Κεφάλαιο 1.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες

Κεφάλαιο.2 Πόλωση φωτονίου και επαφή με τις πρώτες κβαντικότητες.2. Πολωμένα κύματα Για το επίπεδο κύμα, λοιπόν, της παραγράφου.., επιστρέφοντας στο φως, μπορούμε να γράψουμε για τα μέτρα των συντεταγμένων του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου E x (r,t) = E 0 x cos ( kz - ωt + α x ) (.2 - ) E y (r,t) = E 0 y cos ( kz - ωt + α y ) (.2-2) όπου k είναι τώρα ο κυματάριθμος του φωτός (λ είναι το μήκος κύματος) k = 2π λ (.2-3) και ω είναι η χρονική γωνιακή συχνότητα (ω = 2πν, ν η συχνότητα). Η (.2 - ) ή (.2-2) είναι της μορφής Α(x,t) = A 0 cos(kx-ωt+α) = f (x - ω k t) = f(x - vt) = g(t-x/v) = κύμανση προς +x (.2-4) που περιγράφει μία διακύμανση στο χώρο (στη περίπτωσή μας, στη x-διάσταση) και στο χρόνο που υπακούει στην εξίσωση κύματος χωρίς πηγές (βλέπε [] σελ 28): 2 A t 2 = ω k 2 2 A x 2, με ω k 2 = v 2 (.2-5) Πάντα συναρτήσεις της μορφής f(t λ=2π/k έπεται ότι λ/σ = ω/k = v, η ταχύτητα της κύμανσης. x/v) υπακούουν την (.2-5). ημειώστε ότι αφού Σ = 2π/ω και ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 73/622

Σχήμα.5. Στιγμιότυπο του ηλεκτρομαγνητικού κύματος του σχήματος.. Ο οριζόντιος άξονας ισοδυναμεί με τον άξονα Oz του σχήματος.. Τα μέγιστα στο στιγμιότυπο ταυτίζονται με τη θέση των επίπεδων μετώπων του κύματος του σχήματος.. Εδώ έχουμε ω/k = c. Σα α x και α y είναι κάποιες σταθερές φάσεις και τα E 0 x και E0 y είναι τα (πραγματικά) πλάτη των συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου. Είναι συχνά βολικό να χρησιμοποιούμε μία μιγαδική περιγραφή για το ηλεκτρικό πεδίο ως εξής: Ορίζουμε το μιγαδικό διανυσματικό πεδίο ~ E γράφοντας ~ E x := E 0 x exp ( i α x ) (.2-6) ~ E y := E 0 y exp ( i α y ) (.2-7) για τα (μιγαδικά πια) πλάτη των κυμάνσεων, και στη συνέχεια, γράφοντας ~ E x (r,t) = ~ E x exp( ikz - iωt ) (.2-8) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 74/622

~ E y (r,t) = ~ E y exp( ikz - iωt ) (.2-9) και ενθυμούμενοι ότι θα πρέπει να λάβουμε το πραγματικό μέρος, Re{}, στο τέλος των πράξεων. Η κατάσταση πόλωσης του φωτός σχετίζεται άμεσα με την συμπεριφορά των ανυσμάτων ~ E. Για παράδειγμα Α) εάν ~ E y = 0 το κύμα είναι γραμμικά πολωμένο στην κατεύθυνση x, είναι δηλαδή τύπου Β) εάν ~ E x = 0 το κύμα είναι γραμμικά πολωμένο στην κατεύθυνση y, είναι δηλαδή τύπου Γ) εάν ~ E x = ~ E y το κύμα είναι πολωμένο στις 45, είναι δηλαδή τύπου Δ) εάν ~ E y = e iπ/2 ~ E x = i ~ E x τότε η y-συνιστώσα προηγείται της x-συνιστώσας κατά 90 και το κύμα είναι δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο, είναι δηλαδή τύπου («βίδα που βιδώνει») Ε) εάν ~ E y = -i ~ E x το κύμα είναι αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο, είναι δηλαδή τύπου Σχήμα.6. Πολωμένα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ας δούμε τι συμβαίνει εάν ένα κύμα πολωμένο στις 45 περάσει από ένα πολωτικό φίλτρο που επιτρέπει δίοδο ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 75/622

μόνο σε κύμα πολωμένο κατά την x κατεύθυνση και μπλοκάρει κύμα πολωμένο κατά την y κατεύθυνση. Έτσι, πριν από το φίλτρο έχουμε ~ E x = ~ E y = ~ E (.2-0) και αφού περάσει το φίλτρο, έχουμε ~ E x = ~ E, ~ E y = 0 (.2 - ) δηλαδή το κύμα εξέρχεται πολωμένο κατά την x κατεύθυνση και η ολική του ενέργεια μειώνεται στο μισό αφού η ενέργεια ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που καταλαμβάνει ένα χώρο με όγκο, δίνεται από την 7 7 Παρουσία πυκνότητας φορτίων ρ και πυκνότητας ρευμάτων j, οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell για τον κλασσικό Σ Σ B ηλεκτρομαγνητισμό (στο σύστημα Gauss) είναι οι: (α) Ε = 4πρ, (β) Β = 0, (γ) xε = - και (δ) xβ = ct Ε ct + 4πj, όπου γράφουμε Σ := ( x, y, z ). Πολλαπλασιάζοντας την (δ) με ΕΣ, την (γ) με Β Σ και αφαιρώντας Ε λαμβάνουμε Ε Σ ( xβ) - Β Σ ( xε) = Ε Σ ct + B 4πEΣ j + B Σ. Φρησιμοποιώντας διανυσματικές ταυτότητες, η τελευταία ct Σ E 2 + B 2 σχέση γίνεται - (ΕxΒ) = ct 2 + 4πE Σ j. Πολλαπλασιάζοντας τώρα τη τελευταία με c/4π, λαμβάνουμε Σ c 4π ΕxΒ + E 2 + B 2 t 8π + c E Σ j = 0. Η ποσότητα S := c 4π ΕxΒ καλείται διάνυσμα Poynting και εκφράζει τη ροή ενέργειας, ενώ η ποσότητα E2 + B 2 8π συμβολίζεται με u και είναι η πυκνότητα ενέργειας. Έτσι η σχέση γίνεται: Σ S + u t + c EΣ j = 0. ε ένα χώρο λοιπόν, ο οποίος περικλείεται από μία επιφάνεια, η τελευταία σχέση λέει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας μέσα στον ισούται με τη συνολική εισερχόμενη ροή περί την συνοριακή επιφάνεια συν τη μηχανική ενέργεια που το E παράγει στα φορτία. Είναι σχέση ενεργειακής ισορροπίας. Αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ είναι ότι η πυκνότητα ενέργειας u είναι ίση το άθροισμα των τετραγώνων των συνιστωσών του η.μ. πεδίου, που στη περίπτωση μας, από τις σχέσεις (.2 - ), (.2-2), (. - β) γίνεται: u = E02 2 x 4π cos2 (kz - ωt + a x ) + E0 y 4π cos2 (kz - ωt + a y ). H μέση χρονικά (και συνολική εντός ) ενέργεια είναι έτσι ίση με: ε tot ~ E x 2 + ~ E y 2 8π που είναι η (.2-2) (χρησιμοποιούμε και το ότι 3 >> λ). u dv = 4π 2 ( ) E 02 x + E02 x = ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 76/622

E ~ 2 ~ E x 2 + ~ E y 2 ε tot = 8π = 8π (.2-2) Σο ότι τα πράγματα είναι όντως έτσι μπορούμε να το επιβεβαιώσουμε βάζοντας άλλο ένα φίλτρο πόλωσης κατά τον x άξονα όπου θα παρατηρήσουμε ότι τίποτε δεν αλλάζει..2.2 H Κβαντομηχανική σκοπιά Ας προσπαθήσουμε τώρα να περιγράψουμε την επίδραση του φίλτρου από την κβαντομηχανική σκοπιά. Κατ αρχήν, η ολική ενέργεια ηλεκτρομαγνητικού κύματος συχνότητας ω δεν μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας h/ ω (κβάντο ενέργειας), (Π.Δ.) δηλαδή ε tot = Νh/ ω = Νhν (.2-3) όπου Ν είναι ο αριθμός φωτονίων στο κύμα. Έτσι, αφού η ενέργεια μειώνεται στο μισό, αυτό μπορεί μόνο να σημαίνει ότι περνάνε τα μισά φωτόνια. Αυτό είναι εξαιρετικά παράξενο. Κλασσικά, θα λέγαμε ότι εάν ένα φωτόνιο περάσει, και αφού όλα τα φωτόνια είναι όμοια και αντιμετωπίζουν τις ίδιες συνθήκες στο φίλτρο, θα πρέπει να περάσουν όλα! Ο μόνος τρόπος να αντιμετωπίσουμε λογικά αυτό το παράδοξο είναι να πούμε ότι κάθε φωτόνιο έχει πιθανότητα ½ να περάσει το φίλτρο. Εξαναγκαζόμαστε κατά μια άποψη στην πιθανοκρατική περιγραφή λόγω της κβάντωσης της ενέργειας της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Μία άμεση συνέπεια του ότι η διάσχιση του φίλτρου από τα φωτόνια ορίζεται από πιθανοκρατικούς νόμους είναι ότι σπανιότατα ακριβώς τα μισά φωτόνια και μόνο θα περάσουν. Ο μέσος αριθμός φωτονίων που περνούν θα είναι ο μισός του αρχικού, αφού όμως επαναλάβουμε αρκετές φορές το πείραμα. Έτσι, εξάλλου φτάνουμε στην κλασσική περιγραφή από την κβαντική: όταν η φωτεινή δέσμη αποτελείται από πάρα πολλά Αξίζει να σημειώσουμε τέλος, ότι, η σχέση (.2-5) προκύπτει ως ακολούθως: έστω ότι είμαστε στο κενό, απουσία ρευμάτων (j) ή φορτίων (ρ). Σότε, από την (δ) και (γ), λαμβάνουμε x( xε) = - ct ct Ε ή ( Σ Ε) - ( Σ ) Ε = - 2 Ε ( ct) 2 δηλ. τελικά, 2 Ε = 2 Ε ( ct) 2. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 77/622

φωτόνια οδηγούμαστε από την πιθανοκρατική στην κλασσική ντετερμινιστική άποψη για το πέρασμα του φωτός από το πολωτικό φίλτρο. Η απαίτηση ώστε η κβαντική μηχανική να δίδει το σωστό κλασσικό όριο καλείται αρχή της αντιστοιχίας.(βλέπε και συζήτηση κεφαλαίου 2.2). Γενικά, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα διάσχισης του πολωτικού φίλτρου από ένα φωτόνιο, πρέπει να βρούμε ποιο είναι το κλάσμα ενέργειας που περνά κλασσικά το x-πολωτικό φίλτρο: ~ E x 2 ~ E x 2 ~ E x 2 + ~ E y 2 = E ~ 2 (.2-4) Για παράδειγμα, εάν η δέσμη είναι πολωμένη κατά γωνία α ως προς τον x άξονα, τότε ~ E x = ~ E cos α (.2-5) Δηλαδή, ένα κλάσμα ίσο με cos 2 α της ολικής ενέργειας θα περάσει κλασσικά, και έτσι συνάγουμε ότι ένα φωτόνιο με πόλωση στη γωνία α θα έχει πιθανότητα cos 2 α να διαπεράσει το φίλτρο. Παρατηρήστε επιπλέον ότι, αν το φωτόνιο περάσει, θα βρεθεί αυτόματα (και μαγικά) σε κατάσταση πόλωσης κατά τον x-άξονα! (βλέπε σχέση.2 - ). Αφού όλες οι τυπικές φωτεινές δέσμες είναι υπερθέσεις πολλών δεσμών ενός φωτονίου, θα εστιάσουμε την προσοχή μας στις πολωτικές ιδιότητες ενός φωτονίου. Όπως ήδη είδαμε, θα είναι εύκολο να ανακαλύψουμε τους πιθανοκρατικούς κανόνες που αφορούν ένα φωτόνιο από την γνώση μας στην συμπεριφορά κλασσικών δεσμών φωτός. Για το ένα φωτόνιο, έχουμε λοιπόν από την (.2-2) και (.2-3) με Ν =, ότι ή ~ E 2 = 8πh/ ω, ~ E x 2 ~ E y 2 8πh/ ω/ + 8πh/ ω/ = (.2-6) Θα ορίσουμε λοιπόν το κβαντικό άνυσμα κατάστασης πόλωσης ή απλά την κατάσταση πόλωσης του φωτονίου ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 78/622

γράφοντας: Π = π x π y (.2-7) με π x := ~ 8πh/ ω E x (.2-8) π y := ~ 8πh/ ω Ey (.2-9) Tα ανύσματα κατάστασης Π είναι ανύσματα σε ένα μιγαδικό ανυσματικό χώρο δύο διαστάσεων, ένα δισδιάστατο χώρο Hilbert H με εσωτερικό γινόμενο που λαμβάνει τιμές στον : - - : H x H, ο οποίος είναι πλήρης σε σχέση με τη «νόρμα» Χ = γραμμή Χ που ορίζουμε να είναι, όπως έχουμε δει: Χ := ( Χ ) + = ( ψ * x ) ψ* y Χ Χ. υνδέουμε με κάθε κβαντικό άνυσμα στήλη Χ, ένα άνυσμα (.2-20) και το εσωτερικό γινόμενο ανυσμάτων κατάστασης, το ορίζουμε, όπως έχουμε δει, ως Υ Χ := ( φ * x ) ψ φ* x y = φ * x ψ ψ x + φ* y ψ y = Χ Υ * (.2-2) y Αξίζει το κόπο να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι, δύο ανύσματα Χ και Υ του H αναπαριστούν την ίδια κατάσταση ενός φυσικού συστήματος Q αν διαφέρουν μόνο κατά μία πολλαπλασιαστική σταθερά (λ ), αν δηλαδή Χ λ Υ (.2-22) Με άλλα λόγια, οι φυσικές κβαντικές καταστάσεις ανήκουν σε μία ειδική πολλαπλότητα του Η, που μπορεί να χαρακτηρισθεί ως πολλαπλότητα «ακτινών». («Ακτίνα» είναι αν λ. Αν λ τότε είναι ορθότερο να μιλάμε για «επίπεδο»). Έτσι, συνήθως κανονικοποιούμε τις καταστάσεις και ασχολούμαστε με αυτές για τις οποίες ισχύει ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 79/622

Χ Χ = ή, ισοδύναμα Χ =. (.2-23) (όπου και πάλι μας μένει μια φάση exp(iθ), θ, από το λ, την οποία όμως επιλέγουμε να αγνοήσουμε). Από εδώ και πέρα εγκαταλείπουμε τελείως την κλασσική ηλεκτροδυναμική θέαση και επικεντρωνόμαστε στην κβαντική θέαση της πόλωσης. Από την (.2-6) προκύπτει αμέσως ότι το μήκος του Π είναι ίσο με την μονάδα π x 2 + π y 2 = (.2-24) [Άσκηση.2 -: δείξτε τον τελευταίο ισχυρισμό.] Επίσης παρατηρούμε ότι τα κβαντικά ανύσματα κατάστασης που φτιάξαμε δεν εξαρτώνται από τον όγκο, παρά μόνο από την κατάσταση πόλωσης του φωτονίου. Για παράδειγμα, αν Π = e iα 2 e iα 2 = 2 e iα e iα = eiα 2 (.2-25) τότε το φωτόνιο είναι πολωμένο κατά 45 ως προς τον x άξονα. Θυμηθείτε την (.2-22): η φάση exp(iα) δεν αλλάζει τη κατάσταση και δε μας απασχολεί. Η γνώση του ανύσματος κατάστασης Π μας παρέχει όλη την πληροφορία που διαθέτουμε για την κατάσταση πόλωσης του φωτονίου. Μερικά παραδείγματα ειδικών ανυσμάτων κατάστασης είναι (κανονικοποιημένα στη μονάδα και χωρίς παράγοντες φάσης): := 0 X-πόλωση (.2-26) := 0 := 2 i Y-πόλωση (.2-27) δεξιόστροφη κυκλική πόλωση (.2-28) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 80/622

:= 2 -i αριστερόστροφη κυκλική πόλωση. (.2-29).2.3 Πολώσεις και πιθανότητες Η κανονικό-ποίηση των ανυσμάτων κατάστασης πόλωσης, το ότι δηλαδή το μήκος τους είναι ίσο με την μονάδα, σχέση (.2-24), γράφεται Π Π = (.2-30) Ισχύει επίσης [Άσκηση.2-2: Αποδείξτε το]: = (.2-3) = (.2-32) = (.2-33) = (.2-34) Ζεύγη ανυσμάτων κάθετων μεταξύ τους καλούνται όπως έχουμε πει, ορθογώνια. Σέτοια είναι τα και για παράδειγμα, και ισχύει [Άσκηση.2-3: Αποδείξτε το]: = 0 (.2-35) Φάριν όλων των ιδιοτήτων που είδαμε, αλλά και του γεγονότος ότι το σύνολο {, } είναι πλήρες, τα ανύσματα και σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση που ονομάζουμε {ΦΤ} βάση. Κάθε άνυσμα πόλωσης Π μπορεί να γραφεί σαν μια γραμμική υπέρθεση αυτών, δηλαδή [Άσκηση.2-4: Αποδείξτε το]: Π = π x + π y (.2-36) Δεν είναι όμως η μοναδική βάση. Όπως έχουμε πει, κάθε πλήρες σύνολο ορθοκανονικών ανυσμάτων είναι μία βάση. Για παράδειγμα το σύνολο {, } είναι και αυτό μία βάση, αφού μπορούμε να γράψουμε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 8/622

Π = π x -iπ y π x +iπ y 2 + 2 (.2-37) [Άσκηση.2-5: Αποδείξτε την ισοδυναμία της σχέσης (.2-37) με την σχέση (.2-36) δείχνοντας πρώτα ότι: = 2 ( + ) και = -i 2 ( - ). (.2-38) ] Δείτε τι ενδιαφέροντα πράγματα αρχίζουν τώρα να προκύπτουν. Από την (.2-36) λαμβάνουμε Π = π x + π y = π x (.2-39) [Άσκηση.2-6: Δείξτε ότι ανάλογη σχέση προκύπτει για την π y αν πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο με το. ] Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιούμε τις κατασκευές και (προβολικοί τελεστές) συμφωνώντας ότι «κολλάνε» μόνο οι επίπεδες πλευρές που σχηματίζουν εσωτερικό γινόμενο και να γράφουμε Π = Π + Π (.2-40) Π = Π + Π (.2-4) Αυτά όλα είναι εκφάνσεις της αρχής της υπέρθεσης. Μπορούμε να θεωρούμε κάθε τυχαία πόλωση σαν υπέρθεση π.χ. των και πολώσεων, ή σαν υπέρθεση των και πολώσεων. Παρατηρήστε επίσης πως μπορούμε να δεχθούμε ότι = + (.2-42) Θα ξανασυναντήσουμε και αργότερα τέτοιες σχέσεις και θα τις συζητήσουμε εκτενέστερα. Σα προηγούμενα ζεύγη ανυσμάτων δεν είναι τα μόνα. Μπορούμε να ορίσουμε και τα = 2 ( + ) και = 2 ( - ) (.2-43) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 82/622

Σα οποία ονομάζουμε και +, -, αντίστοιχα. Οι προβολές κάθε ενός ανύσματος από όσα έχουμε δει πάνω σε όλα τα άλλα δίνει τον πίνακα. που ακολουθεί. 0 0 / 2 / 2 / 2 - / 2 / 2 / 2 i/ 2 -i/ 2 / 2 / 2 / 2 - / 2 0 0 (+i)/2 (-i)/2 (-i)/2 (+i)/2 / 2 -i/ 2 / 2 i/ 2 (-i)/2 (+i)/2 (+i)/2 (-i)/2 0 0 Πίνακας.. Τιμές των εσωτερικών γινομένων των ανυσμάτων διαφορετικών βάσεων μεταξύ τους. Ο ίδιος πίνακας γράφεται και ως εξής χρησιμοποιώντας μήτρες που θα συναντήσουμε αργότερα στο μέρος 4: + ( ) + + ( ) + Πίνακας.2. Ο πίνακας. με χρήση κβαντοϋπολογιστικών μητρών. Κάθε μήτρα (ή γινόμενο μητρών) μέσα στα κελιά του πίνακα.2 είναι μήτρα μετασχηματισμού βάσεων. Μας πάει δηλαδή από αναπαράσταση σε μία βάση σε αναπαράσταση σε άλλη βάση. Η μεγάλη συμμετρία του πίνακα.2 εκφράζει τη λογική ότι ένας μετασχηματισμός ακολουθούμενος από τον ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 83/622

αντίστροφό του καταλήγει προφανώς στο ταυτοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή το μετασχηματισμό. Σο θέμα των μετασχηματισμών θα το δούμε αναλυτικότερα στο κεφάλαιο.3. Ας επιστρέψουμε τώρα στο πρόβλημα της διάσχισης του x-πολωτικού φίλτρου από τα φωτόνια. Σο τετράγωνο της απόλυτης τιμής του πλάτους της δέσμης μας δίνει κατ ουσία την ενέργεια πριν το φίλτρο, και το τετράγωνο της απόλυτης τιμής του πλάτους της x-συνιστώσας μας δίδει την ενέργεια μετά το φίλτρο. Σο κλάσμα που περνά δίδεται από την (.2-4). Όπως έχουμε δει, κβαντομηχανικά, το κλάσμα (.2-4) δίδει την πιθανότητα ένα φωτόνιο με την αρχική πόλωση να διαπεράσει ή όχι το φίλτρο. Εάν η (.2-4) γραφτεί χρησιμοποιώντας συνιστώσες κατάστασης, δίνει π x 2 Πιθανότητα p = π x 2 + π y = π 2 x 2 = Π 2 (.2-44) Δηλαδή, το Π είναι το (εν γένει μιγαδικό) πλάτος της x-συνιστώσας του Π και το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της, είναι η πιθανότητα ώστε το φωτόνιο στην κατάσταση Π να διασχίσει το x-φίλτρο. Γενικότερα, το α Χ καλείται πλάτος πιθανότητας να συμβεί το α σε μία Χ (ή να συμπεριφερθεί ένα κβαντικό σύστημα κατάστασης Χ σαν να είναι στη κατάσταση α ), και έχουμε: p(α) := α Χ 2 (.2-45) Παρατηρήστε κάτι που θα δείξει όλη του την έκταση αργότερα. Η σχέση (.2-45) μπορεί να γραφεί και ως p(α) = α Χ * α Χ = Χ α α Χ = Χ α Χ =: α (.2-46) όπου α ο προβολικός τελεστής α α. ημειώστε ότι η τελευταία ισότητα ορίζει και την πράξη της μέσης τιμής στη κβαντική μηχανική. Έτσι γενικότερα, η μέση τιμή ενός τελεστή και εννοεί την πράξη: σε μια κατάσταση Χ όχι απαραίτητα κανονικοποιημένη, γράφεται: := Χ Χ Χ Χ (.2-47) ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 84/622

Κεφάλαιο.3 Μετασχηματισμοί βάσεων Μέχρι τώρα, τις περισσότερες φορές που γράψαμε αναλυτικά τι είναι το Π χρησιμοποιήσαμε την {Φ, Y}- βάση. Μπορούμε εξ ίσου καλά να χρησιμοποιήσουμε μία άλλη βάση. Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσουμε μία βάση {Φ, Y }, η οποία είναι στραμμένη κατά τυχαία γωνία θ ως προς την {Φ, Τ}, τότε Π = X' Π Y' Π = π x' π y' (.3 - ) Σο πρόβλημα, την λύση του οποίου εδώ αναζητούμε, είναι πως σχετίζονται οι συνιστώσες του Π στη {Φ,Y }-βάση με αυτές της {Φ,Y}-βάσης. Από την (.2-40) έχουμε 8 ή, ισοδύναμα Φ' Π = Φ' Π + Φ' Π (.3-2α) Y' Π = Y' Π + Y' Π (.3-2β) π x' π y' = X' Y' X' Y' π x π y (.3-4) Δηλαδή, γνωρίζουμε πώς να κινηθούμε μεταξύ βάσεων μόλις ξεδιαλύνουμε τη μήτρα της σχέσης (.3-4) η οποία καλείται και μήτρα μετασχηματισμού. 8 Θυμόμαστε ότι έχουμε γράψει: Φ και Y. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 85/622

Σχήμα.7. Στροφή συστήματος αναφοράς. το ειδικό παράδειγμα όπου η {Φ,Y }-βάση είναι στραμμένη κατά γωνία θ ως προς την {Φ,Y}-βάση, όπως στο σχήμα.7, μπορούμε να γράψουμε 9 Φ = cos θ + sin θ (.3-5α) Y' = -sin θ + cos θ (.3-5β) και έτσι, η μήτρα μετασχηματισμού της (.3-4), που θα την γράφουμε (θ), είναι: X' Y' X' Y' = cos θ sin θ -sin θ cos θ =: (θ) (.3-6) ώστε π x' π y' = (θ) π x π y (.3-7) 9 Ισχύουν (βλέπε σχήμα.7): (α) AB + BΓ = y και (β) ΟΒ + ΒΔ = x. Επίσης από το τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε (γ) sinθ = ΒΔ/ΑΒ και (δ) cosθ = y /ΑΒ. Από το τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: (ε) sinθ = ΒΓ/ΟΒ και (στ) cosθ = x/οβ. Έτσι η σχέση (δ) y = AΒ cosθ = (y - ΒΓ) cosθ = y cosθ - ΟΒ sinθ cosθ y = y cosθ - x sinθ [Α]. Σώρα, η σχέση (β) x = (x/cosθ) + AB sinθ = (x/cosθ) + (y /cosθ) sinθ x cosθ = x + y sinθ από όπου, χρησιμοποιώντας τη σχέση [Α] και τη βασική ταυτότητα sin 2 θ - = -cos 2 θ, βρίσκουμε x = y sinθ + x cosθ [Β]. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 86/622

Η (.3-7) μπορεί να ερμηνευθεί με δύο τρόπους. Κατά μία άποψη μας δίδει τις συνιστώσες του Π στην στραμμένη βάση. Αυτό ήταν εξάλλου ότι αναζητούσαμε. Καταλαβαίνουμε όμως ότι είναι τελείως ισοδύναμο το να διατηρήσουμε το άνυσμα ανέπαφο και να στρέψουμε την βάση, ή το να στρέψουμε κατά αντίθετη μα ίση γωνία το άνυσμα και να διατηρήσουμε τη βάση σταθερή. Έτσι, στην (.3-7) μπορούμε να θεωρήσουμε το άνυσμα στα αριστερά σαν ένα νέο άνυσμα Π του οποίου οι συνιστώσες στην {Φ, Y}-βάση είναι οι ίδιες με αυτές του Π στην {Φ,Y }-βάση. Δηλαδή X Π = Π ή π x' = π' x (.3-8α) Y Π = Π ή π y' = π' y (.3-8β) Εάν τα π x και π y είναι πραγματικά, τότε η κατάσταση Π είναι η Π στραμμένη κατά θ κατά τη φορά του ρολογιού Π = (-θ) Π (.3-9) Παράδειγμα.3 - : Φάριν παραδείγματος, η βάση {, }δεν είναι παρά η {Φ, Y} στραμμένη κατά 45 μοίρες, με μία μικρή όμως διαφορά: η φορά του Y άξονα είναι ανάποδη, λόγω του αυθαίρετου τρόπου με τον οποίο ορίσαμε το κάποια κεφάλαια πριν. Έτσι, παρατηρήστε ότι η του πίνακα.2 δεν είναι η 0 (π/4) αλλά είναι ίση με την ποσότητα (π) (π/4). H μήτρα ανάκλασης (π) = ( 0 -) (που θα συναντήσουμε στο μέρος 4) προέρχεται από το ότι η βάση {, } ουσιαστικά μας πάει από το (Φ,Y) στο Φ+Y 2, Φ-Y 2, αντί του Y+X 2, Y-X 2 που αντιστοιχεί στην απλή (π/4), πρέπει δηλαδή, μετά τη στροφή, να γίνει μια ανάκλαση της ποσότητας Φ-Y σε Y-Φ, και αυτό πράττει η (π). Πράγματι, = / 2 / 2 / 2 -/ 2 = = 0 0 - / 2 -/ 2 / 2 / 2 = (π) (π/4). Αξίζει εδώ να θυμηθούμε λίγο και τη φυσική σημασία της επίπεδης πόλωσης: στη πραγματικότητα φυσική έννοια έχουν μόνο οι επιλεγμένοι άξονες (που ορίζουν μαζί με την κατεύθυνση του κύματος, τα επίπεδα πόλωσης) και όχι η φορά κατά την οποία δείχνούν τα μοναδιαία έπ αυτών. Εν γένει, μετά από ένα μετασχηματισμό (.3-9) οι συνιστώσες της νέας κατάστασης δεν θα μοιάζουν και πολύ με αυτές της παλιάς. Μπορούμε λοιπόν στο σημείο αυτό να θέσουμε το ερώτημα: υπάρχουν άραγε ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 87/622

καταστάσεις οι οποίες μετά από ένα μετασχηματισμό όπως ο (.3-9) να μην αλλάξουν, ή, το πολύ, να έχουν αλλάξει κατά μία πολλαπλασιαστική σταθερά, όπως στη σχέση: Χ = (θ) Χ = ρ Χ (.3-0) Θυμίζουμε ότι εάν ένα άνυσμα ικανοποιεί την (.3-0) λέγεται ιδιοάνυσμα της (θ) και ο αριθμός ρ λέγεται ιδιοτιμή της (θ). Για να βρούμε τα ιδιοανύσματα και τις ιδιοτιμές της (θ), γράφουμε τη μήτρα στη μορφή (θ) = cos θ 0 0 + i sin θ 0 -i i 0 (.3 - ) ή (θ) = cos θ + i sin θ (.3-2) Τποψιαζόμαστε ήδη ότι το πρόβλημα έχει απλοποιηθεί κάπως αφού αρκεί τώρα να βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοανύσματα της μήτρας και θα έχουμε λύσει το πρόβλημα σε μεγάλο βαθμό. Έτσι αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης Χ = λ Χ (.3-3) Κατ αρχήν παρατηρούμε ότι 0 2 = 0 i -i 0 0 -i i 0 = 0 0 = (.3-4) έτσι Χ = Χ = 2 Χ = ( Χ ) = λ Χ = λ Χ = λ 2 Χ, δηλαδή λ 2 =, άρα λ = ± (.3-5) Αυτές είναι οι ιδιοτιμές της. Σώρα ας βρούμε τα ιδιοανύσματα. Σο ιδιοάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή + είναι εκείνο που ικανοποιεί την σχέση Χ = Χ. Μπορεί κανείς στο σημείο αυτό να γράψει τις αλγεβρικές εξισώσεις που προκύπτουν για τις δύο άγνωστες συνιστώσες του ιδιοανύσματος και, χρησιμοποιώντας και την κανονικοποίηση, να βρει το άγνωστο ιδιοάνυσμα, ή μπορεί να το κάνει και με 0 Αυτή είναι μία «πεφωτισμένη» παρατήρηση, προέρχεται από γνώση έξω από την παιδαγωγική ανάπτυξη του θέματος και είναι συχνή πρακτική στα βιβλία θεωρητικής φυσικής ζητώ συγγνώμη. Προσπαθώ να περιορίσω όσο το δυνατό τις πεφωτισμένες παρατηρήσεις, αλλά από την άλλη, έχει γίνει και το βιβλίο τεράστιο, οπότε κατ ανάγκη γίνεται ένας συμβιβασμός ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 88/622

(ολίγον πεφωτισμένη) παρατήρηση: το ιδιοάνυσμα είναι το. [Άσκηση.3 - : δείξτε το.] Με όμοια προσέγγιση και με μεθοδολογία, αυτή του σκλάβου που κάνει όλες τις πράξεις, ή αυτή του «πεφωτισμένου», βρίσκουμε ότι = -. Σι βρήκαμε λοιπόν; Προκύπτει άμεσα ότι τα ιδιοανύσματα της,, είναι και ιδιοανύσματα της. Με διαφορετικές βεβαίως ιδιοτιμές. Είναι απλή άσκηση να δείξετε ότι η ιδιοτιμή της (θ) που αντιστοιχεί στο είναι ίση με exp(iθ) και αυτή που αντιστοιχεί στο ίση με exp(-iθ). Με λίγα λόγια, οι συνιστώσες των ανυσμάτων κατάστασης για το κυκλικά πολωμένο φως, απλά αλλάζουν κατά μία φάση εάν στρέψουμε την βάση. Είναι άραγε τα και οι μόνες ιδιοκαταστάσεις της ; Σην απάντηση θα μας την δώσει το άθροισμα των προβολικών τελεστών και. το σημείο αυτό πρέπει να ορίσουμε ακριβέστερα τη δυάδα, το παράξενο αυτό «γινόμενο» δύο ανυσμάτων a και b, το οποίο δίδει ως αποτέλεσμα τελεστή, και σε κάποια αναπαράσταση του, μήτρα, ως εξής: a b := a x ( b * a ) x b * x b* y = x a y a y b * x a x b * y a y b * y (.3-6) Έτσι, έχουμε + = 2 i ( ) -i + 2 -i ( ) i = 2 -i i + 2 -i i = 2/2 0 0 2/2 = 0 0 = Από την σχέση αυτή (που μόλις τώρα αποδεικνύει και την (.2-4) που είχαμε γράψει, πιστεύοντας την, αλλά χωρίς να την έχουμε αποδείξει) βλέπουμε δύο πράγματα: α) ότι το σύνολο {, } είναι πλήρες: δεν υπάρχουν άλλες «χρωστούμενες» ιδιοκαταστάσεις της, β) ότι το τελευταίο άθροισμα μας δίνει το πραγματικό νόημα της (.2-42), ότι δηλαδή ορθότερα γράφεται Ο Feynman (βλ [4], τόμος III, σελ 8-2, σχέση 8.9) είχε πάει ένα βήμα παραπέρα θεωρώντας ότι η σε κάθε Χ εμπεριέχει μέσα της μία πληρότητα, είχε ταυτίσει τον τελεστή με την συμβολική γραφή είτε στο bra είτε στο ket. Η προσέγγιση αυτή είναι πολύ χρήσιμη στην επίλυση προβλημάτων. Υιλοσοφικά, είναι μια ανάκλαση της αυτοσυνεπούς δομής της θεωρητικής φυσικής που εκφράζεται ακόμη και στην όχι τυχαία έξυπνη σημειογραφία της κβαντικής μηχανικής. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 89/622

= + (.3-7) και ότι το άθροισμα όλων των προβολικών τελεστών που αντιστοιχούν στις ιδιοκαταστάσεις ενός τελεστή δίνει τον τελεστή μονάδα, είναι δηλαδή μία πλήρης βάση αφού, αμέσως από την προφανή ταυτότητα Χ = Χ λαμβάνουμε την (.2-40) ή (.2-4) ή όποια άλλη. Έτσι λοιπόν Π = Π + Π (.3-8) και άρα, υπό τη γενική στροφή, λαμβάνουμε Π' = (θ) Π + (θ) Π = =exp(iθ) Π + exp(-iθ) Π (.3-9) έτσι, μπορούμε να περιγράψουμε το αποτέλεσμα της στρέψης κατά θ ενός τυχαίου ανύσματος κατάστασης Π λέγοντας ότι η δεξιόστροφα πολωμένη συνιστώσα πολλαπλασιάζεται κατά ένα παράγοντα φάσης exp(iθ) και η αριστερόστροφα πολωμένη συνιστώσα πολλαπλασιάζεται κατά ένα παράγοντα φάσης exp(-iθ). Μόνο στην ειδική περίπτωση όπου η Π είναι ή η ή η τότε η (θ) Π είναι απλά η Π επί κάποιο μιγαδικό σταθερό παράγοντα. Ο Baym [], καλεί τον τελεστή σπιν του φωτονίου. Εάν ένα φωτόνιο είναι δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο, τότε λέμε ότι βρίσκεται σε μία ιδιοκατάσταση του με ιδιοτιμή +. Θα λέμε γενικά ότι το φωτόνιο σε μία τέτοια κατάσταση έχει σπιν. Όμοια, εάν ένα φωτόνιο είναι αριστερόστροφα κυκλικά πολωμένο, τότε λέμε ότι βρίσκεται σε μία ιδιοκατάσταση του με ιδιοτιμή -. Κάθε άλλη κατάσταση του φωτονίου είναι μία γραμμική υπέρθεση ενός φωτονίου με σπιν + και ενός φωτονίου με σπιν -. Η μήτρα που αναπαριστά τον ανήκει σε μια οικογένεια σημαντικών για την συζήτησή μας μητρών, των μητρών του Pauli (βλέπε πίνακα.3). ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 90/622

Μήτρα Pauli Ιδιοτιμή / Ιδιοάνυσμα / Εναλλακτική Ονομασία Ιδιοανύσματος Φ := 0 0 + = - = 2 2 - + = - = 2 ( 0 + ) 2 ( 0 - ) Τ 2 := 0 i -i 0 + = - = 2 2 i -i «δεξιόστροφο» (βίδα που βιδώνει, πίσω μέρος βέλους) «αριστερόστροφο» (μυτη βέλους, βίδα που ξεβιδώνει) Ζ 3 := 0 0 - + = - = 0 0 0 Φ Y Πίνακας.3: Οι μήτρες του Pauli και οι αντίστοιχες ιδιοβάσεις. Σημειώστε ότι ο Υ είναι ο του κειμένου. ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 9/622

Κεφάλαιο.4 Στροφορμή και μέσες τιμές τελεστών Η έννοια του σπιν του φωτονίου, την οποία ανακαλύψαμε μελετώντας την συμπεριφορά της κατάστασης πόλωσης του φωτονίου υπό στρέψη, έχει άμεσο φυσικό νόημα: h/ φορές το σπιν του φωτονίου είναι η τιμή της συνιστώσας της στροφορμής του στην z-κατεύθυνση. Κλασσικά, η στροφορμή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι: L = 4πc d 3 r r [E(r,t) Β(r,t)] (.4 - ) αφού η στροφορμή είναι γενικά L = r p, και η ορμή p ειδικά του Η.Μ. πεδίου είναι ανάλογη του Ε Β (συγκεκριμένα η ροή ορμής g = (ροή ενέργειας)/c 2 = S/c 2, βλέπε και σημείωση 7). Για ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, όπως αυτό της (. - ), μετά από αρκετό αλγεβρικό χειρισμό, μπορεί να βρεθεί ότι []: L z = 4πω E0 x E0 y sin (α y -α x ) (.4-2) Εισάγοντας τα μιγαδικά πεδία βρίσκουμε ότι L z = 8πiω ~ E * ~ x E y - ~ E ~ x E * y = ~ ~ Ex 8πω ( -ie y 2 2 - ~ E x +i ~ E y 2 2 ) (.4-3) Μη εκπλήσσεστε! Δεν υπάρχει τρυκ, παρόλο που έτσι δείχνει! Η επαφή με την κβαντομηχανική περιγραφή γίνεται πια άμεσα: L z = h/ π x -iπ y 2 2 - π x +iπ y 2 2 = h/ Π 2 - h/ Π 2 (.4-4) Πως ερμηνεύεται τώρα η (.4-4); Κατ αρχήν, είναι πειραματικό δεδομένο ότι: αν ένα φωτόνιο κινούμενο προς την z-κατεύθυνση απορροφηθεί από άλλη μάζα Μ, τότε η z-συνιστώσα της στροφορμής ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 92/622

της μάζας Μ ή αυξάνει κατά h/ ή μειώνεται κατά h/. Ποτέ δεν παραμένει αμετάβλητη, ούτε ποτέ μεταβάλλεται κατά ποσότητα που διαφέρει από το ± h/. Επιπλέον, δεν μπορούμε να προβλέψουμε αν η μεταβολή της z-συνιστώσας της στροφορμής θα είναι κατά + h/ ή κατά - h/. (Π.Δ.2) Πρέπει λοιπόν να ερμηνεύσουμε την (.4-4) σαν μια σχέση που μας δίδει την μέση τιμή της μεταβολής της z- συνιστώσας της στροφορμής, μέση τιμή από πολλά πειράματα όπου χρησιμοποιούμε πάντα φωτόνια με την ίδια αρχική κατάσταση πόλωσης Π κάθε φορά. Η ερμηνεία αυτή είναι ανάλογη της ερμηνείας που δώσαμε για την μεταφορά ενέργειας δια μέσου του πολωτικού φίλτρου. Όπως και με την ενέργεια, η διακριτότητα των δυνατών τιμών που μπορεί να λάβει η z-στροφορμή μας οδηγεί στις πιθανότητες (ώστε να είμαστε συμβατοί με την κλασσική περιγραφή στο όριο μεγάλου αριθμού φωτονίων). Ας προσπαθήσουμε να επαναλάβουμε περιληπτικά τα κυριότερα μέχρις στιγμής σημεία. την κλασσική συνιστώσα z της στροφορμής του ηλεκτρομαγνητικού κύματος αντιστοιχίζουμε ένα τελεστή, τον h/ του φωτονίου. Υωτόνια που βρίσκονται σε μία ιδιοκατάσταση, ή του τελεστή αυτού έχουν και καλώς ορισμένη τιμή για την συνιστώσα z της στροφορμής τους. Η καλώς ορισμένη αυτή τιμή είναι η ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στην ιδιοκατάσταση στην οποία βρίσκεται το φωτόνιο. Οι ιδιοτιμές του h/ δίνουν όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να λάβει η συνιστώσα z της στροφορμής του φωτονίου. ε καμία άλλη κατάσταση Π του φωτονίου δεν μπορούμε να θέσουμε καλώς ορισμένη τιμή για την συνιστώσα z της στροφορμής παρά μόνο πιθανότητες για το ποια μπορεί να είναι η «πραγματική» τιμή. Η πιθανότητα υπολογίζεται λαμβάνοντας το εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης Π με την ιδιοκατάσταση την πιθανότητα της οποίας αναζητούμε, π.χ. φ, και μετά, τετραγωνίζοντας την απόλυτη τιμή του, δηλαδή φ Π 2. Η μέση τιμή του L z για δεδομένη κατάσταση Π, η L z, δίνεται από την (.2-47), δηλαδή L z = Π h/ Π (.4-5) Για να δείξουμε το αποτέλεσμα αυτό, ξεκινούμε από την Π και εισάγουμε μία πληρότητα, έτσι ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 93/622

Π = ( + ) Π = Π - Π από όπου Π Π = Π Π - Π Π και τελικά Π h/ Π = h/ Π 2 - h/ Π 2 (.4-6) που είναι η (.4-4). Παρατηρήστε ότι = = ( + ) = - (.4-7) από την οποία πάμε, επίσης, κατ ευθείαν στην (.4-6). Το ανάπτυγμα ενός τελεστή στο άθροισμα των προβολικών τελεστών που παράγονται από τις ιδιοκαταστάσεις του σταθμισμένο, από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του, όπως στην (.4-7) είναι γενικότερα αληθές για κανονικούς τελεστές. την (.4-7) έχουμε ένα ερμιτιανό τελεστή με πραγματικές ιδιοτιμές, δηλ. ένα κανονικό τελεστή. Παράδειγμα.4 - : ένας κανονικός τελεστής, έχει ως αναπαράσταση σε κάποια βάση, την ακόλουθη κανονική μήτρα: = - 7-7 3 6-6 9 με ιδιοτιμές λ = 5.32762677, λ 2 = 3.40840077, λ 3 = -7.5472754, και ιδιοανύσματα u = (-0.6495563-0.485444758 0.5852805) Σ, u 2 = (0.238775383 0.600502037 0.76340629) Σ, u 3 = (0.72883499-0.635405926 0.274239) Σ. [Άσκηση.4 - : Επαληθεύστε ότι τα παραπάνω είναι αληθή, δείχνοντας ότι ισχύουν τα ακόλουθα: u i u j = δ ij ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 94/622

j u j u j = j λ j u j u j = j λ j = Σr. Επίσης, αν, ψ = α u + β u 2 + γ u 3, (α,β,γ μιγαδικοί), τότε, ψ ψ = λ α 2 + λ 2 β 2 + λ 3 γ 2. Δείξτε το, και βρείτε το ψ ψ για α =β=γ=i.] ΕΚΔΟΗ 2.Α-0, Μαίου 200. 95/622