ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclss.ue.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 207 - I. ΜΗΛΗΣ ΔΙΑΙΡΕΙ ΚΑΙ ΒΑΣΙΛΕΥΕ Divie Coquer D&C ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I
Divie & Coquer Διαίρεσε αναδρομικά το πρόβλημα σε όλο και μικρότερα υπο-προβλήματα ~ ίδιου μεταξύ τους μεγέθους Τέλος Αναδρομής: Λύσε τα κατάλληλου μικρού μεγέθους υπο-προβλήματα, σε σταθερό χρόνο Συνδύασε αναδρομικά τις λύσεις των μικρότερων υποπροβλημάτων σε λύσεις μεγαλύτερων και τελικά σε μία λύση του αρχικού προβλήματος ANΕΞΑΡΤΗΤΑ ΥΠΟ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Πολυπλοκότητα: Αναδρομικές σχέσεις ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 2
Biry Serch συνάρτηση BiS A[i..j], Είσοδος:Ταξινοµηµένος πίνακας κλειδιών Α[i..j], κλειδί Έξοδος: H θέση του στον Α αν υπάρχει, διαφορετικά il if i>j: retur il ë i j / 2û O if A[]: retur If <A[]: retur BiSA[i, -], T/2 else: retur BiSA[..j], Αρχική κλήση: BiSA[..], ì, if T í Þ T O ît / 2 O, if > ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 3
Iteger Multiplictio 2 αριθμοί των its ********** x ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********* ********* ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Θ 2 ******************* ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 4
Iteger Multiplictio Divie Coquer /2 its /2 its x 2 /2 y c c 2 /2 x y 2 /2 c 2 /2 c 2 c 2 /2 Διαδικασία ItMultx,y Είσοδος: Θετικοί ακέραιοι x, y των its Έξοδος: το γινόµενο xy if : retur xy /2 leftost its of x, /2 rightost its of x c /2 leftost its of y, /2 rightost its of y P ItMult,c, P 2 ItMult, P 3 ItMult,c, P 4 ItMult, retur P 2 P 2 P 3 2 /2 P 4 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 5
Iteger Multiplictio Διαδικασία ItMultx,y Είσοδος: Θετικοί ακέραιοι x, y των its Έξοδος: το γινόµενο xy if : retur xy /2 leftost its of x, /2 rightost its of x c /2 leftost its of y, /2 rightost its of y P ItMult,c, P 2 ItMult, P 3 ItMult,c, P 4 ItMult, 4 T/2 retur P 2 P 2 P 3 2 /2 P 4 O ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 4 πολλαπλασιασμοί αριθμών των /2 its 4Τ/2 2 πολλαπλασιασμοί με δυνάμεις του 2 O 3 προσθέσεις αριθμών των its O ì, if T í Þ T î4t / 2 O, if > O ΟΤΙ ΞΕΡΑΜΕ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 6 2
Iteger Multiplictio Divie Coquer /2 its /2 its x 2 /2 y c c 2 /2 x y 2 /2 c 2 /2 c 2 c 2 /2 Guss equtio : c c - c - x y 2 /2 c 2 /2 c 2 c 2 /2 c 2 [c c ] 2 /2 P c P 2 [P 3 -P P 2 ] 2 /2 P P 2 2 c [Krtsu, 962] ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 7 P 3
Iteger Multiplictio Διαδικασία ItMult2x,y Είσοδος: Θετικοί ακέραιοι x, y των its Έξοδος: το γινόµενο xy if : retur xy /2 leftost its of x, /2 rightost its of x c /2 leftost its of y, /2 rightost its of y P ItMult2,c, P 2 ItMult2, 3 T/2 P 3 ItMult2,c retur P 2 P 3 -P P 2 2 /2 P 2 O ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 3 πολλαπλασιασμοί αριθμών των /2 its Τ/2 2 πολλαπλασιασμοί με δυνάμεις του 2 O 6 προσθέσεις αριθμών των its O ì, if 3 T í Þ T O 2 î3t / 2 O, if > O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 8.59 TΩΡΑ ΑΞΙΖΕ ΤΟΝ ΚΟΠΟ
Mtrix Multiplictio ΕΙΣΟΔΟΣ: X και Y: x πίνακες ΕΞΟΔΟΣ ZX Y ij Z å X i Y j Coplexity: O 3 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 9
Mtrix Multiplictio Divie Coquer A, B,C,D,E,F,G,H, AEBG, AFBH,CEDG,CFDH: trices /2 x /2 ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 8 πολλαπλασιασμοί πινάκων /2 x /2 8 Τ/2 4 προσθέσεις πινάκων /2 x /2 O 2 ì, if T í Þ T O 2 î8t / 2 O, if > ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 0 3 ΟΤΙ ΞΕΡΑΜΕ
Mtrix Multiplictio: Strsse s Algorith όπου [Strsse, 969] 7 πολλαπλασιασμοί πινάκων /2 x /2 8 προσθέσεις πινάκων /2 x /2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I
Mtrix Multiplictio: Strsse s Algorith ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 7 πολλαπλασιασμοί πινάκων /2 x /2 7 Τ/2 8 προσθέσεις πινάκων /2 x /2 O 2 ì, if 2 7 T í Þ T O O 2 î7t / 2 O, if > ΓΙΝΕΤΑΙ ΚΑΛΥΤΕΡΑ? ΝΑΙ! O 2.376! For 00 3 is,000,000 2.808 is 43,048 2.376 is 56,494 2.808 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 2
Mster* Theore If T T, > 0, >, ³ 0, the :, T ìo ío îo,,, if if if > < > < Copre ~ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 3
å å - Þ - T T T T T T 0 0 2 3 2 2 3 2!!!!!! Proof of Mster* Theore ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 4
Proof of Mster* Theore Level : Wor for level : suproles, ech of size / ö ø Totl wor for ll levels: T æ ç è æ ç è 0 ö ø å æ ç è ö ø ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 5
å T 0 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 6 > < iii ii i Proof of Mster* Theore Geoetric series with rtio Three cses:
Cse i: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 7 > < 0 0 O T - å å Proof of Mster* Theore 0 0 O T å å Cse ii:
Cse iii: ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 8 x < > 0 O O O O O O x O x x T ø ö ç ç è æ ø ö ç ç è æ ø ö ç ç è æ ø ö ç è æ - - å Proof of Mster* Theore
Mster* Theore - Exples T 9T/3 9, 3, 3 92 < 2 cse iii pplies: T T2/3, 3/2, 3/2 0 0 cse ii pplies: T 5T/25 2 5, 25, 25 50.5 2 > 0.5 cse i pplies: T O 2 O 0 O T O 3/ 2 T O 2 O ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 9
Mster Theore If T T/ f the ì Q T íq Q î f,,, if f O if f Q if f W f / - e e < for lrge cf ü ³ > ý e > 0 c < þ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 207 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 04 - DIVIDE & CONQUER I 20