Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Ειστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διηλεκτρικές, Οτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 5: Εισαγωγή στα Μαγνητικά Πεδία Λιαροκάης Ευθύιος
Άδεια Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Cea%e Cns. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες, ου υόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύου, αυτή ρέει να αναγράφεται ρητώς.
Χρήσιες γνώσεις αό τον ΗΜ Μαγνητικό εδίο Αό το νόο διατήρησης του φορτίου γνωρίζουε ότι θα ρέει να ισχύει ότι + ρ dj 0. Στην ερίτωση ου το σύστηα βρίσκεται σε ια όνιη κατάσταση, t όου η συνολική υκνότητα φορτίων δεν εταβάλλεται ε τον χρόνο (αλλά υάρχει κίνηση φορτίων) θα ισχύει ότι d j 0 ου εκφράζει την διατήρηση του ρεύατος (νόος του Kckff). Αό την σχέση όου ο ηδενισός του ρ de ε E t ρ E d 0, ε ροφανή λύση την 0, t t υοδηλώνει ότι η οσότητα έχει ια όνιη κατάσταση και ηδενίζεται αν ολοκληρωθεί σε κάοια χρονική διάρκεια. D Αό την σχέση j + j για την όνιη t κατάσταση. Είσης θα ισχύει ότι d 0 ου ορεί να ικανοοιείται εκ ταυτότητας αν, όου είναι το διανυσατικό δυναικό. Αό τον συνδυασό των δύο θα ροκύψει ότι ( ) j ( ) Εειδή υάρχει αυθαιρεσία στην ειλογή του, ας ειλέξουε την βαθίδα 0. Οότε j, ου είναι η εξίσωση του Pssn και η λύση της κατά τα γνωστά είναι η j dv Για την ερίτωση διακριτών φορτίων όου θα λάβουε τον χρονικό έσον όρο της κίνησης των στοιχειωδών φορτίων. Αό την σχέση θα ροκύψει ότι j dv Όως ισχύει ότι ( fa) f a + f a Οότε θα έχουε τον νόο του t-saad V-
V- dv j jdv Στην ερίτωση ου υολογίζουε το σε αοστάσεις ολύ εγάλες σε σχέση ε την διατοή ενός αγωγού, τότε dl ds dv, αλλά η ολοκλήρωση ως ρος το ds δεν αφορά το και εοένως ( ) jds έεται ότι dl (σε διαφορική ορφή dl d ), ου είναι η συνηθισένη ορφή του νόου των t-saad για τον υολογισό του αγνητικού εδίου ου δηιουργείται αό αγωγούς. Είσης το διανυσατικό δυναικό θα είναι τότε dl Μαγνητική ροή 'Εστω σύστηα φορτίων σε όνιη κίνηση. Ο υολογισός του εδίου σε εγάλη αόσταση δίνει ότι Ανατύσσουε γύρω αό το / και ροκύτει ότι gad + Οότε ( ) + Για να υολογίσουε το θα ρέει να άρουε τον χρονικό έσο όρο της κίνησης. Όως λόγω της εριοδικότητας της κίνησης των φορτίων θα ισχύει ότι 0 t Αό υολογισούς ροκύτει ότι ο ο -
V- ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 8 8 8 8 8 d d + Όου η οσότητα ( ) ονοάζεται αγνητική διολική ροή των φορτίων. Το αγνητικό εδίο θα είναι Όως ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) a b b a b a a b b a + ) ( Οότε ροκύτει τελικά ότι ) ˆ ( ˆ Αν όλα τα φορτία έχουν άζα ανάλογη των φορτίων τους, δηλαδή όταν M σταθερό, τότε ( ) ( ) ( ) M p M M M Δηλαδή ισχύει ότι M σταθερό ου ονοάζεται γυροαγνητικός λόγος. Για την ερίτωση ενός ικρού κυκλικού αγωγού ( ) S a dl jdv dv ˆ ˆ ρ Εοένως, για συνεχή κατανοή φορτίων dv j και για γραικούς αγωγούς έχουε την σχέση l d Κινούενα φορτία σε εξωτερικό αγνητικό εδίο Η δύναη ου θα ασκηθεί σε κινούενα φορτία αό εξωτερικό αγνητικό εδίο είναι
V- F και εοένως για κλειστές τροχιές όταν άρουε τον έσο όρο θα ροκύψει ότι 0 d F αν το εδίο δεν εταβάλλεται ε τον χρόνο. Για την ροή των δυνάεων θα έχουε [ ] [ ] 0 N Υολογίζεται ίση ρος [ ] N ) ( ) ( ου είναι ακριβώς ανάλογη ε εκείνη της ηλεκτρικής διολικής ροής Για την εταβολή της στροφορής θα έχουε ότι N d Που για σταθερό λόγο M / M/ οδηγεί στην σχέση M d Ω Όου ορίσαε την συχνότητα a M Ω Η δυναική ενέργεια φορτίων σε αγνητικό εδίο ορεί να υολογιστεί αό τον όρο της aganzan Στην ερίτωση σταθερού αγνητικού εδίου ορούε εύκολα να δείξουε ότι Εοένως η aganzan θα είναι ( ) ( ) Και η δυναική ενέργεια U
ου είναι η αντίστοιχη σχέση για την ηλεκτρική διολική ροή. Μαγνήτιση Όως και στην ερίτωση των διηλεκτρικών υλικών, όταν ένα σώα βρεθεί έσα σε εξωτερικό αγνητικό εδίο δηιουργείται ια ανακατανοή της κίνησης των φορτίων (και των στροφορών) ώστε τελικά σε κάοιο σηείο του υλικού να υάρχει το διανυσατικό άθροισα του εξωτερικού εδίου και του εαγόενου. + Η αουσία αγνητικών ονοόλων υοδηλώνει ότι d d d 0. Αν δεν υάρχουν εξωτερικά ρεύατα και για την όνιη κατάσταση θα έχουε είσης ότι 0. Ενώ αό τα εαγόενα εσωτερικά ρεύατα j θα ισχύει ότι j. Αό τον συνδυασό των δύο σχέσεων ροκύτει ότι j. Αν όως υήρχαν και εξωτερικά ρεύατα j, θα είχαε την σχέση ( j + j ). Αν θεωρήσουε ια ειφάνεια ου να ερικλείει το υλικό, ροφανώς τα εαγόενα ρεύατα δεν θα υάρχουν στην ειφάνεια αυτή, εοένως θα ισχύει για κάθε τέτοια ειφάνεια ότι j ds 0. Ορίζοντας ια διανυσατική οσότητα M έσω της σχέσης j M, ροκύτει ότι θα ρέει j ds M dl 0, ου θα ισχύει αρκεί το M να έχει ηδενικές τιές εκτός του υλικού. Για να δούε τι εκφράζει η οσότητα M ου ορίσαε ορούε να υολογίσουε την αγνητική ροή των εαγόενων ρευάτων ε την σχέση j dv M dv Αοδεικνύεται εύκολα ότι η οσότητα στο ολοκλήρωα δίνει M, εοένως τελικά ροκύτει ότι MdV, δηλαδή η οσότητα M είναι η αγνητική διολική ροή ανά ονάδα όγκου. Ορίζουε εοένως την οσότητα M ου την ονοάζουε αγνήτιση ως την αγνητική διολική ροή ανά ονάδα όγκου. p ΔV M ΔV Αό τις σχέσεις j M και ( j + j ), ροκύτει ότι j + M V-5
Που οδηγεί στην M j Θέτουε H M και το ονοάζουε ένταση του αγνητικού εδίου. Για ισότροα υλικά και σε ρώτη ροσέγγιση θα ισχύει ότι M χh, οότε ( + χ) H H, όου + χ είναι η αγνητική ειδεκτικότητα, ου θα είναι ια αδιάστατη σταθερά. Η οσότητα χ λαβάνει τιές αρνητικές αλλά ολύ ικρές στα διααγνητικά υλικά (λήν των υεραγώγιων όου χ -) και θετικές αλλά ολύ ικρές στα αρααγνητικά. Σε ορισένα υλικά (τα σιδηροαγνητικά) το χ λαβάνει ολύ εγάλες θετικές τιές, όως θα συζητηθεί αναλυτικά στα εόενα κεφάλαια. Μονάδες S CGS (EMU) Σχέση ονάδων Μαγνητικό εδίο Η / Oesteds Oe000/ / Μαγνητική εαγωγή Β Tesla (Vs/ ) Gauss gauss0 - tesla Μαγνήτιση Μ / eu/c eu/c 0 / ο Β/Η 0-7 Henes/ 0-7 Μαγνητική ροή Φ Webe Maxwell Maxwell0-8 Webe Μαγνητική ροή eu eu0 - Το αγνητικό εδίο της Γης 56 / 0,7 Oe. Η αγνητική εαγωγή της Γης 0,70- tesla 0,7 gauss Ένας ηλεκτροαγνήτης συνήθως δηιουργεί ερίου έχρι -,5 tesla. Οριακές συνθήκες θ θ Αό τις εξισώσεις του Maxwell ροκύτουν οι εξής οριακές συνθήκες στην διαχωριστική ειφάνεια δύο αγνητικών υλικών. n n H H t t Όου ορίσαε ε n και t την κάθετη και την αράλληλη συνιστώσα στην διαχωριστική ειφάνεια. Αοτέλεσα των αραάνω οριακών συνθηκών V-6
είναι η αντίστοιχη σχέση του νόου του Snell να διαορφώνεται ως tan tan θ θ Εειδή στα σιδηροαγνητικά υλικά το είναι ολύ εγαλύτερο της ονάδας, ενώ στα υόλοια υλικά διαφέρει λίγο αό την ονάδα, ροκύτει ότι θ >> θ. Δηλαδή οι αγνητικές δυναικές γραές κοντά σε σιδηροαγνητικά υλικά κάτονται ώστε να έσουν ε ικρή γωνία στο υλικό. Με άλλα λόγια έλκονται αό το σιδηροαγνητικό υλικό και ροτιούν να ερνούν αό έσα. Μέθοδοι έτρησης των αγνητικών εγεθών ) Τοοθέτηση κάοιου ηνίου στο υό έτρηση αγνητικό εδίο και αοάκρυνσή του. Αό τον νόο της εαγωγής ροκύτει ότι η εταβολή της ροής έσα αό το ηνίο θα εάγει κάοια τάση d V N όου Α είναι η ειφάνεια του ηνίου και Ν ο αριθός των εριελίξεων. Αό ολοκλήρωση ροκύτει ότι κατά την αοάκρυνση του αγνητικού εδίου V N( f ) N (εφ όσον το f 0 Αν συνδεθεί το κύκλωα ε αντίσταση τότε V V Q δηλαδή σε βαλλιστικό γαλβανόετρο η συνολική ένδειξη του φορτίου θα είναι ανάλογη του αγνητικού εδίου. ) Μια εναλλακτική έθοδος είναι η συνεχής εριστροφή του ηνίου ε σταθερή συχνότητα ω. Τότε ( t) csωt και d V N N snωt Εοένως, ετρώντας την τάση στα άκρα του ηνίου, ορεί να βρεθεί η ένταση του αγνητικού εδίου (Β ή Η). Με την έθοδο αυτή ορούν να ετρηθούν εδία αό 0-7 -0 tesla. Η ακρίβεια της εθόδου είναι 0 - (0,0%). ) Γραική ετακίνηση ηνίου Ένα ηνίο κινείται διαδοχικά αό ια θέση ου εριβάλλει κάοιο δείγα σε άλλη έξω αό το δείγα. Ουσιαστικά ε τον τρόο αυτό ετριέται η αγνήτιση του δείγατος. Στην θέση ου ερικλείει το δείγα ( H + M ) Έξω αό το δείγα H V-7
Εοένως, εταβολή ίση ρος Δ M Οότε V N M Q Δηλαδή η έτρηση του φορτίου σε βαλιστικό γαλβανόετρο θα είναι ανάλογη της αγνήτισης. ) VSM (batng saple agnetete) Εδώ κινείται το δείγα αντί για το ηνίο αό ια εριοχή ε αγνητικό εδίο σε άλλη χωρίς εδίο. Συνήθως το δείγα είναι ικρού εγέθους ώστε να χωρά το ηνίο. Μια σχηατική διάταξη ενός VSM αρουσιάζεται στην διλανή εικόνα αό το βιβλίο ntductn t Magnets and Magnetc Mateals, του D. Jles. Το σήα ου ανιχνεύεται είναι εναλλασσόενο σταθερής συχνότητας, ου ορίζεται αό την ετακίνηση του δείγατος έσα και έξω αό το ηνίο. Μέσω ενός lck-n aplfe είναι δυνατή η ερικοή των αρασιτικών εντάσεων και ο ακριβής ροσδιορισός του σήατος. Μορούν να ετρηθούν αγνητικές ροές της τάξης ~50 ε ακρίβεια -%. 5) Hall effect αγνητόετρο Περιοχή έτρησης 0, / - 0 6 / (δηλαδή 50 - Oe - 50 Oe). Ακρίβεια ~%. Έστω δείγα ηιαγωγού διαστάσεων l x, l y, l z και αγνητικό εδίο H yˆ, ενώ το δείγα διαρρέεται αό ρεύα υκνότητας j xˆ. x,j Όου H είναι η σταθερά Hall /ne. Εειδή l x z V / l x E και Hall l y y,h Η δύναη του entz θα είναι ίση ρος E Hall. Εοένως, EHall H Όως j ne (όου n είναι η υκνότητα των φορτίων). Έτσι ροκύτει ότι EHall j H H j H ne j ροκύτει τελικά ότι l y d z y,η V-8
V Hall H H l l y z l x Η τιή του Η και συνήθως ~0 - /Cb και ολύ ικρά δείγατα ορούν να κατασκευαστούν για την έτρηση της χωρικής κατανοής του αγνητικού εδίου. 6) Υλικά ου αρουσιάζουν ισχυρή εταβολή της αντίστασής τους ε την είδραση αγνητικού αιδιού, ορούν να χρησιοοιηθούν για την έτρηση του αγνητικού εδίου. Το ίδιο και υλικά ου αλλάζουν οι οτικές τους ιδιότητες υό αγνητικό εδίο, όως τα αγνητοοτικά υλικά, τα σιδηροαγνητικά ή τα σιδηριαγνητικά υλικά, αρααγνητικά ου αλλάζουν τον βαθό εριστροφής ολωένου φωτός υό την είδραση αγνητικού εδίου, κλ. 7) Μαγνητόετρο ροής-δύναης Εδώ ετριέται το αγνητικό εδίο Η αό την ροή ου εάγει σε αγνητική διολική ροή N H Οι συσκευές αυτές έχουν τελειοοιηθεί σε βαθό να ορούν να ετρηθούν ολύ ικρά δείγατα, ιδίως όταν ειθυούε να ετρήσουε την αγνητική ειδεκτικότητα. Το ολύ ικρό δείγα τοοθετείται σε κάοια λάστιγγα ου ισορροείται ε ολύ εγάλη ακρίβεια. Μόλις ειβληθεί κάοιο γνωστό αγνητικό εδίο θα υάρξει κάοια αόκληση ου ετριέται ε ακρίβεια. Αό την αόκλιση ορεί να συναχθεί η αγνήτιση και η αγνητική ειδεικτικότητα του ικροσκοικού δείγατος. 8) SQUD (supecnductng uantu ntefeence dece) Αυτή αοτελεί τον λέον ακριβή τρόο έτρησης του αγνητικού εδίου. Βασίζεται σε ια εαφή Jsephsn και ορεί να ετρήσει έχρι 0 - tesla. Ουσιαστικά ετρά την αλλαγή του αγνητικού εδίου έσα αό έναν δακτύλιο ου συβαίνει ε κβαντισένο τρόο (ΔΦ,0670-5 Wb). Η εθοδολογία θα εξηγηθεί στην υεραγωγιότητα. Η βασική ενεργειακή κατάσταση ιόντων ε ερικώς κατειληένες στιβάδες Οι στιβάδες και τα ηλεκτρόνια ου θα τις καταλάβουν εριγράφονται αό τους κβαντικούς αριθούς (στροφορή) ε ροβολή σε κάοιο άξονα z, z ου λαβάνει τιές / h l, l, l, K, l +, l +, l (ήτοι l+ τιές) και έχει ήκος l( l +) h z τιές), Αντίστοιχα για το σιν, S z / h S, S, S, K, S +, S +, S (ήτοι S+ S S( S +) h. Και για την συνολική στροφορή J + S, J J ( J +) h, J z / h J, J, J, K, J +, J +, J (ήτοι J+ τιές). V-9
Κανόνες του Hund ) Τοοθετούε ρώτα τα ηλεκτρόνια ε αράλληλα τα σιν ώστε να αοκτήσουν την έγιστη τιή του ολικού S ου είναι συβατή ε την ααγορευτική αρχή του Paul. Έτσι για n l + όλα τα σιν είναι αράλληλα σε τροχιακά ε διαφορετικές τιές του, δηλαδή δύνανται να υάρξουν έχρι l + ηλεκτρόνια. Όταν το n > l +, το εόενο αό τα l + αναγκαστικά θα καταλάβει κάοιο τροχιακό όου ήδη υάρχει άλλο ηλεκτρόνιο ε αντίθετο σιν. Με τον τρόο αυτό θα ροκύψει ένα συνολικό σιν ( l + ) [ n (l + )] S ) Η συνολική τροχιακή στροφορή λαβάνει την εγαλύτερη δυνατή τιή ου ειτρέει η αρχή του Ρaul. Έτσι το ρώτο ηλεκτρόνιο θα άει στην l. Το δεύτερο στην l-, το τρίτο στην l-, κλ. Όταν γείσουν όλες οι l+ στιβάδες 0, και αρχίζουν να τοοθετούνται στις στιβάδες ε αντίθετα σιν. ) Η τιή της ολικής στροφορής J είναι J S όταν n l J + S όταν n l + V-0
Χρηατοδότηση Το αρόν εκαιδευτικό υλικό έχει ανατυχθεί στα λαίσια του εκαιδευτικόυ έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδηαϊκά Μαθήατα Ε.Μ.Π.» έχει χρηατοδοτήσει όνο την αναδιαόρφωση του εκαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοοιείται στο λαίσιο του Ειχειρησιακού Προγράατος «Εκαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηατοδοτείται αό την Ευρωαϊκή Ένωση (Ευρωαϊκό Κοινωνικό Ταείο) και αό εθνικού όρους.