτει ουσιαστικά από το µητρώο κινητικής ενέργειας, µετά τις παραγωγίσεις που υποδηλώνονται στην παραπάνω σχέση. Από τον τρόπο ορισµού των συµβόλων Chrstoffel έπεται εύκολα ότι ck = ck. Οι όροι g ονοµάζονται βαρυτικοί όροι, εξαρτώνται µόνο από τις µετατοπίσεις των αρθρώσεων του βραχίονα και προέρχονται από την ολική δυναµική ενέργεια U και συνιστούν ένα διάνυσµα Gq R. Οι όροι αυτοί αναπαριστούν τη ροπή που αναπτύσσεται στον άξονα της άρθρωσης, στην εκάστοτε θέση του βραχίονα, λόγω της παρουσίας της βαρύτητας Στο δεύτερο µέλος των εξισώσεων κίνησης εµφανίζονται, όπως έχουµε ήδη σηµειώσει, οι µη συντηρητικές δυνάµεις που παράγουν έργο στις αρθρώσεις του βραχίονα. Αυτές είναι ίσες µε τις ροπές των κινητήρων που οδηγούν τις αρθρώσεις µείον τις ροπές λόγω ιξώδους και στατικής τριβής. Θα έχουµε λοιπόν: ξ = τ F q& F sg( q& ) (3.5) u s όπου F u και F s αντίστοιχα η σταθερά ιξώδους και στατικής τριβής της άρθρωσης και sg(q& η συνάρτηση πρόσηµου 2 της ταχύτητας της άρθρωσης. Η παραπάνω εξίσωση σε ) µητρωϊκή µορφή γράφεται ως εξής: ξ = τ F q& F sg( q& ) (3.5) u s Όπου R και R είναι αντίστοιχα τα διαγώνια µητρώα των σταθερών ιξώδους F u F s και στατικής τριβής του βραχίονα. Στην περίπτωση που το εργαλείο του βραχίονα βρίσκεται σε επαφή µε το περιβάλλον στο οποίο κινείται, ένα µέρος των ροπών χρησιµοποιείται για να αντισταθµίσει τις ροπές που b bk Από τις (3.46.47) παίρνουµε cq& = hkqq & & k = qq & & k = = = k= = k= qk 2 q b b bk = + qq & & k όπου αν κάνουµε αλλαγή άθροισης µεταξύ και k = k= 2 qk 2 qk 2 q b b b k b k b k k cq = qq + qq = + qq = = k= 2 qk 2 = k= q q b & & & & & & & = k= 2 qk q q k k k = ckq & kq &. = k= 2 Υπενθυµίζουµε ότι x < sg(x) = x = + x > 5
αναπτύσσονται στις αρθρώσεις λόγω των δυνάµεων επαφής. Η µητρωϊκή έκφραση των ροπών αυτών είναι: όπου Jq R 6 τ cotact = J ( q) h (3.52) η γεωµετρική Ιακωβιανή του βραχίονα που έχει προκύψει από τη = R 6 3 διαφορική κινηµατική και h f µ το διάνυσµα των δυνάµεων f R και 3 ροπών ( µ R ) που ασκούνται από το εργαλείο του βραχίονα στο περιβάλλον. Συνοψίζοντας όσα αναφέραµε πιο πάνω, οι εξισώσεις κίνησης ενός ροµποτικού βραχίονα µπορούν να γραφτούν σε µητρωϊκή µορφή ως εξής: B( q) q&& + C( q, q& ) q& + F q& + F sg(q& ) + G( q) = τ J ( q) h (3.53) u Η τελευταία σχέση αποτελεί για τον υπό εξέταση βραχίονα το δυναµικό µοντέλο του χώρου αρθρώσεων. s 3.5 Αξιοσηµείωτες Ιδιότητες του υναµικού Μοντέλου Αντισυµµετρικότητα του µητρώου : Nqq (, &) = Bq & 2 Cqq (, &) Τα στοιχεία του µητρώου N ( qq&, ) ικανοποιούν τη σχέση =. Η µαθηµατική απόδειξη της συγκεκριµένης ιδιότητας ξεφεύγει των σκοπών µας. Άµεση συνέπεια αυτής της ιδιότητας είναι ότι για κάθε διάνυσµα w R Γραµµικότητα ως προς τις δυναµικές παραµέτρους w N( q, q& ) w= (3.54) Μπορεί να αποδειχθεί ότι η βασική δυναµική εξίσωση Euler-Lagrage (E-L) Bq q&& + Cqq (, &) q& + F q& + F sg(q& ) + Gq + J ( q) h= τ Είναι δυνατό να γραφεί στη µορφή u (,, ) s Y qqq &&& π = τ (3.55) p όπου π R είναι ένα διάνυσµα αγνώστων παραµέτρων που ευρίσκονται µέσα στις p δυναµικές εξισώσεις, ενώ Y qqq, &&&, R είναι ο πίνακας που περιέχει όλους τους 6 παράγοντες γωνιακών θέσεων, ταχυτήτων και επιταχύνσεων καθώς επίσης και τις γνωστές p παραµέτρους. Πρέπει να τονιστεί ότι το π R δεν περιέχει τις άγνωστες παραµέτρους ανά µία αλλά στην πεπλεγµένη µορφή µε την οποία εµφανίζονται στις E-L. Η παραπάνω σχέση είναι πολύ χρήσιµη για εκείνες τις περιπτώσεις όπου για ένα βραχίονα, αν και είναι γνωστή η βασική δοµή του, είναι άγνωστες αρκετές (ή όλες οι) δυναµικές του παράµετροι και χρειάζεται να τις «αναγνωρίσουµε». Αν υποθέσουµε ότι εκτελούνται πειράµατα κίνησης και καταγράφονται σε δεδοµένες χρονικές στιγµές t, t2, K, t N οι ροπές στις αρθρώσεις τ ( t ) και οι αντίστοιχες γωνιακές θέσεις µπορούµε να έχουµε και τους πίνακες σχηµατίσουµε την σχέση qt ( ), ταχύτητες qt ( ) (,, ) = & και επιταχύνσεις qt &&, τότε Y q t q& t q&& t Y t. Μπορούµε λοιπόν να 6
τ ( t ) ( t ) τ Y t τ Y t M M τ ( t ) Y( t ) 2 2 = π π N N Y (3.56) Εφόσον ικανοποιείται N >> p καθώς επίσης και άλλες συνθήκες που φεύγουν από τους σκοπούς αυτού του εισαγωγικού σηµειώµατος, µπορούµε να βρούµε τον ψευδοανάστροφο του Y και να βρούµε µια καλή εκτίµηση ˆ του διανύσµατος αγνώστων παραµέτρων π = Y Y Y τ (3.57) p π R. 7