4.5 Αµφιέρειστες πλάκες

Τόµος B 4.5 Αµφιέρειστες πλάκες Οι αµφιέρειστες πλάκες στηρίζονται σε δύο απέναντι παρυφές, όπως η s1 στην εικόνα της 4.1. Αν µία αµφιέρειστη πλάκα στηρίζεται επιπρόσθετα σε µία ή δύο ακόµη παρυφές και ο λόγος του µεγαλύτερου προς το µικρότερο θεωρητικό άνοιγµα είναι µεγαλύτερος του.0 (πλάκα s3 στην ίδια εικόνα), υπολογίζεται ως αµφιέρειστη προς την κύρια διεύθυνση, ενώ λαµβάνονται υπ' όψη και οι δευτερεύουσες εντάσεις στις υπόλοιπες παρυφές. 4.5.1 Στατική επίλυση Οι συνεχείς αµφιέρειστες πλάκες επιλύονται µε τη θεώρηση συνεχούς ραβδωτού φορέα, του οποίου κάθε ράβδος έχει ορθογωνική διατοµή πλάτους 1.00 m και ύψους όσο το πάχος της πλάκας. Οι λωρίδες φορτίζονται µε τα ίδια βάρη, τα µόνιµα και τα κινητά φορτία που εξασκούνται σ' αυτές. Η επίλυση πραγµατοποιείται: α) προσεγγιστικά µε την εφαρµογή του συνόλου των φορτίων σχεδιασµού p=1.35g+1.50q (όταν το κινητό φορτίο είναι σχετικά µικρό) β) είτε µε ακρίβεια λαµβάνοντας δυσµενείς φορτίσεις. Εικόνα 4.5.1-1: Συνεχής πλάκα τριών ανοιγµάτων 146 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Παράδειγµα: Οι 3 πλάκες (προηγούµενο σχήµα) έχουν L 1 =4.50 m, h 1 =180 mm, g 1 =10.0 kn/m, q 1 =.0 kn/m, L =4.00 m, h =140 mm, g =5.0 kn/m, q =.0 kn/m, L 3 =4.00 m, h 3 =140 mm, g 3 =5.0 kn/m, q 3 =.0 kn/m, όπου τα φορτία g περιλαµβάνουν και το ίδιο βάρος. Ζητείται η στατική επίλυση των πλακών θεωρώντας καθολική φόρτιση για κατάσταση αστοχίας. Το φορτίο σχεδιασµού σε κάθε πλάκα ισούται µε p i =γ g g i +γ q q i =1.35 g i +1.50 q i, οπότε σε ζώνη πλάτους 1.00 m ισχύει ότι: p 1 =1.35 10.0+1.50.0=16.5 kn/m p =p 3 =1.35 5.0+1.50.0=9.75 kn/m Η συνεχής πλάκα 3 ανοιγµάτων θα υπολογισθεί µε τη µέθοδο Cross. Θεµελιώδεις ροπές ανοιγµάτων (πίνακας b3) M 10 =-p 1 L 1 /8=-16.5 4.50 /8=-41.8 knm M 1 =M 1 =-p L /1=-9.75 4.00 /1=-13.0 knm M 3 =-p 3 L 3 /8=-9.75 4.00 /8=-19.5 knm Ροπές αδράνειας I I 01 =I c =1.0 0.18 3 /1=4.86 10-4 m 4 I 1 =I 3 =1.0 0.14 3 /1=.9 10-4 m 4 =0.47I c Συντελεστές δυσκαµψίας k, δείκτες κατανοµής υ k 10 = 3I 10 = 3 = 0.167 υ 4I c L 01 4 4.5 01= 0.167 0.586 0.85 k 1 = 4I 1 = 4 0.47I c = 0.118 υ 4I c L 1 4I c 4.0 1= 0.118 0.414 0.85 0.85 1.000 k 1 =k 1 = 0.118 υ 1 = 0.118 0.06 0.573 k 3 = 3I 3 = 3 0.47I c 4I c L 3 4I c 4.0 01= 0.088 0.06 0.47 0.06 1.000 1 0.586 0.414 0.573 0.47 +41.8-13.0 +13.0-19.5 -[+41.8-13.0] 0.586-16.9-11.9-6.0 + 3.6 0.50 + 7. + 5.3 0.47 [-(+13.0-19.5-6.0)] -[+3.6] 0.586 -.1-1.5-0.8 + 0.3 0.50 + 0.5 + 0.3 0.47 [-(-0.8)] -[+0.3] 0.586-0. - 0.1 +.6 -.6 +13.9-13.9 M 1 =-.6 knm M =-13.9 knm ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 147

Τόµος B V 01 =16.5 4.50/-.6/4.50=3.1 kn V 10 =-16.5 4.50/-.6/4.50=-4.1 kn V 1 =9.75 4.00/+(-13.9+.6)/4.00=1.7 kn V 1 =-9.75 4.00/+(-13.9+.6)/4.00=-17.3 kn V 3 =9.75 4.00/+13.9/4.00=3.0 kn V 3 =-9.75 4.00/+13.9/4.00=-16.0 kn maxm 01 =3.1 /( 16.5)=31. knm maxm 1 =1.7 /( 9.75)-.6=1.5 knm maxm 3 =16.0 /( 9.75)=13.1 knm Εικόνα 4.5.1-: ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων Εικόνα 4.5.1-3: ιάγραµµα ροπών κάµψης 148 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B 4.5. Βέλος κάµψης Έστω B ράβδος πλάκας µε µήκος L, ροπή αδράνειας I, µέτρο ελαστικότητας E, στην οποία ασκείται οµοιόµορφο φορτίο p. Με γνωστή την τέµνουσα V,R (αριστερή στήριξη) και τη ροπή M, ζητείται η εξίσωση της ελαστικής γραµµής λόγω κάµψης και το µέγιστο βέλος κάµψης. Εικόνα 4.5.1-6: Γενική περίπτωση κάµψης ράβδου (πλάκας ή δοκού) Θεωρώντας ως αρχή των z το αριστερό άκρο της ράβδου έχουµε: V( z ) = V, R M ( z ) = M p z + V,R z p z d y( z ) Η βασική εξίσωση της ελαστικής γραµµής E I = M ( z ) επιλύεται σε δύο φάσεις: dz 1 η φάση dy( z ) 1 1 p z φ( z ) = = = + M ( z )dz ( M V,R z dz E I E I 3 1 V,R z p z φ( z ) = ( M z + + C1 ) E I 6 Η εξίσωση της εφαπτοµένης της ελαστικής γραµµής ισούται µε: 1 p 3 V,R φ( z ) = ( z z M z + C1 ) E I 6 ( 1 ) ) dz 150 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

η φάση 1 p 3 V,R y( z ) = φ( z )dz = + ( z z M z C1 ) dz E I 6 1 p 4 V,R 3 M y( z ) = ( z z z + C1 z + C ) E I 4 6 y(0)=0 C =0 Η εξίσωση της ελαστικής γραµµής ισούται τότε µε: 1 p 4 V,R 3 M y( z ) = ( z z z + C1 z ) ( ) E I 4 6 y(l)=0 4 3 3 1 p L V,R L M L p L V L,R M L 0 = ( + C1 L ) C1 = + + (3) E I 4 6 4 6 Εποµένως, η εξίσωση της εφαπτοµένης της ελαστικής γραµµής (1) και η εξίσωση του βέλους κάµψης () είναι πλέον γνωστές. Η θέση στην οποία εµφανίζεται το µέγιστο βέλος κάµψης είναι το σηµείο στο οποίο µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του, δηλαδή το σηµείο z στο οποίο φ(z)=0. 3 p z V,R z (1) M z + C1 = 0 (4) 6 Η συµβατή λύση της τριτοβάθµιας εξίσωσης (3) δίνει το ζητούµενο σηµείο z max, το οποίο αντικαθίσταται στην εξίσωση () και προκύπτει το µέγιστο βέλος κάµψης y max. Παράδειγµα: Βέλος κάµψης της πρώτης πλάκας (του παραδείγµατος της 4.3.1): Για L=4.5 m, p=16.5 kn/m, V,R =3.1 kn και M =0.0, από την (3) προκύπτει ότι: C 1 =- 16.5 4.53 4 + 3.1 4.5 kn m =45.7 kn m 6 (4) (16.5/6) z 3 -(3.1/) z -0+45.7=0.75z 3-16.05z +45.7=0 z max =.11 m () y(z)= 1 E I (0.6875 z4-5.35 z 3 +45.7 z) (1.) y(.11)= 1 E I (0.6875.114-5.35.11 3 +45.7.11) 10 3 N m 3 = 59.8 10 3 N m 3 E I Για πάχος πλάκας h=180 mm και µέτρο ελαστικότητας σκυροδέµατος E=3.80 GPa έχουµε ότι: I=(b h 3 )/1=(1.0 0.18 3 )/1=486 10-6 m 4 E I=3.8 10 9 N/m 486 10-6 m 4 =15.9408 10 6 N m, άρα, y 1,max =y(.11)= 59.8 103 N m 3 15.9408 10 6 =0.00375 m=3.75 mm N m ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 151

Η ελαστική γραµµή της συνεχούς πλάκας που προκύπτει από τις εξισώσεις (1.), (.), (3.) είναι η ακόλουθη: Εικόνα 4.5.1-7: Η ελαστική γραµµή από τις εξισώσεις των 3 πλακών Η µελέτη <B_451> (pi-fes) εξάγει τις ταυτόσηµες παραµορφώσεις: Εικόνα 4.5.1-8: Η ελαστική γραµµή από το pi-fes (Ενεργό module\slbs) σε όψη ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 153

Μέγιστες ροπές στηρίξεων (κενή φόρτιση παρακείµενων ανοιγµάτων και εναλλάξ των υπολοίπων) Εικόνα 4.5.3.1-4 Παράδειγµα: Εικόνα 4.5.3.1-5 Η συνεχής πλάκα του σχήµατος έχει σε κάθε άνοιγµα µήκος L=5.00 m και πάχος h=160 mm, ενώ καταπονείται από φορτίο επικάλυψης g e =1.0 kn/m και ωφέλιµο q=5.0 kn/m. Σκυρόδεµα C50/60. Ζητείται η περιβάλλουσα των ροπών και των τεµνουσών, σε οριακή κατάσταση αστοχίας, των τριών πλακών. Επίλυση: Ίδιο βάρος: g o =0.16m 5.0kN/m 3 = 4.00 kn/m Επικάλυψη: g e = 1.00 kn/m Σύνολο µόνιµων φορτίων: g= 5.00 kn/m Σύνολο ωφέλιµων φορτίων: q= 5.00 kn/m Το µόνιµο φορτίο σχεδιασµού κάθε πλάκας ισούται µε g d =1.00 5.0=5.0 kn/m και το συνολικό φορτίο σχεδιασµού µε p d =γ g g+γ q q=1.35 5.0+1.50 5.0=14.5 kn/m. Επίλυση µε το χέρι: I=(b h 3 )/1=(1.0 0.16 3 )/1=341 10-6 m 4 Το µέτρο ελαστικότητας για σκυρόδεµα C50/60 ισούται µε E=37.3 GPa. E I=37.3 10 9 N/m 341 10-6 m 4 =1.719 10 6 N m Επειδή I 10 =I 1 =I 3 =I c, οι συντελεστές δυσκαµψίας k και οι δείκτες κατανοµής υ ισούνται µε: k k 3I10 = 4Ic L 4I1 = 4I L 3 = = 4 5.0 4 = = 4 5.0 10 0. 150 0. 150 υ 01 = = 01 0. 350 0. 49 1 0. 00 0. 00 υ 1 = = c 1 0. 350 0. 571 0.350 1. 000 Λόγω συµµετρίας φορέα: υ 1 = 0. 571 και υ 3 = 0. 49 ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 155

Τόµος B Φόρτιση 1: w 1 =w 3 =p d =14.5 kn/m, w =g d =5.0 kn/m (V 01,max, M 01,max, M 1,min, V 3,max, M 3,max ) Θεµελιώδεις ροπές πάκτωσης από τον πίνακα b3 Μ 10 =Μ 3 =-w 1 L /8=-14.5 5.0 /8=-44.5 knm, Μ 1 =Μ 1 =-w L /1=-5.0 5.0 /1=-10.4 knm +44.5 -[+44.5-10.4] 0.49-14.6 -[+1.5 0.49] -5.3 -[+1.1 0.586] -0.6 0.49 0.571 0.571 0.49-10.4-19.5 +1.5-7. + 1.1-0.5 0.50 0.50 +10.4-9.8 + 5.1-3.6 +.1-0.3 +0. -44.5 +4.1-4.1 +4.1-4.1 M 1 =-4.1 knm M =-4.1 knm +18.8 0.49 [-(+10.4-44.5-9.8)] + 1.5 0.49 [-(-3.6)] + 0.1 0.49 [-(-0.3)] V 01 =14.5 5.0/-4.1/5.0=35.63-4.8=30.8 kn V 10 =-35.63-4.8=-40.5 kn V 1 =5.0 5.0/=1.5 kn M 01,max =V 01 /( w 1 )=30.8 /( 14.5)=33.3 knm w 1 L /8=14.5 5.0 /8=44.5 knm M 1,min =V 1 /( w )+M 1 =1.5 /( 5.0)-4.1=15.6-4.1= =-8.5 kn 1 w L /8=5.0 5.0 /8=15.6 knm 01: (3) C 1 =(-14.5 5.0 3 /4+30.8 5.0 /6)=54.1 kn m (4) (14.5/6)z 3 -(30.8/)z -0+54.1=0.375z 3-15.4z +54.1=0 που δίνει λύση z max =.347 m () y(z)=1/1.719 [(14.5/4).347 4 - (30.8/6).347 3 +0.347 +54.1.347)] y(.335)=6.18 mm 1: Λόγω συµµετρίας φορέα και φόρτισης, είναι z max =.5 0m C 1 =(-5.00 5.0 3 /4+1.5 5.0 /6-4.1 5.0/)kN m = =-34. kn m () y(z)=1/1.719 [(5.00/4).50 4 -(1.5/6).50 3 +4.1.50 /-34..50) y(.50)=-.7 mm Εικόνα 4.5.3.1-6 1 Ο άλλος τρόπος υπολογισµού είναι: Μ1=w1 L /8+M1=5.0 5.0 /8-4.1=15.6-4.1=-8.5 knm 156 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Φόρτιση : w 1 =w 3 =g d =5.0 kn/m, w =p d =14.5 kn/m (V 01,min, M 01,min, M 3,max, V 3,min, M 3,min ) Θεµελιώδεις ροπές πάκτωσης από τον πίνακα b3 Μ 10 =Μ 3 =-w 1 L /8=-5 5.0 /8=-15.6 knm, Μ 1 =Μ 1 =-w L /1=-14.5 5.0 /1=-9.7 knm +15.6 -[+15.6-9.7] 0.49 +6.1 -[-5.] 0.49 +. -[+0.5] 0.586 + 0. 0.49 0.571 0.571 0.49-9.7 + 8.0-5. + 3.0-0.5 + 0.3 0.50 0.50 +9.7 +4.0-10.3 +1.5-0.9 +0. - 0.1-15.6 +4.1-4.1 +4.1-4.1 M 1 =-4.1 knm M =-4.1 knm -7.8 0.49 [-(+9.7-15.6+4.0)] -0.6 0.49 [-(+1.5)] - 0.1 0.49 [-(+0.)] Εικόνα 4.5.3.1-7 V 01 =5.0 5.0/-4.1/5.0=1.5-4.8=7.7 kn V 10 =-1.5-4.8=-17.3 kn V 1 =14.5 5.0/=35.6 kn M 01,max =V 01 /( w 1 )=7.7 /( 5.0)=5.9 knm w 1 L /8=5 5.0 /8=15.6 knm M 1,max =V 1 /( w )+M 1 =35.6 /( 14.5)-4.1=44.5-4.1=0.4 knm w L /8=14.5 5.0 /8=44.5 knm 01: (3) C 1 =(-5.00 5.0 3 /4+7.7 5.0 /6)kN m =6.0 kn m (4) (5.00/6)z 3 -(7.7/)z -0+6.0=0 0.833z 3-3.85z +6.0=0 που δίνει λύσεις z max,1 =1.53 m και z max, =4.1 m () y(z1)=1/1.719 [(5.00/4) 1.53 4 -(7.7/6) 1.53 3 +0 1.53 +6.0 1.53) y(1.53)=0.45 mm () y(z)=1/1.719 [(5.00/4) 4.1 4 -(7.7/6) 4.1 3 +0 4.1 +6.0 4.1) y(4.1)=-0.39 mm 1: Λόγω συµµετρίας φορέα και φόρτισης, είναι z max =.50 m C 1 =(-14.5 5.0 3 /4+35.6 5.0 /6-4.1 5.0/)kN m = =13.9 kn m () y(z)=1/1.719 [(14.5/4).50 4 -(35.6/6).50 3 +4.1.50 /+13.9.50) y(.50)=3.18 mm ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 157

Φόρτιση 4: w 1 =g d =5.0 kn/m w =w 3 =p d =14.5 kn/m Η φόρτιση αυτή είναι η αντισυµµετρική ως προς το µέσο της φόρτισης 3. Περιβάλλουσες όλων των φορτίσεων: Εικόνα 4.5.3.1-9: Περιβάλλουσες τεµνουσών-ροπών-βελών κάµψης Επίλυση µε τον πίνακα b4 g d /p d =5.0/14.5=0.35 m 1 =10.695, m B =-9.05, m =17.45, p 1 =.315, p 1B =-1.635, p B =1.805 V 01,max =p d L/p 1 =14.5 5.0/.315=30.8 kn V 10,min =p d L/p 1B =-14.5 5.0/1.635=-43.6 kn V 1,max =p d L/p B =14.5 5.0/1.805=39.5 kn M 01,max =p d L /m 1 =14.5 5.0 /10.695=33.3 knm M 1,min =p d L /m B =-14.5 5.0 /9.05=-39.5 knm M 1,max =p d L /m =14.5 5.0 /17.45=0.4 knm Η επίλυση µε τον πίνακα είναι πολύ εύκολη, το πρόβληµα όµως είναι ότι δεν δίνει την αρνητική τιµή της ροπής του µεσαίου ανοίγµατος. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 159