Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της σε απόσταση h. i) Να δείξετε ότι αν h=r/5, τότε η σφαίρα θα κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο. ii) Να βρείτε την κινητική ενέργεια της σφαίρας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=R /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνo Δt (Δt ) που ενεργεί στην σφαίρα η κρουστική οριζόντια δύναµη F, αυτή δέχεται ακόµη το βάρος της w και την δύναµη επαφής N από το λείο οριζόντιο επίπεδο η οποία κατευθύνεται κατακό ρυφα προς τα πάνω και εξουδετερώνει το βάρος w. Εφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-ορµής και το θεώρηµα µεταβολής της στροφορµής, παίρνουµε τις σχέσεις: Ft = v $ Fht = I" % Ft = v $ FRt/5 = R " /5 % Ft = v $ Ft= R" % (1) Σχήµα 1 όπου v, η ταχύτητα του κέντρου µάζας C της σφαίρας και η γωνιακή ταχύ τητα περιστροφής της σφαίρας περί το κέντρο µάζας, αµέσως µετά την δράση της F. Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) παίρνουµε: 1 = v / R v = R () Η σχέση () εξασφαλίζει ότι η σφαίρα θα ξεκινήσει την κίνησή της στο οριζόντιο επίπεδο κυλιόµενη πάνω σ αυτό προς την κατεύθυνση της δύναµης F.
ii) H κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι ίση µε το άθροισµα της κινητικής της ενέργειας λόγω µεταφορικής κίνησης και της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφικής κίνησης, δηλαδή ισχύει: K = v + I = v + R 1 K = v + v 1 = 7v 1 (3) Εξάλλου η πρώτη εκ των σχέσεων (1) γράφεται: = v v = / οπότε η (3) παίρνει την µορφή: K = 7 1 = 7 1 P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µάζας και µήκους L, µπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξο να που διέρχεται από το ένα άκρο της Α. Η ράβδος κρατείται σε ορι ζόντια θέση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. i) Nα βρεθεί η δύναµη που εξασκεί στην ράβδο ο άξονας περιστροφής της κατά την έναρξη της κινήσεώς της. ii) Nα βρεθεί η αντίστοιχη δύναµη την στιγµή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδρά νειας Ι=L /3 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος προς αυτήν. ΛΥΣΗ: i) Την χρονική στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελέυθερη το κέντρο µάζας της έχει µηδενική ταχύτητα, που σηµαίνει ότι δέχεται µηδενική κεντρο µόλο δύναµη. Επειδή το βάρος w της ράβδου αποτελεί κατακόρυφη δύναµη Σχήµα δεν συµετέχει στην διαµόρφωση κεντροµόλου δύναµης για το κέντρο µάζας και το γεγονός αυτό µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι η δύναµη F που δέχεται η
ράβδος από τον άξονα περιστροφής τη στιγµή t= είναι κατακόρυφη (σχήµα ). Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση: I'= w L L 3 '= g L '= 3g L όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση εκκίνησης της ράβδου. Όµως το κέντρο µάζας της ράβδου κατά στιγµή t= έχει επιτρόχια επιτάχυνση a C και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει: g + F = a C g + F = L ' (1) (1) F = -g + L 3g L 3g F = -g + 4 = - g 4 όπου F η αλγεβρική τιµή της δύναµης F, η οποία είναι αρνητική, δηλαδή η δύναµη κατευθύνεται αντίθετα προς την θετική φορά του άξονα Αy. ii) Την χρονική στιγµή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη µηδενίζεται η γωνι ακή της επιτάχυνση, δηλαδή µηδενίζεται η επιτρόχια επιτάχυνση του κέντρου µάζας της ράβδου, που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή όλες οι δυνάµεις που δέχεται η ράβδος αναγόµενες στο κέντρο µάζας της δίνουν συνισταµένη που αποτελεί κεντροµόλο δύναµη. Αυτό σηµαίνει ότι η δύναµη F από τον άξονα περιστροφής της ράβδου είναι πάλι κατακόρυφη, ώστε µάζι µε το βάρος της να διαµορφώνουν για το κέντρο µάζας κεντροµόλο επιτάχυνση a C που κατευθύνε ται προς το άκρο Α (σχήµα 3). Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας στην θέση αυτή τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε: F + g = a C F +g = L/ (3) () Σχήµα 3 όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Για τον υπολογισµό του µέτρου της εφαρµόζουµε για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεως που την εξετάζου µε, οπότε θα έχουµε:
K + U = I - g L = L 3 - gl = = 3g L (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: F +g = 3g L L 3g F = - g + = g (5) δηλαδή στην περίπτωση αυτή η δύναµη κατευθύνεται προς την θετική φορά του άξονα Αy. P.M. fysikos Oριζόντιος δίσκος µάζας M, είναι στερεωµένος στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο στο οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα (4). Πάνω στον δίσκο βρίσκεται µικρό σώµα µάζας, το οποίο ισορροπεί. Συµπιέζουµε το ελατήριο κατά x από τη θέση ισορροπίας του και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. i) Nα δείξετε ότι, αν ισχύει η σχέση: x (M + )g/k το σώµα εκτελεί κατακόρυφη αρµονική ταλάντωση, χωρίς να χάνει την επαφή του µε τον δίσκο. ii) Εάν x =(M+)g/k να βρείτε την ταχύτητα του µικρού σώµατος την στιγµή που θα αποσπασθεί από τον δίσκο. iii) Nα βρείτε την µέγιστη απόσταση του δίσκου από την κατώτατη θέση του, που αντιστοιχεί στην αρχική συµπίεση του ελατηρίου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Eξετάζουµε το σώµα σε µια τυχαία θέση, στην οποία η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας είναι x. Στη θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του g και την δύναµη F από τον δίσκο. Mε την προϋπόθεση ότι το σώµα παρακολουθεί την ταλάντωση του δίσκου, οι αλγεβρικές τιµές των δυνάµεων αυτών, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, θα ικανοποιούν τη σχέση: F g = a F = g ω x (1) όπου a η επιτάχυνση του συστήµατος σώµα-δίσκος, της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι ίση µε ω x. Όµως η κυκλική συχνότητα ω της α.α.τ. που εκτελεί το σύστηµα ικανοποιεί την σχέση:
k = (M + ) = k/(m + ) οπότε η (1) γράφεται: F = g - kx M + µε - x x +x () Σχήµα 4 Σχήµα 5 Για x=-x (κατώτατη θέση του συστήµατος) η F παίρνει την µεγαλύτερή της τιµή. F ax, για τη οποία ισχύει: F ax = g + kx M + (3) Για x=+x (ανώτατη θέση του συστήµατος) η F παίρνει την µικρότερη τιµή της F in για την οποία ισχύει: F in = g - kx M + (4) Για να µη χάνει το σώµα την επαφή του µε τον δίσκο πρέπει F in, η οποία λόγω της (4) δίνει: g - kx M + x (M + )g k (5) ii) Εάν η συµπίεση x του ελατηρίου είναι (Μ+)g/k, τότε το σώµα θα χάσει την επαφή του µε τον δίσκο και αυτό θα συµβεί στην θέση x * που µηδενίζεται η δύναµη F, δηλαδή στην θέση αυτή θα ισχύει: g = kx * M + x g(m + ) * = k (6)
To µέτρο της ταχύτητας v * του σώµατος στη θέση αυτή υπολογίζεται από την σχέση: v * = x - x * (6) v * = k M + x - g (M + ) (7) iii) Όταν το σώµα αποσπασθεί από τον δίσκο αυτός θα εξακολουθήσει ταλαν τούµενος περί νέα θέση ισορροπίας O (σχήµα 5) που βρίσκεται πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας Ο σε απόσταση Ο Ο=α, για την οποία ισχύει: k = g = g/k (8) Εάν ω είναι η νέα κυκλική συχνότητα της α.α.τ. που εκτελεί ο δίσκος και x το νέο πλάτος ταλάντωσής του, θα ισχύει και η σχέση: v * = ' x' -x' * v * = ' x' - (x * - ) (9) όπου x ' * η αποµάκρυσση του δίσκου από την νέα θέση ισορροπίας του Ο, την στιγµή που το σώµα αποσπάται από αυτόν. Η σχέση (9), λόγω της (7) γράφεται: k M + x - g (M + ) = k M x' - (x * - ) M M + x - g (M + ) (8) $ " & = x' - (x * - ') % M M + x - g (M + ) $ ' " & = x' - Mg * ), % ( k + x' = M M + x - g (M + ) $ ' " & + Mg * ), % ( k + (1) Από την (1) υπόλογίζεται το x η δε ζητούµενη απόσταση h ax είναι: h ax = x + + x' = x + g/k + x' P.M. fysikos Δύο δίσκοι Δ 1 και Δ µε αντίστοιχες µάζες 1 και είναι στερεωµένοι στις άκρες ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατη ρίου σταθεράς k. Το σύστηµα ισορροπεί ώστε ο δίσκος Δ 1 να εφάπτε ται σε οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα (6). Μετακινούµε τον δίσκο Δ προς τα κάτω κατά x και τον αφήνουµε ελεύθερο. i) Nα βρείτε την συνθήκη, ώστε ο δίσκος Δ 1 να εγκαταλείψει το ορι ζόντιο έδαφος.
ii) Nα βρείτε την ταχύτητα του δίσκου Δ την στιγµή που ο Δ 1 εγκατα λείπει το έδαφος και την αντίστοιχη βαρυτική του δυναµική ενέργεια ως προς το έδαφος. Δίνεται το φυσικό µήκος L του ελατηρίου και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Στην θέση ισορροπίας Ο του δίσκου Δ το ελατήριο είναι συµπιεσµέ νο κατά x, από την φυσική του κατάσταση και ισχύει η σχέση: g = kx x = g/k (1) Aς δεχθούµε ότι η επιπλέον συµπίεση x του ελατηρίου είναι τέτοια, ώστε σε κάποια θέση του δίσκου Δ ο δίσκος Δ 1 να χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος που σηµαίνει ότι την στιγµή αυτή µηδενίζεται η δύναµη που δέχεται ο Σχήµα 6 δίσκος αυτός από το έδαφος. Όµως ελαχιστα λίγο πριν συµβεί αυτό, ο δίσκος Δ 1 ισορροπούσε υπό την επίδραση του βάρους του 1 g και της δύναµης F ' " από το ελατήριο, δηλαδή η F ' " έχει φορά προς τα πάνω, οπότε το ελατήριο την στιγ µή που αποσπάται ο δίσκος Δ 1 από το έδαφος είναι τεντωµένο κατά x 1 από την φυσική του κατάσταση και θα ισχύει η σχέση: 1 g = kx 1 x 1 = 1 g/k () Mε βάση τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι την στιγµή που αποσπάται ο δίσκος Δ 1 ο άλλος δίσκος Δ βρίσκεται πάνω από την θέση ισορροπίας του Ο και η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσής του x * ικανοποιεί την σχέση: (1),() x * = x 1 + x x * = 1 g/k + g /k = g( 1 + )/k (3) H αναγκαία λοιπόν συνθήκη που εξασφαλίζει την απόσπαση του δίσκου Δ 1 από
το έδαφος είναι η ανισότητα: (3) x > x * x > g( 1 + )/k (4) ii) Mέχρις ότου αποσπασθεί ο δίσκος Δ 1 ο άλλος δίσκος Δ εκτελεί κατακόρυφη α.α.τ. µε σταθερά ταλάντωσης ίση προς την σταθερά k του ελατηρίου και εποµέ νως το µέτρο της ταχύτητάς του v * την στιγµή που ο Δ 1 χάνει την επαφή του µε το έδαφος, θα δίνεται από τη σχέση: v * = x - x * (3) v * = k x - g ( 1 + ) 1 v * = kx - g ( 1 + ) 1 k v * = k x - g ( 1 + ) 1 k (5) 1 Η αντίστοιχη βαρυτική δυναµική ενέργεια U του δίσκου Δ δίνεται από τη σχέ ση: () U = g(l + x 1 ) U = g(l + 1 g/k) (6) P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (7) τα κατακόρυφα ελατήρια ε 1 και ε είναι ιδανικά µε αντίστοιχες σταθερές, τα δε σφαιρίδια είναι ελαστικά έχουν την ίδια µάζα και στην θέση ισορ ροπίας του συστήµατος µόλις εφάπτονται. Εκτρέπουµε το πάνω σφαι ρίδιο κατακόρυφα, ώστε το αντίστοιχο ελατήριο ε 1 να αποκτήσει το φυσικό του µήκος και το αφήνουµε ελεύθερο. i) Να δείξετε ότι το φαινόµενο που ακολουθεί είναι περιοδικό και να υπολογίσετε την περίοδό του. ii) Λαµβάνοντας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα πανω, να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το πάνω σφαιρίδιο από την στιγµή που αφήνεται ελευθερο µεχρις ότου συγκρουσθεί για πρώτη φορά µε το κάτω σφαιρίδιο εκτελεί τµήµα κατακό ρυφης α.α.τ. που διαρκεί χρονο t 1, για τον οποίο ισχύει η σχέση: t 1 = T1 4 = 4 = (1) Επειδή τα δύο σφαιρίδια έχουν την ίδια µάζα και συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, ανταλλάσουν τις ταχύτητές τους, δηλαδή το πάνω σφαιρίδιο ακινητο ποιείται ενώ το κάτω σφαιρίδιο αποκτά αµέσως µετά την κρούση τάχυτητα v,
ίση µε την ταχύτητα v 1, του πάνω σφαιριδίου λίγο πριν την κρούση. Στην συ νέχεια το κάτω σφαιρίδιο εκτελεί τµήµα κατακόρυφης α.α.τ. η οποία έχει διάρ κεια t, για την οποία ισχύει: t = T = = () Σχήµα 7 Όταν το σφαιρίδιο αυτό επιστρέψει στην θέση ισορροπίας του θα συγκρουσθεί κεντρικά και ελαστικά µε το πρώτο σφαιρίδιο µε αποτέλεσµα να ακινητοποιη θεί, ενώ το πρώτο θα αποκτήσει ταχύτητα - v 1, και θα φθάσει στην θέση από την οποία αρχικά αφέθηκε ελεύθερο µετά από χρόνο t 3, για τον οποίο ισχύει: t 3 = T 1 4 = 4 = (3) Στην συνέχεια το φαινόµενο θα επαναληφθεί το ίδιο εξ αρχής, δηλαδή κατά περιοδικό τροπο µε περίοδο: T = t 1 + t + t 3 = + + T= + " = 1 + 1 % $ ' (4) & ii) Kατά τον χρόνο της πρώτης περιόδου Τ του φαινοµένου που περιγράφηκε προηγουµένως, διακρίνουµε τρία στάδια: α. Το στάδιο κίνησης του πάνω σφαιριδίου από την αρχική του θέση στην θέση που συγκρούεται µε το κάτω σφαιρίδιο ( t T 1 /4). Κατά το στάδιο αυτό η εξίσω ση κίνησης του πάνω σφαιριδίου έχει την µορφή:
x 1 = x 1, µ(" 1 t + /) = ( 1 g/ )$%&" 1 t (5) µε ω 1 = /, ενώ η εξίσωση κίνησης του κάτω σφαιριδίου έχει την µορφή: x = β. Το στάδιο κίνησης του κάτω σφαιριδίου από την αρχική του θέση µέχρις ότου επανέλθει σ αυτήν (T 1 /4 t T 1 /4+Τ /). Κατά το στάδιο αυτό η εξίσωση κί νησης του πάνω σφαιριδίου έχει την µορφή: x 1 = ενώ η εξίσωση κίνησης του κάτω σφαιριδίου έχει την µορφή: x = x, µ(" t + ) (6) όπου x, το πλάτος ταλάντωσης του σφαιριδίου, ω η γωνιακή του συχνότητα ίση µε ( /) 1/ και φ σταθερά που απαιτεί προσδιορισµό. Εξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας του σφαιριδίου αυτού έχει την µορφή: v = x, "$( t + %) (7) Oι σχέσεις (6) και (7) εφαρµοζόµενες την χρονική στιγµή t=t 1 /4 δίνουν: = x, µ(" T 1 /4 + ) ' ( -v, = x, " $%&(" T 1 /4 + )) = µ(" T 1 /4 + ) ' ( -1 = $%&(" T 1 /4 + )) T 1 /4 + " = = " - T 1 /4 Έτσι η (6) γράφεται; x = x, µ(" t + - " T 1 /4) x = -x, µ" (t - T 1 /4) (8) Όµως ισχύει και η σχέση: v 1, =v, x 1, 1 = x, x, = x 1, 1 / x, = (g/ ) / x, = g/ (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (9) παίρνουµε: x = -( g/ )µ" (t - T 1 /4) (1) γ. Το στάδιο κίνησης του πάνω σφαιριδίου από την θέση ισορροπίας του µέχρις την ανώτατη (αρχική) θέση του(t 1 /4+Τ / t Τ). Κατά το στάδιο αυτό η εξίσωση κίνησης και η εξίσωση της ταχύτητας του πάνω σφαιριδίου έχουν την µορφή:
x 1 v 1 = x 1, µ (" 1 t + ') ' ( = x 1, " 1 $%&(" 1 t + ')) (11) όπου φ σταθερά που απαιτεί προσδιορισµό. Οι σχέσεις (11) για t= T 1 /4+Τ / γράφονται: = x 1, µ [" 1 (T 1 /4 + T /) + '] ' ( v 1, = x 1, " 1 $%&[" 1 (T 1 /4 + T /) + ']) =µ[" 1 (T 1 /4 + T /) + '] ' ( 1= $%&[" 1 (T 1 /4 + T /) + ']) 1 (T 1 /4 + T /) + "'= '= -" 1 (T 1 /4 + T /) Άρα η εξίσωση κίνησης του πάνω σφαιριδίου κατά το στάδιο αυτό παίρνει τελι κά την µορφή: x 1 = x 1, µ[" 1 t - " 1 (T 1 /4 + T /)] x 1 = (g/ )µ[" 1 (t - T 1 /4 - T /)] (1) ενώ η αντίστοιχη εξίσωση κίνησης του κάτω σφαιριδίου έχει την µορφή: x = Mε βάση τους παραπάνω υπολογισµούς οι ζητούµενες εξισώσεις κίνησης των δύο σφαιριδίων, στο χρονικό διάστηµα της πρώτης περιόδου έχουν την µορφή: Σχήµα 8 και '( 1 g/ )"$ 1 t, % t % T 1 /4 ) x 1 = (, T 1 /4 % t % T 1 /4+T / ) * (g/ )&µ[$ 1 (t-t 1 /4-T /)], T 1 /4+T / % t % T (13)
$, t T 1 /4 & x = % -( g/ )"µ [ (t - T 1 /4)], T 1 /4 t T 1 /4+T / & ', T 1 /4+T / t T (14) Στο σχήµα ( ) φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των περιοδικών επεκτάσεων των συναρτήσεων (13) και (14). P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (9) τα ελατήρια ε 1, ε είναι ιδανικά µε αντίστοιχες σταθερές,, οι δε τροχαλίες έχουν αµελητέες µάζες. Εκτρέπουµε το µικρό σώµα, µάζας, προς τα κάτω και το αφήνουµε ελεύθερο. Να βρέιτε µετά πόσο χρόνο αυτό θα επα νέλθει στην θέση ισορροπίας του. Ποιές είναι οι επιµηκύνσεις των δύο ελατηρίων στην θέση αυτή; Το νήµα που περιβάλει τα αυλάκια των τροχαλιών θεωρεί ται αβαρές, µη ελαστικο και χωρίς τριβές. Δίνε ται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σώµα σε µια τυχαία θέση, όπου η αποµάκρυνσή του από την θέση ισορροπίας του Ο είναι x και στην οποία τα ελατήρια ε 1, ε έχουν πρόσθετη επιµήκυνση κατά x 1, x αντιστοίχως σε σχέση µε την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος, η δε τάση του νήµατος που συγκρατεί το σώµα Σχήµα 9 έχει αυξηθεί κατά ΔF. Στην θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του g και την τάση F του νήµατος, η δε συνισταµένη F " των δυνάµεων αυτών έχει αλ γεβρική τιµή ίση µε g-f, αν ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση κίνησης του σώµατος ληφθεί η φορά της αποµάκρυνσης x, δηλαδή θα ισχύει:
F " = g - F = -F (1) Επειδή οι τροχαλίες έχουν αµελητέες µάζες, το νήµα είναι αβαρές και χωρίς τρι βή µε τα αυλάκια των τροχαλιών, η τάση σε όλους τους κλάδους του νήµατος θα παρουσιάζει την ίδια αύξηση, ίση µε ΔF, ενώ οι τάσεις των ελατηρίων ε 1, ε θα παρουσιάζουν αύξηση ΔF. Όµως για τα ελατήρια ισχύουν οι σχέσεις: F = x 1 " F = x $ x 1 = F/ " x = F/ $ () Eξάλλου η όλη δοµή της διάταξης εγγυάται ακόµη την σχέση: () x = x 1 + x x = 4F/ + 4F/ = 4F(1/ + 1/ ) " x = 4F k + k % " 1 4k $ ' F = 1 % $ ' x (3) & + & Συνδυάζοντες τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: 4k F " = - 1 & % ( x = -Dx, µε D = 4 (4) $ + ' + Η σχέση (4) δηλώνει ότι αν το σώµα εκτραπεί κατακόρυφα από την θέση ισορ ροπίας του Ο, θα εκτελέσει α.α.τ. µε σταθερά ταλάντωσης D=4 /( + ) και περίοδο Τ, που δίνεται από τη σχέση: T = D = ( + ) 4 T = ( + ) (5) O χρόνος επανόδου t * του σώµατος από την κατώτατη θέση εκτροπής του στην θέση ισορροπίας του Ο είναι ίσος µε Τ/4, δηλαδή ισχύει: t * = T 4 (5) t * = 4 ( + ) (6) Όταν το σώµα βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του (x=), τότε η τάση σε όλους τους κλάδους του νήµατος θα έχει µέτρο g, ενώ τα µέτρα των τάσεων των δύο ελατηρίων θα είναι g. Εάν εποµένως x 1,, x, είναι οι επιµηκύνσεις των ελατηρίων ε 1, ε αντιστοίχως στην κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος, θα έχουµε τις σχέσεις: x 1, x, = g = g " x 1, = g/ " x, = g/ P.M. fysikos
Ένα δοκάρι παρουσιάζει στην πάνω πλευρά του µια κοιλότητα, στην οποία εδράζεται µια σφαίρα µάζας και ακτί νας R, ίσης µε την ακτίνα της κολότητας (σχήµα 1). i) Nα δείξετε ότι, αν η επιτάχυνση a του δοκαριού έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: a = gεφφ όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και φ η γωνία της ακτίνας ΜΟ της σφαίρας µε την κατακόρυφη διεύθυνση, τότε επίκειται ανατροπή της σφαίρας περί το άκρο M της κοιλότητας. ii) Nα καθορίσετε τη δύναµη που δέχεται η σφαίρα από την κοιλό τητα, όταν επίκειται η ανατροπή της. ΛYΣH: i) Eστω ότι η επιτάχυνση a του δοκαριού έχει τέτοια τιµή, ώστε να επίκειται η ανατροπή της σφαίρας περί το άκρο M της κοιλότητας. Tότε η σφαίρα θα εκτελεί οριακά µεταφορική µόνο κίνηση, κατά την οποία το κέντρο µάζας της O θα έχει επιτάχυνση a, που σηµαίνει ότι το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών όλων των δυνάµεων που δέχεται, ως προς το κέντρο µάζας της, θα είναι µηδέν. Για να συµβαίνει αυτό πρέπει ο φορέας της δύναµης F που δέχεται από την κοιλότητα, να διέρχεται από το O. Όµως πρέπει ο φορέας της F να διέρχεται και από το σηµείο M, αφού επίκειται η ανατροπή της σφαίρας περί το σηµείο αυτό. Δηλαδή η δύναµη F έχει φορέα την ευθεία MO, που σηµαί νει ότι σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Eάν F x, F y είναι η Σχήµα 1 οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντίστοιχα της F, τότε επειδή η σφαίρα κατά την οριζόντια διεύθυνση επιταχύνεται, ενώ κατά την κατακόρυφη διεύ θυνση ισορροπεί, θα ισχύουν οι σχέσεις F x = a F y = g " Fµ" = a & ' F$%" = g ( (:) ii) Eξάλλου το µέτρο της δύναµης F είναι: " = a g a = g" (1)
F = F x + F y = (a) + (g) = a + g () Όµως, όταν επίκειται η ανατροπή της σφαίρας περί το σηµείο M θα ισχύει η σχέση (1), οπότε στην περίπτωση αυτή η () γράφεται: F = g " + g = g " + 1 P.M. fysikos