Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 11: Δείκτης Κερδοφορίας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες των δεικτών κερδοφορίας. 4
Περιεχόμενα ενότητας Δείκτες κερδοφορίας. Σχετικά παραδείγματα-ασκήσεις. 5
Δείκτης κερδοφορίας Eνα τρίτο κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων είναι ο δείκτης κερδοφορίας Profit Index (PI), ή αλλιώς ο λόγος της παρούσας αξίας των εισροών (κερδών) προς την παρούσα αξία των εκροών (κόστος) της επένδυσης Ο τύπος υπολογισμού του δείκτη κερδοφορίας PI είναι: P1 = Παρούσα Αξιών εισροών/ Παρούσα Αξία εκροών = [Κ 1 (1+i) + Κ 2 (1+i) 2 +.] / [C 0 *(1+i) + C 1 + C 2 /(1+i)+ ] Οι επενδυτικές προτάσεις που έχουν δείκτη κερδοφορίας μεγαλύτερο της μονάδας γίνονται αποδεκτές. Στη συνέχεια οι αποδεκτές προτάσεις κατατάσσονται σύμφωνα με το μέγεθος του δείκτη, όσο υψηλότερος ο δείκτης τόσο ανώτερα ιεραρχείται η επενδυτική πρόταση. 6
Δείκτης κερδοφορίας PI P1 = Παρούσα Αξιών εισροών/ Παρούσα Αξία εκροών = [Κ 1 (1+i) + Κ 2 (1+i) 2 +.] / [C 0 *(1+i) + C 1 +(C 2 /(1+i))+ ] Ο δείκτης κερδοφορίας είναι καθαρός αριθμός, δεν εξαρτάται από νομισματικές μονάδες Yποδηλώνει το κέρδος από τη σχετική επένδυση σε κάθε ευρώ επένδυσης. 7
Παράδειγμα 1 (1) 1. Να βρεθεί ο δείκτης κερδοφορίας επένδυσης με βάση τις παρακάτω χρηματοροές και επιτόκιο κινδύνου (κόστος κεφαλαίου) 12%. Πίνακας 1. Δεδομένα παραδείγματος 1 8
Παράδειγμα 1 (2) Λύση Ο δείκτης κερδοφορίας P1 θα υπολογιστεί από τον σχετικό τύπο: P1 = Παρούσα Αξιών εισροών/ Παρούσα Αξία εκροών = [Κ 1 (1+i) + Κ 2 (1+i) 2 +.] / [C 0 *(1+i) + C 1 +(C 2 /(1+i))+ ] Ο αριθμητής της παραπάνω σχέσης αφορά στν παρούσα αξία των εισροών σταθερού όρου R=250 και συνεπώς μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο της ληξιπρόθεσμης ράντας. Αj n = R* (1- (1 / (1+i) n ) / i = 250* (1- (1 / (1+0,12) 5 ) / 0,12 = 250* (1- (1 / 1,762342)) / 0,12 = 250* 0,432573/ 0,12 = 250*3,60 9
Παράδειγμα 1 (3) Αj n = 900 O παρονομαστής της σ χέσης που αφορά στο υπολογισμό της παρούσας αξίας του κόστους της επένδυσης θα υπολογιστεί με τον ανατοκισμό των σχετικών χρηματοροών, δηλαδή C 1 * (1+i) 2 + C 2 *(1+i) 1 + C 3 =-100 *(1,12) 2-200 *(1,12) 1-400 = - 125,44-224-400=749,44 O δείκτης κερδοφορίας μετά την αντικατάσταση αριθμητή και παρονομαστή είναι: P1 = Παρούσα Αξία εισροών / παρούσα Αξία εκροών = 900/749,44=1,2 To αποτέλεσμα 1,2 ερμηνέυεται ως εξής: η επένδυση παράγει, σε παρούσες αξίες, 0,2=(1-1,2) ευρώ κέρδη, ανά ευρώ επένδυσης. 10
Παράδειγμα 2 (1) Να αξιολογηθούν οι παρακάτω επενδυτικές προτάσεις με τα κριτήρια της καθαρής παρούσας αξίας και του δείκτη κερδοφορίας. Το κόστος κεφαλαίου είναι 8%. Πίνακας 2. Δεδομένα παραδείγματος 2 11
Παράδειγμα 2 (2) Λύση Για την ευκολότερη αντικατάσταση των χρηματοροών στους σχετικούς τύπου της Κ.Π.Α. και του PI υπολογίζουμε τις προεξοφλημένες χρηματοροές δηλαδή μεταφέρουμε όλες τις αξίες στο έτος μηδέν. Πίνακας 3. Δεδομένα παραδείγματος 2 12
Παράδειγμα 2 (3) Η K.Π.Α της επένδυσης Α είναι: Κ.Π.Α = Κ 1 (1+i) 2 + Κ 2 (1+i) 3 + + Κ 3 (1+i) 4 + Κ 4 (1+i) 5 + Κ 5 (1+i) 6 C 1 *(1+i) - C 2 - C 3 *(1+i) 1 = 85,7339+79,3832+73,5030+68,0583+63,0170-64,8148-100-54= 150,8806 >0 13
Παράδειγμα 2 (4) Nα σημειωθεί ότι η παρούσα αξία των εισροών Κ 1 (1+i) 2 + Κ 2 (1+i) 3 + Κ 3 (1+i) 4 + Κ 4 (1+i) 5 + Κ 5 (1+i) 6 Θα μπορούσε να αντικατασταθεί από την ισοδύναμη ράντα Α 0,10 5 =[1/ (1+i)] *R* a 0,10 5 Ο συντελεστής 1/ (1+i) μεταφέρει τις χρηματοροές ένα έτος πίσω ώστε η αρχή της ράντας να είναι το τέλος του πρώτου έτους. Η Κ.Π.Α της επένδυσης Β είναι Κ.Π.Α Β =Κ 1 (1+i) 1 + Κ 2 (1+i) 2 + Κ 3 (1+i) 3 + Κ 4 (1+i) 4 + Κ 5 (1+i) 5 +Κ 6 (1+i) 6 - C 1 C 2 *(1+i)= 18,5185 +34,2936 + 47,6299 + 51,4521+47,6408+44,1119-80-108 = 55,6468 >0. Και οι δυο επενδύσεις γίνονται αποδεκτές, καθώς έχουν θετικές παρούσες αξίας, μεταξύ όμως των δυο προκρίνεται η Α, διότι έχει μεγαλύτερη Κ.Π.Α (Κ.Π.Α Α = 150,8806 > 55,6468 = Κ.Π.Α Β ) 14
Παράδειγμα 2 (5) O δείκτης κερδοφορίας της επένδυσης Α είναι : PΙ Α = Παρούσα Αξιών εισροών/ Παρούσα Αξία εκροών = [Κ 1 (1+i) 2 + Κ 2 (1+i) 3 + Κ 3 (1+i) 4 + Κ 4 (1+i) 5 + Κ 5 (1+i) 6 ]/ [C 1 *( 1+i) + C 2 +C 3 *( 1+i) 2 PΙ Α =85,7339 +79,3832 + 73,5030 + 68,0583+63,0170 / 64,8148 +100+54 = 369,6954 / 218,814 = 1,689 Η επένδυση παράγει σε παρούσες αξίες 0,689 ευρώ κέρφη ανά ευρώ επένδυσης. 15
Παράδειγμα 2 (6) O δείκτης κερδοφορίας της επένδυσης Β είναι : PΙ Β = [Κ 1 (1+i) 2 + Κ 2 (1+i) 2 + Κ 3 (1+i) 3 + Κ 4 (1+i) 4 + Κ 5 (1+i) 5 + Κ 6 (1+i) 6 ]/ [C 1 *( 1+i) + C 2 ] PΙ Β =18,5185 +34,2936+47,6299+51,4521+47,6408+44,1119/ 90+108 = 243,65 / 188 = 1,30 Η επένδυση παράγει σε παρούσες αξίες 0,30 ευρώ κέρφη ανά ευρώ επένδυσης. 16
Παράδειγμα 3 (1) 3. Να αξιολογηθούν οι παρακάτω αμοιβαίως αποκλειόμενες επενδυτικές προτάσεις με τα κριτήρια της καθαρλης παρούσας αξίας και του δείκτη κερδοφορίας. Το κόστος κεφαλάιου είναι 10%. Πίνακας 4. Δεδομένα παραδείγματος 3 Λύση Η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης Α είναι, Κ.Π.Α = Κ (1+i) C = 40/1,10-10 = 26,36 >0 Σύμφωνα με την μέθοδο της Κ.Π.Α η επέδνυσης Α θα αυξήσει την περιουσιακή κατάσταση του επενδυτή κατά 26,36 ευρώ 17
Παράδειγμα 3 (2) O δείκτης κερδοφορίας της επένδυσης Α είναι : PΙ Α = Παρούσα Αξιών εισροών/ Παρούσα Αξία εκροών = [Κ (1+i)] C = 36,36 /10 = 3,636 Η επένδυση παράγει σε παρούσες αξίες 2,636 ευρώ κέρδη ανά ευρώ επένδυσης. Η καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης Β είναι Κ.Π.Α Β =Κ (1+i) - C= 2.500 / 1,10-2000= 272,72>0. 18
Παράδειγμα 3 (3) Σύμφωνα με την μέθοδο της Κ.Π.Α. η επένδυση Β θα αυξήσει την περιουσιακή κατάσταση του επενδυτή κατά 272,72 ευρώ. Ο δείκτης κερδοφορίας της επένδυσης Β είναι, PI A = Παρούσα Αξία ειροών / Παρούσα Αξία εκροών = (Κ / (1+i)) / C = 2.272,72 / 2.000 1,136 Η επένδυση παράγει, σε παρούσες αξίες, 0,136 ευρώ κέρδη, ανά ευρώ επένδυσης. 19
Παράδειγμα 3 (4) Τα παραπάνω κριτήρια δεν καταλήγουν στον ίδιο συμπέρασμα. Σύμφωνα με την μέθοδο της καθαρής παρούσας αξίας προτιμάται η επένδυση Β, καθώς αυξάνει την περιουσία του επενδυτή, σε απόλυτους αριθμούς, πολύ περισσότερο από την επένδυση Α (272,72>26,36). 20
Παράδειγμα 3 (5) Αντίθετα, σύμφωνα με τη μέθοδο του δείκτη κερδοφορίας, η επένδυση Α είναι ανώτερης της Β, καθώς η επένδυση Α μετατρέπει το κάθε ένα ευρώ επένδυσης σε 2,636 ευρώ κέρδη (263,6%), ενώ η επένδυση Β μετατρέπει το κάθε ευρώ επένδυσης μόνο σε 0,136 ευρώ κέρδη (13,6%). 21
Βιβλιογραφία Σαριαννίδης, Ν. & Μποντζίδου, Ε. (2010). Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-0-0. Σόρμας, Α. & Σαριαννίδης, Ν. (2010). Οικονομικά Μαθηματικά. ISBN 978-960-92844-2-4. 22