1η Γραπτή Εργασία Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209) Άσκηση 1η ü Ερώτηµα (α) f@z_d:= 1 2π 1 2 z2 p =Table@8n, D@f@zD, 8z, n<d<, 8n, 1, 10<D ê. 8z 0<; TableForm@p, TableDirections Row, TableHeadings 8None, 8"Τάξη παραγώγου:", "Τιµή:"<<, TableSpacing 85, 6<D; Style@TableForm@%D, 8Medium, Bold, Orange<D Τάξη παραγώγου: 1 Τάξη παραγώγου: 2 Τάξη παραγώγου: 3 Τάξη παραγώ Τιµή: 0 Τιµή: - 1 2π Τιµή: 0 Τιµή: ü Ερώτηµα(β) Η f (z) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αφού : i =f@zd 0 - z2 2 2π 0 ii = True f@zd z 1 Η αθροιστική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας :
2 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb FAz_E = z f@zd z 1 2 erf z2 + 1 Η γραφική παράσταση της πυκνότητας πιθανότητας f(z) και της αθροιστικής F(z): Plot@8f@zD, F@zD<, 8z, 3, 3<D 0.8 0.6 0.4 fhzl FHzL 0.2-3 -2-1 1 2 3 ü Ερώτηµα (γ) Υπολογισµός της πιθανότητας P(-1<Z<1): Integrate@f@zD, 8z, 1, 1<D erf 1 2
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 3 QAz_E =If@ 1 <z<1, 0, f@zdd; Plot@8f@zD, Q@zD<, 8z, 3, 3<, Frame True, PlotLabel "Gaussian Distribution", GridLines Automatic, Filling 81 82<<, FillingStyle Purple, Background Hue@0.1DD 0.4 Gaussian Distribution 0.3 0.2 0.1 0.0-3 -2-1 0 1 2 3 Clear@"Global` "D Άσκηση 2η Ερώτηµα (α) Απλοποίηση τριγωνοµετρικών εκφράσεων: ã (i) a i = 1ëICos@xD 2 Sin@xD 2 M; TrigReduce@a i D sech2 xl ã (ii) a ii =Sin@xD 2 Cos@xD 2 +Cos@xD 4 ; TrigReduce@a ii D 1 HcosH2 xl+1l 2
4 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Simplify@a ii D cos 2 HxL ã (iii) a iii = Cos@xD 1 +Sin@xD +Tan@xD; TrigFactor@a iii D 1 π x x π 2 csc 4-2 csc 2 + 4 ã (iv) a iv = Sinh@xD Cosh@xD Sinh@xD + TrigReduce@a iv D Cosh@xD Cosh@xD +Sinh@xD ; coshh2 xl ü Ερώτηµα(β) Λόγος πολυωνύµων A = x3 +2x 2 x 2 x 3 +x 2 4x 4 ; ã (i) Να παραγοντοποιηθεί ο αριθµητής και ο παρανοµαστής Factor@Numerator @ADD ê Denominator@AD Hx - 1LHx + 1LHx + 2L x 3 + x 2-4 x-4 Numerator@AD ê Factor@Denominator@ADD x 3 + 2 x 2 - x-2 Hx - 2LHx + 1LHx + 2L ã (ii) Να απλοποιηθεί ο Μ.Κ.. του αριθµητή και του παρονοµαστή Factor@AD x - 1 x - 2 Το ίδιο θα γίνει και µε την παρακάτω εντολή:
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 5 B =Cancel@AD x - 1 x - 2 ã (iii) Η Α ως άθροισµα απλών κλασµάτων Expand@AD x 3 2 x 2 x 2 + - - x 3 + x 2-4 x-4 x 3 + x 2-4 x - 4 x 3 + x 2-4 x - 4 x 3 + x 2-4 x-4 ή από το ήδη απλοποιηµένο Β Expand@BD x 1 x - 2 - x-2 ã (iv) Υπολογισµοί: fax_e = A; f@4d 3 2 f@ 3D 4 5 f@2d Power::infy:Infiniteexpression 1 encountered. à 0 ComplexInfinity
6 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb ü Ερώτηµα (γ) Απλοποίηση της έκφρασης: PowerExpandB x3 y 4 3 z w 5 x3 w5 y F x 9ê2 y 5ê6 w 5ê2 z Clear@"Global` "D Άσκηση 3η Ερώτηµα (α) Εύρεση τετµηµένης τοµής των δύο καµπυλών fax_e:=1 x 2 gax_e:=x 4 3x 2 Solve@f@xD g@xd, xd ::x Ø-Â 2-1 >,:x Ø Â 2-1 >, :xø- 1 + 2 >, :x Ø 1+ 2 >> Γραφικές παραστάσεις των καµπυλών Plot@8f@xD, g@xd<, 8x, 2, 2<, Filling 81 882<, 8White, Orange<<<D 4 3 2 1-2 -1 1 2-1 -2-3 Υπολογισµός εµβαδού της φραγµένης περιοχής που περικλείεται από τις δύο καµπύλες,( µε δύο εκφράσεις)
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 7 NIntegrateBf@xD g@xd, :x, 1 + 2, 1 + 2 >F 4.48665 1+ 2 1+ 2 Hf@xD g@xdl x 32 1 + 2 15 8 + 15 2K1 + 2 O ü Ερώτηµα(β) Η σπείρα του Cornu,( µε τρεις εκφράσεις) t yat_e:= SinB 1 0 2 u2 F u t xat_e:= CosB 1 0 2 u2 F u ParametricPlot@8x@tD, y@td<, 8t, 10, 10<D 0.5 - -0.5 0.5-0.5-2η έκφραση KAt_E:=IntegrateBSinB 1 2 u2 F, 8u, 0, t<f LAt_E:=IntegrateBCosB 1 2 u2 F, 8u, 0, t<f
8 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb ParametricPlot@8L@tD, K@tD<, 8t, 10, 10<D 0.5 - -0.5 0.5-0.5-3η έκφραση ParametricPlot@8FresnelC@Sqrt@2 ê πd td ê Sqrt@2 ê πd, FresnelS@Sqrt@2êπDtDêSqrt@2êπD<, 8t, 10, 10<D 0.5 - -0.5 0.5-0.5
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 9 ü Ερώτηµα (γ) ContourPlot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 8x, 2, 2<, 8y, 2, 2<D 2 1 0-1 -2-2 -1 0 1 2 Aπό τη γραφική παράσταση οδηγούµαστε στο να δώσουµε ως σηµεία εκκίνησης τα (-1,1)και (1,0). FindRoot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 88x, 1<, 8y, 1<<D 8x Ø-0.787457, y Ø 0.923213< FindRoot@8x^2 +y^2 +3xy Sin@xD, 4x^2 y^2 +xsin@yd 1<, 88x, 1<, 8y, 0<<D 8x Ø 0.487555, y Ø 0.143656< Clear@"Global` "D Άσκηση 4η Ερώτηµα (α) Επαλήθευση ότι η u είναι λύση της εξίσωσης της θερµότητας sol =uax_, t_e:= a2 k 2 t Sin@kxD; equation1 =D@u@x, td, td == a 2 D@u@x, td, 8x, 2<D;
10 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb equation1 ê. 8u sol < True a =1; k = Pi 2 ; Plot3D@u@x, td, 8x, 0, 2<, 8t, 0, 10<D ü Ερώτηµα(β) Έλεγχος αρµονικότητας της f (θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace) LaplaceEquation = D@f@x, y, zd, 8x, 2<D + D@f@x, y, zd, 8y, 2<D +D@f@x, y, zd, 8z, 2<D 0; sol2 =fax_, y_, z_e:= Ix 2 +y 2 +z 2 M 1 2 ; LaplaceEquation ê. 8f sol2< êê Simplify True Clear@"Global` "D Άσκηση 5η Ερώτηµα (α) α τρόπος παρουσίασης της γενικής µορφής των Πολυωνύµων MacLaurin fax_e:= Sin@xD
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 11 H 1L i pan_, x_e:=sumb H2i+1L! x2i+1, 8i, 0, n<f p 7 = p@3, xd - x7 5040 + x5 120 - x3 6 + x p 9 =p@4, xd x 9 x7 x5 x3 362 880-5040 + 120-6 + x p 11 =p@5, xd - x 11 39 916 800 + x9 362 880 - x7 5040 + x5 120 - x3 6 + x Plot@8f@xD, p 7, p 9, p 11 <, 8x, 0, 2Pi<D 3 2 1 p 9 sinx -1 1 2 3 4 5 6-2 -3-4 p 7 p 11 Παρατηρούµε ότι όσο αυξάνεται ο βαθµός του πολυωνύµου τόσο καλύτερα προσεγγίζεται η καµπύλη της ηµx, και επίσης καθώς αυξάνονται οι τιµές του x τόσο αποκλίνουν οι καµπύλες των πολυωνύµων από την καµπύλη της ηµx. Συνάρτηση σφάλµατος εax_e:=abs@f@xd p@5, xd D T =Table@8x, N@ε@xDD<, 8x, 0, 6, 1<D; TT = TableForm@T, TableHeadings 8None, 8"x", "Σφάλµα"<<, TableSpacing 82, 5<D;
12 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Style@TT, 8Medium, Bold, Orange<D x Σφάλµα 0 0. 1 1.59828 10-10 2 1.29086 10-6 3 0.000245414 4 0.0100021 5 0.174693 6 1.78084 Παρατηρούµε ότι καθώς αυξάνονται οι τιµές του x το σφάλµα αυξάνεται, κάτι που επαληθεύεται και από της γραφικές παραστάσης των συναρτήσεων f, p 11. Clear@"Global` "D ü Ερώτηµα(β) ã (i) f@1d =1; f@2d =1;fAn_E:=f@n 2D +f@n 1D f@20d êê Timing 80.031, 6765< f@25d êê Timing 80.219, 75 025< f@30d êê Timing 82.391, 832 040< ã (ii) Παρατηρούµε ότι όσο αυξάνεται το n τόσο αυξάνεται και ο χρόνος υπολογισµού του αντίστοιχου όρου. fan_e:=f@nd =f@n 2D +f@n 1D f@20d êê Timing 91.49214µ10-13, 6765=
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 13 f@25d êê Timing 92.25597µ10-13, 75 025= f@30d êê Timing 80., 832 040< Πράγµατι ο χρόνος υπολογισµού µειώθηκε?f Global`f Παρατηρούµε ότι η εντολή?f εµφανίζει όλους τους όρους µέχρι n=30 και αυτό οφείλεται στο ότι κατά την (ii) διαδικασία ο αναδροµικός τύπος υπολογίζει τους προηγούµενους όρους στο παρασκήνιο και τους αποθηκεύει στην µνήµη του, ενώ η (i) κάθε φορά υπολογίζει τους όρους από την αρχή. Clear@"Global` "D ü Ερώτηµα (γ) ã Ορισµός της f µε την εντολή if fax_e:=ifax 0, x, IfA0 <x 3, x 2, If@x >3, 18 3xDEE Plot@f@xD, 8x, 6, 6<, ColorFunction > Function@8x, y<, If@x 0, Red, If@0 <x 3, Green, If@x >3, BlueDDDD, ColorFunctionScaling > False, PlotStyle ThickD Clear@fD ã Ορισµός της f µε την εντολή which fax_e:= WhichAx 0, x, 0 <x 3, x 2, x 3, 18 3xE
14 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Plot@f@xD, 8x, 6, 6<, PlotStyle > 8Thick, Orange<D 8 6 4 2-6 -4-2 2 4 6 Clear@fD ã Ορισµός της f µε την εντολή Piecewise pw =PiecewiseA98 x, x 0<, 9x 2, 0 <x 3=, 818 3x, x >3<=E -x x 0 x 2 0< x 3 18-3x x>3 Plot@pw, 8x, 6, 6<, PlotStyle > 8Red, Dashed<D 8 6 4 2-6 -4-2 2 4 6 ã Ορισµός της f µε χρήση / ; fax_e:= x ê;x 0 fax_e:=x 2 ê;0<x 3 fax_e:=18 3xê;x>3
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 15 Plot@f@xD, 8x, 6, 6<, AxesLabel 8x, y<, ColorFunction "Rainbow" D Clear@"Global` "D Άσκηση 6η ü (α) rtan_e:= NDSolve@8y''@xD +0.3 y'@xd +Sin@y@xDD 0, y'@0d ==0, y@0d n<, y, 8x, 0, 30<D ã α' τρόπος Do@Print@rt@nDD, 8n, 2, 2, 1<D 88y Ø InterpolatingFunction@H 0. 30. L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H 0. 30. L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H 0. 30. L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H 0. 30. L, <>D<< 88y Ø InterpolatingFunction@H 0. 30. L, <>D<< plan_e:= Plot@Evaluate@y@xD ê. rt@ndd, 8x, 0, 30<D
16 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Show@pl@ 2D, pl@ 1D, pl@0d, pl@1d, pl@2d, PlotRange 8 2, 2<D 2 1 5 10 15 20 25 30-1 -2 ã β' τρόπος tr =Table@rt@nD, 8n, 2, 2, 1<D; Plot@y@xD ê.tr, 8x, 0, 30<, PlotRange All D 2 1 5 10 15 20 25 30-1 -2 ü (β) Επίλυση της.ε. µε χρήση της DSolve deq1 = :y'@xd 1+ 1 2 y@xd^2, y@0d 1>; sol = DSolve@deq1, y, xd Solve::ifun: InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound;useReduceforcomplete solution information. à ::y Ø 8x< 2 tan 1 2 2 x+2 tan -1 1 2 >>
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 17 Simplify@deq1 ê. sold H True True L Επίλυση της.ε. µε χρήση της NDSolve deq2 = :z'@xd 1+ 1 2 z@xd^2, z@0d 1>; soln =NDSolve@deq2, z, 8x, 0, 1.3<D 88z Ø InterpolatingFunction@H 0. 1.3 L, <>D<< sfalma =fax_e:=abs@8y@xd ê.sol< 8z@xD ê.soln<d T =Table@8x, y@xd ê.sol, z@xd ê.soln, f@xd<, 8x, 0, 1.3, 0.1<D; TT = TableForm@T, TableHeadings 8None, 8"Τιµές της x", "Αναλυτική Λύση", "Αριθµητική Λύση", "Απόλυτο Σφάλµα"<<D; Style@TT, 8Medium, Bold, Orange<D Τιµές της x Αναλυτική Λύση Αριθµητική Λύση Απόλυτο Σφάλµα 0. 1. 1. 2.22045 10-16 0.1 1.15817 1.15817 1.27885 10-8 0.2 1.33582 1.33582 6.09244 10-9 0.3 1.53895 1.53895 3.32368 10-8 0.4 1.77601 1.77601 6.34534 10-8 0.5 2.05935 2.05935 1.23693 10-7 0.6 2.40786 2.40786 2.1084 10-7 0.7 2.85196 2.85196 2.70575 10-7 0.8 3.44406 3.44406 3.07606 10-8 0.9 4.28301 4.28301 4.02242 10-7 1. 5.58016 5.58016 608 10-6 1.1 7.88359 7.88359 4.39675 10-6 1.2 13.1927 13.1928 0.0000121517 1.3 39.182 39.1821 0.000140947 Σχεδίαση του πεδίου κατευθύνσεων της.ε.
18 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb VectorPlotB: 1, 1 + 1 2 y2 >, 1 + I1 + 1 2 y2 M 2 1 + I1 + 1 2 y2 M 2 8x, 0, 1.3<, 8y, 0, 1.3<, VectorStyle OrangeF 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 Άσκηση 7η ü (α) Η λύση που υπολογίζεται από τη Solve (i) και την LinearSolve (ii) ã i) A = 82x 4y+z== 1&&3x+y 2z==3&& 5x+y 2z==4<; B =Solve@A, 8x, y, z<d 1 15 51 ::x Ø- 8, y Ø- 56, z Ø- 28 >> Επαλήθευση A ê.b H True L
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 19 ã ii) A = 882, 4, 1<, 83, 1, 2<, 8 5, 1, 2<<; B = 8 1, 3, 4<; lssol = LinearSolve@A, BD :- 1 8, - 15 56,- 51 28 > Επαλήθευση A.lssol B True ü (β) Det@AD -56 Inverse@AD 0-2 7-1 7 1 8-1 56-9 28-1 8-1 8-1 4 Εύρεση λύσης µε τον κανόνα του Cramer cruleaa_, B_E:= Module@8d = Det@AD, a<, Table@a =A;a@@All, kdd =B;Det@aDêd, 8k, Length@AD<DD x =crule@a, BD :- 1 8, - 15 56,- 51 28 > Επαλήθευση A.x B True
20 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb (γ)συνάρτηση του Rosenbrock fax_, y_e:=100 Iy x 2 M 2 + H1 xl 2 ã (i) η κλίση f fa9x_, y_=e =D@f@x, yd, 88x, y<<d 9-400 xiy - x 2 M-2H1 - xl, 200Iy - x 2 M= f@81, 0.5<D 8200., -100.< ΗΕσσιανή 2 f HessAx_, y_e =D@f@x, yd, 88x, y<, 2<D 800 x 2-400Iy - x 2 M + 2-400 x -400 x 200 Hess@1, 0.5D 1002. -400-400 200 ã (ii) Υπολογισµός του πίνακα της BFGS ενηµέρωσης: B 1 =B 0 + y 0 y 0 y 0 s 0 B 0 s 0 HB 0 s 0 L s 0 B 0 s 0 B 0 =Hess@1, 0.5D; y 0 = 88 1<, 81<< -1 1 y 0 H -1 1 L
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 21 a =y 0.y 0 1-1 -1 1 s 0 = 880.25<, 81<< 0.25 1 s 0 H 0.25 1 L b =y 0.s 0 H 0.75 L b =0.75; c =B 0.s 0-149.5 100. c H -149.5 100. L d =c.c 22 350.3-14 950. -14 950. 10 000. f =s 0.c H 62.625 L f =62.625; B 1 =B 0 + a b d f 646.443-162.611-162.611 41.6527 Επαλήθευση Συµµετρικότητας του πίνακα Β 1.
22 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb SymmetricMatrixQ@B 1 D True Υπολογισµός του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου: CharacteristicPolynomial@B 1, xd x 2-688.096 x+483.832 Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης για προσδιορισµό των ιδιοτιµών Solve@CharacteristicPolynomial@B 1, xd 0, xd 88x Ø 0.703867<, 8x Ø 687.392<< Επαλήθευση ότι πράγµατι πρόκειται για τις ιδιοτιµές: Eigenvalues@B 1 D 8687.392, 0.703867< Υπολογισµός ιδιοδιανυσµάτων: Eigenvectors@B 1 D -0.969726 0.244197-0.244197-0.969726 Άσκηση 8η Βιβλίο του Σ. Τραχανά, «Mathematica και εφαρµογές», προτεινόµενη άσκηση 3, σελ. 137. Η βοηθητική Συνάρτηση Προγράµµατος για τη µελέτη του Αρµονικού Ταλαντωτή ορίζεται ως εξής: fac_, a_, T_E:= NDSolve@8x''@tD +2cx'@tD +x@td Cos@atD, x@0d 1, x'@0d 0<, x, 8t, 0, T<D Ισχυρή τριβή 1 η Περίπτωση αªω =ω 0 =1, f 0 = 1και cªγ=3 (Συντονισµός) s 3 =f@3, 1, 60D; 2 η Περίπτωση αªω = 2ω 0 =2, f 0 = 1και cªγ=3 (Εκτός Συντονισµού) s 4 =f@3, 2, 60D; Γραφική παράσταση των δύο καµπυλών:
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 23 Plot@8x@tD ê.s 3, x@td ê.s 4 <, 8t, 0, 60<, PlotRange All, PlotStyle ThickD 0.8 0.6 0.4 0.2-0.2 10 20 30 40 50 60 Το αποτέλεσµα του πειράµατος επιβεβαιώνει τη θεωρητική πρόβλεψη, δηλαδή ότι το φαινόµενο του συντονισµού είναι πολύ αδύνατο στο καθεστώς ισχυρής τριβής σε σύγκριση µε την περίπτωση της ασθενούς τριβής. Ασθενής τριβή 1 η Περίπτωση αªω =ω 0 =1, f 0 = 1και cªγ=0.1 (Συντονισµός) s 1 =f@0.1, 1, 60D; 2 η Περίπτωση αªω = 2ω 0 =2, f 0 = 1και cªγ=0.1 (Εκτός Συντονισµού) s 2 =f@0.1, 2, 60D; Γραφική παράσταση των δύο καµπυλών: Plot@8x@tD ê.s 1, x@td ê.s 2 <, 8t, 0, 60<, PlotStyle ThickD 4 2 10 20 30 40 50 60-2 -4 Υπολογισµός του πλάτους ταλάντωσης x(t), και χρήση του στην εύρεση των λόγων πλατών ταλάντωσης: xac_, a_e:= 1 Ia 2 1M 2 +4a 2 c 2 ; p 1 =x@0.1, 1D;
24 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb p 2 =x@0.1, 2D; logos1 =p 1 êp 2 15.1327 p 3 =x@3, 1D; p 4 =x@3, 2D; logos2 =p 3 êp 4 êên 2.06155 Τα αποτελέσµατα των λόγων πλατών ταλάντωσης επιβεβαιώνουν και αυτά την παρατήρησή µας από τα γραφήµατα. Βλέπουµε δηλαδή ότι ενώ στην περίπτωση της ασθενούς τριβής ο λόγος πλάτους συντ. µη συντ. είναι 15, στο καθεστώς ισχυρής τριβής πλάτος συντ. είναι µόλις διπλάσιο από ότι της περίπτωση µη συντ. Άσκηση 9η Βιβλίο του Σ. Τραχανά, «Mathematica και εφαρµογές», προτεινόµενη άσκηση 2, σελ. 142. Πειραµατική µελέτη της µετάβασης από το καθεστώς ασθενούς (cªγ=0.1) στο καθεστώς ισχυρής τριβής (cªγ=0.1), για έναν αναρµονικό ταλαντωτή µε δύναµη επαναφοράς ανάλογη µε την 5η δύναµη της αποµάκρυνσης από το ελκτικό κέντρο x=0. faa_, c_, T_E:= NDSolveA 9x''@tD x@td 5 cx'@td, x@0d a, x'@0d 0=, x, 8t, 0, T<E Do@Print@s@iD =f@1, i, 60D D, 8i, 0.1, 1, 0.1<D 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< 88x Ø InterpolatingFunction@H 0. 60. L, <>D<< Table@Plot@x@tD ê. s@id, 8t, 0, 60<, PlotLabel Style@Framed@c id, 16, Blue, Background Lighter@OrangeDD, PlotRange 8 1, 1< D, 8i, 0.1, 1, 0.1<D
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 25 cø0.1 0.5 :, 10 20 30 40 50 60-0.5 - cø0.2 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 -
26 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb cø0.3 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 - cø0.4 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 -
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 27 cø0.5 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 - cø0.6 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 -
28 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb cø0.7 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 -
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 29 cø0.8 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 - cø0.9 0.5, 10 20 30 40 50 60-0.5 - cø1. 0.5 > 10 20 30 40 50 60-0.5 - t1 =Table@f@1, n, 60D, 8n, 0.1, 1, 0.1<D;
30 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Plot@ x@td ê.t1, 8t, 0, 60<, PlotRange 8 1, 1<D 0.5 10 20 30 40 50 60-0.5 - Περιορίζοντας της τιµές του c µετά τις πρώτες παρατηρήσεις θα έχουµε: t1 =Table@f@1, n, 30D, 8n, 0.1, 0.3, 0.05<D; Plot@ x@td ê.t1, 8t, 0, 30<, PlotRange 8 1, 1<D 0.5 5 10 15 20 25 30-0.5 - Παρατηρώ ότι καθώς αυξάνεται ο συντελεστής τριβής ο χρόνος επιστροφής στην ηρεµία γίνεται άπειρος και το πλάτος της όποιας ταλάντωσης ελλατώνεται γρηγορότερα. ηλαδή ενώ το πρώτο πέρασµα από τη θέση x=0 γίνεται µε µικρή χρονική διαφορά για c<0.6, από εκεί και πέρα µόνο για c<0.2 περνάει και 2η φοράαπό το x=0. Ενώ για c>0.7 δεν περνάει καν. Η κίνηση µοιάζει να είναι περιοδική ( µε αυξανόµενη περίοδο και ελλατωµένο πλάτος µε το πέρασµα του χρόνου )κοντά στην περίπτωση ασθενούς τριβής (c=0.1) και παύει να είναι περιοδική µε την σταδιακή αύξηση του c σε 0.2. Άρα θα λέγαµε ότι η κρίσιµη τιµή είναι η c=0.3.
Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb 31 ü Αναλυτικό γράφηµα: c = 1 c=0.1 c=0.2 0.5 10 20 30 40-0.5 c=0.5 Αναφορές Πηγές è Σ. Τραχανάς, «Mathematica και εφαρµογές», ΠΕΚ,2004 è Wikipedia, the free encyclopedia. Probability density function è Wikipedia, the free encyclopedia. Fibonacci number è Wikipedia, the free encyclopedia. Cumulative distribution function è Wikipedia, the free encyclopedia.cornu spirals. è Wikipedia, the free encyclopedia.simultaneous equations è Wikipedia, the free encyclopedia.taylor series, Gradient, Hessian matrix è Wikipedia, the free encyclopedia.system of linear equations, Cramer's rule è Wikipedia, the free encyclopedia.rosenbrock function, BFGS method, Symmetric matrix, Characteristic polynomial
32 Manaras_Nikolaos_ergasia1.nb Υπεύθυνη ήλωση Βεβαιώνω ότι είµαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιµασία της είναι πλήρως αναγνωρισµένη και αναφέρεται στην εργασία στην ενότητα Αναφορές/Πηγές. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδοµένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασµένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιµάστηκε από εµένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριµένη Θεµατική Ενότητα ΜΣΜ61 «Υπολογιστικές Μέθοδοι και Λογισµικό στα Μαθηµατικά». Ηµεροµηνία υποβολής: 7/11/2010 Τόπος:Θεσσαλονίκη Ο ηλών Νικόλαος Μανάρας (Α.Μ. 52209.)