Σηµειωσεις Γραµµικης Αλγεβρας Θ. Κεχαγιας εκεµβρης, v..9
Περιεχόµενα Εισαγωγη I Βασικες Εννοιες Πινακες. Περιληψη.................................... Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 5.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 7 Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων. Περιληψη.................................... Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 3.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 4 3 Μερικοι Ειδικοι Τυποι Πινακων 43 3. Περιληψη................................... 43 3. Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 45 3.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 55 4 Οριζουσες και Αντιστροφοι Πινακες 6 4. Περιληψη................................... 6 4. Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 63 4.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 8 5 Οριζουσες και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 87 5. Θεωρια.................................... 87 5. Λυµενα Προβληµατα............................. 89 5.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 96 6 Απαλοιφη Gauss και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 6. Θεωρια.................................... 6. Λυµενα Προβληµατα............................. 3 6.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. vi i
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 ιανυσµατικοι Χωροι 5 7. Θεωρια.................................... 5 7. Λυµενα Προβληµατα............................. 8 7.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 47 8 ιανυσµατικοι Χωροι και Συστηµατα Γραµµικων Εξισωσεων 5 8. Θεωρια.................................... 5 8. Λυµενα Προβληµατα............................. 53 8.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 64 9 Ορθογωνιοτητα ιανυσµατων 69 9. Θεωρια.................................... 69 9. Λυµενα Προβληµατα............................. 7 9.3 Αλυτα Προβληµατα.............................. 8 Ορθογωνιοτητα ιανυσµατικων Χωρων 83.Θεωρια.................................... 83.Λυµενα Προβληµατα............................. 85.3Αλυτα Προβληµατα.............................. Μιγαδικοι Πινακες 8.Περιληψη................................... 8.Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 9.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 3 Ιδιοτιµες και Ιδιοδιανυσµατα 7.Θεωρια.................................... 7.Λυµενα Προβληµατα............................. 8.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 39 3 ιαγωνιοποιηση και Συναρτησεις Πινακων 44 3.Θεωρια.................................... 44 3.Λυµενα Προβληµατα............................. 45 3.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 65 II Συµπληρωµατικα Θεµατα 7 4 Οριζουσες : Θεωρητικη Θεµελιωση 7 4.Θεωρια.................................... 7 4.Λυµενα Προβληµατα............................. 76 4.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 3 5 Επαναληπτικη Λυση Συστηµατων Γραµµικων Εξισωσεων 34 ii 6 Πινακες, Εξισωσεις ιαφορων και ιαφορικες Εξισωσεις 35
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Στοχαστικοι Πινακες 36 8 Πινακες και Ηεκτρικα Κυκλωµατα 37 9 Γενικευσεις 38 9.Περιληψη................................... 38 9.Θεωρια και Παραδειγµατα.......................... 3 9.3Αλυτα Προβληµατα.............................. 38 Πινακες και Θεωρια Γραφων 33 iii
Προλογος Αγαπητε αναγνωστη, το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια καθως και λυµενα και αλυτα προβληµατα Γραµµικης Αλγεβρας και προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης. Σε αυτο τον συντοµο προλογο δινω µερικες οδηγιες για την χρηση αυτου του τευχους. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση προβληµατων οσο περισσοτερα προβληµατα λυσεις τοσο πιο πολλα µαθηµατικα ϑα µαθεις! Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος η ϑεωρια παρουσιαζεται σε µεγαλη συντοµια, αλλα υπαρχει µεγαλος αρι- ϑµος λυµενων και αλυτων προβληµατων. Χρησιµοποιησε τα λυµενα προβληµατα ως ενα ενδιαµεσο ϐοηθηµα για την επιλυση των αλυτων. Με αλλα λογια, δεν αρκει να µελετησεις τα ηδη λυµενα προβληµατα. Αν δεν λυσεις ο ιδιος µεγαλο αριθµο των αλυτων προβληµατων δεν ϑα ωφεληθεις ιδιαιτερα και η πιθανοτητα να περασεις το αντιστοιχο µαθηµα ϑα ειναι µικρη. Το παρον τευχος δεν εχει παρει ακοµη την τελικη του µορφη και ειναι πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν σφαλµατα. Η παρουσα εκδοση εχει τον κωδικο v..9 εποµενες εκδοσεις ϑα χαρακτηριζονται απο µικροτερο αριθµο σφαλµατων και µεγαλυτερους κωδικους. Στην διαδικασια της διορθωσης σηµαντικο ϱολο εχουν παιξει ϕοιτητες προηγουµενων ετων, τους οποιους ευχαριστω ϑερµα. Παντως πιστευω οτι η παρουσα µορφη ϑα σου ϕανει πολυ χρησιµη, ιδιαιτερα σε συνδυασµο µε το διδακτικο ϐιβλιο το οποιο ϑα σου δοθει κατα την διαρκεια του εξαµηνου. Το τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια -3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κεφαλαια 4- πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους. Πως σχετιζεται το παρον τευχος µε την εξεταση του µαθηµατος ; Η απαντηση ειναι απλη : στις εξετασεις µπορεις να περιµενεις οποιοδηποτε προβληµα ειναι παροµοιο µε καποιο που περιεχεται στο τευχος, χωρις να ειναι απαραιτητο ενα τετοιου τυπου προβληµα να εχει λυθει στην ταξη. Υπαρχει µονο µια εξαιρεση : δεν απαιτειται να ξερεις δυσκολες αποδειξεις. Οµως ο ορος δυσκολη αποδειξη, οπως και ο ορος παρο- µοιο προβληµα δεν ειναι απολυτως σαφης. Για µια καλυτερη κατανοηση του τι εννοω µε τους ορους αυτους ϑα πρεπει να παρακολουθησεις τις παραδοσεις του µαθηµατος. Ακολουθω την ονοµατολογια της αναπτυξης software: το τευχος ειναι ακοµα σε µορφη beta η πρωτη τελικη εκδοση ϑα ειναι η v... Στην παρουσα εκδοση δεν εχω ακοµη γραψει τα Κεφαλαια 5-. iv
Παντως το σιγουρο ειναι το εξης : αν λυσεις ολα τα αλυτα προβληµατα του παροντος τευχους ϑα εισαι απολυτα ετοιµος για την εξεταση του µαθηµατος. Ετσι λοιπον, ο καλυτερος τροπος χρησης του παροντος τευχους ειναι ο εξης : αφου µελετησεις τα λυµενα προβληµατα καθε κεφαλαιου, προσπαθησε να λυσεις οσο µπορεις περισσοτερα απο τα αλυτα προβληµατα εαν δεν µπορεις να λυσεις καποιο αλυτο προβληµα, ϐρες µε ποια απο τα λυµενα παρουσιαζει αυτο την µεγαλυτερη οµοιοτητα και προσπαθησε να εφαρµοσεις την µεθοδολογια των λυµενων στο αλυτο. Θανασης Κεχαγιας Θεσσαλονικη, Σεπτεµβρης v
Εισαγωγη Η Γραµµικη Αλγεβρα εχει τρια κυρια αντικειµενα µελετης (τα οποια ειναι στενα συνδεδε- µενα µεταξυ τους, οπως ϑα ϕανει παρακατω):. τους πινακες,. τα συστηµατα γραµµικων εξισωσεων, 3. την γεωµετρια του N-διαστατου χωρου, οπου N =,, 3,... 3. Θεωρουµε γνωστη την εννοια συστηµα γραµµικων εξισωσεων", οπως επισης και τις στοιχειωδεις µεθοδους επιλυσης τετοιων συστηµατων. Επισης ϑεωρουµε γνωστα τα ϐασικα στοιχεια των διανυσµατων και της αναλυτικης γεωµετριας του επιπεδου. Οι πινακες ειναι µαθηµατικα αντικειµενα τα οποια µπορουµε να σκεφτουµε ως µια γενικευση των πραγµατικων αριθµων. Οι πινακες παρεχουν εναν ευχερη και συµπαγη συµβολισµο για την διατυπωση και επιλυση ενος ευρεος ϕασµατος µαθηµατικων προβληµατων. Ενα απο αυτα τα προβληµατα ειναι και η επιλυση συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, επειδη οι πινακες µπορουν επισης να ϑεωρηθουν γενικευση των διανυσµατων, η γραµµικη αλγεβρα µπορει να χρησιµοποιηθει για την γενικευση στις N διαστασεις της γεωµετριας του επιπεδου ( διαστασεις) και του χωρου (3 διαστασεις). Με αυτο τον τροπο µπορουµε να κατανοησουµε καλυτερα και ϐαθυτερα την Γεωµετρια και να την χρησιµοποιησουµε για να αποκτησουµε εποπτικη αντιληψη των συστηµατων γραµµικων εξισωσεων. Επιπλεον, η Γραµµικη Αλγεβρα χαρακτηριζεται, οπως ϕανερωνει το ονοµα, απο την αλγεβρικη προσεγγιση 4. Το παρον τευχος περιεχει κεφαλαια. Τα Κεφαλαια ως 3 πραγµατευονται ϐασικα ϑεµατα τα οποια πρεπει να διδαχτει καθε µελετητης της Γραµµικης Αλγεβρας. Τα Κε- ϕαλαια 4 ως πραγµατευονται ειδικοτερα ϑεµατα, τα οποια συνηθως παραλειπονται στο εισαγωγικο µαθηµα Γραµµικης Αλγεβρας για µηχανικους 5. Χρησιµοποιουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, γνωστο και απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιατερα τα εξης. 3 Ακοµη και η N = περιλαµβανεται ως µια πολυ ειδικη και τετριµµενη περιπτωση. 4 Η ειδικη περιπτωση στην οποια N = η 3 (δηλ. η µελετη της γεωµετριας του επιπεδου και του τριδιαστατου χωρου) ειναι επισης αντικειµενο µιας αλλης µαθηµατικης ϑεωριας, της Αναλυτικης Γεωµετριας. Η Αναλυτικη Γεωµετρια χρησιµοποιει πολλες εννοιες και εργαλεια της Γραµµικης Αλγεβρας, αλλα επεκτεινεται και σε µη γραµµικες µαθηµατικες οντοτητες (π.χ. τις δευτεροβαθµιες επιφανειες). 5 Η συγγραφη των Κεφαλαιων 4- δεν εχει ακοµη ολοκληρωθει (στην παρουσα εκδοση v.9 του τευχους). vi
ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Το συνολο των πραγµατικων αριθµων συµβολιζεται µε R και αυτο των µιγαδικων αριθµων µε C.. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι ο εξης N a n = a + a +... + a N. n= Αντιστοιχα, ο συµβολισµος γινοµενου ειναι ο εξης N a n = a a... a N. n= 3. Η λεξη ανν σηµαινει αν και µονο αν. Η συντοµογραφια τ.ω. σηµαινει τετοιο ωστε. vii
Μέρος I Βασικες Εννοιες
Κεφάλαιο Πινακες Στα µαθηµατικα (οπως και στην καθοµιλουµενη) πινακας σηµαινει µια ορθογωνια διαταξη (αριθµων ή αλλων οντοτητων). Αυτο που κανει του µαθηµατικους πινακες ιδιαιτερα χρησιµους ειναι οτι αφου τους εφοδιασουµε µε πραξεις µπορουµε να τους χρησι- µοποιησουµε ως γενικευµενους αριθµους οι οποιοι (οπως ϑα ϕανει σε εποµενα κε- ϕαλαια) διευκολυνουν την επιλυση πολλων µαθηµατικων προβληµατων.. Περιληψη... Ορισµος. Ενας πινακας A ειναι µια ορθογωνια διαταξη αριθµων : a a... a N A = a a... a N............. a M a M... a MN Το στοιχειο του A στην m-στη γραµµη και στην n-στη στηλη συµβολιζεται µε a mn ή (A) mn (και λεµε οτι εχει συντεταγµενες m, n).... Ορισµος. Πιο αυστηρα, ενας M N πινακας ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο {,,..., M} {,,..., N} και πεδιο τιµων το R: A : {,,..., M} {,,..., N} R. ηλ. σε καθε Ϲευγαρι (m, n) {,,..., M} {,,..., N} αντιστοιχιζουµε εναν αριθµο a mn, που ειναι το στοιχειο του πινακα στην ϑεση µε συντεταγµενες m, n...3. Ο παραπανω ορισµος του πινακα µπορει να γενικευτει. Π.χ. τα στοιχεια του πινακα µπορει να ειναι µιγαδικοι αριθµοι...4. Ορισµος. Για το τυχον στοιχειο a mn του πινακα, λεµε οτι m ειναι ο δεικτης γραµµης και n ειναι ο δεικτης στηλης...5. Ορισµος. Οταν ο A εχει M γραµµες και N στηλες, λεµε οτι εχει διασταση M N.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 3..6. Ορισµος. Οταν ο A εχει διασταση N N (δηλ. ισο αριθµο γραµµων και στηλων) τοτε λεµε οτι ειναι τετραγωνικος...7. Ορισµος. υο M N πινακες A, B ειναι ισοι (γραφουµε A = B) ανν για m {,..., M} και n {,..., N} ισχυει m mn = b mn...8. Ορισµος. Οταν ο A εχει στηλη (εχει διασταση M ) λεµε οτι ειναι πινακαςστηλη: A =..9. Ορισµος. Οταν ο A εχει γραµµη (εχει διασταση N) λεµε οτι ειναι πινακαςγραµµη: A = [ ] a a... a N.... Ορισµος. Οι πινακες-γραµµες και οι πινακες-στηλες λεγονται και διανυσµατα.... Συµβολισµος. Μπορουµε να γραψουµε ενα πινακα ως συνδυασµο των γραµµων του : οπου (για m {,..., M} ): A = a a... a M r r... r M., r m = [ a m a m... a mn ].... Συµβολισµος. Επισης µπορουµε να γραψουµε τον πινακα ως συνδυασµο των στηλων του : A = [ ] c c... c N, οπου (για n {,..., N} ): c n = a n a n... a Mn..3. Ορισµος. Η προσθεση πινακων οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M N) και B (διαστασης M N). Τοτε (A + B) mn = a mn +b mn (A B) mn = a mn b mn. Προσοχη! Η προσθεση A + B ειναι δυνατη µονο αν οι A και B εχουν ιδιες διαστασεις!.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 4..4. Ορισµος. Ενας πινακας A µε διαστασεις M N, λεγεται µηδενικος ανν για m =,,..., M, n =,,..., N εχουµε a mn =, δηλ.... M,N =......................... Ο µηδενικος πινακας συµβολιζεται µε M,N η και απλα µε (δηλ. οταν η διασταση M N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της)....5. Ορισµος. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι αριθµο οριζεται ως εξης : (κ A) mn = κ a mn...6. Θεωρηµα. Για ολους τους πινακες A, B ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. A + = A. (Το ειναι το ουδετερο στοιχειο της προσθεσης).. A + B = B + A. (Αντιµεταθετικοτητα.) 3. A + (B + C) = (A + B) + C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A + (( ) A) = (( ) A) + A =. (Ο αντιθετος του A ειναι ο A = ( ) A.) 5. κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. (Επιµεριστικοτητα.) 6. (κ + λ) A = κ A+λ A.(Επιµεριστικοτητα.) 7. (κ λ) A = κ (λ A)...7. Ορισµος. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι πινακα οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M K) και B (διαστασης K N). Τοτε (A B) mn = K a mk b kn. Προσοχη! Ο πολλαπλασιασµος A B ειναι δυνατος µονο αν ο αριθµος των στηλων του A ειναι ισος µε αυτο των γραµµων του B! k=..8. Ορισµος. Ενας πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται µοναδιαιος ανν για m, n =,,..., N εχουµε a mm = και a mn = οταν m n, δηλ.......... I N =............................... Ο µοναδιαιος πινακας συµβολιζεται µε I N η και απλα µε I (δηλ. οταν η διασταση N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 5..9. Θεωρηµα. Για ολους τους πινακες A, B, C ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. I A = A I = A. (Το I ειναι το ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασµου πινακων).. Υπαρχουν πινακες A, B για τους οποιους A B B A. 3. A (B C) = (A B) C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A (B + C) = A B + A C. (Επιµεριστικοτητα.) 5. (B + C) A = B A + C A. (Επιµεριστικοτητα.) 6. κ (A B) = (κ A) B = A (κ B). 7. A = A =.... Ορισµος. Για καθε N N (τετραγωνικο) πινακα A, µπορουµε να ορισουµε τις δυναµεις του : A = A A, A 3 = A A A κ.τ.λ. Συµβατικα οριζουµε A = I. Ισχυουν οι συνηθισµενες ιδιοτητες των δυναµεων : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn. Μπορουµε να επεκτεινουµε τον ορισµο ωστε να εχουµε αρνητικες ακεραιες δυναµεις, κλασµατικες δυναµεις (π.χ. A /, την τετραγωνικη ϱιζα του A κ.ο.κ. ).. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος. Ενας πινακας A ειναι µια ορθογωνια διαταξη αριθµων : a a... a N A = a a... a N............. a M a M... a MN Το στοιχειο του A στην m-στη γραµµη και στην n-στη στηλη συµβολιζεται µε a mn ή (A) mn (και λεµε οτι εχει συντεταγµενες m, n).... Να δυο παραδειγµατα πινακων [ ] [ ] 4 3 A =, B =. (.) 4..3. Ορισµος. Πιο αυστηρα, ενας M N πινακας ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο {,,..., M} {,,..., N} και πεδιο τιµων το R: A : {,,..., M} {,,..., N} R. ηλ. σε καθε Ϲευγαρι (m, n) {,,..., M} {,,..., N} αντιστοιχιζουµε εναν αριθµο a mn, που ειναι το στοιχειο του πινακα στην ϑεση µε συντεταγµενες m, n. Αυτα τα ϑεµατα εξεταζονται σε περισσοτερη λεπτοµερεια στο Κεφαλαιο ;;.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 6..4. Ο παραπανω ορισµος του πινακα µπορει να γενικευτει. Π.χ. τα στοιχεια του πινακα µπορει να ειναι µιγαδικοι αριθµοι...5. Ορισµος. Για το τυχον στοιχειο a mn του πινακα, λεµε οτι m ειναι ο δεικτης γραµµης και n ειναι ο δεικτης στηλης...6. Στον πινακα A της (.), το στοιχειο a ειναι το 4. Εχει δεικτη γραµµης το m = και δεικτη στηλης το n =...7. Ορισµος. Οταν ο A εχει M γραµµες και N στηλες, λεµε οτι εχει διασταση M N...8. Ορισµος. Οταν ο A εχει διασταση N N (δηλ. ισο αριθµο γραµµων και στηλων) τοτε λεµε οτι ειναι τετραγωνικος...9. Ποια ειναι η διασταση των παρακατω πινακων ; Ποιοι εξ αυτων ειναι τετραγωνικοι ; [ ] 3 A =, B = [ 3 ] [ ] 3 3 3 4, C =, D = [3], E = 6 4 4 4 Απαντηση. Ο A ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι ο C ειναι 3 ο D ειναι, τετραγωνικος ο B ειναι 3.... ινεται πινακας 5 A = 4 3 6. 8 7 Ποια ειναι η τιµη του στοιχειου a ; Του a 3 ; Του a 3 ; Ποιοι ειναι οι δεικτες γραµµης και στηλης του 5; Του 8; Απαντηση. a =, a 3 = 6, a 3 = 8. Το 5 εχει δεικτη γραµµης και στηλης το 8 εχει δεικτη γραµµης 3 και στηλης.... Ορισµος. υο M N πινακες A, B ειναι ισοι (γραφουµε A = B) ανν για m {,..., M} και n {,..., N} ισχυει m mn = b mn.... Οι πινακες [ ] [ ] x 3 z A =, B = y 4 ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z; Απαντηση. A = B i, j : a ij = b ij. Αρα ειναι x = 3, y = 4 και z =...3. Ορισµος. Οταν ο A εχει στηλη (εχει διασταση M ) λεµε οτι ειναι πινακαςστηλη: a A = a.... a M Θα εξετασουµε αυτην και αλλες γενικευσεις στο Κεφαλαιο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 7..4. Ορισµος. Οταν ο A εχει γραµµη (εχει διασταση N) λεµε οτι ειναι πινακαςγραµµη: A = [ ] a a... a N...5. Ορισµος. Οι πινακες-γραµµες και οι πινακες-στηλες λεγονται και διανυσµατα...6. Συγκρινετε τα διανυσµατα της Γραµµικης Αλγεβρας µε τα διανυσµατα που µας ειναι γνωστα απο τον ιανυσµατικο Λογισµο. Απαντηση. Καταρχην τονιζουµε οτι στον ιανυσµατικο Λογισµο υπαρχουν τρια ειδη διανυσµατων : ελευθερα, ολισθαινοντα και εφαρµοστα. Εµεις ϑα ασχοληθουµε µε τα ελευθερα διανυσµατα. Ενα ελευθερο διανυσµα ειναι ενα βελος η προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα (στο επιπεδο ή στον 3-διαστατο χωρο) η ϑεση του ελευθερου διανυσ- µατος δεν ειναι προσδιορισµενη! Αυτα τα οποια προσδιοριζονται ειναι το µηκος, η ϕορα και η διευθυνση αυτου.μπορουµε να πουµε οτι ενα ελευθερο διανυσµα αντιστοιχει σε µια απειρια ϐελων, τα οποια εχουν τηο ιδιο µηκος, ϕορα και διευθυνση. ειτε και το σχηµα. Σχηµα.. Οι πληροφοριες αυτες (µηκος, ϕορα και διευθυνση) προσδιοριζονται πληρως απο δυο αριθµους στον χωρο και τρεις αριθµους στο επιπεδο. Π.χ. στον χωρο, το διανυσµα a προσδιοριζεται απο την τριαδα (x, y, z). Αν επιλεξουµε απο την οικογενεια των προσανατολισµενων ευθυγραµµων τµηµατων (που αντιστοιχουν στο a ) αυτο το οποιο εχει την αρχη του στην αρχη των αξονων (,, ), τοτε προσδιοριζουµε µονοσηµαντα και το περας του a, το οποιο ειναι ενα σηµειο µε συντεταγµενες (x, y, z). Γραφουµε a = (x, y, z) και εχουµε µια -προς- αντιστοιχια µεταξυ ελευθερων διανυσµατων και σηµειων. Θυµοµαστε οµως οτι σε αυτη την αντιστοιχια καθε προσανατολισµενο ευθυγραµµο τµηµα παραλληλο σε αυτο που εχει αρχη το (,, ) και περας το (x, y, z) ταυτιζεται επισης µε το σηµειο (x, y, z). Στην Γραµµικη Αλγεβρα ενα διανυσµα ειναι ενας πινακας. Αν εχουµε το διανυσµα a = (x, y, z) και κατασκευασουµε τον πυνακα a = µε a = x, a = y, a 3 = z, τοτε το διανυσµα a και ο πινακας a ταυτιζονται. Μπορουµε οµως να ταυτισουµε το a [ ] και µε τον πινακα a a a 3. Με αλλα λογια, καθε διανυσµα µπορει να ταυτιστει ειτε µε εναν πινακα-στηλη ειτε µε εναν πινακα-γραµµη οποιοσδηποτε απο τους δυο πινακες µπορει να ταυτιστει µε ενα σηµειο (το περας του a οταν η αρχη αυτου ϐρισκεται στην αρχη των αξονων). Απο εδω και περα ϑα χρησι- µοποιουµε τον συµβολισµο a για να δηλωσουµε οποιοδηποτε απο τα εξης : το διανυσµα, το σηµειο, τον πινακα-γραµµη ή τον πινακα-στηλη. 3 a a a 3..7. Συµβολισµος. Μπορουµε να γραψουµε ενα πινακα ως συνδυασµο των γραµµων του : r A = r..., r M 3 Το αν ο a ειναι πινακας-γραµµη ή στηλη ϑα προκυπτει απο τα συµφραζοµενα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 8 οπου (για m {,..., M} ): r m = [ a m a m... a mn ]...8. Συµβολισµος. Επισης µπορουµε να γραψουµε τον πινακα ως συνδυασµο των στηλων του : A = [ ] c c... c N, οπου (για n {,..., N} ):..9. Γραψτε τον πινακα c n = [ A = a n a n... a Mn. 4 ] 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων. Το ιδιο για τον πινακα 4 5 3 B = 6 4. Απαντηση. Θετουµε και εχουµε Θετουµε τωρα και εχουµε A = [c c c 3 ]. r = [ 4 3 ], r = [ ] A = [ r r ]. [ ] [ ] [ ] 4 3 c =, c =, c 3 =... Ορισµος. Η προσθεση (και η αφαιρεση) πινακων οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M N) και B (διαστασης M N). Τοτε (A + B) mn = a mn +b mn (A B) mn = a mn b mn. Προσοχη! Η προσθεση A + B ειναι δυνατη µονο αν οι A και B εχουν ιδιες διαστασεις!... ινονται οι πινακες [ A = 4 3 ], B = [ 3 ] [ 3, C = 3 ]. Υπολογιστε τα A + B, A B, A + C. Απαντηση.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 9 [ ] [ ] [ ] [ ] + + 4 A + B = + = =. 4 3 3 4 + 3 3 7 [ ] [ ] [ ] [ ] A B = = =. 4 3 3 4 3 3 + 4 Η προσθεση A + C δεν ειναι δυνατη.... Ορισµος. Ενας πινακας A µε διαστασεις M N, λεγεται µηδενικος ανν για m =,,..., M, n =,,..., N εχουµε a mn =, δηλ.... M,N =......................... Ο µηδενικος πινακας συµβολιζεται µε M,N η και απλα µε (δηλ. οταν η διασταση M N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της)....3. Αποδειξτε οτι A + = A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + ) mn = (A) mn + () mn = a mn + = a mn = (A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + = A...4. Αποδειξτε οτι A + B = B + A. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (A + B) mn = (A) mn + (B) mn = a mn + b mn = b mn + a mn = (B + A) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε A + B = A + B...5. Ορισµος. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι αριθµο οριζεται ως εξης : (κ A) mn = κ a mn...6. Θεωρηµα. Για ολους τους πινακες A, B ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. A + = A. (Το ειναι το ουδετερο στοιχειο της προσθεσης).. A + B = B + A. (Αντιµεταθετικοτητα.) 3. A + (B + C) = (A + B) + C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A + (( ) A) = (( ) A) + A =. (Ο αντιθετος του A ειναι ο A = ( ) A.) 5. κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. (Επιµεριστικοτητα.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 6. (κ + λ) A = κ A+λ A.(Επιµεριστικοτητα.) 7. (κ λ) A = κ (λ A)...7. Αποδειξτε οτι κ (A + B) = κ A+κ B = (A + B) κ. Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n (κ (A + B)) mn = κ (A + B) mn = κ ((A) mn + (B) mn ) = κ a mn + κ b mn = (κ A) mn + (κ B) mn. Αφου αυτο ισχυει για καθε m, n, εχουµε κ (A + B) = κ A + κ B...8. Ορισµος. Ο πολλαπλασιασµος πινακα επι πινακα οριζεται ως εξης. Εστω οτι εχουµε πινακες A (διαστασης M K) και B (διαστασης K N). Τοτε (A B) mn = K a mk b kn. Προσοχη! Ο πολλαπλασιασµος A B ειναι δυνατος µονο αν ο αριθµος των στηλων του A ειναι ισος µε αυτο των γραµµων του B!..9. ινονται οι πινακες [ ] [ ] [ ] 3 A =, B =, C =. 4 3 3 3 Υπολογιστε τα AB, BA, AC, CA. Απαντηση. [ ] [ ] [ ] [ ] + 3 + ( ) 7 AB = = =. 4 3 3 4 + 3 3 4 + 3 ( ) 3 5 [ ] [ ] [ ] 9 8 BA = =, ειναι διαφορο του AB. 3 4 3 3 [ ] [ ] 3 AC = 4 3 3 [ ] [ ] + 3 ( ) + 3 + 8 7 = = 4 + 3 3 4 ( ) + 3 4 3 + 3 7 8 Ο πολλαπλασιασµος CA δεν µπορει να γινει. k=..3. Ορισµος. Ενας πινακας A µε διαστασεις N N, λεγεται µοναδιαιος ανν για m, n =,,..., N εχουµε a mm = και a mn = οταν m n, δηλ.......... I N =............................... Ο µοναδιαιος πινακας συµβολιζεται µε I N η και απλα µε I (δηλ. οταν η διασταση N προκυπτει απο τα συµφραζοµενα, παραλειπεται ο συµβολισµος της).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..3. Αποδειξτε οτι I A = A I = A Απαντηση. Θα δειξουµε οτι για καθε m, n εχουµε (I A) mn = (A) mn. Πραγµατι (I A) mn = N i mk a kn = i mm a mn = a mn = a mn = (A) mn. k= Χρησιµοποιησαµε το γεγονος οτι i mk = για m k. Παροµοια δειχνουµε οτι για καθε m, n εχουµε (A I) mn = (A) mn...3. Θεωρηµα. Για ολους τους πινακες A, B, C ισχυουν τα εξης (αρκει οι διαστασεις αυτων να ειναι τετοιες ωστε οι πραξεις ειναι δυνατες).. I A = A I = A. (Το I ειναι το ουδετερο στοιχειο του πολλαπλασιασµου πινακων).. Υπαρχουν πινακες A, B για τους οποιους A B B A. 3. A (B C) = (A B) C. (Προσεταιριστικοτητα.) 4. A (B + C) = A B + A C. (Επιµεριστικοτητα.) 5. (B + C) A = B A + C A. (Επιµεριστικοτητα.) 6. κ (A B) = (κ A) B = A (κ B). 7. A = A =...33. Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B B A. Απαντηση. Τετοιοι ειναι, π.χ., οι πινακες A, B του προβληµατος..9...34. Βρειτε δυο πινακες A, B για τους οποιους A B = B A. Απαντηση. Π.χ. για τους πινακες [ ] [ ] 3 A =, B =, 4 εχουµε [ ] 3 AB = = BA. 8 εν ειναι αναγκη να ειναι και οι δυο πινακες διαγωνιοι. Π.χ., για τους πινακες [ ] [ ] 4 C =, D =, 3 εχουµε CD = [ 8 6 4 ] = DC. Μπορειτε να ϐρειτε δυο µη διαγωνιους πινακες E, F τ.ω. EF = FE;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ..35. Ορισµος. Για καθε N N (τετραγωνικο) πινακα A, µπορουµε να ορισουµε τις δυναµεις του : A = A A, A 3 = A A A κ.τ.λ. Συµβατικα οριζουµε A = I. Ισχυουν οι συνηθισµενες ιδιοτητες των δυναµεων : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn. Μπορουµε να επεκτεινουµε τον ορισµο ωστε να εχουµε αρνητικες ακεραιες δυναµεις, κλασµατικες δυναµεις (π.χ. A /, την τετραγωνικη ϱιζα του A κ.ο.κ. 4 )...36. Βρειτε µια αναγκαια και ικανη συνθηκη ωστε να ισχυει (A B) (A + B) = A B. Απαντηση. Εχουµε (A B) (A + B) = A + AB BA B. Για να ειναι λοιπον (A B) (A + B) = A B πρεπει και αρκει να ειναι AB BA =, δηλ. AB = BA, δηλ. οι πινακες να αντιµετατιθενται...37. Αποδειξτε οτι A (B C) = (A B) C Απαντηση. Εστω οτι οι διαστασεις των A, B, C ειναι K L, L M, M N αντιστοιχα. Εχουµε, για καθε k, n: ( L L M ) L M (A (B C)) kn = A kl (B C) ln = A kl B lm C mn = A kl B lm C mn, ((A B) C) kn = Οµως l= l= M (A B) km C mn = m= L l= m= m= ( M L ) A kl B lm C mn = m= M A kl B lm C mn = l= M m= l= L A kl B lm C mn, l= m= M m= l= L A kl B lm C mn. δηλ. µπορουµε να αλλαξουµε την σειρα της προσθεσης (να προσθεσουµε ειτε πρωτα ως προς m και µετα ως προς l ειτε, αντιστροφα, πρωτα ως προς l και µετα ως προς m. Αυτο συµβαινει γιατι, και στις δυο περιπτωσεις, προσθετουµε τους ιδιους αριθµους...38. ινονται N N πινακες A, B. Ο αντιµεταθετης του Ϲευγους (A, B) ειναι ο πινακας [A, B] = AB BA. ειξτε οτι [A, B] = [B, A] και [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] =. Απαντηση. Εχουµε [A, B] = AB BA = (AB BA) = [B, A]. Επισης εχουµε [A, [B, C]] = [A, [BC CB]] = [A, [BC]] [A, [CB]] = ABC BCA ACB + CBA. Αντιστοιχα παιρνουµε [B, [C, A]] = BCA CAB BAC + ACB, [C, [A, B]] = CAB ABC CBA + BAC. 4 Αυτα τα ϑεµατα εξεταζονται σε περισσοτερη λεπτοµερεια στο Κεφαλαιο ;;.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 3 Οποτε [A, [B, C]] + B, [C, A] + [C, [A, B]] = ABC BCA ACB + CBA+ BCA CAB BAC + ACB+ CAB ABC CBA + BAC =...39. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων 5x 3y + z = x + y 3z = 7x + z = 8 Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απαντηση. Μπορουµε ευκολα να ελεγξουµε οτι το συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση 5 3 x 5x 3y + z 3 y = x + y 3z =. 7 z 7x + z 8 Αν λοιπον ϑεσουµε 5 3 x A = 3, u = y, b = 7 z, 8 τοτε το αρχικο συστηµα ειναι ισοδυναµο µε την εξισωση Au = b, οπου u ειναι ο αγνωστος πινακας και A, b ειναι γνωστοι συντελεστες...4. Σε ενα Ϲαχαροπλαστειο κατασκευαζονται τρια ειδη γλυκισµατων. Τα συστατικα (σε kgr) για ενα κεικ του καθε τυπου ειναι ως εξησ: Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες Κεικ.5..5.. Σταφιδοψωµο.5.5.5..5 Παντεσπανι.8...5.5 Και οι τιµες ανα kgr των συστατικων (σε Euro) ειναι Αλευρι Ζαχαρη Βουτυρο Καρυδια Σταφιδες 3 5 5.. Χρησιµοποιειστε πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε το κοστος ενος κεικ του καθε τυπου.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 4 Απαντηση. Μπορουµε να υπολογισουµε το κοστος ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος ως εξης (χωρις χρηση πινακων): Κεικ :.5 3 +. 5 +.5 +. +. 5 =.5, Σταφιδοψωµο :.5 3 +.5 5 +.5 +. +.5 5 = 4., Παντεσπανι :.8 3 +. 5 +. +.5 +.5 5 = 6.65. Αυτες οι πραξεις ϑυµιζουν σαφως πολλαπλασιασµο πινακων. Πραγµατι, αν ορισουµε πινακες 3.5..5.. 5 A =.5.5.5..5, b =.8...5.5, 5 τοτε ο πολλαπλασιασµος πινακων 3.5..5.. 5. 5 Ab =.5.5.5..5.8...5.5 = 4. 6. 65 5 δινει σε ενα διανυσµα την τιµη ενος τεµαχιου του καθε τυπου γλυκισµατος...4. Στο παρακατω σχηµα ϐλεπουµε την κατοψη ενος σπιτιου σε καθε δωµατιο αντιστοιχιζουµε ενα αριθµο. Μια διαδροµη µεσα στο σπιτι ειναι µια σειρα αριθµων που δειχνουν απο ποια δωµατια περναµε. Π.χ. η διαδροµη 56 δειχνει οτι παµε απο το δω- µατιο 5 στο, µετα στο 6 και καταληγουµε στο. Η συγκεκριµενη διαδροµη εχει µηκος 4, δηλ. περναει απο τεσσερα δωµατια. Χρησιοποιειστε τον πολλαπλασιασµο πινακων για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3. Το ιδιο για να ϐρειτε τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο 5 στον χωρο. Σχηµα.. Απαντηση. Μπορουµε να αναπαραστησουµε την συνδεσµολογια του σπιτιου µε τον παρακατω γραφο. Καθε δωµατιο αντιστοιχει σε ενα κοµβο (κυκλο) και αν τα αντιστοιχα δωµατια επικοινωνουν, τοτε οι κοµβοι συνδεονται µε ακµες (γραµµες). Σχηµα..3 Μπορουµε επισης να παραστησουµε την συνδεσµολογια του γραφου µε ενα πινακα γειτνιασης της παρακατω µορφης A =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 5 Τα στοιχεια του A ειναι η. Εχουµε a mn = ανν τα δωµατια m και n επικοινωνουν απ ευθειας, και a mn = στην αντιθετη περιπτωση. Βλεπουµε οτι ο A ειναι συµµετρικος αυτο δεν ειναι τυχαιο, µπορειτε να εξηγησετε γιατι ισχυει ; Καθε µια απο τις αναπαραστασεις (αυτη του Σχηµατος.., αυτη του γραφου του Σχηµατος..3 και αυτη του πινακα γειτνιασης A) µεταφερουν ακριβως την ιδια πληρο- ϕορια σχετικα µε την συνδεσµολογια των δωµατιων. Απο την κατασκευη του A ϐλεπουµε οτι καθε διαδροµη µηκους µεταξυ καθε Ϲευγους δωµατιων εµφανιζεται στον A. Τι συµ- ϐαινει οµως µε τις διαδροµες µηκους, π.χ., ; Θεωρειστε το γινοµενο της πρωτης σειρας και της τεταρτης στηλης του A: [ ] =. Μπορειτε να ελεγξετε οτι το αποτελεσµα,, ειναι ισο µε τον αριθµο των διαδροµων µηκους που αρχιζουν στο δωµατιο και καταληγουν στο 4. Αυτο δεν ειναι τυχαιο, οπως ϑα εξηγησουµε τωρα. Θεωρειστε το γινοµενο της m-στης σειρας επι την n-στη στηλη του A. Αυτο ϑα ειναι το (m, n) στοιχειο του A : ( ) 7 A = a mn mk a kn. k= Εστω οτι το αποτελεσµα ειναι x (ενας µη αρνητικος ακεραιος αριθµος). Αυτο σηµαινει οτι στο παραπανω αθροισµα υπαρχουν ακριβως x οροι a mk a kn ισοι µε, το οποιο µε την σειρα του σηµαινει οτι a mk a kn =, το οποιο σηµαινει οτι a mk = a kn = και τελικα αυτο σηµαινει οτι το m-στο δωµατιο επικοινωνει µε το k-στο και το k-στο δωµατιο επικοινωνει µε το n-στο δηλ. τελικα, οτι υπαρχει µια διαδροµη µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ο δε ορος (A ) mn = 7 k= a mka kn αθροιζει ολες τις διαδροµες µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Ετσι λοιπον, για καθε (m, n) το στοιχειο (A ) mn περιεχει τον συνολικο αριθµο διαδροµων µηκους απο το m-στο δωµατιο στο n-στο. Μπορειτε να το ελγξετε αυτο συγκρινοντας τον γραφο µε το γινοµενο : A = 4 3 3 =. 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 6 Μπορουµε να επεκτεινουµε τον συλλογισµο για τις δυναµεις A j, j =,, 3,.... Π.χ. A 3 = 4 6 7 5 7 6 3 4 4 7 5 5 4 = 5 5 4 3 5 4 7 4 5 5 και ετσι ϐλεπουµε οτι ο συνολικος αριθµος διαδροµων µηκους 3 απο τον χωρο στον χωρο 3 ειναι 7 και απο τον χωρο 5 στον χωρο ειναι 4. Μπορειτε να ελεγξετε την κατοψη του σπιτιου για να ϐεβαιωθειτε οτι αυτο ισχυει πραγµατικα...4. ειξτε οτι a a... a N a a... a N............ a M...... a MN και κ κ... κ N [a a... a N ] Απαντηση. Εχουµε a a... a N a a... a N............ a M...... a MN κ κ... κ N = κ κ κ... κ N 3 a a... a M + κ a a... a M +... + κ N a N a N... a NN (.) = κ a + κ a +... + κ N a N. (.3) κ a + κ a +... + κ N a N = κ a + κ a +... + κ N a N... κ a M + κ a M +... + κ N a MN = κ a a... a M + κ a a... a M +... + κ N Ετσι εχουµε αποδειξει την (.). Η (.3) ειναι απλα µια ισοδυναµη γραφη της (.)...43. ειξτε οτι κ... κ........................ κ N a a... a N a a... a N............ a N...... a NN = κ a κ a... κ a N κ a κ a... κ a N............ κ N a N...... κ N a NN a N a N... a NN. (.4)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 7 Απαντηση. Εχουµε για καθε m, n: κ... κ........................ κ N και αυτο αποδεικνυει την (.4). = [... κ m... ].3 Αλυτα Προβληµατα a a... a N a a... a N............ a N...... a NN a n... a m,n a mn a m+,n... a mn.3.. Υπολογιστε την διασταση των παρακατω πινακων. [ ] [ ] [ ] [ ],,,, Απ., 3,,,.).3.. Γραψτε τον πινακα [ ] 5 8 A = 3 µε συµβολισµο γραµµων και συµβολισµο στηλων..3.3. Οι πινακες ειναι ισοι. Ποιες ειναι οι τιµες των x, y, z, u; Απ. x = 3, y = 9, z = 4, u =. [ ] [ ] x y 3 9 A =, B = 4 z u mn = κ m a mn.3.4. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ ] 3 4 A =, B =. [ ] [ ] 7 3 Απ.,. 3.3.5. Υπολογιστε το A + B και το A B για τους πινακες [ ] [ 4 4 A =, B = 3 6 ]. [ ] + i. 3 i Απ. Οι πραξεις αυτες δεν ειναι δυνατες.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 8.3.6. ινονται οι πινακες [ ] [ ] 4 3 A =, B =, C = 5 7 4 3, D = 3 Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. [ ] [ ] 4 5 7 4 9 7 6 5 Απ.,, 9 3 8, 5 7 4. 33 9 4 3 7 9 3 6 7. 3 4.3.7. ινονται οι πινακες [ ] [ ] 4 3 4 5 A =, B =, C = 3, D = 7 4 5. 4 3 Υπολογιστε τους AB, BA, CD, DC. Τι παρατηρειτε ; [ ] [ ] 8 6 6 8 Απ.,, 5, 8. 8 4 8 4 6 4 6.3.8. ινονται οι πινακες 4 A = 3, B = Υπολογιστε τους AB, BA. Τι παρατηρειτε ; 4 6 4 9 8 Απ. 3 3 4, 4 3 6. 6 8 3 8 6 3 4 8. 8 4.3.9. Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι A + (B + C) = (A + B) +C..3.. Αποδειξτε οτι (κ + λ) A = κ A+λ A., (κ λ) A = κ (λ A)..3.. Αποδειξτε (οταν οι παρακατω πραξεις ειναι δυνατες) οτι κ (A B) = (κ A) B..3.. Αποδειξτε οτι A = A =..3.3. Αποδειξτε οτι (A + I) (A + I) = A +A + I..3.4. Αποδειξτε οτι, γενικα, δεν ισχυει (A + I) (B + I) = (A + I) (B + I). Ποτε ισχυει η ισοτητα ;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ 9.3.5. ειξτε µε ενα παραδειγµα οτι, γενικα, (A + B) (A + B) A +AB + B..3.6. Οριζω ειξτε οτι A(θ)A(φ) = A(θ + φ)..3.7. ινεται ο πινακας ειξτε οτι για καθε εχουµε [ ] cos θ sin θ A(θ) = sin θ cos θ A =. b b b 3 B = b b b 3 b 3 b 3 b 33 b b b 3 b b b 3 AB = b b b 3, BA = b b b 3. b 3 b 3 b 33 b 3 b 3 b 33 ιατυπωστε τις παραπανω ισοτητες µε λογια..3.8. ινεται N N πινακας A ο οποιος προκυπτει απο τον N N µοναδιαιο πινακα I, µε εναλλαγη των γραµµων i και j. ινεται επισης τυχον N N πινακας B. ειξτε οτι ο AB ειναι ο B µε εναλλαγη των γραµµων i και j επισης οτι ο BA ειναι ο B µε εναλλαγη των στηλων i και j..3.9. Βρειτε ολους τους πινακες A τετοιους ωστε [ ] A = [ ] [ ] / / Απ. Υπαρχουν δυο τετοιοι πινακες : A = και A =..3.. Εστω N N πινακας A.Οριζουµε το ιχνος αυτου tr (A) = N a nn. Αν B ειναι M N και C ειναι N M, δειξτε οτι tr (BC) = tr (CB)..3.. Αν A, B ειναι N N πινακες, δειξτε οτι η σχεση AB BA = I ειναι αδυνατη..3.. ινεται το συστηµα γραµµικων εξισωσεων x 3y + z + u = x + y 3u = 7x + z + u = n=
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΙΝΑΚΕΣ Γραψτε το συστηµα αυτο ως µια εξισωση πινακων. Απ. x 3 3 y z = 7 u.3.3. Βρειτε στο παρακατω σχηµα ποσες διαδροµες υπαρχουν πουν συνδεουν τον χωρο µε τον χωρο 3 και εχουν µηκος 4. Σχηµα...3.4. Τι µαθατε απο τα προβληµατα..39,..4,..4;
Κεφάλαιο Αντιστροφος Πινακας και υναµεις Πινακων Εχουµε ηδη πει οτι οι πινακες ειναι γενικευµενοι αριθµοι. Στο προηγουµενο κεφαλαιο ειδαµε πως να εκτελουµε πραξεις µεταξυ πινακων (αντιστοιχες µε τις πραξεις µεταξυ αριθµων). Στο παρον κεφαλαιο ϑα δουµε οτι οι τετραγωνικοι πινακες, οπως και οι αριθµοι, µπορουν να εφοδιαστουν µε δυναµεις. Οπως ακριβως στο συστηµα των πραγµατικων αριθµων εχουµε aa =, ετσι και για τους τετραγωνικους πινακες εχουµε AA = I, οπου A ειναι ο αντιστροφος του N N πινακα A. Για να υπαρχει ο αντιστροφος ενος αριθµου a, πρεπει να εχουµε a. Παροµοια, για να εχει ο τετραγωνικος πινακας A αντιστροφο, πρεπει να ικανοποιειται καποια συνθηκη, η οποια ειναι γενικευση (για το συνολο των τετραγωνικων πινακων) της a. Οπως ϑα ϕανει και απο τις εποµενες προτασεις, δυναµεις και αντιστροφος ορι- Ϲονται µονο για τετραγωνικους πινακες! Καθε πινακας που εµφανιζεται σε αυτο το κεφαλαιο ειναι τετραγωνικος εκτος αν το αντιθετο λεγεται ϱητα.. Περιληψη... Θεωρηµα. Εστω N N πινακας A. Αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος.... Ορισµος. Τον µοναδικο πινακα B που εχει την ιδιοτητα BA = AB = I (αν αυτος υπαρχει!) τον ονοµαζουµε αντιστροφο του A και τον συµβολιζουµε µε A = B...3. Θεωρηµα. Υπαρχουν τετραγωνικοι πινακες που δεν εχουν αντιστροφο. Π.χ. ο µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Αν υπαρχει ο A, ο A λεγεται οµαλος σε αντιθετη περιπτωση ο A λεγεται ανωµαλος η ιδιαζων...4. Θεωρηµα. Εστω πινακες A, B οι οποιοι εχουν αντιστροφους A, B. Ισχυουν τα εξης.. (A ) = A (δηλ. ο αντιστροφος του A ειναι ο A).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ. (A B) = B A...5. Θεωρηµα. Ο γενικος πινακας A = [a ] εχει τον αντιστροφο A = [ ] a ανν a ο A ειναι ανωµαλος ανν a =...6. Θεωρηµα. Ο γενικος πινακας [ ] a a A = a a εχει τον αντιστροφο A = a a a a [ a a a a ανν a a a a ο A ειναι ανωµαλος ανν a a a a =. ] (.)..7. Οταν ο A ειναι N N, N {3, 4,...}, ο A µπορει να υπολογιστει ειτε λυνοντας ενα συστηµα γραµµικων εξισωσεων, ειτε χρησιµοποιωντας ενα τυπο παροµοιο µε τον (.) οµως ο τυπος αυτος εµπλεκει οριζουσες και γι αυτο ϑα τον παρουσιασουµε στο Κεφαλαιο 4...8. Ορισµος. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A τον πινακα A A (το τετραγωνο του A)...9. Ορισµος. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A 3 τον πινακα A A A λογω προσεταιριστικοτητας εχουµε A 3 = A A A = ( A ) A = A (A ).... Ορισµος. Γενικοτερα, για καθε N N πινακα A και για καθε n {,,...} οριζουµε την n-στη δυναµη του A: Εξ ορισµου, A n = A A.. A. n ϕορες A = I.... Θεωρηµα. Οι µη αρνητικες ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn.... Ορισµος. Αν υπαρχει ο A µπορουµε να ορισουµε αρνητικες δυναµεις του A: για n {,,...} οριζουµε A n = A A.. A. n ϕορες..3. Θεωρηµα. Οι ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε : m, n {, ±, ±,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn (µε την επιφυλαξη οτι ο A πρεπει να ειναι οµαλος για να εχει αρνητικες δυναµεις).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3..4. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται ταυτοδυναµος ανν A = A...5. Θεωρηµα. Για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}...6. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται µηδενοδυναµος ανν υπαρχει k {,, 3...} τετοιο ωστε A k =. Το µικροτερο τετοιο k το ονοµαζουµε ταξη του A...7. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται ενελικτικος ανν A = I.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Θεωρηµα. Εστω N N πινακας A. Αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος.... Ορισµος.Τον µοναδικο πινακα B που εχει την ιδιοτητα BA = AB = I (αν αυτος υπαρχει!) τον ονοµαζουµε αντιστροφο του A και τον συµβολιζουµε µε A = B...3. Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι αν υπαρχει N N πινακας B τετοιος ωστε BA = AB = I, τοτε ο B ειναι µοναδικος. Απαντηση. Εστω πινακας A που εχει δυο αντιστροφους, τους B και C. Τοτε πρεπει να εχουµε AB= BA = I AC= CA = I Πολλαπλασιαζοντας την πρωτη εξισωση απο δεξια µε C παιρνουµε CAB = CBA = C. Αλλα απο την δευτερη εχουµε CA = I, αρα IB = C δηλ. B = C. ηλαδη, αν ενας πινακας εχει αντιστροφο, εχει µοναδικο αντιστροφο...4. Επαληθευστε οτι ο εχει τον αντιστροφο Απαντηση. Εχουµε [ ] [ 3 ] 5 5 = 3 5 5 [ 3 ] [ ] 5 5 = 3 [ A = ] 3 [ 3 ] A = 5 5. 5 5..5. Επαληθευστε οτι ο 5 5 A = [ 3+ 5 3+3 + 5 ( )( )+3 5 5 [ 3 +( ) ( ) 3 3 5 5 + 3 5 5 3 4 5 ] [ ] = ] [ ] =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 4 εχει τον αντιστροφο 3 5 A 7 7 = 3. 7 7 4 7 7 Απαντηση. Εχουµε 3 5 3 5 7 7 3 4 5 7 7 3 = 3 3 4 5 =. 7 7 4 7 7 4 7 7 7 7..6. Ορισµος. Υπαρχουν τετραγωνικοι πινακες που δεν εχουν αντιστροφο. Π.χ. ο µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Αν υπαρχει ο A, ο A λεγεται οµαλος σε αντιθετη περιπτωση ο A λεγεται ανωµαλος η ιδιαζων...7. ειξτε οτι (για καθε N) ο N N µηδενικος πινακας δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, οι πρωτη και τεταρτη εξισωση ειναι αδυνατες και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του µηδενικου πινακα...8. ειξτε οτι ο [ ] A = δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + z = y + u = Αλλα, προφανως, η πρωτη εξισωση ειναι ασυµβατη µε την τριτη (και η δευτερη µε την τεταρτη) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 5..9. ειξτε οτι ο [ ] A = 4 δεν εχει αντιστροφο. Απαντηση. Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = 4 z u το οποιο δινει το συστηµα x + z = y + u = x + 4z = y + 4u = Αλλα η πρωτη εξισωση πολλαπλασιασµενη επι δινει x+4z = και αυτη ειναι ασυµβατη µε την τριτη (το ιδιο συµβαινει µε την δευτερη και την τεταρτη εξισωση) και ετσι το συστηµα ειναι αδυνατο, δηλ. δεν υπαρχει ο αντιστροφος του A.... Θεωρηµα. Εστω πινακες A, B οι οποιοι εχουν αντιστροφους A, B. Ισχυουν τα εξης.. (A ) = A (δηλ. ο αντιστροφος του A ειναι ο A).. (A B) = B A.... Αποδειξτε οτι (A ) = A. Απαντηση. Εχουµε Εστω B = (A ). Θα πρεπει να εχουµε BA = A B = I. Αλλα ενας πινακας που ικανοποιει την παραπανω ειναι ο B = A. Επειδη ο αντιστροφος του A ειναι (αν υπαρχει) µοναδικος, εχουµε (A ) = B = A.... Αποδειξτε οτι (A B) = B A. Απαντηση. Αρκει να παρατηρησουµε οτι ( B A ) A B= B A A B = B I B = B B = I (A B) (B A ) = A B B A = A I A = A A = I...3. Θεωρηµα. Ο γενικος πινακας A = [a ] εχει τον αντιστροφο A = [ ] a ανν a ο A ειναι ανωµαλος ανν a =.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 6..4. Θεωρηµα. Ο γενικος πινακας [ ] a a A = a a εχει τον αντιστροφο A = a a a a [ a a a a ανν a a a a ο A ειναι ανωµαλος ανν a a a a =...5. Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ A = Απαντηση. Εστω οτι ] 3 5. [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 5 x x =. x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και 3x 5x = x + x = 3x 5x = x + x =. ] (.) Λυνοντας το πρωτο συστηµα (µε αντικατασταση) εχουµε x = και x = λυνοντας το δευτερο συστηµα εχουµε x = 3, x = 5. Αρα [ ] 5 A =. 3 Αυτο το επαληθευουµε κανοντας τον πολλαπλασιασµο [ ] [ ] [ ] 5 3 5 =. 3..6. Οταν ο A ειναι N N, N {3, 4,...}, ο A µπορει να υπολογιστει ειτε λυνοντας ενα συστηµα γραµµικων εξισωσεων, ειτε χρησιµοποιωντας ενα τυπο παροµοιο µε τον (.) οµως ο τυπος αυτος εµπλεκει οριζουσες και γι αυτο ϑα τον παρουσιασουµε στο Κεφαλαιο 4.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 7..7. Υπολογιστε τον αντιστροφο του Απαντηση. Εστω οτι A =. x x x 3 A = x x x 3. x 3 x 3 x 33 Πρεπει να εχουµε x x x 3 x x x 3 =. x 3 x 3 x 33 Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και και x + x 3 = x x + x 3 = x + x = x + x 3 = x x + x 3 = x + x = x 3 + x 33 = x 3 x 3 + x 33 = x 3 + x 3 =. Εχουµε τρια συστηµατα, το καθενα εκ των οποιων εχει τρεις εξισωσεις και τρεις αγνωστους. Μπορουµε λοιπον να λυσουµε το καθε συστηµα ξεχωριστα. Μετα απο αρκετες πραξεις παιρνουµε x = 4, x = 8, x 3 = 3 8 x =, x = 4, x 3 = 4 οποτε x 3 = 4, x 3 = 3 8, x 33 = 8 A = 4 4 3 8 4 8 3 8 4 8 Μπορουµε λοιπον να υπολογισουµε τον αντιστροφο ενος 3 3 πινακα λυνοντας συστηµατα γραµµικων εξισωσεων. Οµως αυτος ο τροπος ειναι επιπονος. Στο Κεφαλαιο 4 ϑα δουµε εναν γενικο τυπο ο οποιος διευκολυνει τον υπολογισµο του αντιστροφου. Επισης, στα εποµενα προβληµατα ϑα δουµε µερικες ειδικες περιπτωσεις υπολογισµου αντιστροφου..
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 8..8. ινονται οι A =, B =. ειξτε οτι ο A ειναι αντιστροφος του B. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; (Υποδειξη : υπολογιστε το γινοµενο του µε ενα τυχαιο πινακα). Απαντηση. Παρατηρουµε οτι AB = =, BA = =. Οντως λοιπον A = B. Γιατι συµβαινει αυτο ; Παιρνουµε τυχοντα πινακα C και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο c c c 3 c 3 c c CA = c c c 3 = c 3 c c. c 3 c 3 c 33 c 33 c 3 c 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον C επι A εναλλαξαµε τις στηλες του C: η πρωτη στηλη εγινε δευτερη, η δευτερη τριτη και η τριτη πρωτη. Παροµοια παιρνουµε τυχοντα πινακα D και εκτελουµε τον πολλαπλασιασµο d d d 3 d d 3 d DB = d d d 3 = d d 3 d. d 3 d 3 d 33 d 3 d 33 d 3 Παρατηρουµε οτι ο πολλαπλασιαζοντας τον D επι B εναλλαξαµε τις στηλες του D: η πρωτη στηλη εγινε τριτη, η δευτερη πρωτη και η τριτη δευτερη. Τι συµβαινει αν εκτελεσουµε και τους δυο πολλαπλασιασµους ; c c c 3 c c c 3 CAB = c c c 3 = c c c 3. c 3 c 3 c 33 c 3 c 3 c 33 Παιρνουµε τον αρχικο πινακα C. Αυτο δεν ειναι απροσδοκητο, αφου CAB = CAA = CI = C. Αλλα τωρα εχουµε και µια διαισθητικη εξηγηση : η πρωτη στηλη του C εγινε καταρχην δευτερη (στον πρωτο πολλαπλασιασµο) και κατοπιν η δευτερη εγινε πρωτη, δηλ. επανηλθε στην αρχικη της ϑεση. Το ιδιο συµβαινει και µετις αλλες στηλες. Ο πινακας B αντιστρεφει την µεταθεση στηλων που προξενει ο πινακας A.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 9 Οι πινακες A, B ειναι πινακες µεταθεσης (δες Κεφ. 4). Καθε πινακας που προκυπτει απο τον µοναδιαιο πινακα µε µεταθεση των στηλων του υλοποιει, µε εκ δεξιων πολλαπλασιασµο, την αντιστοιχη µεταθεση σε τυχοντα πινακα. Τι επιδραση εχει σε τυχαιο πινακα ο πολλαπλασιασµος εξ αριστερων µε ενα πινακα µεταθεσης ; Πειραµατιστε µε τους A, B...9. ειξτε οτι ο A = ειναι αντιστροφος του εαυτου του. Μπορειτε να εξηγησετε διαισθητικα γιατι συµβαινει αυτο ; Απαντηση. Πραγµατι AA = = δηλ. A = A (ο A ειναι αυτοαντιστροφος). ιασθητικα, ο A εναλλασσει την πρωτη και δευτερη στηλη καθε 3 3 πινακα αν αυτο επαναληφθει δυο ϕορες παιρνουµε τον αρχικο πινακα.... Υπολογιστε τον αντιστροφο του A =. Απαντηση. Ο A προκυπτει απο προς τα δεξια (κυκλικη) µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. Αρα περιµενουµε οτι αντιστροφος του ϑα προκυπτει απο προς τα αριστερα κυκλικη µεταθεση ολων των στηλων του µοναδιαιου. ηλ. περιµενουµε A =. Πραγµατι = =.... Υπολογιστε τον αντιστροφο του [ a a A = a a ].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3 Απαντηση. Εστω οτι [ ] A x x =. x x Πρεπει να εχουµε [ ] [ ] [ ] a a x x =. a a x x Εκτελωντας τον παραπανω πολλαπλασιασµο παιρνουµε τις εξισωσεις και a x + a x = a x + a x = a x + a x = a x + a x =. Θα λυσουµε το πρωτο συστηµα µε αντικατασταση. Απο τη πρωτη εξισωση εχουµε οποτε στην δευτερη εξισωση παιρνουµε x = a x a a x a x + a x = a + a x = Με αντιστοιχο τροπο παιρνουµε Επισης εχουµε x = a a a a a a a a x = και x =. a a a a a a a a a a και x = a a a a a a a a [ a a a a ] [ ] [ ] a a =. a a Οποτε εχουµε επαληθεσυει τον γενικο τυπο του αντιστροφου, που ειναι : Τελικα [ ] A a = a. (.3) a a a a a a Στην παραπανω επιλυση υποθεσαµε οτι a a a a. Αν ειχαµε a a a a =, τοτε ο αντιστροφος του A δεν ϑα υπηρχε (δες και την παρακατω ασκηση).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3... Εστω πινακας [ ] a a A =. a a Αποδειξτε οτι ο A υπαρχει ανν a a a a. Απαντηση. Εχουµε ηδη δειξει οτι, οταν A υπαρχει ο A και δινεται απο τον τυπο (.3). Ας υποθεσουµε τωρα οτι και ας ϑεσουµε τον αντιστροφο a a a a = (.4) [ ] x y A =. z u Ας εξετασουµε πρωτα την περιπτωση a =. Τοτε απο την (.4) παιρνουµε και a a =. Αν a =, τοτε εχουµε [ ] [ ] [ ] x y = A a A = x + y = z u a το οποιο ειναι αδυνατο παροµοια ϐλεπουµε οτι το a οδηγει σε αντιφαση. Αρα δεν µπορει ουτε και το a να ειναι µηδενικο. Ας υποθεσουµε λοιπον οτι a a a a = και a. Τοτε οπως ειδαµε στο Εδαφιο.., εχουµε και x = a x (a a a a ) x = a a = a a = a =. Τοτε οµως [ ] [ ] [ ] = AA a a = x y x + z = z u το οποιο επισης ειναι ατοπο. Αρα λοιπον, κακως υποθεσαµε οτι υπαρχει ο A αυτο ειναι ασυµβιβαστο µε την συνθηκη a a a a =...3. Εστω πινακες A και B τετοιοι ωστε AB = BA. ειξτε οτι a A B = B A, BA = A B, AB = B A. Απαντηση. Εχουµε AB = BA (AB) = (BA) B A = A B και ετσι εχουµε αποδειξει την πρωτη Ϲητουµενη. Τωρα B A = A B BB A B = BA B B A B = BA και εχουµε αποδειξει την δευτερη. Η τριτη αποδεικνυεται παροµοια.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 3..4. Ορισµος. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A τον πινακα A A (το τετραγωνο του A)...5. Ορισµος. ινεται ενας N N πινακας A συµβολιζουµε µε A 3 τον πινακα A A A λογω προσεταιριστικοτητας εχουµε A 3 = A A A = ( A ) A = A (A )...6. Ορισµος. Γενικοτερα, για καθε N N πινακα A και για καθε n {,,...} οριζουµε την n-στη δυναµη του A: Εξ ορισµου, A n = A A.. A. n ϕορες A = I...7. Θεωρηµα. Οι µη αρνητικες ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn...8. Εστω N N πινακας A. Αποδειξτε οτι m, n {,,,...} : A m A n = A m+n, Απαντηση. Για το πρωτο Ϲητουµενο εχουµε (A m ) n = A mn A m A n = A... A A... A = A... A = m ϕορες n ϕορες m+n Am+n. ϕορες Για το δευτερο Ϲητουµενο εχουµε ( ) ( ) (A m ) n = A... A... A... A = A... A = A mn. m ϕορες n ϕορες m ϕορες..9. Υπολογιστε τους A, A 3 οταν [ ] A =. m n ϕορες Απαντηση. Εχουµε [ ] [ ] [ ] 3 A = A A = =, 3 A = A A [ ] [ ] [ ] 3 3 3 = =. 3 6 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 33..3. Υπολογιστε τους B, B 3 για 3 B =. Απαντηση. Οµοια µε την προηγουµενη ασκηση εχουµε 7 6 5 3 B = B B = 6, B 3 = B B B = 4. 4 8..3. Υπολογιστε το το A K για καθε ϑετικο ακεραιο K οταν [ ] A = Απαντηση. Υπολογιζουµε µερικες απο τις παραπανω δυναµεισ: [ ] [ ] [ ] [ ] =, =, [ ] 3 [ ] [ ] 4 [ ] =, =. Καθε αριθµος K µπορει να γραφτει στην µορφη K = 4n + k, οπου k =,,, 3. Αρα εχουµε A K = A 4n+k = A k και [ ] A 4n+k = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = [ ] = οταν k = 3. Παρατηρειτε την οµοιοτητα µε τις δυναµεις του i = ;..3. Ορισµος. Αν υπαρχει ο A µπορουµε να ορισουµε αρνητικες δυναµεις του A: για n {,,...} οριζουµε A n = A A.. A. n ϕορες..33. Θεωρηµα. Οι ακεραιες δυναµεις των πινακων συµπεριφερονται οπως οι ακεραιες δυναµεις αριθµων. ηλ. για καθε N N πινακα A εχουµε : m, n {, ±, ±,...} : A m A n = A m+n, (A m ) n = A mn (µε την επιφυλαξη οτι ο A πρεπει να ειναι οµαλος για να εχει αρνητικες δυναµεις).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 34..34. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται ταυτοδυναµος ανν A = A...35. Θεωρηµα. Για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}...36. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται µηδενοδυναµος ανν υπαρχει k {,, 3...} τετοιο ωστε A k =. Το µικροτερο τετοιο k το ονοµαζουµε ταξη του A...37. Ορισµος. Ενας N N πινακας A λεγεται ενελικτικος ανν A = I...38. ειξτε οτι ο ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε 3 5 A = A A = 4 5 3 4 : 3 5 A = 4 5 3 4 3 5 4 5 = 3 4 3 5 4 5 = A. 3 4..39. Ποιος απο τους πινακες 4 3 A = 3 4, B = 5 6, C = 4 3 4, 3 3 3 3 4 ειναι ταυτοδυναµος, ποιος µηδενοδυναµος και ποιος ενελικτικος ; Απαντηση. Εχουµε 4 4 4 A = 3 4 3 4 = 3 4 = A 3 3 3 και αρα ο A ειναι ταυτοδυναµος. Επισης εχουµε 3 B = 5 6 3 3 B 3 = 5 6 3 3 5 6 = 3 3 3 9 = 3 3 3 9 3 = και αρα ο B ειναι µηδενοδυναµος ταξεως 3. Τελος C = 4 3 4 4 3 4 3 3 4 3 3 4 και αρα ο C ειναι ενελικτικος. = = I
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 35..4. Αποδειξτε οτι για καθε ταυτοδυναµο πινακα ισχυει A k = A για καθε k {,, 3...}. Απαντηση. Εστω A = A. Τοτε A 3 = A A = A A = A = A, A 4 = A 3 A = A A = A = A κ.τ.λ...4. Αν οι πινακες A, B ειναι µηδενοδυναµοι και AB = BA = αποδειξτε οτι ο A + B ειναι µηδενοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε (A + B) = (A + B) (A + B) = A + AB + BA + B = και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...4. Να δειχτει οτι : αν AB = A και BA = B, τοτε οι A, B ειναι ταυτοδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε Παροµοια δειχνουµε οτι B = B...43. Βρειτε τα x, y ωστε ο A = A A = AB A = A BA = A B = A. x y A = 3 5 3 5 να ειναι ταυτοδυναµος. Απαντηση. Εχουµε x y x y x y + 3y 4x 4y 5x A = 3 5 3 5 = x 6 y 3 5 3 5 6 x y Για να ειναι λοιπον ο A ταυτοδυναµος ϑα πρεπει να εχουµε A = A, δηλ. x y + = 3y 4x = x 4y 5x = y x 6 = 3 y = 5 6 x = 3 y = 5, Λυνοντας τις δυο τελευταιες εξισωσεις ϐρισκουµε x = 3, y = 5. Κατοπιν ελεγξουµε οτι οι πρωτες πεντε επαληθευονται. Αρα ο πινακας 3 5 A = 3 5 3 5 ειναι ταυτοδυναµος.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΑΙ ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 36..44. Βρειτε τα x, y ωστε ο 4 x y A = 4 4 3 να ειναι ενελικτικος. Απαντηση. Θα πρεπει να εχουµε 4 x y 6 4y x 4x 4y y x A = = 4 x 3 y =. 4 4 3 4x 3 4y Οποτε εχουµε το συστηµα 6 4y x = 4x 4y = y x = 4 x = 3 y = 4x = 3 4y = το οποιο εχει λυση x = 3, y = 3. Αρα ο πινακας 4 3 3 A = 4 4 3 ειναι ενελικτικος...45. ειξτε οτι : ο A ειναι ενελικτικος ανν (I A) (I + A) =. Απαντηση. Εστω οτι ο A ειναι ενελικτικος, δηλ. A = I. Τοτε (I A) (I + A) = I A + A A = I A =. Αν τωρα (I A) (I + A) =, ϑα εχουµε και οποτε ο A ειναι ενελικτικος. I A = A = I..46. Αν ο A ειναι ενελικτικος, δειξτε οτι οι (I + A) και (I A) ειναι µηδενοδυναµοι. Απαντηση. Εχουµε ( ) (I + A) = ( ) I+A + A = 4 4 (I+A + I) = 4 (I+A) = (I + A). Η περιπτωση (I A) αποδεικνυεται παροµοια.