1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ

1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2015 ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ

ΔΥΝΑΜΗ Τις δυνάμεις τις διακρίνουμε βασικά με δύο τρόπους: Συντηρητικές Μη συντηρητικές ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Συντηρητικές: είναι οι δυνάμεις που έχουν την ιδιότητα το έργο τους σε κλειστή διαδρομή να είναι ίσο με μηδέν. Το έργο μιας συντηρητικής δύναμης σε ανοικτή διαδρομή, εξαρτάται: α) Από την προέλευση αυτής της δύναμης. β) Από την αρχή και το τέλος της διαδρομής. και είναι ανεξάρτητη από το «σχήμα» της διαδρομής ανάμεσα στο αρχικό και τελικό σημείο. Στην κλειστή διαδρομή δεν είναι απαραίτητο το αρχικό και τελικό σημείο της διαδρομής, να ταυτίζονται, αρκεί αυτά τα σημεία να έχουν το ίδιο δυναμικό, δηλ. να ανήκουν στην ίδια ισοδυναμική επιάνεια. Τέτοιες δυνάμεις είναι το βάρος, η δύναμη από ηλεκτροστατικό πεδίο, η ελαστική δύναμη ελατηρίου. Μη συντηρητικές είναι οι δυνάμεις, που έχουν την ιδιότητα το έργο τους σε κλειστή διαδρομή να μην είναι μηδέν Το έργο μιας μη συντηρητικής δύναμης σε ανοικτή διαδρομή, εξαρτάται: α) Από την προέλευση αυτής της δύναμης. β) Από την αρχή και το τέλος της διαδρομής. γ) Από το σχήμα της διαδρομής ανάμεσα στο αρχικό και τελικό σημείο. Τέτοιες δυνάμεις είναι η τριβή ολίσθησης, η αντίσταση του αέρα, η δύναμη μαγνητικού πεδίου, η δύναμη ηλεκτρικού πεδίου που οείλεται σε μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή κ.λ. Εσωτερικές Εξωτερικές Η διάκριση αυτή έχει νόημα μόνο για σύστημα από τουλάχιστον δύο σώματα. Εσωτερικές: είναι οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος. Αυτές υπακούν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης και έτσι η συνισταμένη τους στο σύστημα είναι μηδέν. Εξωτερικές: είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος από άλλα σώματα που δεν ανήκουν στο σύστημα. ΕΡΓΟ Μια δύναμη παράγει έργο όταν ασκείται σ ένα υλικό σημείο ή σ ένα σώμα και μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της. Επειδή γενικά η δύναμη μπορεί να είναι μεταβλητή ορίζουμε το στοιχειώδες έργο. 1

Ορισμός: Στοιχειώδες έργο (dw) στην μηχανική, ορίζουμε το μονόμετρο μέγεθος που εκράζεται από το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος της δύναμης επί το διάνυσμα της μετατόπισης. dx dw= dx= dx συν Όπου: dx μια στοιχειώδη μετατόπιση του σημείου εαρμογής της δύναμης για την οποία ισχύει ότι η δύναμη παραμένει σταθερή και η γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης και της μετατόπισης. ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΡΓΟΥ Έργο σταθερής δύναμης (W) ονομάζεται το μονόμετρο μέγεθος του οποίου ισούται με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί το μέτρο της μετατόπισης επί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζει η διεύθυνση της δύναμης και της μετατόπισης. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1. Η δύναμη έχει σταθερό μέτρο διεύθυνση και μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της σε ευθεία γραμμή (το σώμα κινείται πάνω σε ευθεία) Υπολογίζεται από τη σχέση: W= x συν Αν 0 90 ο τότε W>0 και ονομάζεται κινητήριο ή παραγόμενο Αν 90 ο < 180 ο τότε W<0 και ονομάζεται ανθιστάμενο ή καταναλισκόμενο Αν = 90 ο τότε W=0 δηλαδή δεν παράγει έργο. 2. Η δύναμη έχει σταθερό μέτρο διεύθυνση και μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της σε καμπύλη γραμμή (το σώμα κινείται πάνω σε καμπύλη τροχιά) Υπολογίζεται από τη σχέση: W= d S Όπου d η προβολή της μετατόπισης S AB στην διεύθυνση της δύναμης. d Έργο μεταβλητής δύναμης: Μελετάμε την περίπτωση που η δύναμη μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την μετατόπιση, τότε το παραγόμενο έργο δίνεται από τη σχέση: S 2 W= συνϕ ds ή W= συνϕ ds S 1 S 2 S 1 Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 2

3. Η δύναμη έχει μεταβλητό μέτρο σταθερή διεύθυνση και μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της ευθύγραμμα (το σώμα κινείται πάνω σε ευθεία) Το έργο για μετατόπιση x, υπολογίζεται από τη γραική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση της μετατόπισης του σημείου εαρμογής της και είναι αριθμητικό ίσο με το εμβαδό της επιάνειας που περιορίζεται από το γράημα της συνάρτησης =f(x) και τον οριζόντιο άξονα της μετατόπισης Ο W=Εμ( Ο Α Β Γ ) Αν η γραική παράσταση περιλαμβάνει εμβαδά που βρίσκονται πάνω από ον οριζόντιο άξονα θεωρούνται θετικά, ενώ αν περιλαμβάνει εμβαδά που είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα θεωρούνται αρνητικά και υπολογίζουμε το συνολικό εμβαδό αλγεβρικά. Αν η διεύθυνση της δύναμης σχηματίζει γωνία με την διεύθυνση κατά την οποία o μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της, τότε 1 2 εργαζόμαστε παρόμοια με τη διαορά ότι παριστάνουμε την γραική παράσταση της συν Β σχέσης: συν=f(x), δηλαδή παριστάνουμε την προβολή της δύναμης στην διεύθυνση της μετατόπισης. Α oσυν W Στη συνέχεια όπως και προηγουμένως υπολογίζουμε το εμβαδό. Ο Γ x ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έργο δύναμης ελατηρίου Δυναμική ενέργεια ελατηρίου W ελ = 1 2 k Δl2 4. Η δύναμη έχει σταθερό μέτρο μεταβλητή διεύθυνση και μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της σε καμπυλόγραμμη τροχιά στην οποία εάπτεται συνεχώς (το σώμα μετατοπίζεται πάνω σε καμπύλη τροχιά) Το έργο υπολογίζεται από τη σχέση: W=. s 3

Στη περίπτωση που η δύναμη δεν είναι συνεχώς εαπτόμενη αλλά σχηματίζει σταθερή γωνία με την διεύθυνση της εαπτομένης της καμπύλης σε κάθε σημείο της, τότε προβάλλουμε την δύναμη στην εαπτομένη και χρησιμοποιούμε στους υπολογισμούς τη συνιστώσα της συν ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έργο σταθερής ροπής Η μετατόπιση του σώματος από το Α στο Β, είναι το τόξο s Α το οποίο ισούται: s=r. (rad) οπότε έχουμε: S R O Β W=. R. ( r a d ) W=T. ( r a d ) Η ίδια σχέση ισχύει και στην περίπτωση που η δύναμη σχηματίζει σταθερή γωνία συνεχώς με την εαπτομένη του κύκλου, όπως και στην περίπτωση του ζεύγους δυνάμεων. ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΡΓΟΥ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Η αρχή ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας είναι η γενικότερη πρόταση που συνδέει το έργο και την ενέργεια. Μετά από αυτήν, και εόσον θεωρούμε ότι η μάζα δεν μεταβάλλεται, έχουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας. «Η συνολική ποσότητα ενέργειας που αντιστοιχεί σε κάθε μορή κίνησης (κινητική, δυναμική, χημική, θερμική, ηλεκτρομαγνητική ενέργεια) σε ένα απομονωμένο ενεργειακά σύστημα, παραμένει σταθερή» Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας που ισχύει για όλες τις δυνάμεις είτε είναι συντηρητικές ή μη συντηρητικές. «Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος ανάμεσα στην τελική και την αρχική θέση στην τροχιά του είναι ίση με τη συνολική ενέργεια που προσέρεται ή ααιρείται από αυτό μέσω του έργου των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του» Κ ( τ ε λ ) - Κ ( α ρ χ ) =ΣW ( εξ) Τέλος έχουμε, το θεώρημα διατήρησης μηχανικής ενέργειας που ισχύει όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι συντηρητικές. 4

«Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δυνάμεις οι οποίες είναι συντηρητικές τότε η μηχανική ενέργεια του σώματος παραμένει σταθερή.» Κ ( α ρ χ ) + U ( α ρ χ ) = Κ ( τ ε λ ) + U ( τ ε λ ) = Ε μ ηχ ΙΣΧΥΣ Στιγμιαία ισχύς: είναι το πηλίκο του απειροελάχιστου έργου dw που πραγματοποιείται σε χρόνο dt προς το χρόνο αυτό. P= dw dt Μέση ισχύς: ονομάζεται ο μέσος χρονικός ρυθμός με τον οποίο ένα σύστημα απορροά ή αποδίδει ενέργεια. P= ΔW Δt Ισχύς σταθερής δύναμης που μετακινεί το σημείο εαρμογής της σε ευθεία και σχηματίζει γωνία με την διεύθυνση της. P= υ συν 5