Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 424: Συστηματα Ανοχης Σφαλματων Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017 Καθηγητής: Χριστόφορος Χατζηκωστής Σειρά Ασκήσεων 1 Fault Models, Modular Redundancy, Canonical Resilient Structures, Reliability and Availability Models Εκδοση: Δευτέρα, 30 Ιανουαρίου. Σχετικά κεφάλαια στα βιβλία: (1) I. Koren and C. M. Krishna, Κεφάλαια 1 και 2, (2) Johnson, Κεφάλαια 1, 2, και 3, (3) Siewiorek and Swarz, Κεφάλαια 1, 2, 3, 4, και 5, (4) Hadjicostis, Κεφάλαιο 1. Παράδοση: Δευτέρα, 20 Φεβρουαρίου. Άσκηση 1.1 Σε αυτή την άσκηση μας ενδιαφέρει η ανάλυση του (standard) binary adder κυκλώματος με carry in και carry out (το οποίο μελετήσαμε και στην διάλεξη). Οι εισόδοι είναι τα input bits a, b, και το carry bit c in, οι εξόδοι είναι το bit s και το output carry bit c out, και ο πίνακας αληθείας όπως δίνεται πιο κάτω. a b c in s c out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 (α) Μας ενδιαφέρουν τα single stuck at faults στις γραμμές των εισόδων του συστήματος (δηλαδή stuck at 1 και stuck at 0 faults στις εισόδους a, b, και c in ). Βρείτε συνδυασμούς από inputs (και τα αντίστοιχα outputs που πρέπει να ελεχθούν) έτσι ώστε το καθένα από αυτά τα έξι διαφορετικά stuck at faults να μπορούν να ανευρεθούν (detection μόνο).
(β) Βρείτε το μικρότερο αριθμό από συνδυασμούς στις εισόδους του συστήματος που μπορούν να διαγνώσουν (detection μόνο) και τα έξι πιο πάνω faults. Άσκηση 1.2 Η ζωή (μετρημένη σε χρόνια) ενός επεξεργαστή είναι exponentially distributed με μέσο όρο ζωής 3 χρόνια. Δεδομένου ότι κάποιος επεξεργαστής χάλασε κάπου στο διάστημα [3, 7] χρόνια, ποιά η υπό συνθήκη πιθανότητα (conditional probability) ότι ο επεξεργαστής χάλασε πριν κλείσει τέσσερα χρόνια ζωής; Άσκηση 1.3 Βρείτε το reliability R ALL (t) των series/parallel διατάξεων που δίνονται στο σχήμα πιο κάτω. Θεωρείστε ότι το κάθε υποσύστημα έχει reliability R(t) και ότι οι βλάβες στα διάφορα υποσυστήματα είναι ανεξάρτητες. Επίσης, θεωρώντας ότι R(t) = e λt, t 0 (όπου λ > 0 μια σταθερά), βρείτε το mean time to failure (MTTF) της κάθε διάταξης. Άσκηση 1.4 Η ζωή του κάθε υποσυστήματος στην πιο κάτω διάταξη είναι exponentially distributed με παράμετρο λ. Θεωρώντας ότι οι βλάβες στα διάφορα υποσυστήματα είναι ανεξάρτητες, βρείτε μια συνάρτηση για το reliability function του συστήματος, R ALL (t), και σχεδιάστε τη συνάρτηση από t = 0 μέχρι t = 100 για λ = 0.01.
Άσκηση 1.5 Σε αυτή την άσκηση, μας ενδιαφέρει ο σχεδιασμός ενός three way majority voter που έχει τρεις εισόδους, η καθεμιά από τις οποίες αποτελείται από δύο bits. Ας ονομάσουμε τα έξι binary inputs του voter A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, και C 2, και τα δύο binary outputs OUT 1 και OUT 2. Ο σκοπός μας είναι να σχεδιάσουμε ένα digital κύκλωμα του majority voter χρησιμοποιώντας two input gates (AND, OR, NOT). (α) Σχεδιάστε το majority voter κύκλωμα θεωρώντας ότι χειρίζεται ξεχωριστά τα input bits A i, B i, C i, και το output OUT i, για i = 1, 2. (β) (Προαιρετικό) Σχεδιάστε το majority voter κύκλωμα θεωρώντας ότι χειρίζεται 2 bit inputs. Για συνδυασμούς inputs για τα οποία δεν υπάρχει ξεκάθαρο majority, θεωρείστε ότι τα output bits του voter δεν ορίζονται (είναι do not cares ). Για παράδειγμα, για inputs A 1 A 2 = 00, B 1 B 2 = 11, και C 1 C 2 = 01, τα δύο outputs δεν ορίζονται. Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι τα do not cares δεν ορίζονται για να μειώσετε τον αριθμό των πύλων που χρησιμοποιείτε σε αυτό το κύκλωμα του voter. Άσκηση 1.6 Σε αυτή την άσκηση μας ενδιαφέρει η διάταξη από voters και αντίγραφα δύο διαφορετικών υπολογιστικών συστημάτων (functional elements), F E 1 και F E 2, όπως φαίνεται πιο κάτω. Οι voters σχεδιάζονται σαν κύκλοι και συμβολίζονται ως V (i, j) (i = 1, 2, j = 1, 2,..., n), ενώ τα αντίγραφα των υπολογιστικών συστημάτων σχεδιάζονται σαν ορθογώνια και συμβολίζονται ως F E(i, j) (i = 1, 2, j = 1, 2,..., n) όπου το n είναι ο αριθμός των αντιγράφων για το κάθε υπολογιστικό σύστημα. Θεωρείστε ότι το reliability του κάθε voter είναι R V (t), ότι το reliability του κάθε functional element είναι R F E (t), και ότι τα σφάλματα σε διαφορετικά voters/systems είναι ανεξάρτητα. Ο κάθε voter V (i, j) παίρνει inputs από τα n προηγούμενα αντίγραφα των υπολογιστικών συστημάτων, και δίνει το output του σαν input σε ακριβώς ένα αντίγραφο υπολογιστικού συστήματος F E i+1 στο επόμενο στάδιο (αν υπάρχει). Ο τελευταίος voter V παίρνει inputs από όλα τα n voters πριν από αυτόν, και δίνει το τελικό output του συστήματος.
Input FE (1,1) V (1,1) FE (2,1) V (2,1) FE (1,j) V (1, j) FE (2,j)... V (2,j)... V FE (1,n) V (1,n) FE (2,n) V (2,n) (α) Υπολογίστε (ένα όριο για) το reliability του τελικού output της πιο πάνω διάταξης. (β) Μπορείτε να γενικεύσετε την ανάλυση στο μέρος (α) σε μια διάταξη που περιέχει k στάδια από functional elements και voters (αντί μόνο δύο); Άσκηση 1.7 Βρείτε το steady state availability μια διάταξης ανοχής σφάλματων που αποτελείται από δύο αντίγραφα ενός συστήματος, τα οποία λειτουργούν ταυτόχρονα και επιδέχονται σφάλματα ανεξάρτητα. Θεωρείστε ότι το rate of failure ενός αντίγραφου του συστήματος που λειτουργεί σωστά είναι λ failures/second και ότι το rate of repair είναι µ repairs/second. Το όλο σύστημα θεωρείται available αν τουλάχιστο ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργεί σωστά. Άσκηση 1.8 Σε αυτή την άσκηση μας ενδιαφέρει ένα stand by scheme από δύο αντίγραφα ενός συστήματος (System Replica A και System Replica B) τα οποία λειτουργούν ταυτόχρονα και επιδέχονται σφάλματα ανεξάρτητα. Θεωρείστε ότι το rate of failure ενός αντίγραφου του συστήματος που λειτουργεί σωστά είναι λ failures/second και ότι το rate of repair του System Replica B είναι µ repairs/second (το System Replica A δεν μπορεί να επιδιορθωθεί). (α) Βρείτε το steady state reliability του όλου συστήματος (το όλο σύστημα θεωρείται reliable στο χρόνο t αν τουλάχιστον ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργούσε σωστά σε κάθε χρονικό σημείο στο διάστημα [0, t)).
(β) Βρείτε το reliability R(t) του όλου συστήματος σαν συνάρτηση του χρόνου (το όλο σύστημα θεωρείται reliable στο χρόνο t αν τουλάχιστον ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργούσε σωστά σε κάθε χρονικό σημείο στο διάστημα [0, t)). (ς) Βρείτε το steady state availability του όλου συστήματος (το όλο σύστημα θεωρείται available στο χρόνο t αν τουλάχιστον ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργεί σωστά στο χρόνο t). (δ) Βρείτε το availability A(t) του όλου συστήματος σαν συνάρτηση του χρόνου (το όλο σύστημα θεωρείται available στο χρόνο t αν τουλάχιστον ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργεί σωστά στο χρόνο t). Άσκηση 1.9 (Προαιρετική) Βρείτε το steady state availability ενός stand by scheme το οποίο αποτελείται από τρία αντίγραφα του συστήματος τα οποία επιδέχονται σφάλματα ανεξάρτητα. Θεωρείστε ότι το rate of failure ενός αντίγραφου του συστήματος που λειτουργεί σωστά είναι λ failures/second και ότι το rate of repair είναι µ repairs/second (ανεξάρτητα από τα πόσα συστήματα δεν λειτουργούν σωστά). Το όλο σύστημα θεωρείται available στο χρόνο t αν τουλάχιστον ένα αντίγραφο του συστήματος λειτουργεί σωστά στο χρόνο t.