Ενότητα 2 ΛΓΕΡ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ
Άλγεβρα Boole Γενικές Γραμμές ξιώματα Huntington και Θεωρήματα ρχή του Δυϊσμού Λογικές πύλες NAND και NOR Υλοποιήσεις με πύλες NAND ή πύλεςnor πομονωτές τριών καταστάσεων Η αξιωματική θεώρηση της Άλγεβρας Boole σύμφωνα με τον Huntington δεν καλύπτεται από το βιβλίο του Wakerly λέπε: ιβλίο Mano Παράγραφοι.9, 2. 2.4, 2.5 (παράδειγμα 2..4/5) 2.7 (NAND, NOR), 2.8 (όχι αρνητική λογική),.5 (πύλη 3 καταστάσεων) λέπε: ιβλίο Wakerly Παράγραφοι 3., 4..4 (NAND, NOR), 4..5, 5.6.
Άλγεβρα Boole 854, George Boole, Άγγλος μαθηματικός Εισήγαγε μία αλγεβρική δομή με δύο τιμές (αληθές και ψευδές) για να περιγράψει συστηματικά τους στοιχειώδεις νόμους της λογικής, την Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra). 938, Claude Shannon, ερευνητής στα ell Labs Προσάρμοσε την Άλγεβρα Boole στην ανάλυση και την περιγραφή των λογικών κυκλωμάτων, που αποτελούνται από λογικές πύλες, την Άλγεβρα Διακοπτών (Switching Algebra). Οι μαθηματικές μέθοδοι που απλοποιούν τα λογικά κυκλώματα βασίζονται κυρίως στην Άλγεβρα Boole. Σημείωση: Η απλοποίηση μειώνει σημαντικά το κόστος της σχεδίασης και της υλοποίησης ενός ψηφιακού συστήματος.
Άλγεβρα Boole (Δύο Τιμών) λγεβρική δομή (,,+, ) = {,} - σύνολο δύο διακριτών στοιχείων Στα ηλεκτρικά κυκλώματα με δυαδικά σήματα : αντιστοιχεί στη χαμηλή τάση (LOW) αντιστοιχεί στην υψηλή τάση (HIGH) (στη θετική λογική ) τελεστής λογικού πολλαπλασιασμού ( ) αντιστοιχεί στη λογική πράξη (πύλη) AND τελεστής λογικής πρόσθεσης (+) αντιστοιχεί στη λογική πράξη (πύλη) OR τελεστής λογικού συμπληρώματος ( ) αντιστοιχεί στη λογική πράξη (πύλη) NOT
Λογικές Πράξεις (Πύλες) A B A B λογικός πολλαπλασιασμός A B A+B λογική πρόσθεση A A λογικό συμπλήρωμα A B πύλη AND A B πύλη ΟR A+B A πύλη NOT
ξιωματική Θεμελίωση της Άλγεβρας Boole ΗαξιωματικήθεμελίωσητηςΆλγεβρας Boole που βασίζεται στην λγεβρική δομή (,,+, ) γίνεται με πολλούς τρόπους ανάλογα με το σύνολο των αξιωμάτων, τα οποία λαμβάνουμε υπόψη μας. Υιοθετούμε την αξιωματική θεμελίωση, που πρότεινε ο Huntington το 97, και η οποία περιγράφεται στο βιβλίο «Ψηφιακή Σχεδίαση» του M. Mano. Θα αποδείξουμε ότι τα αξιώματα του Huntington ισχύουν για την λγεβρική δομή (,,+, )
ξιώματα Huntington για Άλγεβρα Boole Κλειστότητα και για τους τρεις τελεστές Εάν Χ, Υανήκουνστο, τότε Ζ ανήκει στο Ζ = Χ Υ Ζ = Χ+Υ Ζ = Χ Ουδέτερα στοιχεία Η ισχύς των αξιωμάτων είναι προφανής από τους πίνακες αλήθειας των λογικών πράξεων AND, OR και NOT Για κάθε Χ που ανήκει στο : Χ = Χ = Χ (το για το λογικό πολλαπλασιασμό) Χ+ = +Χ = Χ (το για τη λογική πρόσθεση)
ξιώματα Huntington για Άλγεβρα Boole ντιμεταθετικός νόμος Για κάθε Χ, Υ που ανήκει στο : Χ Υ = Υ Χ Χ+Υ = Υ+Χ Προσεταιριστικός νόμος Για κάθε Χ, Υ, Ζ πουανήκειστο: (Χ Υ) Ζ = Χ (Υ Ζ) (Χ+Υ)+Ζ = Χ+(Υ+Ζ) Η ισχύς του αξιώματος είναι προφανής από τους πίνακες αλήθειας των λογικών πράξεων AND, OR και NOT Ο προσεταιριστικός νόμος μπορεί να εκληφθεί και σαν θεώρημα που αποδεικνύεται εύκολα με πίνακες αληθείας 8 σειρών Προσοχή: ναφέρεται ως Θεώρημα 4 στο βιβλίο του Mano
ξιώματα Huntington για Άλγεβρα Boole Επιμεριστικός νόμος Για κάθε Χ, Υ, Ζπουανήκειστο: Χ (Υ+Ζ) = (Χ Υ)+(Χ Ζ) = ΧΥ+ΧΖ Χ+ (Υ Ζ) = (Χ+Υ) (Χ+Ζ) Μπορείτενατοναποδείξετεμετηχρήσητωνπινάκωναλήθειας: Σχηματίστε αρχικά έναν πίνακα αλήθειας με 8 σειρές για όλους τους πιθανούς συνδυασμούς τιμών των Χ, Υ, Ζ. Στη συνέχεια, για κάθε συνδυασμό τιμών των Χ,Υ, Ζ υπολογίστε την τιμή των εκφράσεων Υ+Ζ, Χ(Υ+Ζ), ΧΥ, ΧΖ και ΧΥ+ΧΖ. Θα παρατηρήσετε ότι οι τιμές των Χ(Υ+Ζ) και ΧΥ+ΧΖ είναι ίδιες, για κάθε συνδυασμό τιμών των Χ, Υ, Ζ. Τέλος, για κάθε συνδυασμό τιμών των Χ,Υ, Ζ υπολογίστε την τιμή των εκφράσεων ΥΖ, Χ+ΥΖ, Χ+Υ, Χ+Ζκαι(Χ+Υ)(Χ+Ζ). Θα παρατηρήσετε ότι οι τιμές των Χ+ΥΖ και (Χ+Υ)(Χ+Ζ) είναι ίδιες, για κάθε συνδυασμό τιμών των Χ, Υ, Ζ. δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα
ξιώματα Huntington για Άλγεβρα Boole Νόμος του συμπληρώματος Για κάθε Χ που ανήκει στο : Χ Χ = Χ+Χ = + =+=, + =+= = =, = = δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα Υπάρχουν ακριβώς δύο διαφορετικά στοιχεία, το και το, στο σύνολο
ρχή του Δυϊσμού της Άλγεβρας Boole Κάθε αλγεβρική έκφραση που προκύπτει με βάση τα αξιώματα της Άλγεβρας Boole εξακολουθεί να αληθεύει, εάν γίνει εναλλαγή μεταξύ ( ) και (+) και μεταξύ των και Παράδειγμα: Νόμος του συμπληρώματος Για κάθε Χ που ανήκει στο : Χ Χ = Χ+Χ = Προσοχή: Η ρχή του Δυϊσμού δεν έχει σχέση με τo συμπλήρωμα μίας συνάρτησης
Προτεραιότητα Τελεστών της Άλγεβρας Boole Παρενθέσεις ΝΟΤ AND OR Προσοχή: Κατά της εφαρμογή της ρχής του Δυϊσμού δεν πρέπει να αλλάξει η ιεραρχία των πράξεων. υτό επιτυγχάνεται με κατάλληλη χρήση των παρενθέσεων. Παράδειγμα, ο επιμεριστικός νόμος. Χ (Υ+Ζ) = Χ Υ + Χ Ζ Χ+ Υ Ζ = (Χ+Υ) (Χ+Ζ)
Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Η απόδειξη των θεωρημάτων της Άλγεβρας Boole βασίζεται στα αξιώματα ή σε άλλα θεωρήματα που έχουν ήδη αποδειχθεί με βάση τα αξιώματα. Θα παρατηρήσετε ότι στις αποδείξεις ισχύει ηαρχήτουδυϊσμού.
πόδειξη: Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ. Για κάθε Χ που ανήκει στο : Χ Χ = Χ δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα Χ+Χ = Χ Χ Χ = (Χ Χ)+ = (Χ Χ)+(Χ Χ ) = Χ (Χ+Χ ) = Χ = Χ Χ+Χ = (Χ+Χ) = (Χ+Χ) (Χ+Χ ) = Χ+(Χ Χ ) = Χ+ = Χ ουδέτερο στοιχείο ν. συμπληρώματος επιμεριστικός ν. ν. συμπληρώματος ουδέτερο στοιχείο
πόδειξη: Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ2. Για κάθε Χ που ανήκει στο : Χ = Χ = Χ+ = +Χ = δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα Χ = (Χ )+ = (Χ )+(Χ Χ ) = Χ (+Χ ) = Χ Χ = Χ+ = (Χ+) = (Χ+) (Χ+Χ ) = Χ+( Χ ) = Χ+Χ = ουδέτερο στοιχείο ν. συμπληρώματος επιμεριστικός ν. ουδέτερο στοιχείο ν. συμπληρώματος
πόδειξη: Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ3. Διπλό συμπλήρωμα Για κάθε Χ που ανήκει στο : (Χ ) = Χ δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα πότονόμοτουσυμπληρώματοςέχουμε: Χ Χ = και Χ+Χ = για το στοιχείο Χ που ανήκει στο (Χ ) Χ = και (Χ ) +Χ = για το στοιχείο Χ που ανήκει στο Συνεπώς, το συμπλήρωμα του συμπληρώματος Χ είναι το Χ και το (Χ ). φού το συμπλήρωμα είναι μοναδικό, Χ = (Χ )
πόδειξη: Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ4. Θεωρήματα Aπορρόφησης Για κάθε Χ, Y που ανήκει στο : Χ (Χ+Υ) = Χ δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα Χ+(Χ Υ) = Χ Χ (Χ+Υ) = (Χ+) (Χ+Υ) = Χ+( Υ) = Χ+ = Χ Χ+(Χ Υ) = (Χ )+(Χ Υ) = Χ (+Υ) = Χ = Χ ουδέτερο στοιχ. επιμεριστικός ν. Θ2 ουδέτερο στοιχ. Προσοχή: ναφέρεται ως Θεώρημα 6 στο βιβλίο του Mano
Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ5. Θεωρήματα Ομοφωνίας Για κάθε Χ, Y, Ζ πουανήκειστο: (Χ Υ)+(Χ Ζ)+(Υ Ζ) = (Χ Υ)+(Χ Ζ) (Χ+Υ) (Χ +Ζ) (Υ+Ζ) = (Χ+Υ) (Χ +Ζ) δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα πόδειξη: Οόρος(Υ Ζ) είναι η ομοφωνία (consensus) των όρων (Χ Υ) και (Χ Ζ). Εάν (Υ Ζ) =, τότε (Χ Υ)+(Χ Ζ)+ = (Χ Υ)+(Χ Ζ). Εάν (Υ Ζ) =, τότε (Χ Υ)+(Χ Ζ)+ = (Χ Υ)+(Χ Ζ) =, γιατί Υ = και Z=, και συνεπώς (Χ Υ)+(Χ Ζ) = (Χ )+(Χ ) = Χ+Χ =, ανεξάρτητα από το Χ. Άρα ο όρος (Υ Ζ) είναι πλεονάζων (redundant) και μπορεί να απαλειφθεί. (Ισχύει και το δυϊκό του). Προσοχή: Δεν αναφέρεται στο βιβλίο του Mano
Άσκηση 2. Να αποδειχθεί αλγεβρικά το Θεώρημα της ομοφωνίας της Άλγεβρας Boole: (Χ Υ)+(Χ Ζ)+(Υ Ζ) = (Χ Υ)+(Χ Ζ) Η απόδειξη να γίνει με βάση τα αξιώματα ή άλλα ήδη αποδεδειγμένα θεωρήματα της Άλγεβρας Boole. Να σχεδιασθεί το αντίστοιχο λογικό κύκλωμα της λογικής συνάρτησης F = (Χ Υ)+(Χ Ζ)+(Υ Ζ) και να δειχθεί επί του κυκλώματος ότι η αντίστοιχη πύλη (Υ Ζ) είναι πλεονάζουσα, όταν Υ = Ζ =, ανεξάρτητα του Χ.
Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θ6. Θεωρήματα De Morgan Για κάθε Χ, Y που ανήκει στο : (Χ Y) = Χ +Y (Χ+Y) = Χ Υ δεν ισχύει στη συνήθη άλγεβρα πόδειξη με τη χρήση των πινάκων αλήθειας: Χ Υ Χ Υ (Χ Υ) Χ Υ Χ +Y
Λογική Πύλη NΝD Ζ Ζ = (A B) H έξοδος Ζ = εάν = ΚΙ = Ζ Ζ Ζ = + H έξοδος Ζ = εάν = Η = πίνακας αλήθειας Ζ = NΝD B ή Ζ= (A B) ήζ= +
Λογική Πύλη NOR Ζ Ζ Ζ = (A+B) H έξοδος Ζ = εάν = Η = Ζ Ζ = A B H έξοδος Ζ = εάν = ΚΙ = πίνακας αλήθειας Ζ = NOR B ή Ζ= (A+B) = A B
Λογική Πύλη NOT Ζ NAND Ζ Z Ζ = ( ) = NOR Ζ πίνακας αλήθειας Ζ = (+) = Η πύλη ΝΟΤ υλοποιείται και με πύλες NAND ή NOR
ΛογικήΠύληΝD Ζ = A B Z Ζ = (( ) ) = Ζ NAND NOR Ζ = ( + ) = ( ) ( ) = Ζ πίνακας αλήθειας ΗπύληAND υλοποιείται και με πύλες NAND ή NOR
Λογική Πύλη OR Ζ = A+B NOR Z Ζ = ((+) ) = + Ζ Ζ = ( ) = ( ) +( ) = + NAND Ζ πίνακας αλήθειας ΗπύληOR υλοποιείται και με πύλες NAND ή NOR
Ισοδύναμοι Συμβολισμοί Λογικών Πυλών Πύλη AND Z Z Πύλη OR Z Z Πύλη NAND Z Z Πύλη NOR Z Z
Θεωρήματα της Άλγεβρας Boole Θεωρήματα De Morgan πολλών μεταβλητών Για κάθε Χ i (i =,.., n) που ανήκει στο : (Χ X 2 X n ) = Χ +X 2 + +X n (Χ +X 2 +...+X n ) = Χ X 2 X n C C NAND Ζ = (A B C) Ζ Ζ = + +C C C NOR Ζ = (A+B+C) Ζ Ζ = C
Πύλες ND και ΟR Πολλών Εισόδων C D C D Ζ = A B C D Ζ = A+B+C+D Όταν ισχύουν ο αντιμεταθετικός και ο προσεταιριστικός νόμος
Πύλες NND και NΟR Πολλών Εισόδων C D C D Ζ = (A B C D) Ζ = (A+B+C+D) Όταν δεν ισχύουν ο αντιμεταθετικός και ο προσεταιριστικός νόμος
Άσκηση 2.2 Ποια είναι η λογική συνάρτηση του λογικού κυκλώματος: C D Ζ Να βρεθεί αλγεβρικά και σχηματικά με κατάλληλη μετατόπιση των κύκλων (αντιστροφέων)
Aπομονωτές Τριών Καταστάσεων Tri-State (Enable) Buffers Οι έξοδοι των απομονωτών τριών καταστάσεων ελέγχονται από μία είσοδο ενεργοποίησης (enable) και παίρνουν τις τιμές : ή για enable = Z = υψηλή αντίσταση για enable = χρησιμοποιούνται όταν περισσότερες από μία μονάδες επικοινωνούν μέσω της ίδιας γραμμής (αρτηρίας), αντί πολυπλεκτών, ή όταν χρησιμοποιείται μία γραμμή (αρτηρία) για αμφίδρομη επικοινωνία προσοχή : ο χρόνος αλλαγής από / σε Ζ είναι μικρότερος από τον χρόνο αλλαγής από Ζ σε /
en = Aπομονωτές Τριών Καταστάσεων Tri-State (Enable) Buffers Παραδείγματα χρήσης: Δύο μονάδες, η μονάδα με έξοδο και η μονάδα με έξοδο, επικοινωνούν μέσω της ίδιας γραμμής Χ Όταν η μονάδα κατέχει τη γραμμή Χ (Χ = ), τότε en = Όταν η μονάδα B κατέχει τη γραμμή Χ (Χ = B), τότε en = ΠοτέδενκατέχουντηγραμμήΧκαιοιδύομονάδεςταυτόχρονα A B en = A B Χ = A Χ =
Aπομονωτές Τριών Καταστάσεων Tri-State (Enable) Buffers Παραδείγματα χρήσης: Χρησιμοποίηση μίας γραμμής για αμφίδρομη επικοινωνία. Όταν η επικοινωνία γίνεται από το προς το, τότε en = Όταν η επικοινωνία γίνεται από το προς το, τότε en = A B en = en = en = en =