ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Εισαγωγικές έννοιες - Ταξινόμηση προβλημάτων - Παραδείγματα

ΠΕΡΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τι αφορά η βελτιστοποίηση? Εντοπισμός των καλύτερων δυνατών λύσεων. Προβλήματα με κατάλληλη μαθηματική διατύπωση. Ιδανική χρήση των διαθέσιμων πόρων. Λύση σε επιστημονικά/τεχνολογικά προβλήματα: Διαχείριση οικονομικών πόρων. Ελαχιστοποίηση καυσίμων σε πτήσεις. Προσαρμογή μοντέλων σε δεδομένα. Εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων. 2

ΠΕΡΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (συν.) Σε τι αναλύεται η βελτιστοποίηση? Κατανόηση δεδομένων/ζητούμενων του προβλήματος. Μαθηματική διατύπωση - Ορισμός παραμέτρων. Περιγραφή συστήματος με μαθηματική συνάρτηση. Εντοπισμός μέγιστων/ελάχιστων τιμών. Μέθοδοι για κάθε κατηγορία προβλημάτων: Διακριτές ή συνεχείς μεταβλητές. Αιτιοκρατικές ή τυχαίες μεταβλητές. Ύπαρξη περιορισμών/συνθηκών. 3

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Λύσεις προβλήματος βελτιστοποίησης: Κάθε μια λύση που ικανοποιεί τους περιορισμούς του προβλήματος ονομάζεται «εφικτή λύση». Το σύνολο των εφικτών λύσεων καλείται «χώρος λύσεων». Σε κάθε εφικτή λύση αντιστοιχεί ένα «μέτρο επίδοσης». Γενικός ορισμός βελτιστοποίησης: Ένα σύστημα καλείται βέλτιστο ως προς ένα μέτρο επίδοσης και ένα σύνολο περιορισμών, εφόσον αποδίδει τουλάχιστον το ίδιο, αν όχι καλύτερα, από κάθε άλλο σύστημα που ικανοποιεί τους ίδιους περιορισμούς. 4

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Απλοποίηση πραγματικού προβλήματος επιλογής της βέλτιστης λύσης από το χώρο λύσεων. Περιγραφή εφικτής λύσης Μεταβλητές Χ = {x 1,x 2,...,x n }. Περιγραφή μέτρου επίδοσης Αντικειμενική συνάρτηση F(X) = {f 1 (X), f 2 (X),..., f m (Χ)}. Προδιαγραφή/Συνθήκη Σχέση περιορισμού c(x) <=> 0. Γενική διατύπωση προβλήματος βελτιστοποίησης: X opt max[f(x)] = min[-f(x)]. Μεγιστοποίηση της f Ελαχιστοποίηση της g = f. 5

ΕΙΔΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ολική βελτιστοποίηση Ολικό ακρότατο της f. Τοπική βελτιστοποίηση Τοπικό ακρότατο της f. Πρακτική λύση με μικρότερο υπολογιστικό κόστος. local search space 6

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Κεντρική έννοια στο πρόβλημα βελτιστοποίησης. «Απόσταγμα» του μαθηματικού προβλήματος. Λύση προβλήματος Ελαχιστοποίηση της συνάρτησης. Πιθανές κατηγορίες αντικειμενικής συνάρτησης: Βαθμωτή ή διανυσματική. Μονοδιάστατη ή πολυδιάστατη. Ντετερμινιστική ή στοχαστική. Με συνεχείς ή διακριτές μεταβλητές. Γραμμική ή μη γραμμική. 7

ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η επίλυση γίνεται με εφαρμογή κάποιας τεχνικής. Μαθηματική διατύπωση Εφαρμογή τεχνικής Λύση. Είδος τεχνικής Είδος του προβλήματος. Είδη προβλημάτων Είδη αντικειμενικών συναρτήσεων! Διαστάσεις του προβλήματος min[f m (x 1, x 2,, x n )]: Ανάλυση μιας (n = 1) ή περισσότερων (n > 1) μεταβλητών. Βαθμωτή (m = 1) ή διανυσματική (m > 1) ανάλυση. Ουσιαστικά έχουμε να χειριστούμε έναν αριθμό m βαθμωτών συναρτήσεων. 8

ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ (συν.) Πως αντιμετωπίζουμε προβλήματα που εμφανίζουν τυχαιότητα ή στοχαστικότητα? Θεωρία πιθανότητων - Συνδυαστική. Αριθμητικές τεχνικές Monte Carlo. Διακριτές ή συνεχείς ανεξάρτητες μεταβλητές διακριτά (ακολουθίες) ή συνεχή μαθηματικά!!! Προβλήματα που έχουν περιορισμούς. Περιορισμοί ισότητας C(X) = 0. Περιορισμοί ανισότητας C(X) <> 0. 9

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Τοπική βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n με την ιδιότητα Χ - Χ < ε για ε > 0 οσοδήποτε μικρό. Ολική βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n. Τοπική βελτιστοποίηση με περιορισμούς: Να ευρεθεί σημείο Χ R n ώστε f(χ ) f(χ) για κάθε Χ R n με την ιδιότητα Χ - Χ < ε για ε > 0 οσοδήποτε μικρό, με συνθήκες c i (Χ) = 0 (i = 1,2,,m) ή/και h j (Χ) 0 (j = 1,2,,k). Ολική βελτιστοποίηση με περιορισμούς??? 10

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ Ελάχιστο μήκος σκάλας ώστε να ακουμπάει και στο έδαφος και σε τοίχο με ορθογώνιο εξόγκωμα. Μεταβλητές του προβλήματος: Ύψος y, οριζόντια προβολή x. Μήκος σκάλας: λ = x 2 + y 2. Ομοιότητα τριγώνων ΑΒΓ, Α Β Γ : x = x a y β βx xy + ay = 0 Αντικειμενική συνάρτηση: λ(x) = x 2 + βx x α 2 11

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ Υδραυλικά βέλτιστη διατομή δεξαμενής, με βάση το ότι, για δεδομένη επιφάνεια, η παροχή είναι μέγιστη όταν η βρεχόμενη περίμετρος γίνεται ελάχιστη. Μεταβλητές προβλήματος: Πλάτος πυθμένα α, βάθος ροής β. Γεωμετρικά μεγέθη: Εμβαδό υγρής διατομής Ε = αβ. Βρεχόμενη περίμετρος Π = α +2β. Διατύπωση προβλήματος βελτιστοποίησης: (α opt, β opt ) min[π(α,β)], υπό τη συνθήκη E(α,β) = αβ = Ε 0. 12

ΕΙΔΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Προσαρμογή πειραματικών δεδομένων: Έστω σύνολο δεδομένων (t i,y i ), i=1,2,,m, και ένα μοντέλο f(t,x) με παραμέτρους {x 1, x 2,, x n }, και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων ώστε η προσέγγιση f(t i,x) y i να είναι η βέλτιστη στα επιτρεπόμενα (από το μοντέλο) πλαίσια. Αυτό ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης αθροίσματος τετραγωνικών όρων G(X) = [f(t i, X) - y i ] 2. Αντικειμενικές συναρτήσεις αυτού του τύπου επιτρέπουν την εφαρμογή μεθόδων όπως πχ. η γραμμική παλινδρόμηση. 13

ΕΙΔΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ (συν.) Σχεδιασμός ολοκληρωμένων κυκλωμάτων: Η οριζόντια κάτοψη των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων είναι παραλληλόγραμμη, οπότε ύψος και πλάτος κάθε κυκλώματος αποτελούν μεταβλητές του προβλήματος. Περιορισμοί εμφανίζονται στο μέγεθος των κυκλωμάτων (συνολική επιφάνεια), αλλά και στο χρονισμό (το κύκλωμα πρέπει να λειτουργεί σε προδιαγεγραμμένη ταχύτητα). Αντικειμενική συνάρτηση Απορροφώμενη ισχύς. Πρόβλημα βελτιστοποίησης = Εύρεση των διαστάσεων των λειτουργικών μονάδων ώστε να ελαχιστοποιούν την απορροφώμενη ισχύ ικανοποιώντας τους περιορισμούς. 14

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Εισαγωγικές έννοιες Ταξινόμηση προβλημάτων Παραδείγματα 15