ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2016-2017 (ΤΜΗΜΑ Μ-Ω) (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για περίπου κάθε 2 κεφάλαια των σημειώσεων, και η καταληκτική ημερομηνία παράδοσής της θα είναι περίπου 10 μέρες μετά την ολοκλήρωση του τελευταίου από αυτά τα κεφάλαια. (βʹ) Η καταληκτική ημέρα παράδοσης κάθε ομάδας ανακοινώνεται στο μάθημα και αναρτάται στην ατζέντα του eclass τουλάχιστον μια εβδομάδα νωρίτερα. (γʹ) Μετά την διόρθωσή τους, οι ομάδες θα επιστρέφονται. (δʹ) Οι λύσεις μιας ομάδας ασκήσεων αναρτώνται στο eclass λίγες μέρες μετά την ημερομηνία παράδοσης της επόμενης ομάδας ασκήσεων. (εʹ) Οι βαθμολογίες αναρτώνται στο eclass, και αυξάνουν, υπό προϋποθέσεις, την τελική βαθμολογία. 2. Επίδραση στον τελικό βαθμό: (αʹ) Οι ασκήσεις προσφέρουν bonus 2 (στις 10) μονάδων, εφόσον ο βαθμός στην τελική εξέταση είναι προβιβάσιμος, δηλαδή 5 και άνω. (βʹ) Δεν χρειάζεται να παραδώσετε όλες τις ομάδες ασκήσεων για να πάρετε το bonus. Μπορείτε να παραδώσετε τις μισές για να πάρετε μια μονάδα (εφόσον βέβαια είναι σωστές), κ.ο.κ. Ομοίως, δεν απαιτείται να παραδώσετε όλες τις ασκήσεις μιας ομάδας. (γʹ) Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να πάρετε το bonus, εργασίες παρελθόντων ετών. 3. Παράδοση (γενικές οδηγίες): (αʹ) Μπορείτε να παραδώσετε τις ομάδες σας με δύο τρόπους: ιδιοχείρως και ηλεκτρονικά. Αν είναι δυνατόν, παραδώστε τις ομάδες ασκήσεων ιδιοχείρως. (βʹ) Απαγορεύεται η τμηματική παράδοση μιας ομάδας (για παράδειγμα, η μισή μια μέρα και η μισή κάποια άλλη μέρα, ή η μισή ηλεκτρονικά και η μισή ιδιοχείρως). (γʹ) Πριν την παράδοση, γράψτε, ευανάγνωστα, οπωσδήποτε το όνομά σας, τον αριθμό της ομάδας ασκήσεων, και, αν έχετε, τον αριθμό μητρώου σας, πάνω δεξιά στην πρώτη σελίδα, ακόμα και αν την παραδίδετε ηλεκτρονικά! (Οι φοιτητές των κατατακτηρίων και ορισμένοι προερχόμενοι από μεταγραφές δεν έχουν αριθμούς μητρώου. Για αυτούς αρκεί να υπάρχει το όνομά τους.) (δʹ) Μπορείτε να γράφετε με μολύβι ή/και με στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός κόκκινου. (εʹ) Μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα σας οποτεδήποτε πριν την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. 4. Παράδοση ιδιοχείρως: (αʹ) Χρησιμοποιείτε κόλλες μεγέθους περίπου A4, χωρίς ξέφτια λόγω σκισίματος από τετράδιο. Συρράψτε τις κόλλες, και μην τις παραδώσετε εντός πλαστικού διάφανου φακέλου, ντοσιέ, κτλ., ή πιασμένες με συνδετήρα, ή τυλιγμένες/τσαλακωμένες μαζί, κ.ο.κ. (βʹ) Μην παραδίδετε πολλές ομάδες ασκήσεων συρραμμένες μαζί (π.χ., την ομάδα 4, που παραδίδετε καθυστερημένη, συρραμμένη με την ομάδα 5), ή πολύ περισσότερο, στο ίδιο φύλλο. (Ο λόγος για αυτό τον κανόνα είναι ότι οι ομάδες ενδέχεται να διορθωθούν από διαφορετικούς διορθωτές.) (γʹ) Τόπος παράδοσης: Παραδίδετε τις εργασίες (με αυτή τη σειρά προτίμησης) Α) στην αρχή ή στο τέλος των διαλέξεων (όχι κατά τη διάρκειά τους!), ή Β) στο ταχυδρομικό κουτί του διδάσκοντα (βρίσκεται έξω από το γραφείο του) ή Γ) στον ίδιο το διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Μπορείτε να δώσετε τις εργασίες σας σε κάποιον άλλο για να τις παραδώσει. (δʹ) Παραδίδετε ιδιοχείρως την ομάδα μέχρι τις 17:00μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. 5. Ηλεκτρονική παράδοση: 1
(αʹ) Η ηλεκτρονική παράδοση γίνεται αποκλειστικά μέσω του ειδικού εργαλείου του eclass, και όχι με αποστολή email στο διδάσκοντα. (βʹ) Δεκτά είναι μόνο σκαναρισμένα ή δακτυλογραφημένα έγγραφα (με χρήση MS WORD κτλ.), και όχι, για παράδειγμα, φωτογραφίες. (γʹ) Αποφύγετε πάντως την δακτυλογράφηση των εργασιών. Μπορείτε να αξιοποιήσετε τον πεπερασμένο χρόνο σας πολύ καλύτερα. (δʹ) Παραδίδετε για κάθε εργασία ένα μόνο ασυμπίεστο αρχείο PDF ή doc μεγέθους το πολύ 3MB με ονομασία τον αριθμό μητρώου σας και τίποτα άλλο (π.χ. 3030666.pdf). (εʹ) Μην αφήνετε σχόλια στο eclass μέσω του σχετικού εργαλείου, εκτός αν είναι απόλυτη ανάγκη. (ϛʹ) Προσοχή: ενδέχεται η δυνατότητα ηλεκτρονικής υποβολής των ασκήσεων μέσω του αντίστοιχου εργαλείου του eclass να ενεργοποιηθεί λίγες μόνο μέρες πριν την καταληκτική προθεσμία παράδοσης, και αρκετά μετά την ανακοίνωση αυτής της προθεσμίας. (ζʹ) Καταληκτική ώρα παράδοσης: Παραδίδετε ηλεκτρονικά την ομάδα μέχρι τις 11:59μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. (ηʹ) ΔΕΝ ΘΑ ΓΙΝΟΥΝ ΔΕΚΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΝ ΣΟΒΑΡΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΩ ΟΔΗΓΙΕΣ. Αυτές οι εργασίες θα πρέπει να παραδοθούν ξανά, ιδιοχείρως, και εκπρόθεσμα. 6. Αλλαγές στην ημέρα παράδοσης: (αʹ) Σε περίπτωση που η καταληκτική ημέρα παράδοσης μιας ομάδας ασκήσεων είναι ημέρα διάλεξης και η διάλεξη ακυρωθεί ή αναβληθεί, η υποβολή της ομάδας μετατίθεται αυτόματα για την ημέρα της επόμενης διάλεξης, χωρίς να προηγηθεί ανακοίνωση από τον διδάσκοντα. (βʹ) Μπορείτε να καθυστερήσετε την παράδοση των ομάδων ασκήσεων, χωρίς επίπτωση, βάσει του ακόλουθου κανόνα: Μπορείτε να καθυστερήσετε το πολύ ΜΙΑ ομάδα ασκήσεων, και να την παραδώσετε όταν θα παραδίδατε και την επόμενή της, αν οι ημερομηνίες παράδοσής τους διαφέρουν, ή την πρώτη που ακολουθεί με διαφορετική ημερομηνία παράδοσης, αν η ημερομηνία παράδοσής τους είναι κοινή. Επομένως, αν η ομάδα i έχει ημερομηνία παράδοσης την X i και η ομάδα i + 1 έχει ημερομηνία παράδοσης την X i+1, τότε μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα i στην ημερομηνία X i+1, εφόσον X i+1 > X i, αλλιώς στο πρώτο X k > X i. ΟΜΩΣ, δεν μπορείτε να παραδώσετε μια ομάδα σε κάποια ημερομηνία X l > X k > X i. (γʹ) Μην ζητήσετε παράταση εκ των προτέρων: απλώς ο διορθωτής θα δει ότι παραδώσατε καθυστερημένα την ομάδα. Οι ομάδες ασκήσεων που παραδίδονται εκπρόθεσμα παραδίδονται όπως και οι άλλες. 7. Διόρθωση: (αʹ) Η διόρθωση θα είναι πρόχειρη, λόγω έλλειψης ανθρώπινων πόρων. (βʹ) Αν οι πράξεις που απαιτούνται για να προκύψει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα είναι αρκετές, μπορείτε να δώσετε το εν λόγω αποτέλεσμα ως έκφραση που περιέχει παραγοντικά, συνδυασμούς, γινόμενα με πολλούς παράγοντες, αθροίσματα με πολλούς όρους, κτλ., χωρίς καμία βαθμολογική απώλεια. (γʹ) Όλες οι ομάδες ασκήσεων έχουν την ίδια βαρύτητα. Όχι όμως και όλες οι ασκήσεις σε μια ομάδα. 8. Επιστροφή διορθωμένων εργασιών και ανακοίνωση βαθμολογίας: (αʹ) Οι εργασίες θα διορθώνονται με καθυστέρηση τουλάχιστον ενός μήνα από την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. (βʹ) Οι διορθωμένες εργασίες θα διατίθενται για παραλαβή στο τραπεζάκι έξω από το γραφείο του διδάσκοντα, και η βαθμολογία θα αναρτάται περιοδικά στα έγγραφα του eclass. Στο τέλος του εξαμήνου, όσες δεν παραληφθούν από τους συγγραφείς τους θα ανακυκλωθούν. (γʹ) Αν έχετε ενστάσεις σχετικά με τη διόρθωση, ελάτε με την διορθωμένη ομάδα σας σε ώρες γραφείου του διδάσκοντα. (δʹ) Αν δεν μπορείτε να βρείτε την βαθμολογία της εργασίας σας στο σχετικό έγγραφο, αναζητήστε τη στις διορθωμένες, και δώστε τη στον διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Αν δεν υπάρχει στις διορθωμένες (και μόνο τότε) ενημερώστε τον διδάσκοντα. 9. Συνεργασία: (αʹ) Μπορείτε να συνεργαστείτε όσο θέλετε, και να ανταλλάξετε προφορικά ιδέες, ακόμα και λύσεις. 2
(βʹ) Αρκεί ο καθένας να γράψει μόνος του την λύση του, και να καταλαβαίνει τι γράφει. (γʹ) Εργασίες εμφανώς αντιγραμμένες θα μηδενίζονται, και όλο το bonus του συγγραφέα τους θα τίθεται αμετάκλητα στο μηδέν. Επομένως, άλλες εργασίες που έχει ήδη παραδώσει ή θα παραδώσει στο μέλλον δεν θα έχουν επίδραση στο τελικό του βαθμό. (δʹ) Απαγορεύεται να δείτε λύσεις ασκήσεων παλαιοτέρων ετών ή λύσεις των ίδιων ασκήσεων από το διαδίκτυο. 10. Σημαντικά σχόλια: (αʹ) Προσπαθήστε να είστε κατά το δυνατόν σαφείς στις λύσεις σας. Δεν βοηθά μόνο τους διορθωτές, αλλά και εσάς να οργανώνετε τη σκέψη σας καλύτερα. (βʹ) Ενημερώστε άμεσα τον διδάσκοντα σε περίπτωση εύρεσης λάθους είτε στις εκφωνήσεις είτε στις λύσεις. (γʹ) Ενημερώστε τον διδάσκοντα αν η παράδοση μιας ομάδας ασκήσεων συμπίπτει με την παράδοση ασκήσεων άλλων μαθημάτων του ίδιου εξαμήνου. (Ενδεχομένως να υπάρξει αλλαγή, αν η ύλη το επιτρέπει.) (δʹ) Για την εύρυθμη λειτουργία του μαθήματος, προσπαθήστε να τηρήσετε κατά το δυνατόν όλες τις άνω οδηγίες. (εʹ) Βλέπετε το dias mail σας. Το έχετε για να επικοινωνούν μαζί σας οι διδάσκοντες, εκτός των άλλων και όταν υπάρχει πρόβλημα με την παράδοση κάποιας εργασίας. 3
1η Ομάδα Ασκήσεων 1. (Ισότητα συνόλων) Να δείξετε ότι A ( i=1b i ) = i=1 (A B i ). 2. (Τρία ενδεχόμενα Έστω A, B, C τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Βρείτε κατάλληλες εκφράσεις για τα ενδεχόμενα: (αʹ) Πραγματοποίηση μόνο του B. (βʹ) Πραγματοποιήθηκαν το A και το B αλλά όχι το C. (γʹ) Τουλάχιστον ένα από τα συγκεκριμένα ενδεχόμενα πραγματοποιείται. (δʹ) Τουλάχιστον δύο από τα ενδεχόμενα πραγματοποιούνται. (εʹ) Και τα τρία ενδεχόμενα πραγματοποιούνται. (ϛʹ) Κανένα από τα ενδεχόμενα δεν πραγματοποιείται. (ζʹ) Το πολύ ένα πραγματοποιείται. (ηʹ) Το πολύ δύο πραγματοποιούνται. 3. (Συρτάρι) Σε ένα συρτάρι έχουμε 4 μαρκαδόρους, δύο που γράφουν μπλε και δυο που γράφουν κόκκινα. (αʹ) Αφαιρούμε στην τύχη από το συρτάρι έναν έναν τους μαρκαδόρους (εννοείται χωρίς επανάθεση), μέχρι να βρούμε έναν μπλε. Υποθέτουμε ότι όλοι οι μαρκαδόροι διαφέρουν στην όψη, και μας ενδιαφέρει ποιος επιλέχθηκε κάθε φορά. Κατασκευάστε ένα δειγματικό χώρο που να περιγράφει το πείραμα. (βʹ) Έστω πως επαναλαμβάνουμε το πείραμα του προηγούμενου σκέλους, αλλά οι μαρκαδόροι είναι εξωτερικά πανομοιότυποι (πέραν του ότι 2 γράφουν μπλε και 2 γράφουν κόκκινα). Κατασκευάστε ένα δειγματικό χώρο που να περιγράφει το πείραμα. (γʹ) Αφαιρούμε στην τύχη από το συρτάρι έναν έναν τους μαρκαδόρους (εννοείται χωρίς επανάθεση), μέχρι να βρούμε και τους δύο που γράφουν μπλε. Υποθέτουμε ότι οι μαρκαδόροι διαφέρουν στην όψη (αλλά δεν ξέρουμε ποιος γράφει μπλε και ποιος κόκκινα), και μας ενδιαφέρει ποιος επιλέχθηκε κάθε φορά. Κατασκευάστε ένα δειγματικό χώρο που να περιγράφει το πείραμα. (δʹ) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα του προηγούμενου σκέλους, αλλά οι μαρκαδόροι είναι πανομοιότυποι (πέραν του ότι 2 γράφουν μπλε και 2 γράφουν κόκκινα). Κατασκευάστε ένα δειγματικό χώρο που να περιγράφει το πείραμα. 4. (Υπολογιστές) Σε κάποιο εργαστήριο υπάρχουν 10 PC που τρέχουν Windows, 8 PC που τρέχουν Linux, και 22 MAC που τρέχουν όλα Linux. Επιλέγουμε ένα υπολογιστή στην τύχη, χωρίς να δείχνουμε προτίμηση σε κάποιον υπολογιστή. (αʹ) Ποια η πιθανότητα να τρέχει Linux; (βʹ) Ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι PC ή να τρέχει Linux; 5. (Κουτί) Ένα κουτί περιέχει μία κόκκινη (R) μία μπλε (B) και μία πράσινη (G) σφαίρα. Θεωρήστε ένα πείραμα κατά το οποίο επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί, και αφού την επανατοποθετήσουμε στο κουτί επιλέγουμε τυχαία άλλη μία σφαίρα. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος; Αν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, ποια είναι η πιθανότητα εκλογής μίας τουλάχιστον κόκκινης σφαίρας στις δύο δοκιμές; Απαντήστε τα άνω εκ νέου, υποθέτοντας ότι η πρώτη σφαίρα δεν επανατοποθετείται στο κουτί. 6. (Ξένα ενδεχόμενα) Δείξτε ότι εάν P (A B) = P (A) + P (B) για οποιαδήποτε ξένα A, B, τότε P ( ) = 0. Μην χρησιμοποιήσετε άλλη ιδιότητα ή αξίωμα των πιθανοτήτων πέραν της δοσμένης. 7. (Παιχνίδι) Δύο παίκτες A και B παίζουν το εξής παιχνίδι: Ένα δίκαιο κέρμα ρίχνεται 3 φορές. Έπειτα, ρίχνεται ένα δίκαιο ζάρι. Κερδίζει ο παίκτης A όταν το πλήθος των φορών που εμφανίστηκαν κορώνες και το αποτέλεσμα του ζαριού είναι και οι δύο ζυγοί ή και οι δύο μονοί αριθμοί. Σε διαφορετική περίπτωση, κερδίζει ο παίκτης B. (Π.χ., κερδίζει ο B εάν έρθουν 2 κορώνες και το ζάρι είναι 5.) Προτείνετε ένα δειγματικό χώρο και μέτρο πιθανότητας που να αναπαριστά το παιχνίδι αυτό, και υπολογίστε την πιθανότητα εμφάνισης κάθε αποτελέσματος. Είναι δίκαιο το παιχνίδι; 8. (Άσοι) Μοιράζουμε στην τύχη 10 φύλλα από μια συνηθισμένη τράπουλα 52 φύλλων. Ποια η πιθανότητα να περιέχει η μοιρασιά: 4
(αʹ) κανέναν άσσο; (βʹ) το πολύ τρεις άσσους; (γʹ) τουλάχιστον έναν άσο και τουλάχιστον μια φιγούρα (δηλαδή βαλέ, ντάμα, ή ρήγα); 9. (Κάλπη) Μια κάλπη περιέχει 1000 μπάλες από τις οποίες οι 25 μαύρες, οι 30 άσπρες, και οι 945 κόκκινες. Επιλέγουμε τυχαία 15 μπάλες από την κάλπη. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει (αʹ) ακριβώς 3 κόκκινες; (βʹ) ακριβώς 2 μαύρες και 3 άσπρες; (γʹ) ακριβώς 4 κόκκινες και τουλάχιστον 2 μαύρες; 10. (Κι άλλη κάλπη) Επιλέγουμε διαδοχικά χωρίς επανάθεση 5 μπάλες από μια κάλπη με 60 μπάλες αριθμημένες 1,..., 60. Έστω ότι οι ενδείξεις τους είναι k 1, k 2,..., k 5, με την σειρά με την οποία εξάγονται. (αʹ) Ποια η πιθανότητα να ισχύει k 1 < k 2 < k 3 < k 4 < k 5 ; (βʹ) Ποια η πιθανότητα να ισχύει k 5 > max{k 1, k 2, k 3, k 4 }; 11. (Φοιτητές) Ένα λεωφορείο ξεκινάει από την αφετηρία με k φοιτητές και περνάει από n στάσεις. (αʹ) Να κατασκευαστεί δειγματικός χώρος για τις δυνατές αποβιβάσεις των φοιτητών, και να υπολογισθεί ο αριθμός των δυνατών αυτών αποβιβάσεων. (βʹ) Να υπολογισθεί η πιθανότητα τουλάχιστον σε μια στάση να αποβιβαστούν περισσότεροι από ένας φοιτητές. 12. (Βιβλία) Σε ένα ράφι τοποθετούνται με τυχαία σειρά 6 βιβλία μαθηματικών, 4 βιβλία φυσικής, 3 βιβλία ιστορίας, 5 βιβλία ξένων γλωσσών, και 2 λεξικά. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα βιβλία του ίδιου είδους να τοποθετηθούν μαζί; 13. (Τράπουλα) Ποια η πιθανότητα τραβώντας 5 φύλλα στην τύχη από μια τράπουλα να φέρετε: (αʹ) Άσο μπαστούνι, δηλαδή να περιέχεται το φύλλο A. (βʹ) Οποιονδήποτε άσο ανάμεσα στα φύλλα σας. (γʹ) Φουλ του άσου, δηλαδή 3 άσους και τα υπόλοιπα 2 φύλλα να είναι όμοια (π.χ., 2 ντάμες). Υποθέστε ότι όλοι οι συνδυασμοί 5 φύλλων είναι ισοπίθανοι. 14. (Διαδικασίες) Σε ένα δίκτυο τριών υπολογιστών πρέπει να εκτελεστούν 6 διαδικασίες: 4 που είναι υπολογιστικά εύκολες και 2 δύσκολες. Η κατανομή γίνεται τυχαία, και κάθε υπολογιστής εκτελεί 2 διαδικασίες. Ποια η πιθανότητα: (αʹ) του ενδεχόμενου A ο πρώτος υπολογιστής να πάρει και τις 2 δύσκολες; (βʹ) του ενδεχόμενου B κάθε υπολογιστής να πάρει τουλάχιστον μια εύκολη; 15. (Μεταθέσεις με μπάλες) Πόσες δυνατές διακριτές μεταθέσεις υπάρχουν ανάμεσα σε 4 κόκκινες μπάλες, 2 λευκές και 3 μαύρες; Εννοείται ότι μπάλες ιδίου χρώματος είναι εντελώς όμοιες μεταξύ τους, και προφανώς η μετάθεση δεν θα αλλάξει αν αλλάξουν δύο μπάλες ίδιου χρώματος θέση μεταξύ τους. 5