ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία της g. Γ. Εάν () > και ()d = και μεταξύ των C, ',=,=. g? Μονοτονία με βοηθητική συνάρτηση.. Δίνεται η συνάρτηση :R R 5 ()d = να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου με σύνολο τιμών το ( R ) (, ) ισχύει: ln( ) + ( ) ln =, για κάθε χî R, ( ) α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τη συνάρτηση γ. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) + ln - 8 = δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) Nα δείξετε ότι g( ) - - æ ö g = + ç è ø. ³ ln4, για κάθε χ η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g.? Εύρεση αντίστροφης συναρτήσεων με πολλαπλό τύπο.. Να δείξετε ότι η : ( ) Βρείτε την -. = +, για την οποία - > και να εξετάσετε αν ο αριθμός ln4 είναι ì- -, = í είναι γνήσια αύξουσα. - î e, >? Κοινά σημεία και σχετικές θέσεις μεταξύ: C,C -, y = 5 4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + +, με ( R) = R. - α. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την τιμή ( ) - β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C - δ. Να λύσετε την ανίσωση ( )-( ) e? Κριτήριο Παρεμβολής και θεωρητικές στα όρια. 5. Έστω :R R συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε Î R ισχύει: () + () = ημ4. (i) Να δείξετε ότι () = (ii) Να υπολογίσετε το όριο ()

2 6. Δίνεται συνάρτηση που ορίζεται κοντά στο για την οποία ισχύει ότι ( ) =. Να αποδείξετε ότι: i) ( ) = ii) ( ) = β) Δίνεται συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει: ( ) - ( ) - Να βρείτε το ( ).? Θυμάμαι: ì () g() ï í και ï g() = - ïî χ τότε () = - χ? Θυμάμαι: ì () ³ g() ï í και ï g() = + ïî χ τότε () = + χ 7. Α. Εάν :(, + ) με () < -, > Ποιο το () + + Β. Εάν χ() ³, >. Ποιο το () ; +? Θυμάμαι τις βασικές περιπτώσεις τριγωνομετρικών ορίων στο χ ή στο. (Ποια χρειάζονται Κ-Π, ποια αλλαγή μεταβλητής, κτλπ 8. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: æ i) ö ç + σφ èημ ø ii) ; ημ + κημ 9. Αν () =, να βρεθεί η τιμή του κî R, ώστε να υπάρχει το.να βρείτε το όριο æ ö ημχ συν ç χ è ø..να βρεθούν τα όρια i) + (ημ ημχ ) ii) ± χ iii) ημ iv) ημ χ χ.να βρεθούν τα παρακάτω όρια: i) ( + ημ + 7) +.Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: + - i) + + συνχ ii) ii) ημ + + ημ ()

3 ? Συνέχεια και συναρτησιακές σχέσεις. Χρήση άρτιας περιττής στα όρια και την συνέχεια. 4.Δίνεται συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: ( ) -hm = και: ( + y) = ( ) + ( y) - y( + y) για κάθε, y Î R. Να αποδείξετε ότι: α) η είναι συνεχής στο. β) η είναι συνεχής στο R. 5.Δίνεται περιττή συνάρτηση : R R, συνεχής στο, για την οποία ισχύει: ( ) = 9 - α) Να βρείτε την τιμή (). β) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο -. ( ) γ) Να υπολογίσετε το όριο ( ) - () + hm( - ) δ) Να υπολογίσετε το όριο: - 4? H διατηρεί σταθερό πρόσημο. Πρόσημο τιμών συνάρτησης. ( ) + hm 6.Δίνεται συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: = + - η εξίσωση ( ) = έχει μοναδικές ρίζες τις - και. Να βρείτε: α) την τιμή (). ( e) ln, β) το όριο ( ) + γ) το όριο ( () ) - και? Εύρεση τύπου συνάρτησης: που διατηρεί πρόσημο, μεταξύ των ριζών της, όταν έχει μια ρίζα. 7.Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [-,] για την οποία ισχύει + () = 4 για κάθε Î[ -,] i. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης () =. ii. Να δείξετε ότι η διατηρεί το πρόσημο στο διάστημα (-,). iii. Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της ; iv. Αν () = - να βρείτε την. 8.Να βρεθεί ο τύπoς της συνεχούς όταν: ( ) + = + 9.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: () + () hm = + sun, Î R και () =. Α. Να δείξετε ότι: η g() = () + hm, Î R διατηρεί σταθερό πρόσημο και: () = + - hm Β. Να βρεθούν τα όρια: () και + () -

4 ? Ασκήσεις που εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ, Θ.Μ.Ε.Τ..Δίνεται η συνάρτηση η οποία ορίζεται και είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει: ( ) + () + () =. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g () = () + ( + ) και να δείξετε ότι είναι συνεχής σ αυτό. Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g παίρνει την τιμή. Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ε [, ] ώστε: () ( ) - =.? Όρια εκθετικών- λογαριθμικών..να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: - k - i) - k - ii) + m em - me - e? Περιπτώσεις στις οποίες χρησιμοποιούμε τους τύπους: ( + h) -() ' (h ) - ( ) ( ) -( -h) = () ή = () ή = '() h h (h - ) h h ή άλλους τύπους που προκύπτουν με αντικατάσταση μεταβλητής από τον αρχικό () -( ) ' τύπο = (). -.Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: ( + h) -( ) ( -h) - ( + h) ι) = '() ιι) =-4'() h h h h ( -h) - ( ) ( + h ) -( ) ιιι) =-( )'( ) ιv) = h h h h.έστω συνάρτηση : (, + ) R για την οποία για κάθε,y Î (, ) + ισχύει: ( y) = () + (y) - y + -. Αν είναι () = να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε (, ) Î +.? Συνέχεια και παράγωγος με κριτήριο παρεμβολής. 4.Δίνεται η συνάρτηση ώστε για κάθε Î R να ισχύει (()) + () = 5-5 ().Να δειχθεί ότι: Α. Η συνάρτηση είναι - και να βρεθεί η αντίστροφή της. Β. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R. Γ. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R. Δ. Η C διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,) και να βρεθεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C του άξονα ψ ψ και των ευθειών ψ= και ψ=,καθώς και το ολοκλήρωμα ()d..? Εύρεση παράγωγου για συναρτήσεις με ρίζα. Εύρεση της όταν η έχει διπλό

5 τύπο. 5.Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους: i) () 4 = ii) () = ημχ + χ 6.Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο των συναρτήσεων: 4 ì ï + ημ, > ì ï +, > i) () = í ii) () = í 5 ïî 4 +, ïî +,? Εύρεση ορίων μέσω κανόνων παραγώγισης. 7.Δίνεται συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () = και '() =. Να υπολογίσετε τα όρια: α) ( ) ln e ( ) - e β) - -? Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης.!!! 8.Δίνεται συνάρτηση : R R παραγωγίσιμη και -, με () = και '() = - α)να βρείτε την ( ) ' (). β)θεωρούμε τη g() = () + () -8 i) Να αποδείξετε ότι η g είναι - ii) Να βρείτε τη ( g - ) (4)? Εύρεση κοινής εφαπτόμενης για τις C, g 9.Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: () = + και g() = -? Εφαπτόμενη αντίστροφης!!.έστω η συνάρτηση ( ) = + + α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση C - και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C - στο =- εάν θεωρήσουμε ότι αυτή είναι παραγωγισιμη..έστω η συνάρτηση ( ) = + + α) Να δείξετε ότι υπάρχει η συνάρτηση - και να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C - στο =-.? Εφαπτόμενη και θεωρήματα ύπαρξης..δίνεται η συνάρτηση () = e - eln. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση (() - ) = e έχει ακριβώς δυο ρίζες. γ) Αν χ,χ (χ < χ) οι ρίζες του ερωτήματος (β) να δείξετε ότι: i) Υπάρχει μοναδικό χ ο Î (,χ) ώστε '( o) + ( o) =.

6 ii) Υπάρχει μοναδικό ξ Î (χ,) ώστε η εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο Μ(ξ,(ξ)) να διέρχεται από το σημείο Α(,).? Ρυθμός μεταβολής και: Κίνηση πάνω σε καμπύλες. Κινήσεις σωμάτων..σημείο Α κινείται κατά μήκος της y = lu. Εάν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης a (t) του Α δίνεται από τον τύπο a '( t) = a( t). Να βρεθεί:. Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου τομής Μ της εφ/νης της C στο Α με τον ' την στιγμή που το Α έχει τετμημένη e.. Τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ που σχηματίζει η εφ/νη της c στο Α Με τον ' την ίδια στιγμή.? Βρίσκω την συνάρτηση που θα εφαρμόσω Θ-R με την βοήθεια της αρχικής!!! 4.Έστω συνάρτηση συνεχής στο [, ], και παραγωγίσιμη στο (,) αν () =, () = 9δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (,) της C στο σημείο A(, ( ) )? Δεδομένη εξίσωση έχει το πολύ κ ρίζες. τέτοιο ώστε η εφαπτομένη να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5.α.Αν η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει ''( ) ¹ για κάθε Î D,να αποδείξετε ότι η έχει το πολύ δύο ρίζες στο Δ. β.να λύσετε την εξίσωση 5 = 4 +.? Δεδομένη εξίσωση έχει ακριβώς κ ρίζες. 6.Θεωρούμε τη συνάρτηση δυο φορές παραγωγισιμη στο Δ=(,) ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες: ) < () < για Î D ) < '() < για Î D ) ''() + ¹ για Î D 4) () = () + 4 Να δείξετε ότι: α) Υπάρχει μοναδικό σημείο Î (, ) ώστε () =, β) Υπάρχει μοναδικό Î (, ) ώστε '() = -? ΘΜΤ σε περισσότερα του ενός διαστήματα και επιλογή διαστημάτων. 7.Αν για την συνάρτηση ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [,] να δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ Î (,) τέτοια ώστε '( ) + '( ) =.? Συνδυασμός ΘΜΤ και άλλων θεωρημάτων ύπαρξης. 8.Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο διάστημα éë,4ùûγια την οποία ισχύουν: () = (4) - 4 =. Να δείξετε ότι: α) υπάρχει ένας, τουλάχιστον, Î (,4) τέτοιος ώστε + ( ) = 4. β) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο éë,4ùû,τότε, υπάρχουν δύο τουλάχιστον,α,β Î (,4),τέτοιοι ώστε '(α) '(β) =.

7 ? Απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με το Θεώρημα Μέσης Τιμής. 9.Να αποδείξετε ότι για κάθε χ> ισχύει ότι: < ln( + ) - ln < +? ΘΜΤ και όρια μέσω ΚΠ.!!!! 4. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία για κάθε χ ( ) - ' e = -. Î R ισχύει: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ' είναι γνησίως φθίνουσα στο éë,+ ), β. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) () ii). ( ( + ) - ( ) ). + + ( ) iii) ( ) - ( ) +? Εύρεση μονοτονίας μέσω ΘΜΤ!!!!! 4.Δίνεται ότι συνάρτηση : R R με ( ) = και γνησίως φθίνουσα. Θεωρούμε και την ( ) g( ) = στο (, + ). Να βρεθεί η μονοτονία της g.?!!!! Εύρεση τύπου συνάρτησης, με γνωστή παράγωγο, σε ένωση διαστημάτων.? Αρχική συνάρτησης πολλαπλού τύπου.? Αρχική συνάρτησης σε ένωση διαστημάτων. ì-, < 4.Έστω μια συνάρτηση με '( ) =í. Αν () = να βρείτε την. î -, ³ 4.Έστω μια συνάρτηση sun * : R R, η οποία είναι συνεχής και ισχύει '( ) = -, για κάθε ¹. Αν ( p) = ( - p) =, να βρείτε την.? Μελέτη μονοτονίας για συναρτήσεις με πολλαπλούς τύπους. 44.Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι παρακάτω συναρτήσεις: ì - +, ì + -7, < i) () = í ii) () = í î -, > î- - 4, ³? Πλήθος ριζών για εξισώσεις με παράμετρο. ì ln, > 45.Δίνεται η συνάρτηση () = í î, = α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο. β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών θετικών ριζών της εξίσωσης για όλες τις πραγματικές τιμές του α. δ. Να αποδείξετε ότι ισχύει (+)>(+) (), για κάθε >. α = e

8 ? Aπο ανισότητα σε ισότητα.fermat.. 46.Έστω τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R τέτοια ώστε να ισχύει (a) + (β) () για κάθε πραγματικό. α. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (a,β) τέτοιο ώστε () = β. Να δείξετε ότι (a) = (β) = γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ Î (a,β) τέτοιο ώστε (ξ) =. 47.Θεωρούμε τις παραγωγισιμες συναρτήσεις, g με g() = () - και () =. Να δείξετε ότι '() =.? Επίλυση εξισώσεων ή ανισώσεων με βοηθητική!! 48.Δίνεται η συνάρτηση () = e ( + ). α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. β) Να λυθούν : 4 4 i) ( + ) + ( + ) > ( + ) + ( + 4) ii) 4 4 ( + ) - ( + ) = ( + ) - ( + )? Συνδυασμούς μονοτονίας και ΘΜΤ. 49.Δίνονται οι συναρτήσεις () = e + -, Î R και F() = () - (), ³. α) Να δείξετε ότι οι ',F είναι γν αύξουσες. β) Να δείξετε ότι χ '() > F(), >. γ) Να δείξετε ότι η δ) Να λύσετε την ανισωση ìf() ï, > g() = í ï î, = είναι γν αύξουσα στο [, + ). ( ) + () < ( ) + (), Î (, + ).? Επίλυση προβλημάτων με τη βοήθεια των ακρότατων æ 9 ö 5.Δίνεται η συνάρτηση () = -, και το σημείο Α ç -, è ø Α) Να βρεθεί σημείο ΜÎ C που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το Α. Β) Δείξτε ότι η εφαπτομένη (ε) της C στο σημείο Μ είναι κάθετη της ΑΜ Γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την εφαπτομένη (ε) και τον οριζόντια άξονα. Δ) Να βρείτε ευθεία = α, αî R που να χωρίζει το εμβαδόν σε δύο ισεμβαδικά χωρία.? Κοίλα και εφαπτόμενη. Κοίλα και ΧΟΡΔΗ!! 5.Δίνεται η συνάρτηση () = - ln. A. Να δείξετε ότι η είναι κυρτή. Β. Να βρείτε την εφαπτομένη της C στο χο =.

9 Γ. Να δείξετε ότι ln + -, >. Πότε ισχύει η ισότητα; - Δ Να λύσετε την εξίσωση e - =, Î(,+ ). Ε. Να λύσετε την εξίσωση '(() + - ) =-. ΣΤ. Εάν α> να δείξετε ότι η εξίσωση λύση.? Κοίλα και ΘΜΤ.? Κυρτότητα και όρια α () + (α + )(χ - α) = α (α) έχει μοναδική 5.Δίνεται η συνάρτηση :R R, με: e () = ln e + Να δείξετε ότι: Β. Αν g:r Rείναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με g'() = e + g() =- ln τότε: = g Β. Η C στρέφει τα κοίλα κάτω στο R. Β. Για κάθε ÎRισχύει: ( + ) - () + e + e + ( + ) -() Β4. Να βρεθεί το: ( ) + και? Κυρτότητα και παράγουσα της. ln- 5.Δίνεται η συνάρτηση :(, + ) R με () =. Θεωρούμε επιπλέον μια e παράγουσα F της συνάρτησης στο (, + ). Α. Να δείξετε ότι η είναι κυρτή. Β. Να δείξετε ότι F() + F() > F(), > Γ. Δίνεται ο σταθερός αριθμός α>. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα χ Î (α,α) τέτοιο ώστε F(α) + F(α) = F(χ )? Ασύμπτωτες και όρια. 54.Δινεται η συναρτηση: () = + +. e A. Να δειξετε οτι η ευθεια y = + είναι πλαγια ασυμπτωτητης C στο + () Β. Να βρεθουν τα ορια:, ( () - ), ( () - + ) Εάν η γραφική παράσταση της έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία ε:y = 5+ να βρεθεί το όριο: + () - + ημ () -5? ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ? Μαθαίνουμε να διαβάζουμε γραφικές παραστάσεις..

10 56.Έστω η συνάρτηση () = e - a, να βρεθεί η τιμή του a Î R ώστε η C να εφάπτεται στον άξονα και στη συνέχεια για την τιμή του α που θα βρείτε να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. 57. (ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ) Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μίας παραγώγου της συνάρτησης η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο [,]. Ισχύουν ακόμα: Ε( Ω) ( ) =, E ( Ω) = Ε( Ω) = = Β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της και τα ακρότατα Β. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής ( ) Β. Να υπολογίσετε το ημ ( ) B4. Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ ξ, ( ξ ) της C με ξî (,) στο οποίο η εφαπτομένη διέρχεται από την αρχή των αξόνων.? Το ορισμένο ολοκλήρωμα σαν Μεταβλητή. 58.Έστω :[,] R μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: ()d e = (() + )d. Να υπολογίσετε το ()d? Εύρεση τύπου συνάρτησης όταν υπάρχει σε σχέση () και β ()d. α? Εύρεση τύπου συνάρτησης με την βοήθεια των παρακάτω προτάσεων α. Έστω :[α,β] R συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει () ³, για β κάθε Î [α,β], τότε ισχύει ()d = Û () =. α β. Έστω :Δ R (Δ: διάστημα) συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει β () >, για κάθε Î Δ, αν ισχύει ()d = τότε α = β. α 59.Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει: ( ) () = + (t)dt -45. Να δείξετε ότι () = Έστω : éë,e ùû συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει Î éë,eùû και e ()d = e. Να βρείτε την συνάρτηση ().? Ολοκληρώματα και ανισότητες. () ³ +, για κάθε 6.Έστω : éë, ùû μία συνάρτηση συνεχής με μέγιστη τιμή το και ελάχιστη τιμή 4 το. Να δείξετε ότι ()d d. ()

11 6.Έστω :( -,] R συνεχής γνησίως αύξουσα με () >. Nα δείξετε ότι : α) (t)dt () β) t(t)dt (t)dt. 6.Έστω :[,] R με () = η οποία είναι παραγωγισιμη και ισχύει - '() () e, [,] + > Î. Να δείξετε ότι:? Κοίλα ολοκληρώματα και ανισότητες. 64.Δίνεται η συνάρτηση και: () = e - '() για κάθε >. α)να δείξετε ότι () = e ()d > :(, + ) R, παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει () = e e β)να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της e δ)να αποδείξετε ότι? Παράγουσες και ΘΜΤ. ()d ³. 8 C στο σημείο της Μ (, ()). 65.Έστω :R R μια συνάρτηση παραγωγισιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο που ικανοποιεί τις σχέσεις: '() ¹,Î και Να βρεθεί η μονοτονία της. + y y (t)dt < + y(t)dt,,y R, < y Î.? Ολοκληρώματα και θεωρήματα ύπαρξης: Bolzano, Rolle. 66.Δίνεται η συνάρτηση () = + -,Î R. Α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα α Î (,) τέτοιο ώστε (α) =. Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο διάστημα (,).? Όρια και Ολοκληρώματα!! α ()d e ()d α - = έχει τουλάχιστον μια χ - χ 67.Έστω :R R μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής με () =, '() = και () ³, Î R. Εάν F μια παράγουσα της στο R με F() = να βρείτε τα όρια: F() χf() α) β) () (e - )ημχ χf() γ) e - - ( ln () ) ε) ( e ) F () - δ) F() - - ( e )ln? Θεωρητικές ασκήσεις πάνω στην ολοκλήρωση κατά παράγοντες.

12 68.Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα στο διάστημα ( ) = é πù æ π ö ê, ë ú και ç = û è ø π. Αν [ () + ()]? Ολοκληρώματα με αναδρομικούς τύπους ( I,Ι ν ν -,Ι ν -,...) 69.i)Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: é πù ê, ë ú με συνεχή û sund = δείξτε ότι: I και I e d = e d n ii)να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο για το ολοκλήρωμα: I = e d iii)nα υπολογίσετε το I 4? Μορφές b v v ( ημ,συν )d όπου ν περιττός ή άρτιος. a = n 7.Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) π ημ d ii) π συν d iii) ημ συν d iv) ημ συν d? Θεωρητικές ασκήσεις στην ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής. a n a n 7.Δείξτε ότι: ( a - ) d = ( a - ) 7.Αν οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο R,δείξτε ότι: a () g( a - )d = a g() ( a - )d? Ολοκλήρωμα άρτιας περιττής. 7.Δίνεται συνάρτηση p p d g : R R με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει: ( g() - ) g '() sund = hmd και: g' () = g() - για κάθε Î R α)να αποδείξετε ότι g () = β)να βρείτε τον τύπο της g. γ)αν : R R είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να αποδείξετε ότι : a () a d = -a ()d g()? Εύρεση ολοκληρώματος από σχέση. 74.Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση στο [-, ] και για κάθε Î R ισχύει: ( + y) = () + (y) + y Να δείξετε ότι: (Ι) + (-) και ΙΙ) - () = ()d =? Εύρεση ολοκληρώματος από σχέση που κατασκευάζουμε.

13 75.Αν ( α) + ( β - ) ¹ β ( -α) d α( -α) + ( β -) -, "ÎR. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:? Ολοκλήρωμα με αντίστροφη συνάρτηση!!!! 76.Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :(, + ) R για την οποία ισχύει: () χ = () e, Î (, + ). Να αποδείξετε ότι: Α. Η είναι γν αύξουσα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Β. Να οριστεί η αντίστροφη της. Γ. e - ()d + ()d = e.? Εμβαδά!! 77.Έστω μια πραγματική συνάρτηση με τύπο: ìa, ï í - e ï î - ( ) = -, an an > α. Αν η είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι: a = - 9 C στο σημείο M ( 4, (4)). β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C,τον άξονα ' και τις ευθείες = και =? Εμβαδά μεταξύ C,y =,C - 78.Δίνεται υ συνάρτηση () = e + -. i) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C - του ' και των ευθειών = και =e.? Εμβαδά μεταξύ C και εφαπτομένης. 79.i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) =, την εφαπτομένη της στο σημείο (,) και τον άξονα των. ii) Να βρείτε την ευθεία = α, η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία.? Διάσπαση εμβαδών. 8.i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) =, την εφαπτομένη της στο σημείο (,) και τον άξονα των. ii) Να βρείτε την ευθεία = α, η οποία χωρίζει το χωρίο αυτό σε δύο ισεμβαδικά χωρία.