συστημάτων απλής μορφής

Transcript

1 Αξιοπιστία συστημάτων απλής μορφής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης Χειμερινό Διδάσκων: Καθηγητής Παντελής Ν Μπότσαρης Εργαστήρια/Ασκήσεις: Δρ Πέτρος Πιστοφίδης

2 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑΪΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Αν ένα σύστημα αποτελείται από τα υποσυστήματα 1 και 2 που είναι οργανωμένα σε σειρά, δηλαδή η λειτουργία του 1 προηγείται της λειτουργίας του 2, τότε είναι προφανές ότι για να παράγει έργο το σύστημα θα πρέπει να λειτουργούν και τα δύο υποσυστήματα Κάνουμε την υπόθεση ότι η αποτυχία του ενός υποσυστήματος είναι ανεξάρτητη αυτής του άλλου

3 Λογικό Διάγραμμα Αξιοπιστίας και Διάγραμμα Ροής για ένα συστήματα η μονάδων οργανωμένων σειραϊκά & (RLD) n n (FBD)

4 Δεχόμενοι την ίδια υπόθεση της ανεξαρτησίας των πιθανοτήτων να λειτουργούν τα n μέρη του, η πιθανότητα R S το σύστημα αυτό να βρίσκεται σε λειτουργία ισούται προς: και η πιθανότητα να μην λειτουργεί F s δίνεται από την σχέση

5 Αξιοπιστία Ανεξάρτητων Συστημάτων σε Σειρά με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας Έστω ότι ένα σύστημα λειτουργεί σε σειρά για ένα δεδομένο χρόνο t, και οι 1,2,3,,n μονάδες που το αποτελούν παρουσιάζουν σταθερούς ρυθμούς βλαβών λ 1, λ 2,, λ n (δηλαδή οι βλάβες ακολουθούν εκθετικές κατανομές), αντίστοιχα Τότε οι συναρτήσεις αξιοπιστίας δηλαδή οι πιθανότητες να μην παρουσιάσουν αποτυχία (βλάβη), οι i=1,2,3,,n μονάδες του συστήματος στο χρόνο t είναι οι:

6 Αξιοπιστία Ανεξάρτητων Συστημάτων σε Σειρά με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας ή συνολική αξιοπιστία R s (t) του συστήματος S για τον χρόνο t, έχει ως εξή;:

7 Αξιοπιστία Ανεξάρτητων Συστημάτων σε Σειρά με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας Ετσι προκύπτει ότι εάν η κάθε μονάδα i ενός συστήματος S, έχει σταθερό μέσο ρυθμό βλαβών, τότε το S έχει σταθερό μέσο ρυθμό βλαβών που είναι ίσος με το άθροισμα των μέσων ρυθμών βλαβών των μονάδων που το αποτελούν Ισχύει δηλαδή: Η πιθανότητα να έχουμε αποτυχία (βλάβη) στο σύστημα πριν από τον χρόνο t είναι:

8 Αξιοπιστία Ανεξάρτητων Συστημάτων σε Σειρά με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας Από τα παραπάνω μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση διάρκεια ζωής ή αλλιώς το μέσο χρόνο μέχρι την πρώτη αποτυχία (βλάβη) (Mean Time To Failure, MTTF) συστήματος σε σειρά η εξής: Αν τώρα η μέση διάρκεια ζωής της κάθε μονάδας 1/λ, είναι τουλάχιστον μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από τον απαιτούμενο χρόνο ικανοποιητικής λειτουργίας t, δηλαδή αν λt << 1, τότε θα έχουμε προσεγγιστικά:

9 Διαθεσιμότητα Συστημάτων σε σειρά Η διαθεσιμότητα (availability), που θα συμβολίζουμε με Α, μιας μονάδας που υπόκειται σε τυχαίες διακοπές λειτουργίας εκφράζεται ως η πιθανότητα (το κλάσμα του χρόνου) να λειτουργεί Ανάλογα, μη διαθεσιμότητα U, είναι το κλάσμα του χρόνου που η μονάδα δεν λειτουργεί Επειδή δε οι δύο αυτές πιθανότητες είναι συμπληρωματικές: Τότε η διαθεσιμότητα του συστήματος, Α s, και η μη διαθεσιμότητα U s δίνονται από τις σχέσεις:

10

11 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Γνωρίζουμε ότι αν η λειτουργία ενός συστήματος, που αποτελείται από δύο μονάδες εξασφαλίζεται όταν τουλάχιστον μια από αυτές λειτουργεί, τότε στη θεωρία αξιοπιστίας οι μονάδες αυτές θεωρούμε ότι συνδέονται παράλληλα Η γεωμετρική παράσταση του γεγονότος αυτού παρουσιάζονται στο σχήμα 57α με το διάγραμμα ροής FBD και στο σχήμα 57β με το αντίστοιχο λογικό διάγραμμα αξιοπιστίας RLD FBD RLD

12 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΑΞΗ Θεωρώντας όπως και προηγουμένως ότι οι βλάβες των επιμέρους μονάδων είναι στατιστικά ανεξάρτητες μεταξύ τους, τότε για ένα σύστημα S με δύο μονάδες διατεταγμένες παράλληλα η πιθανότητα, F s, να μην λειτουργεί το σύστημα είναι: (519) Επιπλέον από το γεγονός ότι η πιθανότητα να λειτουργεί ένα σύστημα είναι συμπληρωματική της πιθανότητας να μην λειτουργεί, παίρνουμε την αξιοπιστία R s ενός συστήματος S δύο μερών διατεταγμένων παράλληλα ως εξής: (520) Η γενίκευση των (519) και (520) στην περίπτωση ενός συστήματος n μονάδων παράλληλα διατεταγμένων, του οποίου τα FBD και RLD παρουσιάζονται στο σχήμα 57 είναι άμεση Ειδικότερα η πιθανότητα, F s, να μην λειτουργεί το σύστημα S δίνεται από την σχέση:

13 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΑΞΗ (521) Έτσι η πιθανότητα το σύστημα αυτό να λειτουργεί, δηλαδή η αξιοπιστία του δίνεται από την σχέση: (522) Στην πράξη συνήθως δεν βρίσκουμε παραπάνω από τρεις ή τέσσερις μονάδες συνδεδεμένες παράλληλα

14 Αξιοπιστία Συστημάτων σε Παράλληλη Διάταξη με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από n μονάδες παράλληλα διατεταγμένες και οι οποίες παρουσιάζουν σταθερούς μέσους ρυθμούς βλαβών Αντίστοιχα για ένα δεδομένο χρόνο t Στην περίπτωση αυτή είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να πάθει βλάβη η μονάδα i από την εκθετική κατανομή:

15 Αξιοπιστία Συστημάτων σε Παράλληλη Διάταξη με σταθερούς ρυθμούς αποτυχίας η πιθανότητα αποτυχίας ενός συστήματος πριν από το χρόνο t δίνεται από την σχέση: (524) Έτσι η αξιοπιστία του συστήματος, δηλαδή η πιθανότητα να μην πάθει καμία βλάβη το σύστημα δίνεται από την σχέση: (525) Ο Μέσος Χρόνος μέχρι την Πρώτη Αποτυχία (Mean Time To Failure) ή απλά MTTF, για ένα σύστημα με δύο μονάδες παράλληλα διατεταγμένες με σταθερούς μέσους ρυθμούς βλαβών και δίνεται από την σχέση:

16 Διαθεσιμότητα Συστημάτων σε Παράλληλη Διάταξη Θυμίζουμε ότι η διαθεσιμότητα μιας μονάδας που υπόκειται σε τυχαίες διακοπές της λειτουργίας της είναι η πιθανότητα (το κλάσμα χρόνου) που λειτουργεί Έστω τώρα ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από n μονάδες διατεταγμένες παράλληλα του οποίου η i μονάδα έχει διαθεσιμότητα A i Τότε το σύστημα είναι διαθέσιμο αν τουλάχιστον μία από τις μονάδες του είναι διαθέσιμες Στην περίπτωση αυτή, η μη διαθεσιμότητα U i και η διαθεσιμότητα A i ενός συστήματος S, που είναι συμπληρωματικές πιθανότητες, δίνονται από τις σχέσεις:

17 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΚΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Είναι προφανές ότι αυτό που συναντάμε στην πράξη, δεν είναι συστήματα αμιγώς διατεταγμένα σε σειρά ή παράλληλα Αντίθετα τα συστήματα που παρουσιάζονται στη πράξη είναι κυρίως μικτά, δηλαδή που αποτελούνται από μονάδες διατεταγμένες σε σειρά και παράλληλα Επί παραδείγματι το σύστημα με διάγραμμα ροής το σχήμα 51 έχει μικτή διάταξη των μονάδων του Βέβαια ο υπολογισμός της αξιοπιστίας του συστήματος δεν παρουσιάζει καμία ιδιαίτερη δυσκολία αφού χρησιμοποιεί τους ήδη γνωστούς υπολογισμούς αξιοπιστίας μονάδων διατεταγμένων σε σειρά και παράλληλα

18 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΚΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ Παράδειγμα 54: Έστω το σύστημα S με διάγραμμα ροής να υπολογιστεί η αξιοπιστία του συστήματος S

19 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΜΕΡΙΚΗ ΕΦΕΔΡΕΙΑ Όταν ένα σύστημα αποτελείται από n μονάδες παράλληλα διατεταγμένες και για να λειτουργεί ικανοποιητικά χρειάζεται να λειτουργούν τουλάχιστον r>1 από τις n μονάδες του, τότε λέμε ότι έχουμε ένα σύστημα με παράλληλη διάταξη και μερική εφεδρεία Θεωρούμε ένα σύστημα με παράλληλες συνδέσεις και όμοιες μονάδες Παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι ένα αεροπλάνο με τέσσερις απολύτως ανεξάρτητους κινητήρες που μπορεί να πετά με ασφάλεια αν τουλάχιστον δύο από αυτούς λειτουργούν

20 Λογικό διάγραμμα Αξιοπιστίας για συστήματα με παράλληλη διάταξη όπου για να λειτουργήσει το σύστημα χρειάζεται να λειτουργούν r τουλάχιστον από τις n μονάδες του συστήματος Το RLD της γενικής περίπτωσης παρουσιάζεται στο σχήμα 58 Το σύστημα αποτελείται από n όμοιες μονάδες και η καθεμία έχει μία πιθανότητα F, για να μην λειτουργεί, και μια πιθανότητα R, για να λειτουργεί Όπως και πριν θεωρούμε ότι μόνο αυτά τα δύο στάδια υπάρχουν (δηλαδή δεν θα λάβουμε υπόψη την μερική λειτουργία) Έτσι έχουμε:

21 Αριθμός λειτουργούντων μονάδων και οι αντίστοιχες πιθανότητες σ ένα σύστημα S n όμοιων και ανεξάρτητων μονάδων Μονάδες σε Λειτουργία Πιθανότητα Σχόλια 0 F n = n C 0 R 0 F n n C 0 =1, R 0 =1 1 n C 1 RF n-1 2 n C 2 R 2 F n-2 (r-1) r r +1 n C r-1 R r-1 F n-r+1 n C r R r F n-r n C r+1 R r+1 F n-r-1 n μονάδες R n = n C n R n F 0 n C n =1, F 0 =1

22 Αριθμός λειτουργούντων μονάδων και οι αντίστοιχες πιθανότητες σ ένα σύστημα S n όμοιων και ανεξάρτητων μονάδων H πιθανότητα για ικανοποιητική λειτουργία κάθε συστήματος με παράλληλες συνδέσεις και μερική εφεδρεία μπορεί να βρεθεί γενικά από την εξίσωση (533) Οι περιπτώσεις που πιο συχνά συναντούμε στην πράξη είναι 2 από 3, 2 από 4, και 3 από 4 και για αυτές τα αποτελέσματα των εξ (533) και (534) συνοψίζονται στον πίνακα 43 Σύστημα Πιθανότητα λειτουργίας R s Πιθανότητα αστοχίας F s 2 από 3 R 3 +3R 2 F F 3 +3RF 2 2 από 4 R 4 +4R 3 F+6R 2 F 2 F 4 +4RF 3 3 από 4 R 4 +4R 3 F F 4 +4RF 3 +6R 2 F 2

23 Διαθεσιμότητα Συστημάτων με Εφεδρεία Θεωρούμε ένα σύστημα το οποίο πρέπει να λειτουργεί συνέχεια και αποτελείται από n όμοιες μονάδες που υπόκεινται σε τυχαίες διακοπές λειτουργίας και μας δίνουν μία μέση διαθεσιμότητα Α για κάθε μονάδα Το σύστημα λειτουργεί όταν λειτουργούν τουλάχιστον r από τις μονάδες του Τότε η διαθεσιμότητα του συστήματος A S μπορεί να εξαχθεί από την εξίσωση (533) και είναι: