ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï áñ éêü íá ãßíåé ðåñéëçðôéêü ìéá õðåíèýìéóç ôïõ áíôßóôïé ïõ ïñéóìïý ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò áðü ôï ÌÜèçìá ÏñéóìÝíï ÏëïêëÞñùìá ãéá ôç óõíüñôçóç, Ýóôù fx) [a; b], äçëáäþ ôïõ If) b a fx) dx: 9.. - ) Ôüôå õðïèýôïíôáò üôé ç fx) åßíáé óõíå Þò êáé ãéá åõêïëßá üôé fx) ãéá êüèå x [a; b], ãåùìåôñéêü ï áñéèìüò If) éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí E ôïõ êáìðõëüãñáììïõ ôñáðåæßïõ, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí x-üîïíá, ôï äéüãñáììá ôçò óõíüñôçóçò y fx) êáé ôéò åõèåßåò x a êáé x b Ó. 9.. - ). 897

898 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ãéá ôçí ðñïóýããéóç ôïõ E ôï [a; b] õðïäéáéñåßôáé óå äéáóôþìáôá ðëüôïõò x ùò åîþò: a x x x : : : x n x n b êáé óôç óõíý åéá èåùñåßôáé ôï ðáñáêüôù Üèñïéóìá ôùí åìâáäþí ôùí ó çìáôéæüìåíùí ïñèïãùíßùí: f x ) x + f x ) x + : : : + f x n) x; üôáí x i ìéá åðéëïãþ åíäéüìåóùí óçìåßùí êáé f x i ); i ; ; : : : ; n ôá ýøç. Ôüôå ôï åìâáäüí E, äçëáäþ ç ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò 9:: ), éóïýôáé ìå ôçí ïñéáêþ If) b a fx) dx 9.. - ) åöüóïí áõôþ õðüñ åé. 9.. Ïñéóìüò lim n + [f x ) x + f x ) x + : : : + f x n) x] ; Ãåíéêåýïíôáò ôçí ðáñáðüíù åéóáãùãþ, Ýóôù ç óõíüñôçóç fx; y) ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [a; b] [c; d ] R, ðïõ åßíáé óõíå Þò êáé ãéá åõêïëßá ìç áñíçôéêþ ãéá êüèå x; y) [a; b] [c; d ] Ó. 9.. - ). ¼ðùò êáé óôçí ðåñßðôùóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò 9:: ), ôï äéüóôçìá [a; b] õðïäéáéñåßôáé óå n-õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò x áðü ôá óçìåßá x i ; i ; ; : : : ; n êáé ôï äéüóôçìá [c; d ] óå m-õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò y áðü ôá óçìåßá y j ; i ; ; : : : ; m Ó. 9.. - a). Ôüôå ñçóéìïðïéþíôáò áíôßóôïé ç ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ìå åêåßíç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò 9:: ), ôï äéðëü ïëïêëþñùìá fx; y) dx dy 9.. - ) èá éóïýôáé ìå ôïí üãêï V ôïõ óôåñåïý, ðïõ Ý åé âüóåéò ôï [a; b] [c; d ] êáé ôçí åðéöüíåéá S, åíþ ïé áêìýò ôïõ åßíáé ðáñüëëçëåò ðñïò ôïí z-üîïíá. óôù

Ïñéóìüò 899 Ó Þìá 9.. - : ãåùìåôñéêüò õðïëïãéóìüò ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò 9:: ). Ó Þìá 9.. - : ôï ðåäßï ïñéóìïý [a; b] [c; d ] êáé ç åðéöüíåéá fx; y).

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a) b) Ó Þìá 9.. - : a) Ç äéáìýñéóç ôïõ [a; b] [c; d ] êáé ôá åíäéüìåóá óçìåßá x i ; y i ). b) Ôá ïñèïãþíéá ðáñáëëçëåðßðåäá ðïõ ðñïóåããßæïõí ôïí üãêï V óôçí 9:: ). A x y ôï åìâáäüí ôïõ óôïé åéþäïõò ïñèïãùíßïõ ) ðáñáëëçëïãñüììïõ ôçò ðáñáðüíù äéáìýñéóçò ôïõ [a; b] [c; d ] êáé f x i ; y j ôï ýøïò ôïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ðïõ ðñïêýðôåé áðü ôá åíäéüìåóá óçìåßá x i ; y i ) êáé áíôéóôïé åß óôá åðéìýñïõò ïñèïãþíéá Ó. 9.. - b). Ôüôå ï üãêïò V Ó. 9.. - b) ðñïóåããßæåôáé ùò åîþò: V f x ; y ) A + f x ; y ) A + : : : + f x n; y m) A: 9.. - ) Áðïäåéêíýåôáé óôçí ÁíÜëõóç üôé, üôáí ç äéáãþíéïò ôùí ðáñáðüíù ïñèïãùíßùí ôåßíåé óôï ìçäýí êáèþò ôá n; m +, ôï Üèñïéóìá 9:: ) óõãêëßíåé ðñïò Ýíáí áñéèìü, Ýóôù I, ðïõ åßíáé áíåîüñôçôïò áðü ôçí åðéëïãþ ôùí óçìåßùí x i ; y j ). Óýìöùíá êáé ìå ôá ðáñáðüíù Ý ïõìå ôïí ðáñáêüôù ïñéóìü: Ïñéóìüò 9.. - äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò). Ïñßæåôáé ùò äéðëü ïëïêëþ- Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [,, 3, 4] êáé: http : en:wikipedia:orgwikiouble integral

Éäéüôçôåò 9 ñùìá double integral) ôçò fx; y) óôï [a; b] [c; d ], ç ïñéáêþ ôéìþ I fx; y) dx dy åöüóïí áõôþ õðüñ åé. lim n; m + n i m f x i ; yj ) A; 9.. - 3) j f. Ï ðáñáðüíù ïñéóìüò ãåíéêåýåôáé ãéá êüèå öñáãìýíï ðåäßï ïñéóìïý ôçò 9..3 Éäéüôçôåò Ïé êõñéüôåñåò éäéüôçôåò ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò ðïõ äßíïíôáé óôç óõíý åéá ìå ôç ìïñöþ èåùñçìüôùí åßíáé ãåíéêåýóåéò ôùí áíôßóôïé ùí éäéïôþôùí ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ôùí óõíáñôþóåùí ìéáò ìåôáâëçôþò. Ôï ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù, ôùí óõíáñôþóåùí õðïôßèåôáé üôé åßíáé êëåéóôü êáé öñáãìýíï, åíþ ãéá ôçí áðïöõãþ ôåôñéììýíùí ðåñéðôþóåùí ôï õðïôßèåôáé üôé äåí åßíáé óçìåßï Þ åõèýãñáììï ôìþìá. Èåþñçìá 9..3 - ãñáììéêþ). Áí ïé óõíáñôþóåéò f; g åßíáé ïëïêëçñþóéìåò åðß ôïõ êáé k; R, ôüôå [k fx; y) + gx; y)] dx dy k + fx; y) dx dy gx; y) dx dy: Ç éäéüôçôá ãåíéêåýåôáé. Èåþñçìá 9..3 - áèñïéóôéêþ). Áí ç ðåñéï Þ áðïôåëåßôáé áðü ôéò ùñéóôýò ðåñéï Ýò êáé, äçëáäþ êáé, ôüôå fx; y) dx dy fx; y) dx dy + fx; y) dx dy;

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò åíþ, áí, äçëáäþ õðüñ åé åðéêüëõøç ôùí ðåñéï þí êáé óôçí ðåñéï Þ, ôüôå fx; y) dx dy fx; y) dx dy + fx; y) dx dy fx; y) dx dy: ÅöáñìïãÞ ôçò éäéüôçôáò èá ãßíåé óôï ÐáñÜäåéãìá 9..4-3. Èåþñçìá 9..3-3 óýãêñéóçò). Áí fx; y) gx; y) ãéá êüèå x; y) êáé ïé óõíáñôþóåéò f; g åßíáé ïëïêëçñþóéìåò åðß ôïõ, ôüôå fx; y) dx dy gx; y) dx dy: ÅéäéêÜ, áí gx; y) > ãéá êüèå x; y), ôüôå gx; y) dx dy > : Èåþñçìá 9..3-4. Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå fx; y) dx dy fx; y) dx dy: Èåþñçìá 9..3-5. Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ êáé ôï åßíáé áìåëçôýïõ åìâáäïý, ôüôå fx; y) dx dy :

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 93 Èåþñçìá 9..3-6 ìýóçò ôéìþò). Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå fx; y) dx dy f x ; y ) A; üðïõ A ôï åìâáäüí ôïõ ôüðïõ êáé x ; y ). 9..4 Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò 9:: ) åîáñôüôáé áðü ôç ìïñöþ ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý. ÓõãêåêñéìÝíá Ý ïõìå ôéò ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò: I. { x; y) R : a x b; c y d }, äçëáäþ êáé ïé äýï ìåôáâëçôýò ìåôáâüëëïíôáé óå äéáóôþìáôá ìå óôáèåñü Üêñá Þ äéáöïñåôéêü ôï ðåäßï ïñéóìïý åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï. Ï õðïëïãéóìüò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãßíåôáé óýìöùíá ìå ôï ðáñáêüôù èåþñçìá: Èåþñçìá 9..4 - Fubini). Áí ç óõíüñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý [a; b ] [c; d ] { x; y) : a x b; c y d } åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå f x; y) dx dy b a d c d c b a f x; y) dy dx f x; y) dx dy: 9..4 - )

94 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñáôçñÞóåéò 9..4 - i) Óýìöùíá ìå ôï Èåþñçìá 9::4 ) ç ôéìþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò 9:: ) åßíáé áíåîüñôçôç áðü ôç óåéñü ïëïêëþñùóçò óôçí 9::4 ). ii) Óôïí ôýðï 9::4 ), üôáí ãßíåôáé ïëïêëþñùóç ùò ðñïò ìéá ìåôáâëçôþ, Ýóôù ôçí y, ôüôå ç x èåùñåßôáé óôáèåñü. ÐáñÜäåéãìá 9..4 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I x y + y 3) dx dy; üôáí [; ] [; ]: Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::4 ) Ý ïõìå x óôáèåñü {}}{ I x y + y 3) [ dy dx x y + ] y 4 y4 dx y x + ) 4 4 dx [ x3 3 + 4x ] 4 3 : x + 4 ) dx ÅíáëëáêôéêÜ ï ðáñáðüíù õðïëïãéóìüò åßíáé äõíáôüí íá ãßíåé áëëüæïíôáò ôç óåéñü ïëïêëþñùóçò ùò åîþò: y óôáèåñü {}}{ I x y + y 3) [ dx dy 3 x3 y + ] x x y3 dy x ) [ ] y 3 y + y3 dy 6 + y4 4 4 3 : Óôï åîþò èá åöáñìüæåôáé ï åõêïëüôåñïò êáôü ðåñßðôùóç ôýðïò óôçí9::4 ).

ÐáñÜäåéãìá 9..4 - ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá Ëýóç. ïõìå I Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 95 I x e xy dx dy; üôáí [ ; ] [; ]: x e xy dy dx xx y) y {}}{ x y) y e xy dy dx åðåéäþ ç ïëïêëþñùóç ãßíåôáé ùò ðñïò y ðñýðåé íá äçìéïõñãçèåß ç ðáñüãùãïò xy) y ôçò e xy ; ìïñöþ f x)e fx)) x y) y e xy dy dx e xy y y dx e x ) dx [e x x] e e 3: Áí ç ïëïêëþñùóç ãßíåé ðñþôá ùò ðñïò x, ôüôå áðáéôåßôáé ç åöáñìïãþ ôçò ðáñáãïíôéêþò ïëïêëþñùóçò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ ïëïêëçñþìáôïò. ÐáñÜäåéãìá 9..4-3 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I dx dy ; üôáí [; ] [; ]: x + 3y)

96 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ëýóç. ïõìå I x + 3y) dx dy x + 3y) xx + 3y) dx dy üìïéá åðåéäþ ç ïëïêëþñùóç ãßíåôáé ùò ðñïò x ðñýðåé íá äçìéïõñãçèåß ç ðáñüãùãïò x + 3y) x ôçò x + 3y) ; ìïñöþ f x) f a x) ) [ x + 3y) + ] dx dy [ ] x + x + 3y) dy x dy + 3y ) dy 3y ln +3y 3 {}}{ dy + 3y + 6 ln y {}}{ dy y ln 8 ln ln 5) : 6

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 97 óêçóç Íá õðïëïãéóôïýí ôá ðáñáêüôù äéðëü ïëïêëçñþìáôá: i) xyx + y ) dx dy; üôáí x; y) ; êáé [; ] [; ]; ii) cosx + y) dx dy; üôáí [; ] [; ]; iii) sin x cos y dx dy; üôáí [; ] [; ]; iv) x dx dy x + y ; üôáí [ ; ] [ ; ]; v) dx dy ; üôáí [ ; ] [; ]; 4 + y vi) vii) y 3 e xy dx dy; üôáí [; ] [; ]; xy e x +y dx dy; üôáí [; ] [; ]: ÁðáíôÞóåéò i) 4 ; ii) 4, iii), iv), v) ) tan, vi) e + e, vii) + 4 e).

98 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá 9..4 - : Ðåñßðôùóç II: ôï ðåäßï ïñéóìïý {a x b; g x) y g x)} ôçò óõíüñôçóçò fx; y). II. { x; y) R : a x b; g x) y g x) } Ôüôå Ó. 9..4 - ) fx; y) dx dy b a g x) g x) x óôáèåñü {}}{ fx; y) dy dx; 9..4 - ) äçëáäþ ãßíåôáé ðñþôá ç ïëïêëþñùóç ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ y, ðïõ ìåôáâüëëåôáé óõíáñôþóåé ôçò x. ÐáñÜäåéãìá 9..4-4 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I 4xy y 3 ) dx dy; üôáí { x; y) R : x ; x 3 y x } Ó. 9::4 ): Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::4 ) Ý ïõìå

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 99 Ó Þìá 9..4 - : ÐáñÜäåéãìá 9..4-6 ìå ðåäßï ïñéóìïý { x ; x 3 y x }. I x x 3 x óôáèåñü { }}{ 4xy y 3 ) dy 7 4 x x 7 + ) 4 x dx dx [ 7 x3 4 x8 + ] 5 x3 55 56 : ] y x [xy y4 dx 4 yx 3 ÐáñÜäåéãìá 9..4-5 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I + x 4 dx dy; üôáí { x; y) R : x ; y x 3 } Ó. 9::4 3): Ëýóç. ïõìå

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá 9..4-3: ÐáñÜäåéãìá 9..4-5 ìå ðåäßï ïñéóìïý { x ; y x 3 }. I x3 + x 4 dy dx + x 4 x3 dy dx + x 4 y yx 3 y dx x 3 + x 4 dx 4 6 x 3 {}}{ + x 4 ) 4 x + x 4 ) dx + x 4 ) + + + x 4 ) 3 6 ) 7 3 :5547:

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 9 Ó Þìá 9..4-4: ôï ðåäßï ïñéóìïý {c x d; ôçò óõíüñôçóçò fx; y). h x) y h x)} III. { x; y) R : c y d; h y) x h y) } Ôüôå Ó. 9..4-4) fx; y) dx dy d c h y) h y) y óôáèåñü {}}{ fx; y) dx dy; 9..4 - ) äçëáäþ ãßíåôáé ðñþôá ç ïëïêëþñùóç ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ x, ðïõ ìåôáâüëëåôáé óõíáñôþóåé ôçò y. ÐáñÜäåéãìá 9..4-6 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I e x y dx dy; üôáí { x; y) R : y ; y x y 3 } :

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::4 ) Ý ïõìå I y3 y e x y dx dy y3 y y ) x y x ðñýðåé íá äçìéïõñãçèåß ç ðáñüãùãïò e x y dx dy ) x y x ôçò e x y [ ] y e x xy 3 y xy dy y e y y e ) [ ey e ] y e4 e: IV. ÃåíéêÞ ðåñßðôùóç: öñáãìýíç ðåñéï Þ ôïõ R óôù ôï ðåäßï ïñéóìïý. Ôüôå ãßíåôáé êáôüëëçëç äéáìýñéóç ôïõ, Ýôóé þóôå íá ðñïêýøåé ôåëéêü ìéá áðü ôéò Ðåñéðôþóåéò II Þ III. Ç ìåèïäïëïãßá ðïõ åöáñìüæåôáé óôéò ðåñéðôþóåéò äßíåôáé óôç óõíý åéá. ÐáñÜäåéãìá 9..4-7 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I 6xy + ) dx dy; üôáí ç ðåñéï Þ ðïõ ðåñéïñßæåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y x êáé y 8 x Ó. 9::4 5): Ëýóç. Áñ éêü õðïëïãßæïíôáé ôá êïéíü óçìåßá ôùí äýï êáìðõëþí áðü ôéò åîéóþóåéò ôïõò ùò åîþò: y x êáé y 8 x ïðüôå x 8 x ; äçëáäþ x ±:

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 93 a) b) Ó Þìá 9..4-5: ÐáñÜäåéãìá 9..4-7. ¼ôáí x, ôüôå ôï y ìåôáâüëëåôáé áðü ôçí y x ìðëå Ýùò ôçí y 8 x êüêêéíç êáìðýëç, äçëáäþ x y 8 x. ÅðåéäÞ ôï x ðñýðåé íá áíþêåé óå öñáãìýíï äéüóôçìá, ðñïêýðôåé üôé x : Åöüóïí Ý åé ðñïóäéïñéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìåôáâëçôþò x Ðåñßðôùóç II), èá ðñýðåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò y íá åßíáé ôçò ìïñöþò g x) y g x). ÅðïìÝíùò óýìöùíá êáé ìå ôï Ó. 9..4-5 b ôï ðåäßï ïñéóìïý ãñüöåôáé ùò åîþò: { x; y) R : x ; x y 8 x } : ñá I 8 x 6xy + ) dy dx 8 x y + y ) y8 x dx x yx 8 x 3 4 x + 5 x + 6 ) dx [ 3 x 4 4 ] 3 x3 + 56 x + 6 x 8 : 3

94 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá 9..4-6: ÐáñÜäåéãìá 9..4 -. ÐáñÜäåéãìá 9..4-8 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I x y dx dy; üôáí ç ðåñéï Þ ðïõ ðåñéïñßæåôáé áðü ôéò êáìðýëåò y 9 êáé y x ìå x : Ëýóç. Áðü ôéò åîéóþóåéò ôùí êáìðõëþí ðñïêýðôåé x 9, ïðüôå, åðåéäþ x, åßíáé x 3. ñá ðñýðåé x 3: ¼ìïéá åöüóïí Ý åé ðñïóäéïñéóôåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò ìåôáâëçôþò x Ðåñßðôùóç II), èá ðñýðåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò y íá åßíáé ôçò ìïñöþò g x) y g x). ñá ôï ðåäßï ïñéóìïý óýìöùíá êáé ìå ôï Ó. 9..4-7) ãñüöåôáé: { x; y) R : x 3; x y 9 } :

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 95 Ôüôå Ý ïõìå I 3 9 x x y dy dx 3 x y y9 yx dx 3 8 x ) x6 dx 7 x3 4 x7 3 458 7 : ÐáñÜäåéãìá 9..4-9 ¼ìïéá ôï I x + y 3) dx dy; üôáí { x; y) R : y 9x; x 3 } : Ëýóç. ÅðåéäÞ y 9x, ðñýðåé x. ñá ðñýðåé x 3: Åßíáé üìùò ãíùóôü üôé, áí x a ìå a > ; ôüôå a x a: Åöáñìüæïíôáò ôá ðáñáðüíù óôçí áíéóüôçôá y 9x ðñïêýðôåé üôé 3 x y 3 x: ñá ï ôüðïò ãñüöåôáé Ðåñßðôùóç II) { x; y) R : x 3; 3 x y 3 x } : Ôüôå I 3 3 x 3 x x + y 3) dy dx 3 [ x y + y4 4 ] y3 x y 3 x dx 6 3 x 5 dx 34 3 7 :

96 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñÜäåéãìá 9..4 - ¼ìïéá ôï I x 4 + y ) dx dy; üôáí { x; y) R : y x ; x y } : Ëýóç. Áñ éêü, åðåéäþ x y, ðñýðåé x, åíþ üìïéá áðü ôçí y x, ðñïêýðôåé üôé êáé y. Óôç óõíý åéá åêöñüæïíôáé ôá üñéá ôïõ x óõíáñôþóåé ôïõ y ùò åîþò: áðü ôçí x y ðñïêýðôåé üôé x y, åíþ åßíáé x y. ñá Ðåñßðôùóç III) y x y: Ãéá ôo äéüóôçìá ìåôáâïëþí ôïõ y, ðïõ ðñýðåé íá åßíáé ôçò ìïñöþò c y d, áðü ôçí ðáñáðüíù áíéóüôçôá Ý ïõìå y y; ïðüôå y 4 y ; äçëáäþ y y 3 ) : ÅðåéäÞ y, ðñýðåé y,. ÅðïìÝíùò ï ôüðïò ãñüöåôáé { x; y) R : y ; y x y } : Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::4 ) Ý ïõìå y I x 4 + y ) dx dy 48 385 : y 6 5 y5 y 4 ) 5 y dy

ÐáñÜäåéãìá 9..4 - Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 97 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I x dx dy; üôáí åßíáé ï êõêëéêüò äßóêïò x + y. Ëýóç. Ðñïöáíþò ï ôüðïò åßíáé ï ìïíáäéáßïò êýêëïò ìå êýíôñï ôï óçìåßï ; ) êáé áêôßíá R, ðïõ åßíáé äõíáôüí íá ðåñéãñáöåß ùò åîþò Ðåñßðôùóç II): { x; y) : x y } x ; x : ÅðïìÝíùò I x x x dy dx ôï x óôï ìýóá ïëïêëþñùìá èåùñåßôáé óôáèåñü x x x dy dx x y [ x x ) ] x dx x x dx y x y x dx x {}}{ [ x ) ] x dx x ) x ) dx x ) + + 3 x ) 3 :

98 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ìéá áíüëïãç ðåñéãñáöþ ôïõ ôüðïõ åßíáé åðßóçò ç åîþò Ðåñßðôùóç III): { x; y) : y x } y ; y ; ïðüôå ôï ïëïêëþñùìá óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá ãñüöåôáé y x dx dy x dx dy : y ÐáñáôÞñçóç 9..4 - ìåèïäïëïãßá) ÐïëëÝò öïñýò áðáéôåßôáé ç äéáìýñéóç ôïõ ôüðïõ óå äýï Þ ðåñéóóüôåñïõò ôüðïõò. Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò áêïëïõèåßôáé ç ðáñáêüôù ìåèïäïëïãßá: Ýóôù üôé áðü ôïí ôüðï ðñïêýðôåé üôé a x b Ðåñßðôùóç II), äéáöïñåôéêü ðñïóäéïñßæåôáé ôï äéüóôçìá áõôü áðü ôá äåäïìýíá ìå êáôüëëçëï óõíäõáóìü ôïõò. Áðü Ýíá óçìåßï x [a; b ], öýñíïõìå êüèåôç åõèåßá, ôýôïéá þóôå íá ôýìíåôáé ï ôüðïò óå äýï ôïõëü éóôïí óçìåßá, Ýóôù ôá Á êáé Â. Ôüôå ï ôüðïò õðïäéáéñåßôáé óôïõò {x; y) : a x x ; g x) y g x) } ; {x; y) : x x b; g 3 x) y g 4 x) } ÁíÜëïãá, üôáí ï ôüðïò õðïäéáéñåßôáé áðü Ýíá óçìåßï y [c; d ] Ðåñßðôùóç III). ÅöáñìïãÝò ôçò ðáñáðüíù ìåèïäïëïãßáò äßíïíôáé óôç óõíý åéá.

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 99 y..8.6.4..5..5. x Ó Þìá 9..4-7: ÐáñÜäåéãìá 9..4 -. ÐáñÜäåéãìá 9..4 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I y dx dy; üôáí ôï ôñßãùíï ìå êïñõöýò ôá óçìåßá ; ); ; ) êáé ; ): Ëýóç. Ï ôüðïò õðïäéáéñåßôáé óôïõò ôüðïõò êáé üðïõ, ðïõ ðåñéãñüöïíôáé ùò åîþò Ó. 9..4-7): {x; y) : y x; x } ; {x; y) : y x; x } ; äçëáäþ x Ðåñßðôùóç II).

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÅðïìÝíùò y dx dy y dx dy + x y dy dx + y dx dy x y dy dx [ y ] x dx + [ y ] x dx x dx + x) dx x 3 3 x dx + x) 3 3 x) x) {}}{ x) dx 6 ) 6 3 : ÐáñÜäåéãìá 9..4-3 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I 6x 4y ) dx dy; üôáí ôï ôñßãùíï ìå êïñõöýò ; 3), ; ) êáé 5; 3) Ó. 9..4-8).

Õðïëïãéóìüò óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò 9 Ó Þìá 9..4-8: ÐáñÜäåéãìá 9..4-3. Ëýóç. Ç ðåñéï Þ ïëïêëþñùóçò åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøåé óôéò åîþò äýï ðåñéï Ýò: { x; y) : x ; x + 3 y 3 } ; { x; y) : x 5; x + } y 3 ; äçëáäþ óôçí ðåñßðôùóç áõôþ åßíáé x. Õðåíèõìßæåôáé üôé ç åîßóùóç ôçò åõèåßáò ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá x ; y ) êáé x ; y ) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï x x x x y y y y :

9 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí áèñïéóôéêþ éäéüôçôá ôçò ÐáñáãñÜöïõ 9..3 Ý ïõìå: I 6x 4y ) dx dy + 6x 4y ) dx dy 3 x+3 5 + 3 x+ 6x 4y ) dy dx 6x 4y ) dy dx 6x y y ) y3 dx + 6x y y ) y3 dx y x+3 y x+ [ x 3 8 + 3 x) ] dx 5 + : : : 935 3 : [ 3x 3 + 5x 8 + 5 x + ) ] dx íáò Üëëïò ôñüðïò, ðïõ äåí áðáéôåß ôçí õðïäéáßñåóç ôïõ ôüðïõ, áëëü ðñïêýðôåé áðü ôéò åîéóþóåéò ôùí åõèåéþí ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé ï åîþò: y x + 3; ïðüôå x y + 3 y x + ; x y : ñá Ðåñßðôùóç III) { x; y) : y + 3 x y ; } y 3 ;

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 93 ïðüôå I 3 y 6x 4y ) dx dy y+ 3 3 x 3 4 x y ) xy x y+ 3 dy 3 [ y y + y ) 3 y + 3 ) ] 3 dy [ 5y 3 y3 + 4 y )4 + 935 3 : y + 3 ) ] 4 3 9..5 ÁëëáãÞ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí Êáìðõëüãñáììåò óõíôåôáãìýíåò ÐïëëÝò öïñýò ãéá ôçí åõêïëßá õðïëïãéóìïý ôïõ ïëïêëçñþìáôïò fx; y) dx dy áðáéôåßôáé íá ãßíåé ìåôáó çìáôéóìüò áðü êáñôåóéáíýò óå Üëëçò ìïñöþò óõíôåôáãìýíåò. Áðïäåéêíýåôáé üôé óôçí ðåñßðôùóç ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí, ïé ãåíéêüôåñåò äõíáôýò åßíáé ïé êáìðõëüãñáììåò curvilinear coordinates), 3 ðïõ ïñßæïíôáé óôç óõíý åéá. 3ÂëÝðå: http : en:wikipedia:orgwikicurvilinear coordinates

94 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ïñéóìüò 9..5 - êáìðõëüãñáììåò óõíôåôáãìýíåò). Ï ìåôáó çìáôéóìüò óå êáìðõëüãñáììåò óõíôåôáãìýíåò Ý åé ôç ìïñöþ x xu; v); y yu; v); üôáí x; y) R : 9..5 - ) Áí ïé óõíáñôþóåéò x xu; v), y yu; v) ïñßæïíôáé ãéá êüèå u; v) R êáé õðüñ ïõí ïé çò ôüîçò ìåñéêýò ðáñüãùãïé ôùí x, y ùò ðñïò u êáé v êáé åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò, åíþ ãéá ôçí ïñßæïõóá ôïõ Jacobi ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý 9::5 ) Ju; v) @x; y) @u; v) x u x v y u y v 9..5 - ) åßíáé Ju; v) > Þ Ju; v) <, ôüôå ï ìåôáó çìáôéóìüò ôïõ ôüðïõ ìýóù ôùí ó Ýóåùí 9::5 ) óôïí ôüðï åßíáé áìöéìïíïóþìáíôïò êáé åöüóïí ôï ïëïêëþñùìá fx; y) dx dy õðüñ åé, èá éó ýåé fx; y) dx dy F u; v) Ju; v) du dv: 9..5-3) Óçìåßùóç 9..5 - Åßíáé Þäç ãíùóôþ óôïí áíáãíþóôç áðü ôï ÌÜèçìá Áüñéóôï ÏëïêëÞñùìá ç ìýèïäïò ôçò áíôéêáôüóôáóçò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôïõ áüñéóôïõ ïëïêëçñþìáôïò fx) dx: Óýìöùíá ìå ôç ìýèïäï áõôþ, áí ôåèåß u gx), ôüôå ðñýðåé áöåíüò íá ãßíåé áíôéêáôüóôáóç ôçò u óôçí f êáé áöåôýñïõ áíôéêáôüóôáóç ôïõ dx ìå ôï du. Ç äéáäéêáóßá áõôþ äßíåôáé óôç óõíý åéá. óôù üôé æçôåßôáé ï õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò e 3x dx:

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 95 Ôüôå, áí ñá 3x u Þ x u 3 ; ïðüôå u ) dx du du Ju) du: ) 3 3 fx) dx e 3x dx e u 3 du F u) Ju) du : : : 3 e3x + c: ) Ôüôå ç 9::5 ) åßíáé ç áíôßóôïé ç ôçò Ju) óôçí ) êáé ç 9::5 3) ôçò F u) Ju) du óôçí ). Ïé êõñéüôåñïé êáìðõëüãñáììïé ìåôáó çìáôéóìïß, ðïõ óõíþèùò ñçóéìïðïéïýíôáé óôéò åöáñìïãýò, äßíïíôáé óôç óõíý åéá. Ãñáììéêïß ìåôáó çìáôéóìïß Ïñéóìüò 9..5 - ãñáììéêüò ìåôáó çìáôéóìüò). íáò ãñáììéêüò ìåôáó çìáôéóìüò linear transformation) Ý åé ãåíéêü ôç ìïñöþ üôáí a; b; c; d R. L T : x au + bv êáé y cu + dv; 9..5-4) Óýìöùíá ìå ôçí 9::5 ) ç ïñßæïõóá ôïõ Jacobi åßíáé x u y u a c Ju; v) ad bc: 9..5-5) b d x v y v Áí ad bc, ôüôå ç 9::5 4) áíôéóôñýöåôáé, ïðüôå fx; y) dx dy ad bc F u; v) du dv: 9..5-6)

96 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÐáñáôçñÞóåéò 9..5 - Ï ìåôáó çìáôéóìüò 9::5 4) i) áíþêåé óôçí êáôçãïñßá ôùí ëåãüìåíùí ïìïãñáöéêþí ìåôáó çìáôéóìþí endomorphism Þ homomorphism), äçëáäþ Ý åé ôçí éäéüôçôá íá äéáôçñåß êáôü ôïí ìåôáó çìáôéóìü ôá ó Þìáôá, äçëáäþ åõèåßåò óå åõèåßåò, ôñßãùíá óå ôñßãùíá, ê.ëð., ii) ñçóéìïðïéåßôáé ìüíïí, üôáí êüíåé åõêïëüôåñï ôïí õðïëïãéóìü ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò. Áõôü èá åßíáé êáé ôï áñáêôçñéóôéêü ãíþñéóìá êüèå áíüëïãïõ ìåôáó çìáôéóìïý, ðïõ ñçóéìïðïéåßôáé óôïõò õðïëïãéóìïýò ôçò ðáñáãñüöïõ áõôþò. ÐáñÜäåéãìá 9..5 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I e y x y+x dx dy; üôáí ôï ôñßãùíï ìå ðëåõñýò ôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí êáé ôçí åõèåßá x + y. Ëýóç. ÅðåéäÞ ç ïëïêëþñùóç ôçò óõíüñôçóçò e y x y+x åßíáé ðñáêôéêü áäýíáôç, ãéá áðëïðïßçóç Ýóôù u y x êáé v y + x: Ëýíïíôáò ùò ðñïò x êáé y, äçëáäþ ëýíïíôáò ôï óýóôçìá x y u x + y v; ðñïêýðôåé üôé ï ãñáììéêüò ìåôáó çìáôéóìüò 9::5 4) ãéá ôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé ùò åîþò: L T : x v u êáé y v + u :

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 97 Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí 9::5 ) ç ïñßæïõóá ôïõ Jacobi åßíáé x u y u Ju; v) : x v y v Ôï ôñßãùíï Ý åé ãéá åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ôïõ ôïõò Üîïíåò ôùí óõíôåôáãìýíùí, äçëáäþ ôéò åõèåßåò Ó. 9..5 - a): x ; y êáé ôçí x + y : ñá ïé åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ôïõ óýìöùíá ìå ôïí ãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü Ó. 9..5 - b) ôñïðïðïéïýíôáé ùò åîþò: åõèåßá x L T : u y y v y + y; ïðüôå u v, äçëáäþ ç åõèåßá v u, åõèåßá y L T : u x x v + x x; ïðüôå u v, äçëáäþ ç åõèåßá v + u, åõèåßá x + y + L T : v ïðüôå v, äçëáäþ ç åõèåßá v. x+y {}}{ y + x ; ìåóï óõìðýñáóìá ôïõ ðáñáðüíù ìåôáó çìáôéóìïý åßíáé ç åðáëþèåõóç ôùí ÐáñáôçñÞóåùí 9..5 - i). Ôüôå áðü ôéò ìåôáó çìáôéóìýíåò åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ðñïêýðôåé üôé: v u êáé v u, ïðüôå u v u, åíþ u.

98 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò y..5..5 u..5..5.5..5. x a) v Ó Þìá 9..5 - : a) Ôï ôñßãùíï ôïõ ôüðïõ êáé b) ôï áíôßóôïé ï ôñßãùíï ìåôü ôïí ãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü. b) ÊáôÜ óõíýðåéá ôï ðåäßï ïñéóìïý ìåôáó çìáôßæåôáé óôï { v; u) : v u v; u }: ñá áðü ôïí ôýðï 9::5 6) Ý ïõìå I v v v v e u v du dv u ) v v e u v du dv u v [ ] e u uv v dv u v e ) v dv e e e : ÐáñÜäåéãìá 9..5 - ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I x + y) dx dy;

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 99 Ó Þìá 9..5 - : ÐáñÜäåéãìá 9..5 -. üôáí ôï ôñßãùíï ôïõ Ó. 9..5 -. Íá ñçóéìïðïéçèåß ï ãñáììéêüò ìåôáó çìáôéóìüò L T : x u + 3v êáé y u 3v: Ëýóç. Áñ éêü óýìöùíá ìå ôçí 9::5 ) ç ïñßæïõóá ôïõ Jacobi åßíáé x u y u 3 Ju; v) : 3 x v y v ): Ôï ôñßãùíï Ý åé ãéá åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ôïõ ôéò åõèåßåò Ó. 9..5 - x ; y x êáé ôçí y x + 5: Ôüôå ïé åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ôïõ óýìöùíá ìå ôïí ãñáììéêü ìåôáó çìáôéóìü ôñïðïðïéïýíôáé ùò åîþò: åõèåßá x äçëáäþ ç åõèåßá u + 3v, L T : x u + 3v Þ u + 3v;

93 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò åõèåßá y x L T : u 3v u + 3v; äçëáäþ ç åõèåßá u, åõèåßá y x + 5 L T : u 3v u + 3v) + 5 Þ 4u 5; äçëáäþ ç åõèåßá u 5 4 : ¼ìïéá áðü ôïí ðáñáðüíù ìåôáó çìáôéóìü õðüñ åé åðáëþèåõóç ôùí ÐáñáôçñÞóåùí 9..5 - i). Ôüôå áðü ôéò ìåôáó çìáôéóìýíåò åîéóþóåéò ôùí ðëåõñþí ðñïêýðôåé üôé: u êáé u 5 4, ïðüôå u 5 4, åíþ v u 3, ðïõ åðåéäþ åßíáé u, ôåëéêü Ý ïõìå üôé ôï ðåäßï ïñéóìïý ìåôáó çìáôßæåôáé óôï { v; u) : u 5 4 ; u 3 v }; åíþ ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç óôçí: x + y u + 3v) + u 3v) 4u: ñá áðü ôïí ôýðï 9::5 6) Ý ïõìå I 54 u3 4 dv u du 48 54 u 3 ) u du 96 3 54 u du 5 6 :

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 93 ÐïëéêÝò óõíôåôáãìýíåò ¼ðùò åßíáé Þäç ãíùóôü ïé ðïëéêýò Ó. 9..5-3b) óõíôåôáãìýíåò r; ) óõíäýïíôáé ìå ôéò êáñôåóéáíýò Ó. 9..5-3a) óõíôåôáãìýíåò x; y) ìå ôéò ó Ýóåéò x r cos êáé y r sin ; üôáí r êáé < : 9..5-7) Ï ìåôáó çìáôéóìüò 9::5 7) åßíáé áìöéìïíïóþìáíôïò ìå ôçí Ýííïéá a) b) Ó Þìá 9..5-3: a) ÊáñôåóéáíÝò êáé b) ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò. üôé óå êüèå óçìåßï x; y) R {; )} áíôéóôïé åß áêñéâþò Ýíá óçìåßï r; ) [; + ) [; ) êáé áíôßóôñïöá, åíþ ãéá ôçí ïñßæïõóá Jacobi ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý åßíáé x r y r cos sin Jr; ) r sin r cos r > : x y Óýìöùíá ìå ôç ó Ýóç 9::5 3) ôï ïëïêëþñùìá fx; y) dx dy óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé fx; y) dx dy F r; ) r dr d: 9..5-8) ÐáñÜäåéãìá 9..5-3 Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I x y dx dy;

93 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üôáí ï ôüðïò åßíáé ôï Üíù çìéêýêëéï ìå êýíôñï ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí êáé áêôßíá r. Ëýóç. Ìåôáó çìáôßæïíôáò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò óýìöùíá ìå ôéò ó Ýóåéò 9::5 7) Ý ïõìå fx; y) x y r F r; ); åíþ åßíáé r [; ] êáé åðåéäþ ðñüêåéôáé ãéá ôï Üíù çìéêýêëéï [; ]. ñá óýìöùíá ìå ôçí 9::5 8) åßíáé I r r dr d r ) r ) dr d r ) + + r r d 3 r ) 3 r r d 3 d 3 : ÐáñÜäåéãìá 9..5-4 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I xy dx dy; üôáí ï ôüðïò åßíáé ï êõêëéêüò ôïìýáò ôïõ ïõ ôåôáñôçìïñßïõ ìåôáîý ôùí êýêëùí êýíôñïõ ; ) êáé áêôßíùí êáé 5 áíôßóôïé á. Ëýóç. Ìåôáó çìáôßæïíôáò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç ãñüöåôáé fx; y) x y r sin cos r sin F r; );

Õðïëïãéóìüò ìå áëëáãþ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí 933 üðïõ r [; 5] êáé åðåéäþ ðñüêåéôáé ãéá ôï ï ôåôáñôçìüñéï åßíáé [; ]. ñá óýìöùíá ìå ôçí 9::5 8) åßíáé I 5 r r sin ) dr d 5 r 3 dr sin d sin [ ] r5 4 r4 d r 69 4 sin d 69 4 cos 69 4 : ÐáñÜäåéãìá 9..5-5 ¼ìïéá ôï I e x +y dx dy; üôáí ï ôüðïò åßíáé ï ìïíáäéáßïò êýêëïò êýíôñïõ ; ). Ëýóç. ¼ìïéá ìåôáó çìáôßæïíôáò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò ç ïëïêëçñùôýá óõíüñôçóç ãñüöåôáé üðïõ r [; ] êáé [; ]. fx; y) e r F r; ); ñá óýìöùíá ìå ôçí 9::5 8) åßíáé I r e r dr d [ r ) ] r er dr d [e r] r d e ) d e ) : r

934 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÁóêÞóåéò. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá xy dx dy; üôáí ï ôüðïò åßíáé: i) ôï ôåôñüãùíï ìå êïñõöýò ôá óçìåßá O; ); A; ); B; ) êáé C; ); ii) ôï ôñßãùíï ìå êïñõöýò O; ); A; ) êáé B; ); iii) ï êõêëéêüò ôïìýáò ìå êýíôñï ôï óçìåßï O; ) êáé Üêñá ôá óçìåßá A; ) êáé B ; ) ôïõ êýêëïõ x + y 4:. ñçóéìïðïéþíôáò êáôüëëçëï ìåôáó çìáôéóìü íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá xy dx dy; üôáí ï ôüðïò ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí Üîïíá ôùí x êáé ôï Üíù ìýñïò ôïõ êýêëïõ x ) + y 4: 9..6 Õðïëïãéóìüò åìâáäþí åðßðåäùí ó çìüôùí Ïñéóìüò 9..6 -. Ôï åìâáäüí E åíüò åðßðåäïõ ó Þìáôïò äßíåôáé áðü ôïí ôýðï E dx dy: 9..6 - )

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 935 Ôüôå, áí ôï ïñßæåôáé óå êáñôåóéáíýò óõíôåôáãìýíåò áðü ôéò ó Ýóåéò a x b êáé x) y x); åßíáé åíþ, áí óå E b a x) x) dy dx; 9..6 - ) ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò áðü ôéò ó Ýóåéò êáé r ) r r ); åßíáé E r ) r ) r dr d: 9..6-3) ÐáñÜäåéãìá 9..6 - Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôçò ðåñéï Þò ðïõ âñßóêåôáé óôï åóùôåñéêü ôçò ðåñéï Þò ìå åîßóùóç r 3 + sin êáé óôï åîùôåñéêü ôïõ êýêëïõ êýíôñïõ ; 9) êáé áêôßíáò r Ó. 9..6 - a). Ëýóç. Áñ éêü õðïëïãßæïíôáé ôá êïéíü óçìåßá ôùí äýï ðåñéï þí Ó. 9..6 - b) èýôïíôáò: 3 + sin ; ïðüôå sin sin ) : 6 4 ñá 4Õðåíèõìßæåôáé üôé 6 ; 7 6 ; sin x sin a x k + a Þ x k + a; üôáí k Z:

936 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò a) b) Ó Þìá 9..6 - : ÐáñÜäåéãìá 9..6 - : a) ç ðåñéï Þ êáé b) ôá êïéíü óçìåßá. ïðüôå óýìöùíá ìå ôçí 9::6 3) åßíáé E [ r ) r ) dr ] d 76 6 3+ sin r dr d 76 6 76 6 76 6 [ ] 3+ sin r d cos 5 {}}{ + 6 cos + sin d ) 7 + 6 cos cos d [ 7 6 cos ] 76 cos 6 3 + 4 3 4:87:

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 937 9..7 Åìâáäüí åðéöüíåéáò Ïñéóìüò 9..7 -. Ôï åìâáäüí A ôçò åðéöüíåéáò S, ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç óõíüñôçóç z fx; y) ôçò ïðïßáò ç ðñïâïëþ óôï åðßðåäï xy åßíáé ï ôüðïò, äßíåôáé áðü ôïí ôýðï A + ) @f + @x ) @f dx dy: 9..7 - ) @y ÐáñÜäåéãìá 9..7 - Áí fx; y) y êáé { x ; :5 y :5} ; ôüôå A :5 + 4y dy dx :5 [ y ] y:5 + 4y + sinh y dy 4 y :5 :47794 dx :95 587:

938 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðïëïãéóìüò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò I + 4y dy Åöáñìüæïíôáò ðáñáãïíôéêþ ïëïêëþñùóç Ý ïõìå I + 4y dy y) + 4y dy y + 4y y + 4y y + 4y [ y + 4y ) ] dy y [ ] 8y dy + 4y 4y + 4y dy y 4y + 4y + dy + 4y y + 4y 4y + dy + 4y + 4y dy sinh y y {}}{ + 4y + 4y dy + dy + 4y y + 4y I + sinh y ñá + 4y dy y + 4y + 4 sinh y: 9..7 - ) 9..8 Õðïëïãéóìüò ìüæáò Ïñéóìüò 9..8 -. Áí x; y) ìå x; y) > ãéá êüèå x; y) ðáñéóôüíåé ôçí ðõêíüôçôá ôçò ìüæáò, ðïõ êáôáíýìåôáé ìå óõíå Þ ôñüðï óôï, ôüôå ç óõíïëéêþ ìüæá M ôïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï M x; y) dx dy: 9..8 - )

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 939 ÅðéðëÝïí ïé óõíôåôáãìýíåò x; y) ôïõ êýíôñïõ ìüæáò äßíïíôáé áðü ôéò ó Ýóåéò x M y M êáé y M x M ; üðïõ ïé M x y x; y) dx dy êáé M y x x; y) dx dy åßíáé ïé ñïðýò çò ôüîçò ôïõ ùò ðñïò x êáé y-üîïíá áíôßóôïé á. Ôüôå ç ñïðþ áäñüíåéáò ùò ðñïò ôïí x-üîïíá ïñßæåôáé íá åßíáé ç I x x y x; y) dx dy êáé ùò ðñïò ôïí y-üîïíá ç I y x y x; y) dx dy: ÐáñÜäåéãìá 9..8 - Íá õðïëïãéóôåß ôï êýíôñï ìüæáò êáé ïé ñïðýò áäñüíåéáò ùò ðñïò ôïõò x êáé y-üîïíåò ôçò ðåñéï Þò ðïõ ïñßæåôáé áðü ôï ôñßãùíï ìå êïñõöýò óôá óçìåßá ; ); ; ) êáé ; ); üôáí ç ðõêíüôçôá åßíáé x + y. Ëýóç. Ôï ôñßãùíï Ó. 9..8 - ) ðåñéãñüöåôáé ùò åîþò: {x; y) : y x; x } ; äçëáäþ áíþêåé óôçí Ðåñßðôùóç II.

94 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò..8.6.4. y..4.6.8. x Ó Þìá 9..8 - : ÐáñÜäåéãìá 9..8 -. Ôüôå äéáäï éêü Ý ïõìå üôé x x óôáèåñü {}}{ M x + y ) dy dx ] yx [xy + y3 dx 3 y M x M y I x ) x + x3 dx x3 3 3 + x4 x x 3 y x + y ) dy dx + x4 4 x ) dx x4 8 + x5 x x + y ) dy dx ) x 3 + x4 dx x4 3 4 + x5 5 x x 4 y x + y ) dy dx 3 + x5 5 ) dx x5 5 + x6 3 3 + 5 ; ] yx [x y + y4 dx 4 y 8 + 7 4 ; ] yx [x y + x y3 dx 3 y 4 + 5 9 6 ; ] yx [x y3 3 + y5 dx 5 y 5 + 3 ;

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 94. y.5..5..4.6.8. x Ó Þìá 9..8 - : ÐáñÜäåéãìá 9..8 -. ñá I y x x x + y ) dy dx ) x 4 + x5 dx x5 3 5 + x6 8 x M y M 9 5 ; y M x M : ] yx [x 3 y + x y3 dx 3 y 5 + 8 3 9 : ÐáñÜäåéãìá 9..8 - ¼ìïéá ôï êýíôñï ìüæáò ôçò ôñéãùíéêþò ðåñéï Þò ìå êïñõöýò ôá óçìåßá ; ); ; ) êáé ; ); üôáí ç ðõêíüôçôá åßíáé + x + 3y. Ëýóç. óôù A; ) êáé B; ). ñá ðñüêåéôáé ãéá ïñèïãþíéï ôñßãùíï ìå êïñõöþ ôï ; ) êáé õðïôåßíïõóá ôçí AB. Ãéá ôçí åîßóùóç ôçò ÁÂ

94 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñçóéìïðïéåßôáé ï ôýðïò x x x x y y y y ; üðïõ A; ) x ; y ) êáé B; ) x ; y ), ïðüôå x y ; äçëáäþ y x: ñá ôï ôñßãùíï Ó. 9..8 - ) ðåñéãñüöåôáé ùò åîþò: {x; y) : y x; x } ; äçëáäþ áíþêåé üìïéá óôçí Ðåñßðôùóç II. Ôüôå äéáäï éêü Ý ïõìå üôé M x + x + 3y) dy dx [y + x y + 3 y ] y x y dx [ x + x x) + ] 3 x) dx 8 x + 4 x ) dx 8x 6x + 4 x3 3 3 ;

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 943 M y x x + x + 3y) dy dx ] y x [x + x) y + 3 y3 dx 3 y M x x 8x x + 4x 3) dx 4x 4x 3 + x 4 ; y + x + 3y) dy dx 7 6 : ñá ] y x [ + x) y + 3 y3 dx 3 y 6x + x 6x 3) dx x 3x + x3 3 x M y M 3 ; y M x M 7 : 6x4 4 ÐáñÜäåéãìá 9..8-3 Ìéá åðßðåäç ðëüêá óôï xy-åðßðåäï ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí êáìðýëç x y êáé ôçí åõèåßá x 4. Áí ç ðõêíüôçôá óå êüèå óçìåßï ôçò åßíáé áíüëïãç áðü ôçí áðüóôáóþ ôçò áðü ôïí y-üîïíá, íá õðïëïãéóôåß ç ìüæá ôçò ðëüêáò êáé ôï êýíôñï ìüæáò ôçò. Ëýóç. Ôá êïéíü óçìåßá ôçò êáìðýëçò êáé ôçò åõèåßáò õðïëïãßæïíôáé ùò åîþò: x y x 4; ïðüôå y 4; äçëáäþ y ±:

944 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò y 3 4 x Ó Þìá 9..8-3: ÐáñÜäåéãìá 9..8-3. ñá ï ôüðïò Ó. 9..8-3) ðåñéãñüöåôáé ùò åîþò: { x; y) : y x 4; y } ; äçëáäþ áíþêåé óôçí Ðåñßðôùóç III. ÅðïìÝíùò äéáäï éêü Ý ïõìå M 4 y x dx dy [ x ] x4 xy dy [ 4 y ) ] dy ) 8 y y5 8 5 ; 6 y 4 ) dy

ÅöáñìïãÝò ôùí äéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 945 M y 4 y fx;y)x {}}{ x dx dy [ x 3 3 ] x4 xy dy 3 M x 64 y 6 ) dy 3 4 y fx;y)x {}}{ x y dx dy ] [64 y y7 5 7 7 ; ] x4 [y x xy dy ñá ) 8y y5 dy : x M y M 7 ; y M x M : óêçóç Ìßá ëåðôþ ðëüêá ïñßæåôáé áðü ôçí ðáñáâïëþ y x x êáé ôïí Üîïíá ôùí x. Íá ðñïóäéïñéóôåß ç ïëéêþ ìüæá ôçò êáé ïé óõíôåôáãìýíåò x; y) ôïõ êýíôñïõ âüñïõò ôçò ìüæáò, üôáí ç ðõêíüôçôá óå êüèå óçìåßï ôçò x; y) åßíáé 9..9 Õðïëïãéóìüò üãêùí y + x : Ïñéóìüò 9..9 -. Ï üãêïò V ôïõ óôåñåïý ðïõ ïñßæåôáé áðü ôçí åðéöüíåéá S ìå åîßóùóç z fx; y), üôáí fx; y) ãéá êüèå x; y), ôï åðßðåäï xy êáé áðü ôçí êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá ðïõ Ý åé ïäçãü ôï óýíïñï @ ôïõ êáé ãåíýôåéñåò ðáñüëëçëåò ðñïò ôïí z-üîïíá äßíåôáé áðü ôïí ôýðï V fx; y) dx dy: 9..9 - )

946 ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá 9..9 - : ÐáñÜäåéãìá 9..9 -. Ïñéóìüò 9..9 -. Áí fx; y) gx; y) ãéá êüèå x; y), ôüôå ï üãêïò V ôïõ óôåñåïý ðïõ öñüóóåôáé áðü ôçí åðéöüíåéá z gx; y) êáé w fx; y), áðü ôçí êõëéíäñéêþ åðéöüíåéá ðïõ Ý åé ïäçãü ôï óýíïñï @ ôïõ êáé ãåíýôåéñåò ðáñüëëçëåò ðñïò ôïí z-üîïíá äßíåôáé áðü ôïí ôýðï V fx; y) gx; y) dx dy: 9..9 - ) ÐáñÜäåéãìá 9..9 - Íá õðïëïãéóôåß ï üãêïò ôïõ óôåñåïý ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôï óôåñåü ìå åîßóùóç z x + y êáé ôï åðßðåäï z 6 Ó. 9..9 - ). Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::9 ) ï æçôïýìåíïò üãêïò, Ýóôù V, èá ðñïêýøåé áðü ôç äéáöïñü ôïõ üãêïõ ôïõ åðéðýäïõ êáé ôïõ óôåñåïý, äçëáäþ V 6 dx dy x + y ) dx dy [ 6 x + y )] dx dy fx; y) dx dy: Áðü ôç ìïñöþ ôçò ïëïêëçñùôýáò óõíüñôçóçò fx; y) ðñïêýðôåé ôüôå üôé ï ôüðïò åßíáé Ýíáò êýêëïò êýíôñïõ ; ) êáé áêôßíáò r 4.

Ïñéóìüò 947 Ôüôå ìåôáó çìáôßæïíôáò óå ðïëéêýò óõíôåôáãìýíåò x r cos, y r sin ) Ý ïõìå fx; y) 6 r sin r cos 6 r F r; ); üðïõ r [; 4] êáé [; ] ïðüôå áðü ôéò 9::5 8) êáé 9::9 ) ðñïêýðôåé üôé V [ 6 x + y )] dx dy [ 4 r 6 r ) ] dr d [[ 8r 4 r4 ] r4 r d 64 d 8 : 9. ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. Ïñéóìüò Åßíáé Þäç ãíùóôü áðü ôçí ÅéóáãùãÞ ôïõ ÌáèÞìáôïò ÐáñÜãñáöïò 9..) üôé ôï ïñéóìýíï ïëïêëþñùìá b a fx) dx ðáñéóôüíåé ãåùìåôñéêü ôï åìâáäüí ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí êáìðýëç y fx), ôéò åõèåßåò x a; b êáé ôïí x-üîïíá Ó. 9.. - ), åíþ áðü ôïí ïñéóìü ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò ÐáñÜãñáöïò 9..3) üôé ôï fx; y) dx dy ðáñéóôüíåé ôïí üãêï ôïõ óôåñåïý ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü ôçí åðéöüíåéá z fx; y), ôï ðåäßï ïñéóìïý êáé ôïõ ïðïßïõ ïé áêìýò åßíáé ðáñüëëçëåò ðñïò ôïí z-üîïíá Ó. 9.. - ). Åðåêôåßíïíôáò ôéò ðáñáðüíù ãåùìåôñéêýò åñìçíåßåò Ýóôù ç óõíüñôçóç fx; y; z) ìå ðåäßï ïñéóìïý [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ] R 3 ; ðïõ õðïôßèåôáé üôé åßíáé öñáãìýíç ãéá êüèå x; y; z). Áí óôçí ðåñßðôùóç

948 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò f x a b x Ó Þìá 9.. - : fx) dx. b a ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò Ó Þìá 9.. - : fx; y) dx dy. ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò

Ïñéóìüò 949 áõôþ ï ôüðïò õðïäéáéñåèåß áðü ôá óçìåßá x i [a ; b ] ; i ; ; : : : ; n ìå ðëüôïò äéáìýñéóçò x; y j [a ; b ] ; j ; ; : : : ; m : : : y; z k [a 3 ; b 3 ] ; k ; ; : : : ; p : : : z; ôüôå, Ýóôù A x y z ï üãêïò ôïõ óôïé åéþäïõò ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ ôçò ðáñáðüíù ) äéáìýñéóçò. Ç áðåéêüíéóç óå Üîïíá óõíôåôáãìýíùí ôçò ôéìþò f x i ; y j ; z k ãßíåôáé ðñïóèýôïíôáò óôéò Þäç ãíùóôýò ôñåéò äéáóôüóåéò x; y; z ìéá åðéðëýïí 4ç äéüóôáóç. Ôüôå Ý åé Ýííïéá ôï ðáñáêüôù Üèñïéóìá: V f x ; y ; z ) A + : : : + f x n; y m; z p) A: 9.. - ) Áðïäåéêíýåôáé óôçí ÁíÜëõóç üôé, üôáí ç äéáãþíéïò ôùí ðáñáðüíù ðáñáëëçëåðéðýäùí ôåßíåé óôï ìçäýí êáèþò ôá n; m p +, ôï Üèñïéóìá 9:: ) óõãêëßíåé ðñïò Ýíáí áñéèìü, Ýóôù I, ðïõ åßíáé áíåîüñôçôïò áðü ôçí åðéëïãþ ôùí óçìåßùí x i ; y j ; z k ). 5 Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù äßíåôáé óôç óõíý åéá ï ðáñáêüôù ïñéóìüò: Ïñéóìüò 9.. - ôñéðëïý ïëïêëçñþìáôïò). Ïñßæåôáé ùò ôñéðëü ïëïêëþñùìá triple integral) ôçò fx; y; z) óôï [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ] ç ïñéáêþ ôéìþ I fx; y; z) dx dy dz lim n; m p + n i m p f x i ; yj ; yk) A; 9.. - ) j k åöüóïí ç ïñéáêþ ôéìþ õðüñ åé. f. Ï ðáñáðüíù ïñéóìüò ãåíéêåýåôáé ãéá êüèå öñáãìýíï ðåäßï ïñéóìïý ôçò 5¼ìïéá ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [,, 3, 4] êáé: http : en:wikipedia:orgwikit riple integral

95 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ÃåùìåôñéêÞ åñìçíåßá Áí ç 4ç äéüóôáóç óõìâïëßæåé ôïí ñüíï t, ôüôå áëëüæïíôáò ôç óåéñü ôùí ìåôáâëçôþí, Ýóôù üôé ç óõíüñôçóç ðïõ ïëïêëçñþíåôáé åßíáé ìå ìåôáâëçôýò x; y; t êáé ç ôýôáñôç äéüóôáóç åßíáé ç z. ÕðïèÝôïíôáò üôé ïé ìåôáâëçôýò x, y åßíáé åðßóçò óõíáñôþóåéò ôïõ t, ôüôå äßíïíôáò ìéá ôéìþ óôï t, Ýóôù t, ôï ïëïêëþñùìá ôçò z f x; y; t ) èá ïñßæåé óýìöùíá êáé ìå ôç ãåùìåôñéêþ åñìçíåßá ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò ôïí üãêï ôïõ áíôßóôïé ïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëåðéðýäïõ. Áðü ôá ðáñáðüíù ðñïêýðôåé üôé: Ðñüôáóç 9.. -. Ôï ôñéðëü ïëïêëþñùìá óõìâïëßæåé ãåùìåôñéêü ôçí ôéìþ ôïõ üãêïõ, ðïõ äçìéïõñãåßôáé óå äåäïìýíç ñïíéêþ óôéãìþ t áðü ôá áíôßóôïé á x; y; z). 9.. Éäéüôçôåò Äßíïíôáé óôç óõíý åéá ìå ôç ìïñöþ èåùñçìüôùí ïé êõñéüôåñåò éäéüôçôåò ôïõ ôñéðëïý ïëïêëçñþìáôïò. Ôï ðåäßï ïñéóìïý, Ýóôù, ôùí óõíáñôþóåùí õðïôßèåôáé üôé åßíáé êëåéóôü êáé öñáãìýíï. Èåþñçìá 9.. - ãñáììéêþ). Áí ïé óõíáñôþóåéò f; g åßíáé ïëïêëçñþóéìåò åðß ôïõ êáé k; R, ôüôå [k fx; y; z) + gx; y; z)] dx dy dz k + fx; y; z) dx dy dz gx; y; z) dx dy dz: Ç éäéüôçôá ãåíéêåýåôáé.

Éäéüôçôåò 95 Èåþñçìá 9.. - áèñïéóôéêþ). Áí ç ðåñéï Þ áðïôåëåßôáé áðü ôéò ùñéóôýò ðåñéï Ýò êáé, äçëáäþ êáé, ôüôå fx; y; z) dx dy dz fx; y; z) dx dy dz + fx; y; z) dx dy dz; åíþ, áí, äçëáäþ õðüñ åé åðéêüëõøç ôùí ðåñéï þí êáé óôçí ðåñéï Þ, ôüôå fx; y; z) dx dy dz fx; y; z) dx dy dz + fx; y; z) dx dy dz: fx; y; z) dx dy dz Èåþñçìá 9.. - 3 óýãêñéóçò). Áí fx; y; z) gx; y; z) ãéá êüèå x; y; z) êáé ïé óõíáñôþóåéò f; g åßíáé ïëïêëçñþóéìåò åðß ôïõ, ôüôå fx; y; z) dx dy dz gx; y; z) dx dy dz: ÅéäéêÜ, áí gx; y; z) > ãéá êüèå x; y; z), ôüôå gx; y; z) dx dy dz > : Èåþñçìá 9.. - 4. Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå fx; y; z) dx dy dz fx; y; z) dx dy dz:

95 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Èåþñçìá 9.. - 5. Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ êáé ôï åßíáé áìåëçôýïõ åìâáäïý, ôüôå fx; y; z) dx dy dz : Èåþñçìá 9.. - 6 ìýóçò ôéìþò). Áí ç óõíüñôçóç f åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå fx; y; z) dx dy dz f x ; y ; z ) V; üðïõ V ï üãêïò ôïõ ôüðïõ êáé x ; y ; z ). 9..3 ÌÝèïäïé õðïëïãéóìïý Ï õðïëïãéóìüò ôïõ ôñéðëïý ïëïêëçñþìáôïò 9:: ) åîáñôüôáé áðü ôç ìïñöþ ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý. Áðü ôéò õðüñ ïõóåò ìåèüäïõò õðïëïãéóìïý èá åîåôáóôïýí ìüíïí ïé ðáñáêüôù äýï. 6 I. { x; y; z) R 3 : a x b ; a y b ; a 3 z b 3 }, äçëáäþ êáé ïé ôñåéò ìåôáâëçôýò ìåôáâüëëïíôáé óå äéáóôþìáôá ìå óôáèåñü Üêñá Þ äéáöïñåôéêü ôï ðåäßï ïñéóìïý åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëåðßðåäï. Ôüôå ï õðïëïãéóìüò ãßíåôáé óýìöùíá ìå ôï ðáñáêüôù èåþñçìá: Èåþñçìá 9..3 - Fubini). Áí ç óõíüñôçóç f ìå ðåäßï ïñéóìïý [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ] { x; y; z) R 3 : a x b ; a y b ; a 3 z b 3 } 6Ï áíáãíþóôçò ãéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [,, 4].

åßíáé ïëïêëçñþóéìç åðß ôïõ, ôüôå ÌÝèïäïé õðïëïãéóìïý 953 f x; y; z) dx dy dz b b a a b b 3 a a 3 b 3 b a 3 a b 3 a 3 b a b a f x; y; z) dz dy dx f x; y; z) dx dz dy f x; y; z) dy dx dz: Ôï èåþñçìá áõôü åßíáé ìéá ãåíßêåõóç ôïõ áíôßóôïé ïõ èåùñþìáôïò ôïõ Fubini ãéá ôá äéðëü ïëïêëçñþìáôá. Óýìöùíá ìå ôï èåþñçìá, ç ôéìþ ôïõ ôñéðëïý ïëïêëçñþìáôïò åßíáé áíåîüñôçôç áðü ôç óåéñü ïëïêëþñùóçò. ÐáñÜäåéãìá 9..3 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I 8 xyz dx dy dz; üôáí { x; y; z) R 3 x 3; y ; z } :

954 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::3 ) Ý ïõìå I 8 xyz dx dy dz 3 xy óôáèåñýò {}}{ 8 xyz dz dx dy 3 [ 4 xyz ] z z dx dy 3 y óôáèåñü {}}{ 4 xy dx dy [ x y ] x3 x dx y dy 5: II. Ôüôå éó ýåé {x; y; z) R 3 : a x b ; x) y x) I b a z x; y) z z x; y)} fx; y; z) dx dy dz 9..3 - ) x) x) z x;y) z x;y) fx; y; z) dz dy dx; äçëáäþ ç ïëïêëþñùóç ãßíåôáé ðñþôá áðü ôç ìåôáâëçôþ ðïõ åîáñôüôáé áðü ôéò Üëëåò äýï ìåôáâëçôýò.

ÌÝèïäïé õðïëïãéóìïý 955 ÐáñÜäåéãìá 9..3 - Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I x 3 y z dx dy dz; üôáí { x; y; z) R 3 x ; y x; z xy } : Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï 9::3 3) Ý ïõìå I x 3 y z dx dy dz x xy x 3 y z dz dy dx x [ ] zxy x3 y z z dy dx x x 5 y 4 dy dx [ ] yx 5 x5 y 5 dx x dx y : ÐáñÜäåéãìá 9..3-3 ¼ìïéá ôï ïëïêëþñùìá I x + y z ) dx dy dz; üôáí { x; y; z) R 3 : x + y + z ; x; y; z } :

956 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ó Þìá 9..3 - : Ï ôüðïò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò 9..3-3. Ëýóç. Ï ôüðïò ðåñéãñüöåôáé ùò åîþò Ó. 9..3 - ): {x; y; z) R 3 : x ; y x z x y}: Ôüôå üìïéá ìå ôïí ôýðï 9::3 3) Ý ïõìå I x + y z ) dx dy dz x x y x + y z ) dz dy dx x [x z + y z z3 3 ] z x y z dy dx x x3 + x4 ) dx 6 :

ÌÝèïäïé õðïëïãéóìïý 957 ÐáñáôÞñçóç 9..3 - Óôçí êáôçãïñßá áõôþ õðüñ ïõí ïé ðáñáêüôù Üëëïé äýï ôýðïé ðáñüóôáóçò ôïõ ôüðïõ : {x; y; z) R 3 : a y b ; y) z y) z y; z) x z y; z)} Ôüôå éó ýåé I b a fx; y; z) dx dy dz 9..3 - ) y) y) z y;z) z y;z) fx; y; z) dx dz dy: {x; y; z) R 3 : a z b ; z) x z) z x; z) y z x; z)} Ôüôå éó ýåé I b a fx; y; z) dx dy dz 9..3-3) z) z) z x;z) z x;z) fx; y; z) dy dx dz: óêçóç Íá õðïëïãéóôïýí ôá ôñéðëü ïëïêëçñþìáôá I fx; y; z) dx dy dz; üôáí ç óõíüñôçóç f éóïýôáé ìå:

958 ÔñéðëÜ ïëïêëçñþìáôá Êáè. Á. ÌðñÜôóïò i) xy êáé { x; y; z) R 3 : x ; y ; z 3 } ; ii) x + y + z + ) êáé ôï óôåñåü ìåôáîý ôùí åðéðýäùí x ; y ; z ; êáé x + y + z : iii) z x + y êáé ôï óôåñåü ìåôáîý ôùí åðéöáíåéþí x z; z ; êáé x + y : iv) x + y + z êáé ôï åóùôåñéêü ôçò ìïíáäéáßáò óöáßñáò ìå êýíôñï ôï óçìåßï ; ; ). v) xyz êáé ôï åóùôåñéêü ôïõ åëëåéøïåéäïýò ÁðáíôÞóåéò x a + y b + z ; üôáí x; y; z : c 3 i) I xy dx dz dy 5 4 ;, ii) 8 ln 5 6 ;, iii) ; iv) 4 5 ; v) a b c 48 : 9..4 ÅöáñìïãÝò ôùí ôñéðëþí ïëïêëçñùìüôùí Õðïëïãéóìüò üãêùí Ïñéóìüò 9..4 -. Áí ï ôüðïò åßíáé êëåéóôü êáé öñáãìýíï óôåñåü, ôüôå ï üãêïò V ôïõ éóïýôáé ìå ôçí ôéìþ ôïõ ôñéðëïý ïëïêëçñþìáôïò V dx dy dz: 9..4 - )

Õðïëïãéóìüò ìüæáò ÅöáñìïãÝò ôùí ôñéðëþí ïëïêëçñùìüôùí 959 Ïñéóìüò 9..4 -. Áí x; y; z) ìå x; y; z) > ãéá êüèå x; y; z) ðáñéóôüíåé ôçí ðõêíüôçôá ôçò ìüæáò, ðïõ êáôáíýìåôáé ìå óõíå Þ ôñüðï óôï, ôüôå ç óõíïëéêþ ìüæá M ôïõ äßíåôáé áðü ôïí ôýðï M x; y; z) dx dy dz: 9..4 - ) Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ôï êýíôñï âüñïõò x ; y ) äßíåôáé áðü ôéò ó Ýóåéò üðïõ ïé x M yz M ; M yz M xz M xy åßíáé ïé ñïðýò çò ôüîçò ôïõ. y M xz M êáé z M xy M ; x x; y; z) dx dy dz; y x; y; z) dx dy dz; z x; y; z) dx dy dz êáé

9.3 Âéâëéïãñáößá [] ÌðñÜôóïò, Á. ). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 96{35{453{5/978{96{35{453{4. [] Finney, R. L. & Giordano, F. R. 4). Áðåéñïóôéêüò Ëïãéóìüò ÉÉ. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{96{54{84{. [3] Marsden, J.E. & Tromba, A.J. ). Äéáíõóìáôéêüò Ëïãéóìüò. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{96{73{945{7. [4] Spiegel, M. & Wrede, R. 6). Áíþôåñá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Ôæéüëá. ISBN 96{48{87{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí http://en.wikipedia.org/wiki/main Page http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm http://mathworld.wolfram.com/ http://eom.springer.de/ 96