ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ 004
Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α 1. Ορισµός των τελεστών δηµιουργίας καταστροφής. Ο γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής. Αναρµονικός ταλαντωτής 4. Συστήµατα αρµονικών ταλαντωτών 5. Κβαντισµός ϖεδίου
1. Ορισµός των τελεστών δηµιουργίας καταστροφής Ας υϖοθέσουµε ότι έχουµε ένα ερµητιανό τελεστή Α, µε διάκριτο φάσµα και ιδιοτιµές ισαϖέχουσες (Σχ. 1). Σχ. 1 Σ αυτή την ϖερίϖτωση, µϖορούµε να βρούµε όλες τις ιδιοτιµές ξεκινώντας αϖό µία οϖοιαδήϖοτε και ϖροχωρώντας ϖρος την µία ή την άλλη κατεύθυνση, µε ένα σταθερό βήµα. Παρατηρούµε, ότι υϖάρχει µία αϖλή εϖαναληϖτική διαδικασία για την κατασκευή όλων των ιδιοτιµών µε αφετηρία µία αϖ αυτές. Αφού οι ιδιοτιµές συνδέονται µεταξύ τους µ έναν τόσο αϖλό εϖαναληϖτικό µηχανισµό, υϖοθέτουµε ότι συµβαίνει το ίδιο και µε τις ιδιοσυναρτήσεις, δηλαδή ότι υϖάρχει ένας εϖαναληϖτικός µηχανισµός µε µια συγκεκριµένη µαθηµατική µορφή, ϖου συνδέει την µία ιδιοσυνάρτηση µε την άλλη. εδοµένου, ότι οι κυµατοσυναρτήσεις είναι διανύσµατα ενός διανυσµατικού χώρου, ο µηχανισµός ϖου ζητάµε θα έχει την µορφή δύο τελεστών. Ο ϖρώτος τελεστής, ονοµάζεται τελεστής δηµιουργίας και τον συµβολίζουµε µε και όταν δρα σε µία ιδιοσυνάρτηση, µας δίνει την ιδιοσυνάρτηση µε την αµέσως µεγαλύτερη ιδιοτιµή. Ο δεύτερος τελεστής, ονοµάζεται τελεστής καταστροφής και τον συµβολίζουµε µε και όταν δρα σε µία ιδιοσυνάρτηση, µας δίνει την ιδιοσυνάρτηση µε την αµέσως µικρότερη ιδιοτιµή. Έστω { φ 0 = 0>, φ 1 = 1>,, φ n = n> } οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Α, ϖου αϖοτελούν βέβαια ένα ϖλήρες ορθοκανονικό σύνολο, ϖου µϖορεί να χρησιµοϖοιηθεί σαν βάση στον αντίστοιχο χώρο Hlbert. Σύµφωνα µε τις ϖροδιαγραφές τους οι τελεστές και, θα δρουν ϖάνω στις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Α κατά τον εξής τρόϖο : n> = C n1 n 1> (1.1), n> = C n-1 n - 1> (1.) όϖου C n1, C n-1 είναι συντελεστές κανονικοϖοίησης. Για να βρούµε αυτούς τους συντελεστές, ας λύσουµε το ακόλουθο αϖλό ϖρόβληµα. Έστω ένας τελεστής, ϖου ικανοϖοιεί την σχέση µετάθεσης: [, ] = 1 (1.)
όϖου ο ερµητιανός συζυγής του. Το ϖρόβληµα είναι να βρούµε τις ιδιοτιµές του ερµητιανού τελεστή και να τις συσχετίσουµε µε τα ιδιοδιανύσµατα. Αν n> είναι ένα νορµαλισµένο ιδιοδιάνυσµα µε n> = n n> (1.4) τότε : n = <n n> = n> 0 (1.5) Η τελευταία σχέση µας λέει ότι οι ιδιοτιµές είναι όλες ϖραγµατικές και µη αρνητικές. Εφαρµόζοντας την ταυτότητα : [ΑΒ,Γ] = Α[Β,Γ] [Α,Γ]Β έχουµε : [, ] = [,] [,] = - (1.6) [, ] = [, ] [, ] = (1.7) (εφόσον [,] =[, ]= 0 και [,] = -1). Οι σχέσεις (1.6),(1.7) γράφονται ισοδυνάµως : ( ) = ( 1) (1.8), ( ) = ( 1) (1.9) Για ένα ιδιοδιάνυσµα n>, η εξ. (1.8) µε την βοήθεια της (1.4) δίνει : ( ) n> = ( 1) n> = (n 1) n> = (n 1) n> (1.10) Εϖοµένως n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n 1, εκτός αν n> = 0. Οµοίως αϖό την εξ. (1.9) έχουµε : ( ) n> = ( 1) n> = (n 1) n> = (n 1) n> (1.11) δηλαδή το n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n 1, εκτός αν n> = 0. Λόγω της ϖροηγούµενης σχέσης (1.10) : ( ) n> = (n 1) n> βγάζουµε το συµϖέρασµα, ότι εφόσον η κατάσταση n> είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή ( ) µε ιδιοτιµή (n 1), θα είναι εϖοµένως ανάλογη της n 1> ή ισοδύναµα : n> = C n-1 n 1> (1.1) Η σταθερά C n-1 ϖροσδιορίζεται αµέσως ως εξής : n = < n n > = < n n > = C C = n (1.1) Άρα ισχύει : n >= n n 1> (1.14) n-1 Όϖως φαίνεται αϖό αυτή την σχέση, η δράση του τελεστή συνεϖάγεται την ελάττωση των αντίστοιχων ιδιοτιµών κατά µία µονάδα. Εϖανειληµµένη δράση του τελεστή καταστροφής, συνεϖάγεται την ελάττωση των ιδιοτιµών κατά ϖερισσότερες της µιας µονάδες. Εϖί ϖαραδείγµατι : n >= ( n n 1 > ) = n n 1 n > (1.15) Αν n είναι µία ιδιοτιµή, είναι φανερό ότι και οι αριθµοί n-1, n-, θα είναι εϖίσης ιδιοτιµές. Η ακολουθία αυτή όµως θα ϖρέϖει να τερµατίζεται σε κάϖοια µη αρνητική ελάχιστη ιδιοτιµή. Αυτή δεν µϖορεί να είναι ένας αριθµός µεγαλύτερος της µονάδας, γιατί αν ήταν θα µϖορούσε να ελαττωθεί ϖεραιτέρω µε µία εϖιϖλέον δράση του. n-1
Έστω λοιϖόν ότι είναι ένας αριθµός n o, µε 0<n o <1. Αλλά σ αυτή την ϖερίϖτωση, µία εϖιϖλέον δράση του τελεστή καταστροφής θα µας οδηγούσε σε αρνητικές ιδιοτιµές. Αυτό µϖορεί να φανεί αν εφαρµόσουµε την εξ. (1.10) για το n>, οϖότε έχουµε : ( ) n > = ( ) n > = ( -1) n > = [( ) -] n > = = [( -1) n > - n >] = [(n -1) n > - n >] = (n -) n > ( ) n > = (n -) n > (1.16) Παρατηρούµε ότι n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n, εκτός αν n> = 0. Γενικεύοντας, αν υϖοθέσουµε ότι m n> 0 για όλα τα m, εϖαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία καταλήγουµε ότι : m m ( ) n > = (n -m) n > (1.17) δηλαδή το m n> είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του µε ιδιοτιµή n m. Αϖό την τελευταία σχέση βλέϖουµε, ότι η µόνη συνεϖής ελάχιστη ιδιοτιµή είναι η n m = 0. Τότε αναγκαστικά, εφόσον φτάνουµε στο 0 µε ακέραια βήµατα, οι ιδιοτιµές θα είναι οι ακέραιοι αριθµοί 0,1,, Όταν ο τελεστής καταστροφής δράσει στην κατάσταση ελάχιστης ιδιοτιµής δίνει αϖοτέλεσµα µηδέν, δηλαδή : 0> = 0 (1.18) Αντίστοιχα, αϖό την σχέση (1.11) : ( ) n> = (n 1) n> συµϖεραίνουµε ότι : n> = C n1 n 1>, οϖότε ϖαίρνοντας το µέτρο αυτής της εξίσωσης βρίσκουµε : n 1 = < n 1 n > = < n n > = < n n > = C = C n 1 (1.19) n 1 Συνεϖώς, η δράση του τελεστή δηµιουργίας εκφράζεται αϖό τον τύϖο : n>= n 1 n 1> (1.0) ρώντας εϖανειληµµένα µε τον τελεστή αυτόν, µϖορούµε να ϖάρουµε ιδιοκατάσταση µε όσο µεγάλη ιδιοτιµή θέλουµε. Για ϖαράδειγµα, ξεκινώντας αϖό την «θεµελιώδη κατάσταση» 0> έχουµε : 0 > = 1 >, 1 > = ( ) 0 > = >, > = ( ) 0 > = = >= > n >,..., ( ) 0 n! n (1.1) Σύµφωνα µε τις σχέσεις (1.14), (1.0) έχουµε : n>= n n> (1.) Οι εξισώσεις (1.14), (1.0) και (1.) µϖορούν να εκφραστούν εναλλακτικά µε την βοήθεια ϖινάκων. Οι ϖίνακες, ϖου αναϖαριστούν τους τελεστές, και ( ) καθορίζονται αϖό τις σχέσεις : n 1
< >= < > (1.) m n n 1 m n 1 = n 1δm,n 1 < m n>= n< m n - 1> = n δ (1.4) < m ( ) n>= n< m n > = n δ m,n (1.5) οι οϖοίες αντιστοιχούν στους ϖίνακες : m,n-1 0 0 0 0... 1 0 0 0... 0 0 0... 0 0 0.......... ( ) =, 0 1 0 0... 0 0 0... () = 0 0 0... 0 0 0 0.......... ( ) = 0 1 0 0 0... 0 0 0... 0 0... 0 0 0 4.......... Σχ.
. Ο γραµµικός αρµονικός ταλαντωτής Σ αυτή την ενότητα θα κάνουµε µια εφαρµογή των αϖοτελεσµάτων, ϖου βρέθηκαν ϖροηγουµένως για τον µονοδιάστατο αρµονικό ταλαντωτή, ο οϖοίος έχει Hmltonn της µορφής : 1 mω H = p x (.1) m όϖου x και p είναι οι τελεστές θέσης και ορµής αντίστοιχα του σωµατιδίου, για τους οϖοίους ως γνωστόν ισχύει : [x,p] = ħ (.) Ο σκοϖός µας είναι να βρούµε τις ιδιοτιµές και τις ιδιοκαταστάσεις του Η. Αντί να διαλέξουµε κάϖοια αναϖαράσταση, ϖ.χ. την αναϖαράσταση {x} και να εϖιλύσουµε την διαφορική εξίσωση, ϖου θα ϖροκύψει, θα χρησιµοϖοιήσουµε µια κοµψότερη µέθοδο, ϖου οφείλεται στον Drc, µε τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής. Θεωρούµε τον τελεστή καταστροφής : mω p = x (.) ħ mħω και τον ερµητιανό συζυγή του, τον τελεστή δηµιουργίας : mω p = x - ħ mħω (.4) mω p Σηµειώνουµε ότι οι ϖαραστάσεις x και είναι ħ mħω αδιάστατες. Αϖό την εξ. (.) βρίσκουµε : [, ] = 1 (.5) Εκφράζοντας τώρα την θέση x και την ορµή p συναρτήσει των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής, έχουµε : x = ħ mω (.6) p = - mωħ (.7) Οι αντίστοιχοι ϖίνακες είναι : 0 1 0... ħ 1 0... (x) = mω 0 0......... (.8)
0-1 0... mωħ 1 0 -... (p) = (.9) 0 0......... Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (.6), (.7) στην εξ. (.1) βρίσκουµε : ħω 1 H = ( ) = ħ ω( ) (.10) Το ϖρόβληµα των ιδιοτιµών της ενέργειας ανάγεται στην εύρεση των ιδιοτιµών και ιδιοκαταστάσεων του τελεστή. Συµβολίζοντας ως n τις ιδιοτιµές και ως n> τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή, χρησιµοϖοιώντας τις εξ. (1.14), (1.0) έχουµε : 1 1 H n > = ħω n > = ħω n n -1 > n > = 1 1 = ħω n n n > n > H n > = ħω n n > (.11) Αϖό την εξ. (.11) συµϖεραίνουµε ότι οι καταστάσεις n> είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας και οι ιδιοτιµές της ενέργειας είναι : E = ω n 1 n ħ (.1) Μϖορούµε να βρούµε τώρα τις κυµατοσυναρτήσεις φ n (x) = <x n>, µε την βοήθεια των εξ. (1.18) και (.) ως εξής : mω 0 = 0 > = x p 0 > (.1) ħ mω Λόγω της γνωστής σχέσης αϖό την κβαντοµηχανική : d < x p > = - ħ < x > (.14) dx ϖολλαϖλασιάζοντας µε <x και τα δύο µέλη της (.1) ϖαίρνουµε : mω ħ d 0 = x < x 0 > (.15) ħ mω dx (όϖου το x είναι τώρα αριθµός και όχι τελεστής). Η εξ. (.15) είναι ουσιαστικά η εξ. (1.18) σε αναϖαράσταση συντεταγµένων, η οϖοία ϖαίρνει την µορφή µιας διαφορικής εξίσωσης, ϖου η λύση της είναι : mω < x 0 > = Aexp - x (.16) ħ
όϖου Α είναι µία σταθερά. Εφαρµόζοντας την συνθήκη κανονικοϖοίησης έχουµε : - (mω / ħ) x 1 = < 0 0 > < 0 x >< x 0 > dx = A e dx = A - - θ mω 1/4 πħ mω οϖότε λύνοντας ως ϖρος Α ϖαίρνουµε : A = e πħ Εϖειδή η φάση θ είναι αυθαίρετη, µϖορούµε να την θεωρήσουµε ίση µε mω το µηδέν, οϖότε : A = π ħ Έτσι η εξ. (.16) γίνεται : 1/4 1/4 mω mω < x 0 > = exp - x (.17) πħ ħ Κατ αυτόν τον τρόϖο βρήκαµε την κυµατοσυνάρτηση για την θεµελιώδη κατάσταση. Για τις άλλες καταστάσεις εφαρµόζουµε τον τελεστή δηµιουργίας, σύµφωνα µε την εξ. (1.1), οϖότε : 1 n < x n > = < x ( ) 0 > (.18) n! mω mω ħ d Αφού < x = < x x - p = x - < x, ħ mω ħ mω dx τότε χρησιµοϖοιώντας τις σχέσεις (.17) και (.18), έχουµε : n/ n 1 mω ħ d < x n > = x - < x 0 > n! ħ mω dx n/ 1/4 n 1 mω mω ħ d mω < x n > = x - exp( x ) (.19) n! ħ πħ mω dx ħ
. Αναρµονικός ταλαντωτής Υϖοθέτουµε ένα σύστηµα, ϖου έχει την Hmltonn : p mω 4 H = x λx (.1) m Θεωρούµε ότι το λ είναι ϖολύ µικρό ( << ħ ω ), ώστε να µϖορούµε να χρησιµοϖοιήσουµε την θεωρία διαταραχών ϖρώτης τάξης. Σ αυτή την ϖερίϖτωση, µϖορούµε να θεωρήσουµε το λx 4 σαν µια διαταραχή της Hmltonn του γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή εξ.(.1), οϖότε τα διαταραγµένα ενεργειακά εϖίϖεδα είναι : 1 E n = (n ) ω n ħ (.) 4 όϖου : n = < n λx n > (.) Λόγω της εξ. (.6) έχουµε : ħ 4 n λ < n ( ) n > = (.4) mω 4 Αναϖτύσσοντας την έκφραση ( ) ϖαίρνουµε 16 όρους. Αλλά σύµφωνα µε τις ιδιότητες των τελεστών δηµιουργίας και καταστροφής και λόγω του γεγονότος ότι οι ιδιοκαταστάσεις n> είναι κανονικοϖοιηµένες (<n m> = δ n,m ), οι µόνοι όροι ϖου δίνουν µη µηδενικές αναµενόµενες τιµές, είναι εκείνοι ϖου ϖεριέχουν δύο και δύο, οϖότε χρησιµοϖοιώντας και τις σχέσεις (1.14), (1.0) : 4 < n ( ) n > = < n ( ) n > = n(n -1) n n(n 1) n(n 1) (n 1) (n 1)(n ) 4 < n ( ) n > = 6n 6n (.5) Αντικαθιστώντας τώρα την εξ. (.5) στην (.4) καταλήγουµε : ħ n = λ (n n 1) mω (.6)
4. Συστήµατα αρµονικών ταλαντωτών Υϖοθέτουµε ένα σύστηµα, ϖου έχει Hmltonn : 1 H= P VQ Q (4.1) m, όϖου Q, P είναι οι κανονικές συντεταγµένες και ορµές, για τις οϖοίες ισχύει : [ Q, Q ] = [ P, P ] = 0, [ Q, P ] =ħ δ (4.) και V = V. Για να αϖλοϖοιήσουµε λίγο την κατάσταση κάνουµε µια αλλαγή κλίµακας, ορίζοντας : P q m Q, p = = (4.) m και U Εϖειδή οι, V m m q p [ q, p ] δ = (4.4) είναι εϖίσης κανονικές, ισχύει : =ħ (4.5) οϖότε η Hmltonn γράφεται συναρτήσει αυτών : H= 1 1 p U q q (4.6), Τώρα µϖορούµε να εκφράσουµε την Hmltonn, µε όρους τους τελεστές ανύψωσης και υϖοβιβασµού, όϖως κάναµε και στον µονοδιάστατο ταλαντωτή. Η διαδικασία αυτή ϖεριλαµβάνει δύο βήµατα : στο ϖρώτο βρίσκουµε ένα σύνολο κανονικών συντεταγµένων q α ως ϖρος το οϖοίο το δυναµικό είναι σε διαγώνια µορφή, ενώ στο δεύτερο βήµα εκφράζουµε τις συντεταγµένες και τις ορµές µε όρους τους τελεστές ανύψωσης και υϖοβιβασµού. Έστω οι συντεταγµένες q, q α σχετίζονται ως εξής : q = C q (4.7) α α Εϖειδή ο ( U ) έχουµε θεωρήσει ότι είναι ϖραγµατικός και συµµετρικός, ο ϖίνακας µετασχηµατισµού C α ϖου διαγωνοϖοιεί είναι ορθογώνιος : Cα Cβ = δαβ, Cα Cα = δ (4.8) α
O αντίστροφος µετασχηµατισµός της εξίσωσης (4.7) θα είναι : q = C q (4.9) α α α Εϖιϖρόσθετα υϖοθέτουµε ότι οι ιδιοτιµές του ( U ) είναι όλες θετικές, ώστε ο ϖίνακας να είναι θετικά ορισµένος (αυτό εξασφαλίζει ότι q = 0 είναι ένα σηµείο ευσταθούς ισορροϖίας). Ορίζοντας αυτές τις ιδιοτιµές µε ω ( ω > 0), έχουµε : α α και έτσι : C C U =ωδ α β αβ (4.10), Uqq = ω q (4.11), α Τελικά, ορίζουµε τα p κατά τέτοιον τρόϖο ώστε να διατηρεί τις κανονικές σχέσεις µετάθεσης : p = C p (4.1) [ q, p β ] = ħ δαβ (4.1) Το αϖοτέλεσµα αυτών των ϖροσϖαθειών οδηγεί στην Hmltonn : 1 H = ( p ω q ) (4.14) ϖου σηµαίνει ότι έχουµε ένα σύστηµα αϖοσυνεζευγµένων αρµονικών ταλαντωτών (ένας για κάθε τιµή του α). Χρησιµοϖοιώντας την διαδικασία, ϖου αναφέραµε στον γραµµικό ταλαντωτή, οι τελεστές υϖοβιβασµού και ανύψωσης στην ϖερίϖτωσή µας θα είναι : 1 = ωα q α p ħ ωα α 1 q α = ωα α p α ħ ω α q p ϖαίρνουµε : οϖότε λύνοντας ως ϖρος, ħ q = ( ) ω ħω = ( ) (4.17) p (4.18) (4.15) (4.16)
Εϖίσης έχουµε : [, ] = [, ] = 0 [, ] = δ β β β (4.0) 1 ħ ω ( ) (4.19) H = (4.1) β Οι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn ϖεριγράφονται αν είναι γνωστές για κάθε τιµή του α, η ιδιοτιµή n α του. Έτσι έχουµε : 1 H n1n n... >= ( n ) ħω n1n n... > (4.) n ( α ) n1n n... >= 000... > (4.) n! όϖου η θεµελιώδης κατάσταση 000...> ορίζεται αϖό την σχέση : 000... >= 0 (4.4) για όλα τα α. Σηµειώνουµε ότι η ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης είναι 1 ω ħ. Για ένα σύστηµα µε αϖείρως ϖερισσότερους βαθµούς ελευθερίας, αυτή η ϖοσότητα γενικά τείνει στο άϖειρο. Εϖειδή το µηδενικό σηµείο της ενέργειας είναι ζήτηµα ορισµού (µόνο η διαφορά µεταξύ δύο ενεργειακών εϖιϖέδων έχει φυσική σηµασία), είναι βολικό να εϖαναϖροσδιορίσουµε την Hmltonn ενός τέτοιου συστήµατος, έτσι ώστε η ενέργεια της θεµελιώδους κατάστασης να είναι µηδέν. Έστω λοιϖόν ότι : 1 1 H = ( ) p ω q ħ ω (4.5) ϖου είναι µια έκφραση σύµφωνα µε τις αρχικές συντεταγµένες q, οϖότε: και H = ħ (4.6) ω H n n n... >= n ħ ω n n n... > 1 1 (4.7)
5. Κβαντισµός ϖεδίου Ένα σηµαντικό ϖαράδειγµα συστήµατος, µε αϖείρως ϖολλούς βαθµούς ελευθερίας είναι το ϖεδίο. Παραδείγµατα έχουµε για το ϖλάτος των ηχητικών κυµάτων, του φωτός κ.ά. Ας θεωρήσουµε ένα ϖραγµατικό βαθµωτό ϖεδίο ϕ ( x), του οϖοίου η κίνηση ϖεριγράφεται αϖό την Lgrngn : 1 1 L( ϕ, ϕ) = d x ϕ(x) ϕ(x) d x d x K(x - x ) ϕ(x) ϕ(x ) (5.1) όϖου K(x - x ) = K(x - x). Οι κλασσικές εξισώσεις της κίνησης, βρίσκονται µε µεταβλητή το ϕ ( x) : δl δl 0= = φ(x) d x K(x - x )φ(x ) (5.) t δφ(x) δφ(x) Σηµειώνουµε ϖως οι εξισώσεις (5.1) και (5.) µοιάζουν µε τις αντίστοιχες εξισώσεις για το σύστηµα αρµονικών ταλαντωτών, ϖου αναφέρθησαν στην ϖροηγούµενη ϖαράγραφο : 1 1 L = q Uqq 0= q U q Κατ αυτό τον τρόϖο είναι δικαιολογηµένη η θεώρηση του ϖεδίου, σαν ένα σύστηµα αρµονικών ταλαντωτών (τυϖικά τουλάχιστον), όϖου το ϕ ( x) αντιστοιχεί στο σύµβολο q και το x αντιστοιχεί στο. Το ϕ ( x) µϖορεί να λογιστεί σαν µια ξεχωριστή συντεταγµένη του συστήµατος για κάθε τιµή του x. Για ϖαράδειγµα, υϖοθέτουµε ότι : K(x - x ) = -c δ (x - x ) (5.) οϖότε η εξίσωση (5.1) γίνεται, µετά αϖό µερικές ολοκληρώσεις κατά µέρη : 1 L = d x[ ϕ(x) ϕ(x) - c ϕ(x). ϕ(x)] (5.4) και η εξίσωση (5.) γίνεται : 1 φ(x) - φ(x) = 0 (5.5) c ϖου είναι η συνήθης εξίσωση κύµατος. Αν υϖοθέσουµε ότι ϕ ( x) είναι µια συντεταγµένη του συστήµατος για κάθε x, η συσζυγής ορµή στην ϕ( x) είναι :,
Π (x) = δ L = ϕ(x) (5.6) δϕ (x) Η Hmltonn είναι τότε : 1 1 H= d x Π(x) ϕ(x) - L = d x Π(x) Π(x) d x d x K(x - x ) ϕ(x) ϕ(x ) (5.7) Για την διαδικασία κβάντωσης του συστήµατος, έστω ότι ϕ ( x) και Π(x) είναι ερµιτιανοί τελεστές ϖου ικανοϖοιούν τις θεµελιώδεις µεταθετικές σχέσεις : [ ϕ(x), ϕ(x )] = [ Π(x), Π(x )] = 0 (5.8) [ ϕ(x), Π(x )] = ħδ (x - x ) (5.9) και υϖοθέτουµε ότι η Hmltonn δίνεται αϖό την σχέση (5.7) εκτός του βαθµωτού όρου, ϖου δίνει την θεµελιώδη κατάσταση µηδενικής ενέργειας. Τώρα µϖορούµε να τα εκφράσουµε όλα σε όρους «norml modes». Βέβαια, καταλήγουµε σε µικρές διαφορές σε σχέση µε τα αϖοτελέσµατα, ϖου καταλήξαµε στην ϖροηγούµενη ϖαράγραφο, αφού είναι κατάλληλα εδώ να χρησιµοϖοιήσουµε «µιγαδικές» κανονικές συντεταγµένες (αυτό σηµαίνει, ότι οι τελεστές είναι µη ερµιτιανοί). Εϖειδή το σύστηµά µας είναι σταθερό, είναι καταλληλότερο να εκφράσουµε τα ϖεδία σε αναϖαράσταση ορµών. Έτσι ορίζουµε : ϕ ϕ k.x (k) = d x (x) (5.10) Π = k.x (k) d x Π(x) (5.11) Με βάση τα γνωστά ολοκληρώµατα : k.x k.x d x e = ( π ) δ (k), d k e = ( π ) δ (x) βρίσκουµε τους αντίστροφους µετασχηµατισµούς, ϖ.χ. d k k.x ϕ(x) = ϕ(k)e ( π ) (5.1) Αφού ϕ ( x), Π ( x) είναι ερµιτιανοί, θα ισχύει : ϕ (k) = ϕ(-k), Π (k) = Π ( k) (5.1) Αϖό τις σχέσεις (5.8), (5.9) βρίσκουµε : [ ϕ(k), ϕ(k )] = [ Π (k), Π (k )] = 0 (5.14) [ ϕ(k), Π (k )] = ħ( π ) δ (k k ) (5.15) Τώρα έστω : e e
Αφού ισχύει : -k.x ω (k) = d xk(x)e (5.16) * K(x) = K( x) = K (x), θα έχουµε ότι : * ω (k) = ω (k) = ω ( k) (5.17) Συνεϖώς η Hmltonn (5.7) ξαναγράφεται ως εξής : 1 d k H = [ Π ( k) Π (k) ω (k) ϕ(-k) ϕ(k)] = ( π ) 1 d k [ (k) (k) (k) Π Π ω ϕ (k) ϕ (k)] (5.18) ( π ) Θεωρούµε ότι ω (k) > 0, ώστε η Hmltonn να είναι θετικά ορισµένη. Κατά συνέϖεια ω (k) είναι ϖραγµατικό, οϖότε ω (k) > 0. Στο ϖαράδειγµα ϖου ϖεριγράψαµε µε τις εξισώσεις (5.), (5.4), (5.5) έχουµε ω (k) = c k. Παρακάτω θα ορίσουµε τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής. Συγκρίνοντας µε τις εξισώσεις (4.15), (4.16), (4.17) και (4.18) έχουµε : 1 (k) = ω(k) ϕ(k) Π (k) (5.19) ħ ω(k) 1 (k) = ω(k) ϕ( k) Π ( k) (5.0) ħ ω(k) οϖότε : ħ ϕ(k) = [ (k) ( k)] (5.1) ω(k) ω(k) Π ħ (k) = [ (k) - ( k)] (5.) Οι σχέσεις µετάθεσης σύµφωνα µε τις εξισώσεις (5.14), (5.15) είναι : [ (k), (k )] = [ (k), (k )] = 0 (5.) [ (k), (k )] = ( π ) δ (k - k ) (5.4) Αν γράψουµε την Hmltonn µε όρους α(k) και α (k), κάνοντας την αλλαγή της µεταβλητής k - k όταν χρειάζεται, βρίσκουµε : 1 d k H = ħ ω(k)[ (k) (k) (k) (k)] (5.5) ( π ) συν έναν διορθωτικό όρο για να κάνει το κενό µε ενέργεια µηδέν. Η διορθωµένη Hmltonn είναι ϖροφανώς :
d k ħ ω (5.6) H = (k) (k) (k) ( π ) Σηµειώνουµε ότι ο διορθωτικός όρος είναι η άϖειρη ϖοσότητα 1 d k (k) ħ ω δ (0). Τελικά, εκφράζουµε τις αρχικές µεταβλητές των ϖεδίων µε όρους τους τελεστές δηµιουργίας και καταστροφής, χρησιµοϖοιώντας τις εξισώσεις (5.1), (5.1) και (5.), οϖότε : ϕ d k ħ k.x -k.x (x) = [ (k) e (k) e ] (5.7) ( π ) ω(k) d k ħω(k) k.x -k.x (x) [ (k) e (k) e ] (5.8) Π = ( π ) Οι εξισώσεις (5.) µέχρι (5.8) είναι τα σηµαντικά αϖοτελέσµατα της διαδικασίας κβάντωσης. Η σχέση µετάθεσης (5.4) µϖορεί να φαίνεται ϖαράξενη, στην ϖερίϖτωση ϖου [ (k), (k )] είναι άϖειρη (αντί της µονάδας). Εϖιλέγουµε ένα ϖλήρες ορθοκανονικό σύνολο συναρτήσεων ψ (k), όϖου α είναι ένας διακριτός δείκτης : d k * ψ (k) (k) = (5.9) ψβ δ αβ ( π ) και ορίζουµε : * (k) (k ) =( π ) δ (k - k ) (5.0) ψ ψ d k = ( π ) ψ (k) (k) (5.1) * Τότε : [, β ] = δ αβ (5.) Τώρα µϖορούµε να εφαρµόσουµε τα ϖροηγούµενα αϖοτελέσµατα και να κατασκευάσουµε τις καταστάσεις n 1 n α >. Βέβαια, αυτές οι καταστάσεις δεν µϖορεί να είναι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn. Οι καταστάσεις : k >= (k) 0 >, k,k > = (k) (k ) 0 > και ούτω καθ'εξής, αν και µη κανονικοϖοιηµένες, είναι ιδιοκαταστάσεις της Hmltonn.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Στην αλγεβρική θεωρία του αρµονικού ταλαντωτή, έχουµε την 1 δυνατότητα αντί της Hmltonn : H= (στο σύστηµα µονάδων όϖου ħ = m= ω= 1), να χρησιµοϖοιήσουµε τον τελεστή αρίθµησης N=, µέσω του οϖοίου η εξίσωση ιδιοτιµών : 1 H n > = (n ) n> γράφεται σε ϖιο κοµψή µορφή : N n > = n n > Οι ιδιοτιµές του n καταµετρούν τον αριθµό των ενεργειακών κβάντων ħ ω, ϖου ϖεριέχονται στην εξεταζόµενη ιδιοκατάσταση. Πολύ εύκολα αϖοδεικνύεται η γενική µεταθετική σχέση : [ N, A] = ( k m) A όϖου Α είναι ένα τυχόν τελεστικό γινόµενο αϖό k τελεστές δηµιουργίας και m τελεστές καταστροφής. Το αϖοτέλεσµα της δράσης ενός τέτοιου γινοµένου ϖάνω σε µια ιδιοκατάσταση n> είναι να µετατοϖίζει την ιδιοτιµή της κατά k m.
ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Sttstcl Mechncs (A set of Lectures) R. P. Feynmn. Κβαντοµηχανική Στ. Τραχανάς. Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική Κ. Ε. Βαγιονάκης 4. Roots of the phse opertors G. Jordze nd I. Srshvl 5. Notes on Creton nd Annhlton Opertors http://www.chm.ur.edu/