ΟΡΥΚΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 3. ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ Ταξινόμηση των κρυστάλλων σαν στερεά σχήματα και οι συμμετρίες Ηλίας Χατζηθεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Νοέμβριος 2004, Ιανουάριος 2012
ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
ΠΩΣ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΤΑ 7 ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 3 Προκύπτουν από: Το εξωτερικό σχήμα των κρυστάλλων που ορίζεται από: Ακμές Έδρες Κορυφές Βασιστήκαμε σε σύστημα συντεταγμένων, δηλαδή τους κρυσταλλογραφικούς άξονες a-b-c, και στους συνδυασμούς που προκύπτουν από: Τις γωνίες μεταξύ των αξόνων Το σχετικό μέγεθος των μοναδιαίων διανυσμάτων που επιλέγουμε για τον κάθε άξονα Τα παραπάνω βασίζονται στο νόμο των παραμέτρων Οι συνδυασμοί που προκύπτουν είναι μόνο επτά, δηλαδή τα 7 κρυσταλλογραφικά συστήματα.
ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ... 4 Άξονες (1 ης ), 2 ης, 3 ης, 4 ης, 6 ης τάξης κανονικοί 2 ης, 3 ης, 4 ης, 6 ης τάξης πολικοί Στροφοαναστροφής Στροφοκατοπτρικοί Επίπεδα Κύρια (κάθετα προς τους κύριους άξονες) Δευτερεύοντα (παράλληλα προς τους κύριους άξονες) Κέντρο συμμετρίας, Ζ
...ΚΑΙ ΣΥΝΔΥΑΖΟΝΤΑΣ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΟΙ 32 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΕΣ ΤΑΞΕΙΣ 5 Υπάρχουν μόνο 32 κρυσταλλικές τάξεις: αυτό έχει αποδειχθεί μαθηματικά και γεωμετρικά Όλοι οι άλλοι πιθανοί συνδυασμοί είναι επαναλήψεις μιας από τις 32 κρυσταλλικές τάξεις Έχουν προκύψει γεωμετρικές προτάσεις που αποκλείουν τις επαναλήψεις (μερικά παραδείγματα ακολουθούν)
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 1 6 Όταν ένα σχήμα έχει έναν μόνο άξονα συμμετρίας (c n ), κάθε επίπεδο συμμετρίας θα είναι κάθετο σε αυτόν ή θα διέρχεται από αυτόν (παράλληλο) C n C 3 C4
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 2 7 Όταν ένα σχήμα έχει έναν μόνο κύριο άξονα συμμετρίας (c n ) και έναν άξονα δεύτερης τάξης (c 2 ), τότε ο κύριος άξονας πρέπει να είναι οπωσδήποτε κάθετος στον δεύτερης τάξης. C n Παράδειγμα 2 ης τάξης C 2 C 2 C 2 C 2
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 3 8 Όταν υπάρχει άξονας άρτιας τάξης c n (n=2,4,6) και επίπεδο m κάθετο σε αυτόν, πρέπει να υπάρχει και κέντρο συμμετρίας Ζ. Τα στοιχεία c n, m και Z ανά δύο λαμβανόμενα απαιτούν την ύπαρξη του τρίτου. c 4 3 4 Z 2 1
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 4 9 Όταν υπάρχει άξονας c n και ένα επίπεδο που διέρχεται από αυτόν, τότε οπωσδήποτε υπάρχουν n επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα. c 4 4 3 1 2
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 5 10 Όταν υπάρχει άξονας περιττής τάξης c n (n=3) και επίπεδο m κάθετο σε αυτόν, δεν μπορεί να υπάρχει κέντρο συμμετρίας Ζ c 3 Z
ΣΥΜΒΟΛΑ ΤΩΝ 32 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ 11 Δύο είδη συμβόλων χρησιμοποιούνται: Του Schönflies: χημεία και ορυκτολογία Των Hermann-Mauguin: κρυσταλλογραφία Στους πίνακες μπορεί να δίνονται και περιγραφικά τα στοιχεία συμμετρίας (περιέχονται στις σημειώσεις σας) Επίσης μπορεί να δίνονται και γενικές μορφές της στερεογραφικής προβολής του Wulf. Ακόμη κάποια σχήματα κρυστάλλων αντιπροσωπευτικά, ωστόσο μπορεί να διαφέρουν εξωτερικά από τους υπό μελέτη κρυστάλλους.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ WULF 12 Καμία συμμετρία (άξονας 1 ης ) + Τρεις άξονες δεύτερης τάξης C 2 C 2 + + Ζ Κέντρο συμμετρίας + Το δίκτυο Wulf χωρίς κανένα Στοιχείο συμμετρίας C 2 + Σημείο στο επάνω ημισφαίριο Σημείο στο κάτω ημισφαίριο Άξονας συμμετρίας Επίπεδο συμμετρίας Σύμβολα άξονα 2 ης τάξης
ΣΥΜΒΟΛΑ Schönflies 13 Άξονες συμμετρίας: c 1, c 2, c 3, c 4, c 6 Δίεδρες ομάδες: D 2, D 3, D 4, D 6 (όταν στους c n υπάρχουν κάθετοι άξονες δεύτερης τάξης) Επίπεδα κάθετα σε άξονες συμμετρίας: c 2h, c 3h, c 4h, c 6h Επίπεδα παράλληλα (περιέχουν) σε άξονες συμμετρίας: c 2v, c 3v, c 4v, c 6v Αντίστοιχα για δίεδρες ομάδες: D 2h, D 3h, D 4h, D 6h και για διαγώνια επίπεδα (διχοτόμηση των γωνιών των αξόνων) έχουμε τα D 2d, D 3d Η τετραεδρική ομάδα Τ προκύπτει όταν οι τρεις άξονες της D 2 γίνουν όμοιοι. Όταν αντικαταστήσουμε τους άξονες της 2 ης τάξης της ομάδας Τ με 4 ης τάξης, προκύπτει η ομάδα Ο, δηλαδή η οκταεδρική ομάδα. Οι τάξεις Τ και Ο έχουν μόνο άξονες συμμετρίας, αλλά εάν προσθέσουμε και επίπεδα συμμετρίας προκύπτουν οι: Τ d, Τ h, και Ο h. Η τάξη s 4 περιέχει έναν άξονα 4 ης στροφοκατοπτρικό Η c i έχει κέντρο στροφοαναστροφής Η c s έχει μόνο ένα επίπεδο συμμετρίας Η c 3i έχει άξονα 6 ης τάξης στροφοκατοπτρικό (ισοδύναμος με άξονα 3 ης και κέντρο στροφοαναστροφής)
ΣΥΜΒΟΛΑ HERMANN-MAUGUIN 14 Οι άξονες συμβολίζονται με αριθμούς: 1, 2, 3, 4, 6 Οι άξονες 2, 3, 4, 6 είναι στροφοκατοπτρικοί Το σύμβολο m σημαίνει επίπεδο συμμετρίας, και εάν είναι κάθετο σε άξονα συμβολίζεται π.χ. με 2/m (είναι το ίδιο με c 2h κατά Schönflies). Τα σύμβολα γράφονται σε τριάδες και αντιστοιχούν στους τρεις άξονες συντεταγμένων, π.χ. mm2, 222, mmm κτλ. Συντμήσεις έχουν γίνει μετά από διεθνές συνέδριο για απλούστευση των συμβολισμών.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΟΝΟΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΑ HERMANN-MAUGUIN 15 Τα σύμβολα P, I, C προκύπτουν από τα πλέγματα Bravais που θα δούμε παρακάτω.
ΟΛΟΕΔΡΙΕΣ ΚΑΙ ΜΕΡΟΕΔΡΙΕΣ 16 Οι τάξεις του ίδιου κρυσταλλογραφικού συστήματος με το μεγαλύτερο πλήθος στοιχείων συμμετρίας ονομάζονται ολοεδρίες. Έχουν δηλαδή την μεγαλύτερη δυνατή συμμετρία για το σύστημα στο οποίο κρυσταλλώνονται. Οι υπόλοιπες τάξεις που έχουν λιγότερα στοιχεία συμμετρίας, και κατ επέκταση μικρότερη συμμετρία, ονομάζονται μεροεδρίες. Μεροεδρίες που καταλήγουν στον μισό αριθμό εδρών από την ολοεδρία λέγονται ημιεδρίες, στο ένα τέταρτο των εδρών λέγονται τεταρτοεδρία κτλ. Όταν έχουμε μείωση συμμετρίας και παρουσία πολικού άξονα, τότε μιλάμε για ημιμορφίες.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΤΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΚΛΙΝΟΥΣ 17 Το μονοκλινές διαθέτει τρεις τάξεις: Του σφηνοειδούς (c 2 ή 2) Του δώματος (c s ή m) Πρισματική τάξη (c 2h ή 2/m) - Ολοεδρία Πρίσμα Μονοκλινής ολοεδρίας + + + Τάξη του δώματος Ζ C 2 m + + c 2 Τάξη του σφηνοειδούς
ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΜΦΙΠΥΡΑΜΙΔΑ, ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΤΕΤΑΡΤΟΕΔΡΙΑ 18 1 + + + + 1 Κύριο Επίπεδο Συμμετρίας + Πυραμίδα Νο 1 Πυραμίδα Νο 2 Αμφι-πυραμίδα Schönflies: C 3h Hermann-Mauguin: 6 - Άξονας 3 ης - Οριζόντιο επίπεδο (κάθετο στον άξονα) - Άξονας 6 ης στροφοκατοπτρικός
ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΟΥ ΑΞΟΝΑ 6 ης ΣΤΡΟΦΟΚΑΤΟΠΤΡΙΚΟΥ (6) 19 3 1 4 6 5 2 Δηλαδή, για να κατασκευάσουμε τον κρύσταλλο αρκεί να γνωρίζουμε μόνο την μία έδρα του και να επαναλάβουμε 6 φορές περιστροφή κατά 120 κάθε φορά (στροφο-) και κατοπτρισμό ως προς επίπεδο κάθετο προς τον άξονα (-κατοπτρισμός) που εννοείται ότιυπάρχει. Ακολουθώντας τα βήματα (αριθμοί) του σχήματος βλέπουμε πως μπορεί να γίνει αυτό.
ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΗ ΔΟΜΗ: Ο ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΣ ΣΑΝ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑ 20 Οι κρύσταλλοι δεν είναι συνεχή γεωμετρικά σώματα αλλά ασυνεχή, αποτελούμενα από άτομα περιοδικά τοποθετημένα στον χώρο Στην γεωμετρία του χωροπλέγματος βλέπουμε τους κρυστάλλους αποτελούμενους από άτομα. Χωρόπλεγμα είναι ένα τρισδιάστατο πλέγμα σημείων που δημιουργείτε από συγκεκριμένους γεωμετρικούς κανόνες. Στα σημεία τοποθετούμε άτομα. Τα χωροπλέγματα αυτά λέγονται και πλέγματα Bravais, και αποτελούν μόνο 14 μοναδιαίους συνδιασμούς
ΧΩΡΟΠΛΕΓΜΑ 21 Χωρόπλεγμα σημείων Χωροπλέγματα γεμισμένα με άτομα Z Y c 0 b 0 X a 0 Z Y X Z Y c 0 b 0 X a 0
ΤΑ 14 ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 22 Στο κάθε κρυσταλλογραφικό σύστημα έχουμε τα εξής πλέγματα: Κυβικά : Pm3m, Im3m, Fm3m Εξαγωνικά : P6/mmm, P3m Τετραγωνικά : P4/mmm, I4/mmm Ορθορομβικά : Pmmm, Immm, Cmmm, Fmmm Μονοκλινή : P2/m, C2/m Τρικλινές : P1 Κυβικά Πλέγματα Bravais Pm3m π.χ. Αλίτης (το ορυκτό αλάτι) Im3m Fm3m π.χ. Διαμάντι
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 23
ΟΡΘΟΡΟΜΒΙΚΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 24
ΡΟΜΒΟΕΔΡΙΚΑ & ΕΞΑΓΩΝΙΚΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 25
ΤΟΥ ΜΟΝΟΚΛΙΝΟΥΣ & ΤΡΙΚΛΙΝΟΥΣ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS 26
ΠΛΕΓΜΑΤΑ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΑΠΟ ΕΛΙΚΩΣΗ ΑΞΟΝΩΝ Η ΜΕΤΑΦΟΡΑ 27 Εκτός από τα στοιχεία συμμετρίας που μάθαμε, μπορούμε να δημιουργήσουμε τα πλέγματα Bravais και με άξονες ελίκωσης και με μεταφορά στον άξονα. Διακρίνουμε δεξιόστροφους και αριστερόστροφους άξονες ελίκωσης. Όμοια, έχουμε και τα κατοπτρικά επίπεδα ολίσθησης. Το σημείο κατοπτρίζεται ως προς το επίπεδο και ολισθαίνει κατά συγκεκριμένη απόσταση κατ επανάληψη. Τα παραπάνω αντιμετωπίζονται σαν επιπλέον είδη συμμετρίας, εφαρμόζονται όμως εάν βλέπουμε τους κρυστάλλους σαν ασυνεχή σώματα, δηλαδή σαν πλέγματα με περιοδικά τοποθετημένους κρυστάλλους στα σημεία του πλέγματος. ΟΙ 230 ΧΩΡΟΟΜΑΔΕΣ Μάθαμε ήδη πως δημιουργούνται οι 32 τάξεις χωροπλεγμάτων. Είπαμε ότι μπορούμε να δούμε στους κρυστάλλους και επιπλέον συμμετρίες, δηλαδή άξονες ελίκωσης και επίπεδα ολίσθησης. Ο συνδυασμός των παραπάνω οδηγεί στην κατασκευή 230 μοναδιαίων χωροομάδων, δηλαδή πλεγματικών ομάδων στο χώρο. Λίγες μόνο από αυτές τις χωροομάδες περιλαμβάνουν τα περισσότερα ορυκτά της φύσης.
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.