ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò [1,, 3, 4, 5, 6, 7]. 5.1.1 Ïñéóìïß óôù z ìéá ìåôáâëçôþ, ðïõ óõìâïëßæåé ôéò ôéìýò åíüò óõíüëïõ D üðïõ D C ìå C ôï óýíïëï ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí. Ôüôå ç z èá ëýãåôáé ìéãáäéêþ ìåôáâëçôþ Þ áðëü óôï åîþò ìåôáâëçôþ. Áí óå êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò z áíôéóôïé ïýí ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò ôéìýò ôçò ìéãáäéêþò ìåôáâëçôþò w, ôüôå ç w èá ëýãåôáé üôé åßíáé ìßá ìéãáäéêþ óõíüñôçóç ôïõ z êáé èá ãñüöåôáé w = f(z): Åéäéêüôåñá, áí óôï z áíôéóôïé åß ìßá áêñéâþò ôéìþ ôïõ w, ç f èá ëýãåôáé ìïíüôéìç óõíüñôçóç, åíþ óå êüèå Üëëç ðåñßðôùóç ðëåéüôéìç. Ôüôå ôï D èá ïñßæåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò f, åíþ ôï óýíïëï ôùí ôéìþí ôçò w, Ýóôù T, ôï ðåäßï ôéìþí ôçò f. 161

16 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá 5.1.1-1 Ç óõíüñôçóç êáé ãåíéêüôåñá ç f(z) = z 3 z ; = 1; ; : : : ìå z C åßíáé ìïíüôéìç, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïí ïñéóìü ôçò äýíáìçò 1 óå êüèå z C áíôéóôïé åß áêñéâþò Ýíáò ìéãáäéêüò z. Åéäéêüôåñá, áí ÐáñÜäåéãìá 5.1.1 - z = 3 i; ôüôå z 3 = 46 9 i: Ç óõíüñôçóç êáé ãåíéêüôåñá ç g(z) = z 1=3 z 1= = ; 3; : : : ; üôáí z C, åßíáé ðëåéüôéìç, åðåéäþ -ôüîçò ñßæá åíüò ìéãáäéêïý áñéèìïý åßíáé ôï ðëþèïò äéáöïñåôéêïß ìéãáäéêïß áñéèìïß. ¼ìïéá, Ýóôù z = 1 + i. Ôüôå z = ( cos 5 4 + i sin 5 ) ; ïðüôå 4 z 1= = 4 ( cos k + 5 4 + i sin k + 5 4 ) ; k = 0; 1: Áí w = f(z), ôüôå åßíáé äõíáôüí ôï z íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ôïõ w, ìå ôçí Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ðïõ ðáñáðüíù äüèçêå. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé z = f 1 (w) êáé ç f 1 ëýãåôáé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ôçò f. 1ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.. ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.6.

5.1. ÁíáëõôéêÞ Ýêöñáóç óôù ç óõíüñôçóç ÁíáëõôéêÞ Ýêöñáóç 163 w = f(z); üðïõ z = x + i y ìå x; y R: Ôüôå ìåôü áðü ðñüîåéò ç w ãñüöåôáé óôç ìïñöþ w = f(x + iy) = u(x; y) + i v(x; y) ãéá êüèå z D; (5.1. - 1) üðïõ ïé u(x; y) êáé v(x; y) åßíáé ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò äýï ðñáãìáôéêþí ìåôáâëçôþí x êáé y, ðïõ ëýãïíôáé êáé óõíéóôþóåò ôçò f. Ç (5:1: 1) ïñßæåé ôüôå ôçí áíáëõôéêþ Ýêöñáóç ôçò f. Óôçí (5:1: 1) ç u(x; y) ëýãåôáé ôï ðñáãìáôéêü êáé ç v(x; y) ôï öáíôáóôéêü ìýñïò ôçò f óôï D êáé ïñßæïõí Ýíáí ìåôáó çìáôéóìü (transformation) óôï D, ìå ôçí Ýííïéá üôé Ýíá óçìåßï ôïõ z-åðéðýäïõ áðåéêïíßæåôáé ìýóù ôçò f óôï áíôßóôïé ï óçìåßï ôïõ w-åðéðýäïõ Þ óå ðåñßðôùóç ðëåéüôéìçò óõíüñôçóçò óôá áíôßóôïé á óçìåßá ôïõ w-åðéðýäïõ. ÐáñÜäåéãìá 5.1. - 1 óôù f(z) = z. Ôüôå, áí z = x + i y, äéáäï éêü Ý ïõìå f(z) = f(x + i y) = (x + i y) = x + xy i + (i y) = x y + xy i; ïðüôå ôï ðñáãìáôéêü ôçò ìýñïò åßíáé ôï u(x; y) = x y êáé ôï öáíôáóôéêü v(x; y) = xy. 5. Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 5..1 ÐïëõùíõìéêÞ Ïñéóìüò 5..1-1. Ïñßæåôáé êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò P (z) = P (z) = á z +á 1 z 1 +: : :+á 1 z+á 0 ãéá êüèåz C; (5..1-1) üðïõ á k C ãéá êüèå k = 0; 1; : : : ; ìå á 0.

164 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Áí P (z) = 0, äçëáäþ f(z) = P (z) = á z + á 1 z 1 + : : : + á 1 z + á 0 = 0; (5..1 - ) üôáí á k C êáé k = 0; 1; : : : ; ìå á 0, ôüôå ïñßæåôáé ç ðïëõùíõìéêþ åîßóùóç - âáèìïý. 3 Áðü ôçí ëãåâñá åßíáé ôüôå ãíùóôü ôï ðáñáêüôù èåþñçìá ó åôéêü ìå ôéò ñßæåò ôïõ ðïëõùíýìïõ P (z): Èåþñçìá 5..1-1 (èåìåëéþäåò ôçò ëãåâñáò). ôïõëü éóôïí ìßá ñßæá óôï C. Ôï ðïëõþíõìï P Ý åé ÓõíÝðåéá ôïõ èåùñþìáôïò 5..1-1 åßíáé üôé ôï P Ý åé áêñéâþò ñßæåò óôï C, Ýóôù z 1, z, : : :, z, ðïõ ìåñéêýò Þ êáé üëåò åßíáé äõíáôü íá óõìðßðôïõí. Áí ïé ñßæåò åßíáé äéáöïñåôéêýò ìåôáîý ôïõò, ôüôå P (z) = a (z z 1 ) (z z ) (z z ) ; (5..1-3) åíþ óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ìßá ñßæá, Ýóôù ç z 1, Ý åé ðïëëáðëüôçôá ñ, åßíáé P (z) = (z z 1 ) ñ P 1 (z); (5..1-4) üðïõ P 1 (z 1 ) 0 êáé ñ = ; 3; : : :. 5.. ÑçôÞ Ïñéóìüò 5.. -. Ïñßæåôáé êüèå óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò R(z) = P (z) Q(z) ãéá êüèå z C {ñßæåò ôïõ Q} ; üðïõ P, Q ðïëõùíõìéêýò óõíáñôþóåéò. 3Ãéá åöáñìïãþ óôç ïõ âáèìïý êáé ôç äéþíõìç åîßóùóç âëýðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïé 4.6. êáé 4.6.3.

5..3 ÅêèåôéêÞ Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 165 Ïñéóìüò 5..3-3 (åêèåôéêþò óõíüñôçóçò). Áí z = x + iy, ïñßæåôáé áðü ôïí ôýðï e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y) ãéá êüèå z C: (5..3-5) Áðü ôïí ïñéóìü ðñïêýðôïõí: i) áí ï z åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, äçëáäþ y = 0, ôüôå ç óõíüñôçóç e z óõìðßðôåé ìå ôçí ðñáãìáôéêþ e x, ii) áí x = 0, éó ýåé ç ôáõôüôçôá ôïõ Euler e iy = cos y + i sin y ãéá êüèå y R: (5..3-6) Ôüôå ðñïöáíþò åßíáé e iy = cos y + sin y = 1, åíþ óýìöùíá ìå ôçí (5::3 5) éó ýåé üôé e z = e x (cos y + i sin y) = e x cos y + sin y = e x : Éäéüôçôåò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò Áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ïé ðáñáêüôù éäéüôçôåò ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò: i) e z 1 e z = e z 1+z êáé (e z 1 ) z = e z 1 z ãéá êüèå z 1 ; z C, åíþ åßíáé e 1 = e êáé e 0 = 1. ii) e z 0 ãéá êüèå z C: iii) Éó ýåé e z = 1 ôüôå êáé ìüíïí, üôáí z = k i ìå k Z.

166 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 5..4 ¼ñéóìá 4 Åßíáé ãíùóôü üôé êüèå ìéãáäéêüò áñéèìüò z ãñüöåôáé óôçí åêèåôéêþ ôïõ ìïñöþ ùò åîþò: z = z (cos è + i sin è) = z e i è : Ôüôå óýìöùíá êáé ìå ôïí Ïñéóìü 5..3-3 Ý ïõìå: Ïñéóìüò 5..4-4 (óõíüñôçóç ïñßóìáôïò). Ãéá êüèå ìéãáäéêü áñéèìü z ìå z = 1 ïñßæåôáé ùò óõíüñôçóç ôïõ ïñßóìáôïò (argument) êáé óõìâïëßæåôáé ìå argz, êüèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ãéá ôïí ïðïßï éó ýåé z = e i, äçëáäþ = argz ôüôå êáé ìüíïí, üôáí z = e i : ÅðåéäÞ e i = cos + i sin = cos( + k) + i sin( + k); åíþ ðñïöáíþò e i = 1, áðü ôïí Ïñéóìü 5..4-4 ðñïêýðôåé üôé ç óõíüñôçóç ôïõ ïñßóìáôïò argz åíüò ìéãáäéêïý áñéèìïý åßíáé ðëåéüôéìç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï óýíïëï ôùí óçìåßùí ôçò ðåñéöýñåéáò ôïõ ìïíáäéáßïõ êýêëïõ. Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ z = 1 êáé z 0, áðü ôïí Ïñéóìü 5..4-4 ðñïêýðôåé üôé: = argz = arg z ãéá êüèå z C ìå z 0: (5..4-7) z Ôüôå, åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (5::4 7) êáé ôïí Ïñéóìü 5..4-4 åßíáé e i = z= z, ðñýðåé, áí z = x + iy, ôï üñéóìá íá ðñïêýðôåé ùò ç êïéíþ ëýóç ôïõ ðáñáêüôù óõóôþìáôïò åîéóþóåùí: cos = x x + y = Re z z êáé sin = y x + y = Im z z (5..4-8) ìå Üãíùóôï ôï. 4ÂëÝðå ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.5.1.

Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 167 Áðü ôï óýíïëï áõôü ôùí ôéìþí ôçò óõíüñôçóçò argz óôçí (5::4 8) õðüñ åé áêñéâþò ìßá ôéìþ, Ýóôù 0 = Argz ìå 0 [0; ); (5..4-9) ðïõ ëýãåôáé âáóéêü üñéóìá ôïõ z êáé ç ïðïßá ïñßæåé ìßá ìïíüôéìç óõíüñôçóç. Ôüôå ðñïöáíþò éó ýåé åíþ åßíáé arg z = Arg z + k ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; (5..4-10) Óçìåßùóç 5..4-1 z = z e i = z e i arg z = z e i (Arg z+k) : (5..4-11) Áíôß ôïõ äéáóôþìáôïò [0; ) ñçóéìïðïéåßôáé åðßóçò êáé ôï äéüóôçìá [ ð; ), åßíáé üìùò äõíáôüí íá ñçóéìïðïéçèåß êáé êüèå Üëëï äéüóôçìá ðëüôïõò. 5..5 ËïãáñéèìéêÞ Ïñéóìüò 5..5-5 (öõóéêïý ëïãüñéèìïõ). óôù z 0. Ôüôå ïñßæåôáé ùò öõóéêüò ëïãüñéèìïò ôïõ z êáé óõìâïëßæåôáé ìå log e z Þ óõíþèùò ìå ln z, êüèå ìéãáäéêüò áñéèìüò w ðïõ åðáëçèåýåé ôçí åîßóùóç e w = z. ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí (5::4 11) åßíáé z = z e i è = z e i(è+k) = z e i(arg z+k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; áðü ôïí ïñéóìü ôïõ ëïãüñéèìïõ ðñïêýðôåé üôé e w = z e i(argz+k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : ; äçëáäþ ï ëïãüñéèìïò ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç ln z = ln z + i (Argz + k) ãéá êüèå k = 0; ±1; : : : (5..5-1) êáé åßíáé ìéá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç. Ôüôå ãéá k = 0 ïñßæåôáé ç áñ éêþ ôïõ ôéìþ, ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå êáé åßíáé ôüôå ìßá ìïíüôéìç óõíüñôçóç. Ln z = ln z + i Arg z (5..5-13)

168 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 5..6 Ãåíßêåõóç åêèåôéêþò óõíüñôçóçò ïíôáò õðüøç ôïõò Ïñéóìïýò 5..3-3 êáé 5..5-5 äßíåôáé ç ðáñáêüôù ãåíßêåõóç ôçò åêèåôéêþò óõíüñôçóçò: 5 Ïñéóìüò 5..6-6. Ç óõíüñôçóç a z ìå a C êáé a 0, ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç a z = e z ln a ãéá êüèå z C ìå áñ éêþ ôéìþ ôçí a z = e z Lna ãéá êüèå z C: Ôüôå ç a z åßíáé ìéá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç, åíþ ç áñ éêþ ôçò ìïíüôéìç. Éäéüôçôåò Áðü ôïí Ïñéóìü 5..6-6 ðñïêýðôïõí ïé éäéüôçôåò: a z 1 a z = a z 1+z, êáé (a z 1 ) z = a z 1 z ãéá êüèå z 1 ; z C, åíþ åßíáé a 1 = a êáé a 0 = 1. Ï Ïñéóìüò 5..6-6 ãåíéêåýåôáé ùò åîþò: Ïñéóìüò 5..6-7 Ãéá êüèå z C ìå f(z) 0 ç äýíáìç [f(z)] g(z) ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç [f(z)] g(z) = e g(z) ln f(z) : (5..6-14) Åßíáé ðñïöáíýò üôé óôçí ðåñßðôùóç áõôþ Ý ïõìå åðßóçò ìßá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç, åíþ ç áñ éêþ ôéìþ ôçò åßíáé [f(z)] g(z) = e g(z)lnf(z) : (5..6-15) 5ÂëÝðå ÌÜèçìá ÐñáãìáôéêÝò ÓõíáñôÞóåéò - ÐáñÜãñáöïò 3.3.7 (áíôßóôïé ç ðñáãìáôéêþ åêèåôéêþ óõíüñôçóç a x ) êáé ÌÜèçìá Ìéãáäéêïß Áñéèìïß - ÐáñÜãñáöïò 4.7.

Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 169 óêçóç Íá áðïäåé èïýí ïé éäéüôçôåò ôùí ÐáñáãñÜöùí 5..3 êáé 5..6. 5..7 ÔñéãùíïìåôñéêÝò óõíáñôþóåéò Ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ïñßæïíôáé ìå ôç âïþèåéá ôùí ìéãáäéêþí åêèåôéêþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: Çìßôïíï ÅöáðôïìÝíç sin z = eiz e iz i tan z = sin z cos z Óõíçìßôïíï ÓõíåöáðôïìÝíç ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z, üðïõ áõôü áðáéôåßôáé. Óçìåßùóç 5..7 - cos z = eiz + e iz cot z = cos z sin z Óôéò åöáñìïãýò ñçóéìïðïéïýíôáé åðßóçò ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò: sec z = 1 cos z = e iz + e iz êáé csc z = 1 sin z = Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò i e iz e iz : Áí w = sin z, ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå z = sin 1 w Þ åðßóçò êáé z = arc sin w, ïñßæåé ôï ôüîï çìéôüíïõ z êáé ðñïöáíþò åßíáé ìßá ðëåéüôéìç óõíüñôçóç. ¼ìïéá ïñßæïíôáé ïé áíôßóôñïöåò ôùí Üëëùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí. Áðïäåéêíýåôáé üôé ïé áñ éêýò ôéìýò ôùí áíôßóôñïöùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò sin 1 z = 1 i Ln ( iz + 1 z ) cos 1 z = 1 (z i Ln + ) z 1 tan 1 z = 1 ( ) 1 + iz i Ln 1 iz cot 1 z = 1 ( ) z + 1 i Ln z 1 ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z, üðïõ áõôü áðáéôåßôáé.

170 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Äåßîôå üôé i) sin z + cos z = 1, ii) sin( z) = sin z; cos( z) = cos z; tan( z) = tan z, iii) sin (z 1 ± z ) = sin z 1 cos z ± cos z 1 sin z.. ¼ìïéá üôé 3. Äåßîôå üôé ïé tan 1 z = 1 ( ) 1 + iz i Ln : 1 iz sin z; tan z êáé cot z åßíáé ðåñéôôýò óõíáñôþóåéò, åíþ ç cos z Üñôéá óõíüñôçóç. 4. Íá õðïëïãéóôïýí ôá sin 1 êáé cos 1 i: 5. Äåßîôå üôé ãéá êüèå z C éó ýåé üôé sin z = sin z; cos z = cos z êáé tan z = tan z: ÁðáíôÞóåéò 1. ÁíôéêáôÜóôáóç ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôéò áíôßóôïé åò åêöñüóåéò ôïõò.. óôù w = tan z = eiz e iz i = eiz + e iz ; ïðüôå ãñüöïíôáò e iz = 1 e iz êáé ëýíïíôáò ùò ðñïò z ðñïêýðôåé ëïãáñéèìßæïíôáò ôçí ôåëéêþ ó Ýóç ç áðïäåéêôýá. 3. ÅöáñìïãÞ ôïõ ïñéóìïý ôùí ðåñéôôþí, áíôßóôïé á Üñôéùí óõíáñôþóåùí óôéò åêöñüóåéò ôùí óõíáñôþóåùí. 4. Åßíáé sin 1 z = 1 i Ln ( iz + 1 z ), ïðüôå èýôïíôáò z = ðñïêýðôåé üôé sin 1 = 1 ( i Ln i + ) 1 = : : : = 1 [ ( ln + ) 3 + i ] i = 1:570 796 1:316 958 i:

Óôïé åéþäåéò ìéãáäéêýò óõíáñôþóåéò 171 ¼ìïéá cos 1 i = 1 (i i Ln + ) i 1 = : : : = 1 [ ( ln 1 + ) + i ] i = 1:570 796 0:881 374 i: 5. Èá äåé èåß üôé sin z = sin z. óôù z = x + i y, ïðüôå z = x i y. Ôüôå sin z = ei(x i y) i(x i y) e = : : : = ey (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) ; (1) i i åíþ sin z = e y+i x e y i x i = : : : = ey (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) i Áðü ôéò (1) êáé () ðñïêýðôåé ç áðïäåéêôýá. ¼ìïéá êáé ïé Üëëåò äýï ðåñéðôþóåéò. 5..8 ÕðåñâïëéêÝò óõíáñôþóåéò : () ¼ìïéá, üðùò êáé óôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò, ïñßæïíôáé ïé õðåñâïëéêýò óõíáñôþóåéò ìå ôç âïþèåéá ôùí ìéãáäéêþí åêèåôéêþí óõíáñôþóåùí ùò åîþò: Çìßôïíï sinh z = ez e z Óõíçìßôïíï cosh z = ez + e z ÅöáðôïìÝíç tanh z = sinh z ÓõíåöáðôïìÝíç coth z = cosh z cosh z sinh z ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z üðïõ áõôü áðáéôåßôáé. Óçìåßùóç 5..8-3 Åðßóçò óôéò åöáñìïãýò ñçóéìïðïéïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíáñôþóåéò: sechz = 1 cosh z = e z + e z êáé cschz = 1 sinh z = e z e z : Áíôßóôñïöåò ôñéãùíïìåôñéêýò óõíáñôþóåéò Áðïäåéêíýåôáé üôé ïé áñ éêýò ôéìýò ôùí áíôßóôñïöùí õðåñâïëéêþí óõíáñôþóåùí äßíïíôáé áðü ôïõò ôýðïõò ( sinh 1 z = Ln z + ) z + 1 tanh 1 z = 1 ( ) 1 + z Ln 1 z ( cosh 1 z = Ln z + ) z 1 coth 1 z = 1 ( ) z + 1 Ln z 1 ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z.

17 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò 1. Äåßîôå üôé i) cosh z sinh z = 1, ii) sinh( z) = sinh z; cosh( z) = cosh z; tanh( z) = tanh z, iii) sinh (z 1 ± z ) = sinh z 1 cosh z ± cosh z 1 sinh z, iv) cosh (z 1 ± z ) = cosh z 1 cosh z sinh z 1 sinh z.. ¼ìïéá üôé ( sinh 1 z = Ln z + ) z + 1 tanh 1 z = 1 ( ) 1 + z Ln 1 z ìå êáôüëëçëïõò ðåñéïñéóìïýò óôï z. 3. Íá õðïëïãéóôåß ôï sinh 1 i. ÁðáíôÞóåéò 1. ÁíôéêáôÜóôáóç ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôþóåùí ìå ôéò áíôßóôïé åò åêöñüóåéò ôïõò.. óôù w = sinh z = ez e z ; ïðüôå ãñüöïíôáò e z = 1 e z ; ëýíïíôáò ùò ðñïò z êáé ëïãáñéèìßæïíôáò ðñïêýðôåé ôåëéêü ç áðïäåéêôýá. 3. Åßíáé sinh 1 z = Ln ( z + 1 z ), ïðüôå èýôïíôáò z = i ðñïêýðôåé üôé ( sinh 1 i = Ln i + ) i + 1 = : : : = Ln i = ln 1 + i = i :

5.3 Âéâëéïãñáößá [1] ÌðñÜôóïò, Á. (00). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 960{351{453{5/978{960{351{453{4. [] ÎÝíïò, È. (008). ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò. Åêäüóåéò ÆÞôç. ISBN 978{ 960{456{09{9. [3] ÔóÜãêáò, Ãñ. (1990). ÌáèÞìáôá Ìéãáäéêþí ÓõíáñôÞóåùí. Èåóóáëïíßêç. [4] Bak, J. & Newman, D. (004). ÌéãáäéêÞ ÁíÜëõóç. Åêäüóåéò Leader Books. ISBN: 978{960{790{140{8. [5] Churchill, R. & Brown, J. (005). ÌéãáäéêÝò óõíáñôþóåéò êáé åöáñìïãýò. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 960{7309{41{3. [6] Spiegel, M. (009). Complex Variables. Åêäüôçò McGraw-Hill Education { Europe. ISBN 007{060{30{1. [7] Spiegel, M. & Wrede, R. (006). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 960{418{087{8. 173

174 ÌéãáäéêÝò ÓõíáñôÞóåéò Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí http://en.wikipedia.org/wiki/main Page http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm http://mathworld.wolfram.com/ http://eom.springer.de/