2.1 (i) f(x)=x -3x+2 Η f(x) ορίζεται x R

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. (i) f()= -3+ Η f() ορίζεται R Έχει Π.Ο ολόκληρο το R Για το Π.Τ της f() έχουµε : ος τρόπος = -3+= - - += - - () Το Π.Τ. της f() θα είναι οι τιµές που παίρνει το R. Από την σχέση () φαίνεται ότι : -.Άρα η f() θα έχει Π.Τ. το διάστηµα -, + ) ος τρόπος Έστω -3+=α. Θα βρούµε τις τιµές των α έτσι ώστε η εξίσωση -3+=α να έχει πραγµατική ρίζα. Όµως -3+=α -3+(-α)= () Η () έχει πραγµατικές ρίζες όταν : 9-(-α) 9-8+α α α - Έτσι έχουµε ότι το Π.Τ. της f() θα είναι το διάστηµα -, + ) Σηµείωση: =α(- ) + ) α> : Μορφή: Π.Τ. : (, ) ) α< : Μορφή : (, ) Π.Τ. :

2 (ii) f()= +cos Η f() έχει Π.Ο. το R. Τώρα για το Π.Τ. της f() κάνουµε τα γραφήµατα των συναρτήσεων : g()= και h()=cos. ηλαδή : - 3π -π π π -π 3π χ - ΣΧΗΜΑ Ι - π π - π π χ ΣΧΗΜΑ ΙΙ Τώρα από το σχήµα ΙΙ παρατηρούµε ότι η f() παίρνει όλες τις τιµές του R η f() θα έχει Π.Τ το R. (iii) f()= + Η f() ορίζεται σε όλο το Rεκτός από το =. Άρα θα έχει Π.Ο το R-{ } Τώρα για να βρούµε το Π.Τ της f() θέτουµε + =α και θα βρούµε τις τιµές του α για τις οποίες ικανοποιείται η εξίσωση : =α, +=α, -α+=, () 3 Τώρα επειδή το πολυώνυµο p()= - α+ είναι περιττού βαθµού (3ου) έχει τουλάχιστον µία πραγµατική ρίζα α R. Αυτό συµβαίνει διότι ξέρουµε ότι οι µιγαδικές ρίζες εµφανίζονται ανά ζεύγη, άρα το πολύ να έχει δύο µιγαδικές ρίζες οπότε αποµένει µια πραγµατική + Σηµείωση : Ένα πολυώνυµο βαθµού n έχει n ρίζες (πραγµατικές ή µιγαδικές) Η εξίσωση () έχει πραγµατική ρίζα α R η f() θα έχει Π.Τ. το R

3 3 (iv) f()= + Η f() ορίζεται σε όλο το R εκτός από το =. Άρα θα έχει Π.Ο το R-{ } Έστω Η εξίσωση () έχει πραγµατικές ρίζες όταν + =α, +=α, -α+=, () α - (α-)(α+) Άρα η f() θα έχει Π.Τ : (, ] [, ) (v) f()= + - Η f() είναι ορισµένη για όλες τις τιµές του για τις οποίες: - (-)(+) - (-)(+) Άρα η f() θα έχει Π.Ο. το [-,] Το Π.Τ της f() θα είναι το :, 5 α (α-)(α+) (vii) f()= - Η f() ορίζεται όταν - -, η f() θα έχει Π.Ο το R-{-,} Τώρα για να βρούµε το Π.Τ της f() θέτουµε : =α - +α =α =α ( -) =α -α α=+α = - α Άρα πρέπει : +α (+α)α, α α α - (α+)α Αυτό µας δίνει α -, α>. Έτσι έχουµε ότι το Π.Τ της f() είναι το: (-,-] (,+ )

4 . f()= Για <3 : f()=-(-5)+(-3)= Για 3 <5: f()= -(-5)-(-3)= 8- Για 5 : f()=(-5)-(-3)= -, <3 Άρα η f ορίζεται ως : f()= 8-, 3 <5 -, f()= (α) H f() ορίζεται σ όλο το Rεκτός από αυτές όπου µηδενίζεται ο παρονοµαστής Έχουµε ( )( ) = = -3 +3= -3 = 3 Απορρίπτεται -3 -= -3 = -3= ± =5 και = Άρα το Π.Ο της f() είναι το : R-{,5} (β) f ()=, f ()= + -6, f 3()=-3 ή f ()=, f ()= +-6, f 3()= -3 ή f ()= 3, f ()=, f ()=

5 5.3 f()= (i) = - Μετατόπιση του γραφήµατος κατα µονάδες προς τα δεξιά (ii) = + (iii) = Μετατόπιση του γραφήµατος της f() µονάδες προς τα πάνω Συνδυασµός των (i) και (ii) (iv) = +5 - Μετατόπιση του γραφήµατος κατά 5 µονάδες προς τα αριστερά και µονάδες προς τα κάτω f ()=5+, f ()=6+c (fof )()=(fof )(), f (6+c)=f (5+) 5(6+c)+=6(5+)+c 3+5c+=3++c c= c=5

6 6.6 f()=g()+h() g()= [f()+f(-)], h()= [f()-f(-)] g(-)= [f(-)+f()]= [f()+f(-)]=g() H g είναι άρτια h(-)= [f(-)-f()]= - [f()-f(-)]= -h() H h είναι περιττή - - (i) f()=e = [e +e ]+ [e -e ] - - (ii) f()=e sin= [e sin+e sin(-)]+ [e sin-e sin(-)] - - = [e sin-e sin]+ [e sin+e sin] - - (iii) f()= += [( +)+( -)]+ [( +)-( -)] (iv) f()= = = f()= (-)(+) - - Έστω g()= - και h()= - - g(-)= - =- =g() g άρτια (-) h(-)= = - = -h(-) h περιττή (-) - - ηλαδή η f() γράφεται ως άθροισµα µιας άρτιας και µιας περιττής συνάρτησης..7 (i) (ii) f()= -, ΠΟ..:[,] f ()=sin 3, Π.Ο.: R (f +f )()= - + sin 3 (f -f )()= - -sin 3 (iii) (f.f )()= -.sin 3 Οι πιο πάνω συναρτήσεις έχουν Π.Ο την τοµή των πεδίων ορισµών των f,f Άρα θα έχουν και οι τρεις Π.Ο. : [-,] f - (iv) ()= f sin3 Το Π.Ο της είναι η τοµή των Π.Ο των f,f εκτός τα σηµεία όπου µηδενίζεται η f ηλ. πρέπει - και sin3 - και 3,±π,±π,... f Άρα Π.Ο. της : [-,) (,] f

7 7 (v) (fo f )()= f (sin3)= -sin 3 Το Π.Ο της (fo f )() είναι εκείνα τα του Π.Ο της f για τα οποία οι τιµές f() ανήκουν στο Π.Ο της f(). Για την f() έχουµε ότι Για την f(f()) θα πρέπει f() sin 3 το οποίο ισχύει R Άρα η (fo f )() θα έχει Π.Ο : R (vi) (fo f )()= f ( - )=sin 3 - Όµοια µε το (v) : Για την f() έχουµε ότι R.Άρα πρέπει 3 - R Αυτό ισχύει για - ΠΟ..της fo f :[-,].8 Αν [ k,k+) τότε [ ] (i) f()= k =k, όπου k Z f()= M -3, αν -3,- -, αν -,- -, αν -,, αν,, αν,, αν,3 3, αν 3, M H f δεν είναι περιοδική Τώρα, R έχουµε = [ ] +ε, όπου ε [,) (ii) f()= -[ ] =ε (iii) [ ] f()= - = -ε χ χ Από τις γραφικές παραστάσεις παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις η f είναι περιοδική µε περίοδο Τ= -

8 8 (iv) f()=[sin] Στο διάστηµα [,π] έχουµε Ανάλογα αποτελέσµατα έχουµε για οποιοδήποτε διάστηµα µήκους π αν, π ) αν = π f()= αν ( π, π - αν ( π,π) αν =π -π -3π -π π π π H f είναι περιοδική µε Τ=π. -.9 =f() (ii) = -f(), α Β α α α α -Β (i) =f(), α (iii) =3f, a B 3Β α α 3α α α α (iv) =f(-α), α α B α α 3α α

9 9 p+q. f()=, -r, f() άρτια f(-)=f(), R +r -p+r p+r (i) f(-)= f() -p -+r = +r - rp+q+ qr = -p -q+pr+ qr pr-q= (pr-q)=, pr =q p+r p+pr p(+r) (ii) f()= = = =p, -r. Άρα η f είναι σταθερή διότι p σταθερά. +r +r +r. (α) f(+)=f()-f(),, R f()= f + = f - f =, R. Λόγω της πιο πάνω ιδιότητας (β) f(-)= -f(), R f(-)= -f() f()= -f() f()= f()=. (i) Θέτω f()=(+), - =(+) += = - f ()= - Τώρα για να βρούµε το Π.Ο. της f αρκεί να βρούµε το Π.Τ της f Έχουµε λοιπόν ότι. Άρα =(+) =6 (για η f είναι αύξουσα άρα την µικρότερη της τιµή την παίρνει για =). Η f() θα έχει Π.Τ. το [ 6,+ ) - Η 6,+ f () θα έχει Π.Ο. το (ii) f()= +3, -3 Έστω - = +3 = +3 = -3 f ()= -3 Το Π.Τ. της f είναι το [, + ) Το Π.Ο της - f () είναι το [, + ) (iii) f()=3 +5-, Η f() είναι µια παραβολή. Θα προσπαθήσουµε να την φέρουµε στην µορφή f()=α(- ) Έστω =3 +5-=3 + - = =3 + - () = 3 + = + = f ()= 6 Από την εξίσωση () παρατηρώ ότι Άρα το Π.Ο. της - f () είναι το 9 - Το Π.T. της f είναι το 9 -, + 9 -, +

10 (iv) f()= -5, Έστω = -5 = -5 - = = () =-5 - = - = - + f ()= Από την εξίσωση () παρατηρούµε ότι Άρα το Π.Τ της - f είναι το -, Το Π.T. της f είναι το -,.3. 3 f()=, f ()= = f() = 5 - f()=, Η f έχει ως αντίστροφη τον εαυτό της f ()= +c +c Ξέρουµε ότι - (f o f )()= R-{-c} +c +c f = = = +c +c +c+c +c+c +c +c = +c +c (+c) +(c - )=, R- c +c = και (c - )= c= - { }