ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE 2017, Δρ. Ηρακλής Σπηλιώτης

Γενικοί ορισμοί Αλγεβρική δομή είναι ένα σύνολο στοιχείων και κάποιες συναρτήσεις με πεδίο ορισμού αυτό το σύνολο. Αυτές οι συναρτήσεις ονομάζονται τελεστές. Σύνολο (set) είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που έχουν μία κοινή ιδιότητα x S : το αντικείμενο x είναι μέρος του συνόλου S Ένας δυαδικός τελεστής (binary operator) ορισμένος σε ένα σύνολο S είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος στοιχείων του S ένα μοναδικό στοιχείο από το S.

Αξιώματα αλγεβρικών δομών 1. Κλειστότητα (Closure) του συνόλου S ως προς δυαδικό τελεστή (*), όταν για κάθε ζεύγος στοιχείων του S ο (*) καθορίζει ένα στοιχείο που ανήκει στο S. Το Ν={1,2,3,4 } κλειστό ως προς (+). Το N δεν είναι κλειστό ως προς (-), 2-3 = -1 Ν. 2. Προσεταιριστικός κανόνας (Associative law): Ένας δυαδικός τελεστής * στο S είναι προσεταιριστικός όταν: S (x*y)*z = x*(y*z), για κάθε x,y,z 4. Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου (identity element) του συνόλου S ως προς ένα τελεστή (*), όταν υπάρχει στοιχείο e με την ιδιότητα: e*x = x*e =x για κάθε x S 5. Αντίστροφο (inverse) σε σύνολο S που έχει το ουδέτερο στοιχείο e ως προς δυαδικό τελεστή *, όταν για κάθε x S υπάρχει y S τέτοιο ώστε : x * y = e π.χ. Στο σύνολο των ακεραίων αντίστροφο του α ως προς τον (+) είναι το (-α). 3. Αντιμεταθετικός κανόνας (Commutative law): Ένας δυαδικός τελεστής * στο σύνολο S είναι αντιμεταθετικός όταν: x*y = y*x για κάθε x,y S 6. Επιμεριστικός κανόνας (distributive law) : Εάν * και δύο δυαδικοί τελεστές στο S, ο * λέγεται ότι είναι επιμεριστικός ως προς τον όταν: x * (y z) = (x*y) (x*z)

Άλγεβρα Boole - Αξιώματα Huntington To 1854 o Boole ανέπτυξε την άλγεβρα Boole. To 1938 o Shannon εισήγαγε την άλγεβρα διακοπτών. Η άλγεβρα Boole είναι μία αλγεβρική δομή ορισμένη πάνω σε ένα σύνολο στοιχείων Β με δύο δυαδικούς τελεστές + και. όπου ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα Huntington: 1. (α) Κλειστή ως προς τον + (β) Κλειστή ως προς τον 2. (α) Ύπαρξη ουδετέρου ως προς +, συμβ. με 0: (x+0 = 0+x = x) (β) Ύπαρξη ουδετέρου ως προς συμβ με 1: (x 1 = 1 x = x) 3. (α) Αντιμεταθετική πράξη + : x + y = y + x (β) Αντιμεταθετική πράξη : x y = y x 4. (α) O είναι επιμεριστικός ως προς +: x (y + z) = (x y) + (x z) (β) Ο + είναι επιμεριστικός ως προς : x + (y z) = (x + y) (x + z) 5. Για κάθε στοιχείο x B υπάρχει x B που ονομάζεται συμπλήρωμα ώστε: (α) x + x = 1, (β) x x = 0 6. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον x, y B που να είναι x y

Άλγεβρα Boole Σύγκριση με αριθμητική άλγεβρα. 1. Τα αξιώματα του Huntington δεν περιλαμβάνουν τον προσεταιριστικό κανόνα, ο οποίος ισχύει και για τους δύο τελεστές. 2. Ο επιμεριστικός κανόνας του + ως προς το, ισχύει σtην άλγεβρα Boole x+(y z) = (x+y) (x+z) 3. H άλγεβρα Boole δεν έχει αντίστροφες πράξεις των + και, επομένως δεν ορίζεται αφαίρεση και διαίρεση. 4. Το αξίωμα 5 ορίζει ένα τελεστή που ονομάζεται συμπλήρωμα, δεν υπάρχει ανάλογο στη συμβατική άλγεβρα. 5. Η συμβατική άλγεβρα ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών που είναι άπειροι. Η άλγεβρα Boole ορίζεται στο σύνολο Β (δεν το ορίσαμε ακόμα!), το οποίο δεν είναι απειροσύνολο.

Άλγεβρα Boole Για να έχουμε μία άλγεβρα Boole πρέπει να έχουμε: 1. Τα στοιχεία του συνόλου Β 2. Τους κανόνες λειτουργίας των δύο δυαδικών τελεστών 3. Το σύνολο των στοιχείων του Β μαζί με τους δύο δυαδικούς τελεστές, να ικανοποιούν τα έξι αξιώματα του Huntington Θα σχοληθούμε με μια άλγεβρα Boole δύο τιμών, ή δίτιμη άγεβρα Boole.

Δίτιμη Άλγεβρα Boole Ορίζεται στο σύνολο Β = { 0, 1 } x y x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 x y x + y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x x 0 1 1 0 Για το παραπάνω σύνολο και τις παραπάνω πράξεις ισχύουν τα αξιώματα Huntington: 1. Η αλγεβρική δομή είναι κλειστή ως προς τις δύο πράξεις. 2. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο για τις δύο πράξεις. 3. Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. 4. Ισχύει ο επιμεριστικός κανόνας ως προς +, : (a) x (y+z) = x y + x z (b) x + y z = (x+y) (x+z) 5. Υπάρχει συμπλήρωμα (a) x+x = 1 (b) x x = 0 6. Υπάρχουν δύο στοιχεία στο Β και ισχύει 0 1.

Ιδιότητα δυισμού (Duality) Αν σε μια άλγεβρα Boole ισχύει μια ισότητα, τότε ισχύει και η δυική ισότητα της. Η δυική έκφραση προκύπτει αν εναλλαχθούν οι δυαδικοί τελεστές και τα ουδέτερα στοιχεία 0 και 1. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται δυισμός (duality). Τα αξιώματα του Huntington παρουσιάσθηκαν σε ζεύγη χωρισμένα σε τμήματα (α), (β). Τα δύο τμήματα ενός αξιώματος είναι δυικά μεταξύ τους. Π.χ. Έστω η έκφραση a+bc = (a+b)(a+c). Η δυική της έκφραση είναι: a(b+c) = ab + ac

Διαγράμματα Venn Διαγράμματα Venn για την οπτικοποίηση των αξιωμάτων της άλγεβρας Boole.

Διαγράμματα Venn Επιμεριστική ιδιότητα του + ως προς το a+bc=(a+b)(a+c)

Διαγράμματα Venn Ύπαρξη του συμπληρώματος ενός στοιχείου

Θεωρήματα άλγεβρας Boole

Άλγεβρα Boole Θεώρημα 1 Ανακλαστική ιδιότητα 1(a): x + x = x Απόδειξη: x + x = (x+x) 1 Αξίωμα 2b = (x+x) (x+x ) Αξίωμα 5α = x + x x Αξίωμα 4b = x + 0 Αξίωμα 5b = x Αξίωμα 2a 1(β): x x = x Απόδειξη: x x = xx + 0 Αξίωμα 2b = xx + xx Αξίωμα 5α = x(x + x ) Αξίωμα 4b = x 1 Αξίωμα 5b = x Αξίωμα 2a

Άλγεβρα Boole Θεώρημα 2(α): x + 1 = 1 Απόδειξη: x + 1 = 1 (x+1) αξίωμα 2(β) = (x + x ) (x+1) 5(α) = x + x. 1 4(β) = x + x 2(β) = 1 5(α) Θεώρημα 2(β): x 0 = 0 Ισχύει εξαιτίας της ιδιότητας του δυισμού.

Άλγεβρα Boole Θεώρημα 3: (x ) = x Από αξίωμα 5, το συμλήρωμα του x είναι x και επίσης (x ). Τα θεωρήματα με 2 ή 3 μεταβλητές μπορούν να αποδειχθούν με αλγεβρικό τρόπο από τα αξιώματα και τα αποδεδειγμένα θεωρήματα. Θεώρημα 6. Απορρόφηση 6 (α) x + xy = x Απόδειξη: x + xy = x 1 +xy αξίωμα 2(β) = x (1+y) 4(α) = x (y+1) 3(α) = x 1 2(α) = x 2(β) 6 (β) x (x+y) = x Ισχύει εξαιτίας της ιδιότητας του δυισμού.

Άλγεβρα Boole Όλα τα θεωρήματα είναι δυνατόν να αποδειχθούν και με πίνακες αληθείας. Ο ακόλουθος πίνακας αληθείας επιβεβαιώνει το θεώρημα 6(α), x + xy = x.

Άλγεβρα Boole Θεώρημα De Morgan Θεώρημα 5 (α) De Morgan (x + y) = x y Ο παρακάτω πίνακας αληθείας δίνει την απόδειξη του θεωρήματος 5(α).

Γενίκευση Θεωρήματος DeMorgan για περισσότερες μεταβλητές

Προτεραιότητα τελεστών Η προτεραιότητα των τελεστών είναι : 1. Παρενθέσεις 2. ΝΟΤ 3. AND 4. OR

Συναρτήσεις Boole Μία συνάρτηση Boole είναι μία έκφραση που σχηματίζεται από δυαδικές μεταβλητές, τους δυαδικούς τελεστές (ΚΑΙ, Η, ΌΧΙ), παρενθέσεις και ένα ίσον. Π.χ. F1 = x + y z Παρατηρούμε πως έχουμε μια εξαρτημένη μεταβλητή (F1) και τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές (x,y, z). Μια συνάρτηση Boole μπορεί να παρασταθεί με ένα πίνακα αληθείας. Αν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι n, τότε ο πίνακας αληθείας θα έχει 2 n γραμμές.

Συναρτήσεις Boole Μια συνάρτηση Boole σε αλγεβρική μορφή, μπορεί να μετασχηματισθεί σε ένα λογικό κύκλωμα με λογικές πύλες και συνδέσεις μεταξύ τους. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές εμφανίζονται ως είσοδοι ενώ οι εξαρτημένες μεταβλητές ως έξοδοι του λογικού κυκλώματος. Το λογικό κύκλωμα ονομάζεται επίσης σχηματικό διάγραμμα ή λογικό διάγραμμα. Η αναπαράσταση με πίνακα αληθείας γίνεται με έναν και μοναδικό τρόπο. Η αναπαράσταση με αλγεβρική μορφή, μπορεί να γίνει με παραπάνω από ένα διαφορετικούς τρόπους που είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους. Κάθε διαφορετική ισοδύναμη αλγεβρική μορφή σημαίνει διαφορετικό ισοδύναμο κύκλωμα. Κάθε διαφορετικό ισοδύναμο κύκλωμα έχει διαφορετικό αριθμό πυλών άρα διαφορετικό κόστος. Συμφέρει να μειωθεί η πολυπλοκότητα, γιατί μειώνεται το κόστος.

Συναρτήσεις Boole Θεωρήστε τη συνάρτηση: Απλοποίηση:

Απλοποίηση συναρτήσεων Boole

Συμπλήρωμα συναρτήσεων Boole Το συμπλήρωμα μιας συνάρτησης Boole βρίσκεται με χρήση θεωρήματος De Morgan:

Αλγεβρικές μορφές λογικών συναρτήσεων Αθροίσματα γινομένων (Sum of products, SOP) F(x,y,z,g) = xy z + yz g + g Γινόμενο αθροισμάτων (Products of sums, POS) F(x,y,z,g) = (x+y +z)(y+z +g)g Οι κανονικές μορφές είναι αθροίσματα γινομένων ή γινόμενα αθροισμάτων με κάποια ειδικά χαρακτηριστικά. Οι κανονικές μορφές είναι μοναδικές για κάθε συνάρτηση Boole.

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Ελαχιστόροι (Ελάχιστος όρος, minterm) Ένα γινόμενο που περιέχει κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή ή το συμπλήρωμα της, ακριβώς μια φορά. Αν μια συνάρτηση περιγράφεται από άθροισμα γινομένων (SOP), όπου κάθε γινόμενο είναι ελαχιστόρος, τότε αυτή η μορφή ονομάζεται κανονικό άθροισμα γινομένων ή άθροισμα ελαχιστόρων. Μεγιστόροι (Μέγιστος όρος, maxterm) Ένα άθροισμα που περιέχει κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή ή το συμπλήρωμα της, ακριβώς μια φορά. Αν μια συνάρτηση περιγράφεται από γινόμενο αθροισμάτων (POS), όπου κάθε άθροισμα είναι μεγιστόρος, τότε αυτή η μορφή ονομάζεται κανονικό γινόμενο αθροισμάτων ή γινόμενο μεγιστόρων.

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων Κάθε ελαχιστόρος συμπληρώνει τον αντίστοιχο μεγιστόρο, m M και m M i i i Η σειρά των μεταβλητών είναι ίδια σε όλους τους δυαδικούς κώδικες που παριστάνουν τους συνδυασμούς. Κάθε μεταβλητή που εμφανίζεται στους ελαχιστόρους έχει τιμή 1, αλλιώς εμφανίζεται το συμπλήρωμα της. Κάθε μεταβλητή που εμφανίζεται στους μεγιστόρους έχει τιμή 0, αλλιώς εμφανίζεται το συμπλήρωμα της. Ο αριθμός γραμμής είναι ο δείκτης του αντίστοιχου ελαχιστόρου και μεγιστόρου POS of F=(SOP of F')'

Κανονικές μορφές λογικών συναρτήσεων f x y z xy z xyz m m m (1, 4,7) 1 1 4 7 f x y z xy z xyz xyz m m m m (3,5,6,7) 2 3 5 6 7 f x y z x y z x y z x y z x y z 1 ( f ) f ( x y z)( x y z)( x y z )( x y z )( x y z) M M M M M (0,2,3,5,6) 1 1 0 2 3 5 6 f2 ( x y z )( x y z )( x y z)( x y z ) M 0 M1 M 2 M 4 (0,1,2,4)

Μετατροπή σε άθροισμα ελαχιστόρων Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα ελαχιστόρων. Για να εκφραστεί μία συνάρτηση ως άθροισμα ελαχιστόρων : Την αναπτύσσουμε σε άθροισμα γινομένων. Ελέγχουμε αν κάθε γινόμενο περιέχει όλες τις μεταβλητές. Αν από κάποιο γινόμενο λείπει η μεταβλητή x, τότε πολλαπλασιάζουμε με (x+x ), (x+x =1).

Μετατροπή σε άθροισμα ελαχιστόρων Να εκφραστεί η F=A+B C ως άθροισμα ελαχιστόρων. Από τον πρώτο όρο λείπουν οι μεταβλητές Β και C: Α = Α(Β+Β )(C+C ) =ABC + ABC + AB C + AB C Από τον δεύτερο όρο λείπει η μεταβλητή Α: Β C = (A+A )B C = AB C + A B C Aθροίζοντας τους όρους έχουμε: F = ABC + ABC + AB C + AB C + AB C + A B C Ο όρος ΑΒ C εμφανίζεται δύο φορές. Σύμφωνα με το Θεώρημα 1 (x+x = x) απαλείφουμε τον ένα όρο: F=Α Β C+ AB C + AB C + ABC + ABC = m 1 +m 4 +m 5 +m 6 +m 7 = Σ(1,4,5,6,7)

Μετατροπή σε άθροισμα ελαχιστόρων Άλλος τρόπος: από την αλγεβρική έκφραση, F=A+B C κατασκευάζουμε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης Από τον πίνακα αληθείας προσδιορίζουμε τους ελαχιστόρους που είναι οι 1,4,5,6,7, δηλαδή F=Σ(1,4,5,6,7).

Μετατροπή σε γινόμενο μεγιστόρων Κάθε συνάρτηση Boole μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο μεγιστόρων. Για να εκφραστεί μία συνάρτηση ως γινόμενο μεγιστόρων : Την αναπτύσσουμε σε μορφή γινομένου αθροισμάτων, με χρήση του επιμεριστικού κανόνα: x + yz = (x+y) (x+z) Ελέγχουμε αν κάθε άθροισμα περιέχει όλες τις μεταβλητές. Αν από κάποιο άθροισμα λείπει η μεταβλητή x, προσθέτουμε τον όρο xx (xx = 0).

Μετατροπή σε γινόμενο μεγιστόρων Να εκφραστεί η F = xy + x z ως γινόμενο μεγιστόρων F = xy + x z = (xy + x ) (xy + z) = (x + x ) (y + x ) (x + z) (y + z) = (x + y) ( x + z) ( y + z) Σε κάθε άθροισμα λείπει μία μεταβλητή: X + y = x + y + zz = (x + y + z) ( x + y + z ) x + z = x + z + yy = (x + y + z) ( x + y + z) y + z = y + z +xx = (x + y + z) (x + y + z) Συνδυάζοντας όλους τους όρους και απαλοίφοντας αυτούς που εμφανίζονται πάνω από μία φορά (x x = x) προκύπτει: F = (x+y+z)(x+y +z)(x +y+z)(x +y+z ) = M 0 M 2 M 4 M 5 = Π(0, 2, 4, 5)

Μετατροπή μεταξύ κανονικών μορφών F( x, y, z) (1,4,5,6,7) F ( x, y, z) (0,2,3) ( F ) F ( m m m ) m m m M M M (0,2,3) 0 2 3 0 2 3 0 2 3 Δηλαδή ο ελαχιστόρος με δείκτη j είναι συμπληρωματικός του μεγιστόρου με δείκτη j. Μετατροπή από μια κανονική μορφή στην άλλη: εναλλάσουμε τα σύμβολα Σ και Π στη δεύτερη μορφή βάζουμε στην παρένθεση τους δείκτες των όρων που δεν υπάρχουν στη πρώτη μορφή. Για n μεταβλητές, ο αριθμός των όρων είναι 2 n.

Πρότυπες μορφές Πάνω. Υλοποίηση των F 1, F 2, F 3 δύο επιπέδων με πρότυπη μορφή (SOP ή POS) Κάτω. Υλοποίηση τριών επιπέδων της F 3, μη πρότυπος τρόπος

Άλλες λογικές πράξεις Υπάρχουν 2 2 n διαφορετικές συναρτήσεις που ορίζονται για n μεταβλητές. Για n=2 το πλήθος των συναρτήσεων είναι 16. Όλες οι συναρτήσεις μπορούν να εκφρασθούν από τις βασικές AND, OR, NOT.

Ψηφιακές λογικές πύλες

Ψηφιακές λογικές πύλες

Πύλες πολλών εισόδων Μια πύλη μπορεί να έχει πολλές εισόδους, αν η αντίστοιχη δυαδική πράξη είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική. Οι πράξεις NOR, ΝΑND είναι αντιμεταθετικές, αλλά όχι προσεταιριστικές. Η λύση είναι να ορίσουμε τη πύλη NOR και NAND ως: (x+y+z) και (xyz).

Πύλες πολλών εισόδων Η πράξη αποκλειστικού-or (XOR) και ισοδυναμίας (XNOR) είναι αντιμεταθετικές και προσεταιριστικές και μπορούν να επεκταθούν σε πολλαπλές εισόδους.

Θετική και αρνητική λογική Το λογικό 0 και το λογικό 1, κατά την υλοποίηση των λογικών πράξεων με ηλεκτρονικά κυκλώματα αντιστοιχίζεται με την τιμή ενός σήματος, συνήθως τάσης. Θετική λογική σημαίνει αντιστοίχisη του 0 σε χαμηλή τάσηκαι του 1 σε υψηλή, π.χ. 0V και 5V. Αρνητική λογική σημαίνει αντιστοίχiση του 0 σε υψηλή τάση και του 1 σε χαμηλή τάση.

Ολοκληρωμένα κυκλώματα Ολοκληρωμένα κυκλώματα, Integrated circuits, ICs Συλλογή από πύλες διασυνδεδεμένες στο κύκλωμα Κεραμικό ή πλαστικό περίβλημα Ακροδέκτες (pins) Επίπεδα Ολοκλήρωσης Μικρής Κλίμακας SSI: 10 πύλες/ chip Μεσαίας Κλίμακας MSI: 10-1000πύλες/ chip Μεγάλης Κλίμακας LSI: μερικές χιλιάδες πύλες/ chip Πολύ Μεγάλης Κλίμακας VLSI: >1.000.000 πύλες/ chip Οικογένειες ICs TTL Transistor-Transistor Logic ECL Emitter-Coupled Logic: Υψηλή Ταχύτητα Λειτουργίας MOS Metal Oxide Semiconductor: Υψηλή Πυκνότητα CMOS Complementary MOS: Χαμηλή Κατανάλωση

Ολοκληρωμένα κυκλώματα Τα ολοκληρωμένα κυκλώματα κατασκευάζονται με χρήση οπτικών μασκών που επiτρέπουν προβολή σχεδίου σε πυρίτιο. Ένα VLSI IC μπορεί να περιέχει μερικά δισεκατομμύρια transistors. Ο σχεδιασμός τους γίνεται με προγράμματα CAD. Yπάρχουν γλώσσες περιγραφής υλικού (hardware description languages, HDL) στις οποίες περιγράφουμε τη συμπεριφορά του κυκλώματος και ο compiler αναλαμβάνει τη σύνθεση και την προσομοίωση της συμπεριφοράς του. Παραδείγματα: Verilog, VHDL.

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις

Ασκήσεις